4.. Prüfungsaufgaben zu Wellen Aufgabe : Wellengleihung (5) Im Ursprung des Koordinatensstems shwingt ein Erreger mit (0;t) = 4 m sin t mit t in Sekunden. Er erzeugt eine Transersalwelle, die sih mit = 40 m/s ausbreitet. a) Wie groß sind die Periodendauer und die Wellenlänge der Welle? () b) Zeihne die Welle für die Zeitpunkte t = s und t = 4 s in ein gemeinsames Koordinatensstem. () ) Formuliere die Ort-Zeit-Funktionen für die Shwingungen an den Stellen x = 0 m und x = 60 m. () Lösungen: a) ω = π Hz T = = s und λ = T = 0 m. () b) Skizze: () /m 4 x/m 0 60 0 60 4 ) (0 m; t) = 4 m os t und (60 m; t) = 4 m sin t () Aufgabe : Wellengleihung (4) Die Bugwelle eines Frahtshiffes auf dem 50 m breiten Mittellandkanal lässt sih angenähert mit der Gleihung z(x,;t) = 0,5 os[π(t x )] beshreiben, wobei die z-ahse nah oben, die -Ahse in Fahrtrihtung und die x-ahse senkreht zur Fahrtrihtung nah rehts weisen. Ente Dais hat sih om Ufer aus 0 m auf die Wasserflähe zurükgezogen und beobahtet misstrauish Boxer Killer, der nihtsahnend auf der nur 0 m hohen Kanalwand or sih hin döst. Zur Zeit t = 0 befinden sih Shiffsbug, Dais und Killer gemeinsam auf der x-ahse. a) Skizziere Frahtshiff, Dais und Killer im Augenblik t = 0. (4) b) Bestimme Periodendauer, Wellenlänge und Ausbreitungsgeshwindigkeit der Welle für = 0, d.h. in x-rihtung senkreht zur Fahrtrihtung. () ) Bestimme Periodendauer, Wellenlänge und Ausbreitungsgeshwindigkeit der Welle für x = 0, d.h. in -Rihtung parallel zur Fahrtrihtung. () d) Bestimme Periodendauer, Wellenlänge und Ausbreitungsgeshwindigkeit der Welle in Ausbreitungsrihtung der Welle. () e) Skizziere ein ollständig beshriftetes z-t-diagramm für Daiss Position (x = 5 und = 0) in dem Zeitraum, in dem die erste Bugwelle unter ihr durhläuft. (4) f) Wird Killer nass und wenn ja, zu welhem Zeitpunkt? () Aufgabe : Wellengleihung (4) a) Beshriftete Skizze: siehe rehts (4) b) Amplitude 0 = 0,5 m; Winkelgeshwindigkeit ω = π s Periodendauer T = = s () m/s m/s m/s Wellenlange λ = m () m Ausbreitungsgeshwindigkeit = = T s. () ) Ebenso wie b) () d) = m/s, λ = m und T bleibt gleih () e) Beshriftete Skizze: siehe rehts (4) Beahte, dass die Welle a. 0,5 Sekunden orher ankommt, x wobei das Zusammenshieben des Wasser in der ersten halben z in m Sekunde or Beginn der eigentlihen Sinus -Welle gar niht 50 40 durh die Gleihung beshrieben wird! 0 f) Da die Welle höher ist als die Kanalwand, () 0 wird er nah 5 Sekunden nass. () 0-0 0 t in s 4,5 5 5,5 6 6,5-0 -0-40 -50 5 5
Aufgabe a: Interferenz (5) und Bestimme die Phase und die Amplitude der Welle, die durh Interferenz on (x;t) = sin t x (x;t) = os t x entsteht und zeihne ein Zeigerdiagramm. 6 Im Lösung Mit sin(x) = os(x ) erhält man + = Re( e iπ/6 + e iπ/6 ) = Re(4,6 e i6,58 ) Amplitude A 4,6 und Phasenershiebung α 6,58 () Zeigerdiagramm: () + Re Aufgabe a: Interferenz (5) und Bestimme die Phase und die Amplitude der Welle, die durh Interferenz on (x;t) = os t x (x;t) = sin t x Lösung entsteht und zeihne ein Zeigerdiagramm. 6 Mit sin(x) = os(x ) erhält man + = Re( e iπ/ + e iπ/ ) Re(,65 e i70,9 ) Amplitude A,65 und Phasenershiebung α 9, () Zeigerdiagramm: () Im + Re Aufgabe 5a: Reflexionsgesetz (8) Erkläre und begründe das Reflexionsgesetz mit Hilfe des Hugensshen Prinzips und des Kongruenzsatzes ssw anhand einer Skizze Beshriftete Skizze mit zwei Wellenfronten und zwei rehtwinkligen Dreieken. (4) Die on links im Einfallswinkel α zur Senkrehten einlaufende Welle erzeugt mit ihren ersten zwei Wellenfronten im Abstand on λ/sin(α) auf der Reflexionsflähe zwei halbkreisförmige neue Wellenfronten im Ausfallswinkel α zur Senkrehten. Da die beiden rehtwinkligen Dreieke in einem Winkel (dem rehten) und den beiden Seitenlängen λ bzw. λ/sin(α) übereinstimmen, sind sie kongruent und die beiden Winkel α und α stimmen ebenfalls überein: Einfallswinkel α = Ausfallswinkel α. (4) λ/sin(α) α α λ λ α α Aufgabe 5b: Brehungsgesetz (5) Erkläre und begründe das Brehungsgesetz mit Hilfe der Skizze rehts: Parallele Linien als Wellenfronten interpretieren. () Verringerung der Wellenlänge durh Abnahme der Wellehgeshwindigkeit = λ f bei gleihbleibender Frequenz f im optish dihteren Medium () Durh Betrahtung der beiden gefärbten Dreieke erhält man sin( ) n () sin( ) n α α λ λ Aufgabe 6a: Beugung a) Legt man Flurins Haar in den Strahlengeng eines Lasers mit einer Wellenlänge on 600 nm, so sieht man in m Entfernung eine Punktreihe mit dem Abstand m. Wie dik ist Flurins Haar? b) Rotes Liht mit der Wellenlänge λ = 700 nm tritt durh einen mm diken Spalt auf einen m entfernten Shirm. Wie weit ist das Beugungsmaximum. Ordnung om Hauptmaximum entfernt? ) Wie ändert sih das Beugungsbild, wenn der mm dike Spalt durh zwei 0 μm dike und ebenfalls mm oneinander entfernte Spalte ersetzt wird? Begründe anhand einer Skizze.
Lösungen: a) d = λ B b = 60 μm b) d/ = B b B = b =,4 mm d ) Der Abstand halbiert sih auf B = b = 0,7 mm und die Streifen werden iel dunkler. d Aufgabe 6b: Beugung Wie groß muss das Objekti eines Fernrohrs sein, damit es die Beugungssheibhen zweier Sterne im Winkelabstand on einer Bogensekunde = Grad bei einer Wellenlänge on 400 nm noh trennen kann? Begründe anhand einer Skizze. 600 = B d/ b = Durhmesser d = 96000 = 6,5 m 60600 Aufgabe 7a: Doppler-Effekt Begründe, warum die Frequenz der Sirene eines sih mit der Geshwindigkeit nähernden Krankenwagens für den ruhenden Beobahter um den Faktor erhöht sheint. In einer Periode T hat der Krankenwagen die Streke T zurükgelegt und die Wellenlänge erkürzt sih auf λ = λ T. Die Geshwindigkeit der Welle bleibt gleih, so dass die Frequenz f = / f sih erhöht auf f = = =. T T Aufgabe 7b: Doppler-Effekt Begründe, warum sih die Frequenz einer ruhenden Alarmsirene für einen sih mit der Geshwindigkeit nähernden Autofahrer um den Faktor erhöht sheint. Lösung Die Ausbreitungsgeshwindigkeit der Welle erhöht sih für den entgegenkommenden Fahrer auf + und die Wellenlänge bleibt gleih, so dass die Frequenz f = sih erhöht auf f = = = f /. Aufgabe 8: Dopplereffekt () a) Eine elektromagnetishe Welle wird on einem ruhenden Sender mit der Frequenz ausgestrahlt und on einem sih mit der Geshwindigkeit relati zum Sender bewegenden Objekt reflektiert. Zeige, dass die reflektierte Welle mit der Frequenz f = f wieder beim Sender ankommt. () f b) Zeige, dass die Geshwindigkeit des Objektes = beträgt, wenn die Welle aus a) mit der Frequenzershiebung f f Δf = f f wieder beim Sender ankommt. () ) Eine Radarpistole sendet Zentimeterwellen (λ = m) aus. Bestimme die Periodendauer und zeihne den ausgehenden Wellenzug nah 0, ns in beshriftetes Koordinatensstem. Erkläre anhand der Zeihnung den Begriff der Transersalwelle. () d) Der on der Radarpistole aus ) ausgesandte Wellenzug kommt nah einer Laufzeit on zwei Mikrosekunden (Δt = 0-6 s) mit einer um Δf = 8 khz erhöhten Frequenz zurük. In welher Entfernung und mit welher Geshwindigkeit bewegt sih das reflektierende Objekt? () e) Nenne und begründe zwei Konstruktionsmerkmale eines Tarnkappenautos mit stealth -Tehnologie, welhes on Radarfallen niht erfasst wird. Berüksihtige sowohl die Form als auh das erwendete Material. ()
Aufgabe 8: Dopplereffekt (): T a) Die Periodendauer erhöht sih auf T = bei der Reflektion (bewegter Empfänger) () und weiter auf T = T = T beim Empfang (bewegter Sender). () Die Frequenz ist also f = = = f T '' T () b) Die Frequenzershiebung ist Δf = f f = f = f () ) Periodendauer T = =, 0 s. () 0 Nanosekunden sind drei Periodendauern Zeihnung mit Perioden () x/m Bei einer Transersalwelle steht der Amplitudenektor (hier das E- bzw. B-Feld) senkreht zur Ausbreitungsrihtung () t d) Die Entfernung ist Δx = = 00 m (Hin- und Rükweg der Welle) () f Die Geshwindigkeit des Objektes ist = f f f = 40 m/s = 44 km/h om Beobahter weg () f e) Form: möglihst pramidenförmig, so dass Radarwellen an den geneigten Seitenflähen nah oben reflektiert werden. () Material: Kunststoffe mit hoher Dielektrizitätszahl ε, die das elektrishe Feld absorbieren. () Aufgabe 9: Interferenz (6) Zwei Steine fallen an den Orten A(5 m 0) und B(0 m) gleihzeitig ins spiegelglatte Wasser und erzeugen zwei Kreiswellen, die sih mit der Geshwindigkeit = m/s, der Wellenlänge λ = 0 m und der Amplitude A = B = m on diesen beiden Punkten aus gleihphasig sinusförmig ausbreiten. Am Ort C(8 m 8 m) sitzt ein kleiner Frosh auf seinem Blatt. a) Wann kommt der erste Wellenberg on m Höhe bei dem Frosh an? () b) Wie hoh können die Wellenberge bei der Überlagerung der beiden Wellen in C maximal werden und wann kommt der erste dieser Interferenzberge dort an? (4) Lösungen (6) Die Periodendauer ist T = λ/ = 0, s, d.h., jede Sekunde erlassen 0 Wellenberge den Erreger. a) AC = 7 m 8,544 m = 85,44 λ nah 8,544 s beginnt sih das Blatt zu heben. () b) Wegen BC = 00 m = 0 m = 00 λ erreihen die Wellen on B erst nah 0 s das Blatt und überlagern sih dort mit den Wellen on A. () Die Phasenershiebung on 85,44 λ 00 λ = 4,56 λ bzw. 0,56 λ bzw. 0,44 λ bzw. 58,4 führt nahezu zur gegenseitigen Auslöshung: m e i 0 + m e i 0,44 π =, m e i 79,. () Die Interferenzberge sind nur noh, m hoh und kommen mit Phasenershiebung on 79, bzw. 0, λ bzw. 0, T = 0,0 s beim Frosh an. () Der erste dieser abgeshwähten Berge kommt frühestens mit der Wellenfront on B nah 8,544 s beim Frosh an. () Der nähste Termin im 0,-Sekundentakt + Phasenershiebung 0,0 s ist dann nah 8,6 s. () E Aufgabe 0: Interferenz (8) Erpel Kurt sitzt am Ufer eines Sees auf der Position K(60 0) und beobahtet besorgt die 0 m hohen, 4 m langen und m/s shnellen Bugwellen der beiden Ausflugsdampfer A und B. a) Wie shnell sind die beiden Ausflugsdampfer? () b) Wie weit ist Kurt on den beiden Wellenfronten entfernt? () ) Wann erreihen die beiden Wellenfronten Kurt? () d) Zeige und begründe, dass Kurt sih keinerlei Sorgen um nasse Flossen oder Federn mahen muss. () 00 in m A 50 B 0 K 0 50 00 x in m 4
Lösungen: (8) a) Durh den Vergleih der beiden jeweils hell und dunkel shraffierten Dreieke erhält man die Geshwindigkeiten A = = m s und B = = m s b) Die Elementarwelle a: = x + 90 shneidet die Wellenfront A: = 0 x + 70 im Punkt P( 990 ) mit der Entfernung Δs A = PK = 0 990 60 0 9,5 m () Die Entfernung zur Wellenfront B lässt sih aus dem hell gefärbten Dreiek zu Δs B = 5 m 49,50 m bestimmen. () sa ) Wellenfront A erreiht ihn nah =,5 s und Wellenfront B sb nah = 6,50 s. () sa sb d) Der Ganguntershied der beiden Bugwellen ist 0,5 λ bzw. 0,5 λ bzw. dem Phasenuntershied 0,5 π 8,5. Die beiden Wellen löshen sih also bei Kurt nahezu ollständig aus. () () 00 50 0 /m A P A B B Δs A Δs B K x/m 0 50 00 Aufgabe : Interferenz (9) Auf einer Wasseroberflähe befinden sih wie rehts abgebildet zwei Wellenerreger Z und Z, welhe gleihphasig shwingen und dabei Wellen mit der Wellenlänge m und der Amplitude mm erzeugen. Die Abnahme der Amplitude mit wahsender Entfernung om Erreger soll zunähst niht berüksihtigt werden. Auh die etwaige Reflexion der Wellen am Bekenrand soll niht beahtet werden. a) Zeige, dass in P ein Interferenzmaximum existiert. () b) Bestimme die Anzahl der Interferenzmaxima, die sih rehts on P auf der Parallelen zur x-ahse ausbilden. () ) Ein dritter Erreger Z wird im Punkt (0 m m) angebraht und shwingt gleihphasig und mit gleiher Amplitude wie Z und Z. Bestimme nun die Amplitude im Punkt P. () d) Begründe energetish, warum die Amplitude einer konzentrishen Einzelwelle bei doppeltem Abstand om Erreger nur noh halb so gross ist. () Lösungen (9) a) Mit Pthagoras erhält man für die Differenz der Weglängen Z P Z P = 9 m m = 5 m m = m = λ () und damit die Bedingung für maximale Verstärkung. () b) Das erste Maximum P ist bei x = 4,5 m genau zwishen den beiden Erregern, so dass die Weglängen Z P = Z P gleih sind. () Das zweite Maximum P ist bei x = 9 m genau über Z, so dass smmetrish zum Fall a) Z P Z P = m = λ gilt. () Für das dritte Maximum P gilt Z P Z P = 6 m = λ. Für das ierte Maximum müssten sih die Weglängen um λ = 9 m untersheiden, was aber unmöglih ist, weil für jeden Punkt P 4 außerhalb der x-ahse Z P 4 Z P 4 < Z Z = 9 m gilt. (möglih ist auh eine andere Formulierung oder graphishe Veranshaulihung der Dreieksungleihung) () ) Der Ganguntershied zu Z und Z beträgt m bzw. 5 m, so dass die Welle on Z in P um T 40 or bzw. um T 0 nahläuft. () Aus dem Zeigerdiagramm erhält man mit Pthagoras oder der Höhenformel für das gleihseitige Dreiek mit Z = Z = Z = mm eine Amplitude 0 5 in m P Z Z 5 0 x in m Z Z Z on Z + Z + Z = 4 mm,46 mm. () 5
Aufgabe : Interferenz (5) Aditia und ihre Shwester Milli werfen Steine ins Wasser. Aditias Stein erzeugt am Ort (4 5) eine Kreiswelle, die sih mit einer Amplitude on 0 m ausbreitet. Millis Stein trifft 0, Sekunden später im Ort ( 7) auf und erzeugt eine Amplitude on 5 m. Beide Wellen breiten sih mit m/s und einer Wellenlänge on m aus. Im Ort ( ) sitzt Wasserläufer Kurt und erwartet mit Sorge die ankommenden Wellen. Alle Orte sind in Metern angegeben. a) Skizziere die Situation in ein Koordinatensstem. () b) Formuliere die beiden Wellengleihungen für die Abstände s A und s M on den Auftreffpunkten A und M. (4) ) Formuliere die beiden Gleihungen für die Shwingungen, die am Ort ( ) durh die beiden Wellen erzeugt werden. () d) Wann kommt der erste Wellenberg bei Kurt an und wie hoh ist er? () e) Wann kommt der zweite Wellenberg bei Kurt an und wie hoh ist er? (4) a) Skizze () b) Die Wellengleihungen sind A (s A ;t) = 0, sin[π(t s A )] und M (s M ;t) = 0,5 sin[π((t 0,) s M )]. () ) In ( ) ist s A = (4 ) (5 ) = 5 und s M = ( ) (7 ) = 7 6,08. Die Shwingungsgleihungen in ( ) sind also A (5;t) = 0, sin[π(t 5)] und M (6,08;t) = 0,5 sin[π(t 6,8)]. (4) d) Kurt beginnt durh Ankunft on Aditias Welle nah 5 Sekunden zu shwanken und erreiht den ersten Wellenberg on 0 m Höhe nah 5 Perioden bzw. 5,5 Sekunden. () 4 e) Die Überlagerung gibt sih aus dem Zeigerdiagramm bzw. durh komplexe Addition z.b. für t = 6 s zu A (5;6) + M (6,08;6) = 0, is(π) + 0,5 is( π 0,8) 0,6 is( π 0,) 0,6 is( 40,6 ). () f) Durh Überlagerung mit Millis Welle kommt der nähste Wellenberg erst leiht erzögert nah 6,5 + 0, = 6,6 Sekunden aber dafür mit erstärkter Höhe on,6 m. () 6
Aufgabe : Shwebung (9) Durh Überlagerung zweier Wellen bzw. Shwingungen ähnliher Frequenz entsteht eine Shwebung, d.h. eine Shwingung mit tpish sinusförmig zu- und abnehmender Amplitude, die beim Stimmen on Instrumenten und bei der Bestimmung kleiner Frequenzuntershiede in Radarpistolen eingesetzt wird. Die mathematishe Erklärung dieser Ersheinung wird durh das folgende Additionstheorem geliefert: sin(α) + sin(β) = os sin. a) Skizziere den Verlauf der folgenden drei Funktionen mit Hilfe des GTR im Bereih 0 t 4 in die beiden Koordinatenssteme (4) : 0 - t 0 0, 0,4 0,6 0,8,,4,6,8,,4,6,8,,4,6,8 4 - - (t) = sin(8 πt) + sin(7 πt) und (t) = 8 7 os t 0 - t 0 0, 0,4 0,6 0,8,,4,6,8,,4,6,8,,4,6,8 4 - - 8 7 (t) = sin t und nohmal 8 7 (t) = os t b) Welhe Frequenz hat (t)? () ) Mit welher Shwebungsfrequenz nimmt die Amplitude on (t) zu und ab? () d) Welhe Frequenz hat die Überlagerung sin(f a πt) + sin(f b πt) zweier Shwingungen mit den Frequenzen f a und f b? () e) Mit welher Shwebungsfrequenz nimmt die Amplitude on sin(f a πt) + sin(f b πt) zu und ab? () f) Einem Raser wurde eine Radarwelle mit f a = GHz hinterhergesandt. Die mit f b reflektierte Welle erzeugt zusammen mit der Sendeshwingung eine Shwebung mit der Shwebungsfrequenz f = khz im Empfänger der Radarpistole. Wie gross war f b? () 7
Lösungen: a) Skizzen (4): (t) (t) 0 - t 0 0, 0,4 0,6 0,8,,4,6,8,,4,6,8,,4,6,8 4 - - (t) (t) 0 - t 0 0, 0,4 0,6 0,8,,4,6,8,,4,6,8,,4,6,8 4 - - b) f = 8 7 s = 7,5 s () ) f = 8 7 s = 0,5 s () fa fb d) f = () fa fb e) f = () f) Aus e) folgt f b = f a f =,998 GHz. () 8