REGULÄRE UND SEMIREGULÄRE POLYTOPE

REGULÄRE UND SEMIREGULÄRE POLYTOPE regulare und semireguläre polytope ANDREAS PAFFENHOLZ FU Berlin Germany

Eulersche Polyederformel Theorem Für ein Polytop mit Ecken Eulersche Polyederformel Kanten und Flächen gilt die

Eulersche Polyederformel Theorem Für ein Polytop mit Ecken Eulersche Polyederformel Kanten und Flächen gilt die Eine Fläche rausnehmen Polytop in der Ebene ausbreiten

Eulersche Polyederformel Theorem Für ein Polytop mit Ecken Eulersche Polyederformel Kanten und Flächen gilt die Eine Fläche rausnehmen Polytop in der Ebene ausbreiten Ecken Flächen: positive Ladung Kanten: negativ

Eulersche Polyederformel Theorem Für ein Polytop mit Ecken Eulersche Polyederformel Kanten und Flächen gilt die Eine Fläche rausnehmen Polytop in der Ebene ausbreiten Ecken Flächen: positive Ladung Kanten: negativ Flächen- und Kantenladung zur am weitesten rechts liegenden Ecke verschieben

Eulersche Polyederformel Theorem Für ein Polytop mit Ecken Eulersche Polyederformel Kanten und Flächen gilt die Eine Fläche rausnehmen Polytop in der Ebene ausbreiten Ecken Flächen: positive Ladung Kanten: negativ Flächen- und Kantenladung zur am weitesten rechts liegenden Ecke verschieben Alle Ladungen heben sich auf außer an der äußerst rechten Ecke die der äußeren Fläche

Satz von Steinitz Der Graph des Polytops ist der von durch die Ecken und Kanten des Polytops gegebene Graph Es gibt verschiedene Polytope mit dem gleichen Graphen Graph ist -zusammenhängend Zwischen je zwei Knoten gibt es mindestens drei disjunkte Wege Graph ist planar kann ohne Kantenkreuzung gezeichnet werden

Satz von Steinitz Der Graph des Polytops ist der von durch die Ecken und Kanten des Polytops gegebene Graph Es gibt verschiedene Polytope mit dem gleichen Graphen Graph ist -zusammenhängend Zwischen je zwei Knoten gibt es mindestens drei disjunkte Wege Graph ist planar kann ohne Kantenkreuzung gezeichnet werden Satz von Steinitz Eine Graph planar und ist genau dann Graph eines -Polytops wenn er -zusammenhängend ist

Satz von Steinitz Der Graph des Polytops ist der von durch die Ecken und Kanten des Polytops gegebene Graph Es gibt verschiedene Polytope mit dem gleichen Graphen Graph ist -zusammenhängend Zwischen je zwei Knoten gibt es mindestens drei disjunkte Wege Graph ist planar kann ohne Kantenkreuzung gezeichnet werden Satz von Steinitz Eine Graph planar und ist genau dann Graph eines -Polytops wenn er -zusammenhängend ist Beweis: nur : Durch Schlegeldiagramm: Zentralprojektion auf Fläche mit Zentrum dich hinter der Fläche

en Definition Das Tripel heißt des Polytops Theorem Für jedes -Polytop gilt Beweis: An jeder Ecke kommen mindestens zusammen also Kanten Jede Fläche hat mindestens drei Kanten also

en Definition Das Tripel heißt des Polytops Theorem Für jedes -Polytop gilt ist durch und festgelegt Zu jedem Paar daß erfüllt gibt es ein -Polytop

Dualität Definition Sei ein Polytop mit und Ecken Flächen mit Dann gibt es ein Polytop und Ecken Flächen und Bijektionen } } { { } } { { Ecke ist genau dann wenn Ecke von so daß ist von heißt duales Polytop zu

Pflasterungen Definition Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen Eine Pflasterung heißt regulär wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist Sie heißt semiregulär wenn die Symmetriegruppe eckentransitiv ist Es gibt reguläre und semireguläre Pflasterungen

Reguläre Polytope Definition Ein -Polytop heißt regulär wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist wenn also alle Seitenflächen identische reguläre Polygone sind und in jeder Ecke die gleiche Anzahl Polygone zusammenkommen Wenn jede Seitenfläche Ecken hat und an jeder Ecke zusammenkommen dann bezeichnen wir mit { } Theorem Für ein reguläres -Polytop gilt Beweis: Ein Winkel von weniger als -gon hat Winkelsumme also in jeder Ecke einen An jeder Polytopecke müssen sich die Winkel zu aufaddieren also Da bleiben nur endlich viele Möglichkeiten: {} { } { } { } { }

Tetraeder Typ: {33} Vier Dreiecke selbstdual

Oktaeder Typ: {34} Acht Dreiecke dual zu { }

Würfel Typ: {43} Sechs Quadrate dual zum Oktaeder { }

Ikosaeder Typ: {35} Zwanzig Dreiecke dual zu { }

Dodekaeder Typ: {53} Zwölf Fünfecke dual zum Ikosaeder { }

Semireguläre Polytope Definition Ein -Polytop heißt semiregulär wenn seine Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken operiert

Semireguläre Polytope Definition Ein -Polytop heißt semiregulär wenn seine Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken operiert Es gibt vier Klassen von semiregulären Polytopen Die fünf Platonischen Körper Prismen Antiprismen Archimedische Körper

Semireguläre Polytope Definition Ein -Polytop heißt semiregulär wenn seine Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken operiert Es gibt vier Klassen von semiregulären Polytopen Die fünf Platonischen Körper Prismen Antiprismen Archimedische Körper An jeder Ecke treffen im Uhrzeigersinn die gleichen Typen von Polygonen in der gleichen Reihenfolge auf Das Polytop ist dadurch eindeutig festgelegt Die Umkehrung ist nicht richtig Bei gleicher Art und Reihenfolge an einer Ecke muß das Polytop nicht semiregulär sein ( Pseudo- Rhombenkuboktaeder) Alle Flächen sind regelmäßige -Ecke Alle Kanten haben die gleiche Länge An jeder Ecke des Polytops können drei vier oder fünf Polygone zusammenkommen ( Winkelsumme!)

Semireguläre Polytope Definition Ein -Polytop heißt semiregulär wenn seine Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken operiert Es gibt vier Klassen von semiregulären Polytopen Die fünf Platonischen Körper Prismen Antiprismen Archimedische Körper An jeder Ecke treffen im Uhrzeigersinn die gleichen Typen von Polygonen in der gleichen Reihenfolge auf Das Polytop ist dadurch eindeutig festgelegt Die Umkehrung ist nicht richtig Bei gleicher Art und Reihenfolge an einer Ecke muß das Polytop nicht semiregulär sein ( Pseudo- Rhombenkuboktaeder) Alle Flächen sind regelmäßige -Ecke Müssen also drei Fälle betrachten: Alle Kanten haben die gleiche Länge drei vier oder fünf An jeder Ecke des Polytops können drei Polygone um eine Ecke vier oder fünf Polygone zusammenkommen ( Winkelsumme!)

Klassifikation II Erster Fall: Drei Polygone mit Ecken : reguläres Polytop : das Um -Eck kommen abwechselnd : Prisma - und : Abgestumpftes Tetraeder : Abgestumpftes Oktaeder : Abgestumpftes Ikosaeder : Abgestumpftes Hexaeder : Abgestumpftes Dodekaeder -Ecke Daher muß Mit dem gleichen Argument sind Rhombenkuboktaeder Rhombenikosidodekaeder gerade gerade sein : Abgestumpftes Kuboktaeder oder großes : Abgestumpftes Ikosidodekaeder oder großes

Prismen Typ: (44n) Flächenfolge: Quadrate und zwei -Ecke

Abgestumpftes Tetraeder Typ: (366) Flächenfolge: Vier Sechsecke und vier Dreiecke

Abgestumpftes Hexaeder Typ: (388) Flächenfolge: Sechs Achtecke und acht Dreiecke

Abgestumpftes Oktaeder Typ: (466) Flächenfolge: Acht Sechsecke und sechs Quadrate

Abgestumpftes Dodekaeder Typ: (31010) Flächenfolge: 20 Dreiecke und zwölf Zehnecke

Abgestumpftes Ikosaeder Typ: (566) oder Fußball Flächenfolge: 20 Sechsecke und zwölf Fünfecke

Großes Rhombenkuboktaeder Typ: (468) Zwölf Quadrate Flächenfolge: acht Sechsecke und sechs Achtecke

Gr Rhombenikosidodekaeder Typ: (4610) 30 Quadrate 20 Sechsecke und zwölf Zehnecke Flächenfolge:

Klassifikation II Zweiter Fall: Vier Polygone mit Ecken Wenn und das Dreieck dann müs - und -Eck teilen sich eine Kante mit dem sein da sie abwechselnd vorkommen müssen : Oktaeder : Antiprisma : Kuboktaeder : Ikosidodekaeder : Rhombenkuboktaeder : Rhombenikosidodekaeder

Antiprismen 3 4 Typ: (333n) 1 Flächenfolge: 5 Dreiecke und zwei -Ecke 2 0

Kuboktaeder Typ: (3434) Flächenfolge: Acht Dreiecke und sechs Quadrate

Ikosidodekaeder Typ: (3535) Flächenfolge: Zwanzig Dreiecke und zwölf Fünfecke

Kleines Rhombenkuboktaeder Typ: (3444) Flächenfolge: Acht Dreiecke und 18 Quadrate

Kleines Rhombenikosidodekaeder Typ: (3454) Flächenfolge: Zwanzig Dreiecke dreißig Quadrate und zwölf Fünfecke

Klassifikation III Dritter Fall: Fünf Polygone mit und Ecken Wenn und das Dreieck dann müs - und -Eck teilen sich eine Kante mit dem sein da sie abwechselnd vorkommen müssen : Ikosaeder : Abgeschrägtes Hexaeder : Abgeschrägtes Dodekaeder

Abgeschrägtes Hexaeder Typ: (33334) Flächenfolge: 32 Dreiecke und sechs Quadrate

Abgeschrägtes Dodekaeder Typ: (33335) Flächenfolge: 80 Dreiecke und zwölf Fünfecke

Penrose Tiling