Auswertung Elastizität Versuch P1-11 Stefanie Falk und Corinna Roy
1. Bestimmung von E durch Balkenbiegung Mit dem in der Prinzipskizze dargestellten Aufbau maßen wir für die Materialien Messing, Aluminium, Kupfer und Hart PVC die Skalenänderung s in Abhängigkeit der angehängten Gewichtsstücke. Vor Beginn jeder Messreihe legten wir einen Offset im unbelasteten Zustand der Balken fest. Das Ablesen erfolgte jeweils am oberen Rand des Beobachtungsfernrohres. Die Messwerte sind in der nachfolgenden Tabelle aufgeführt. Während der Vermessung von Aluminium verschob sich der Offset aus unerfindlichen Gründen, weshalb für die letzten beiden Messwerte ein anderer Offset gewählt wurde. Je nach Material wählten wir unterschiedliche Maximalgewichte und die günstigste Schrittweite. Material m [kg] s [m] s [m] Offset [m],1,66,,,67,3,64 Messing,3,68,4,4,695,55,5,71,7 1,77,13 Aluminium Kupfer Hart PVC,5,5,1,51,1,53,,15,54,3,,55,4,3,57,6,4,63,8,55,5,65,1,1,5,1,,55,15,3,53,,4,54,3,5,55,4,7,56,5 1,58,7,5,41,1,1,465,65,15,55,15,,58,18,5,6375,375,3,695,95,35,76,36,51 Für die jeweiligen Materialien ermittelten wir die Steigung c der Linearen Regressionsgeraden, die im folgenden Diagramm dargestellt sind:,4
Aufgabe 1 Elastizität,4,35 y =,959x R =,964,3,5 delta s [m],,15,1,5 y =,x R = 1 y =,134x R =,9898 y =,7x R =,988 Messing Aluminium Kupfer Hart PVC,,4,6,8 1 1, m [kg] Daraus ließ sich durch Umstellen der Gleichung (17) aus der Vorbereitung von Stefanie Falk das E-Modul berechnen, was untenstehende Beziehung ergab: ( 6L + 4l) ) 3* g * L * E = 3 4* h * b * c Die verwendeten Messgrößen sind in der Tabelle aufgeführt. Hierbei nahmen wir jeweils drei Messwerte für die Breite b und die Höhe h der Stäbe, die alle im Messprotokoll vermerkt sind. Die Mittelwerte dieser Messungen befinden sich in der nachfolgenden Tabelle. L bezeichnet den Spiegelabstand und l den Abstand des skalennahen Spiegels zur Skala. Die Ergebnisse der Berechnung mit obiger Formel sind der Tabelle zu entnehmen. Material L [m] l [m] <h> [m] <b> [m] E [kn/mm ] Literaturwerte [kn/mm ] Messing,44,614,683,513 96,87 1,6 Aluminium,441,61,683,493 64,85 7,3 Kupfer,443,68,633,49 186,69 19,8 Hart PVC,446,64,617,537 1,75,4 4,1 Die Literaturwerte sind aus Kaye and Laby Tables of Physical and Chemical Constants. (Internetportal) Die prozentuale Abweichung für Messing vom Literaturwert beträgt 3,7 %, für Aluminium 7,6 % und für Kupfer 43,8%. Unser Messergebnis für Hart PVC liegt unerklärlicherweise weit über dem Literaturwert.
. Bestimmung von E aus der Geschwindigkeit von Longitudinalwellen Wir versuchten mittels der Schallgeschwindigkeit eines Verdichtungsstoßes durch die Probestäbe aus Messing, Aluminium, Edelstahl, Hart PVC und Kupfer die zugehörigen E-Module zu ermitteln. Wir bildeten jeweils den Mittelwert aus meist 5 verschiedenen Zeitmessungen für die jeweiligen Impulse m, die im Messprotokoll zu finden sind. In der untenstehenden Tabelle sind die Messdaten sowie die Ergebnisse aufgeführt. Material L [m] d [m] M T L [s] m-1 m [kg] p E L [kn/mm ] Literaturwerte [kn/mm ] Hart PVC,597,163,111 1,167 3151,9965 1,874,4-4,1 4,551 3 6,731 5 Aluminium 1,488,99,648 1,37 854,8586 68,71 7,3 4,186 3 6,8436 5 8,7494 7 Messing 1,489,99,9 1,984 8584,99665 98,47 1,6 4,654 3 6,44 5 8,614 7 Edelstahl 1,488,993,654 1,96 835,6594 184,66 15,3 4,1858 3 6,319 5 8,48 7 Zur Berechnung des E-Moduls benutzten wir die Formel E = c ρ mit L c =, b wobei b die für die einzelnen Materialien aus der Linearen Regression ermittelte Steigung ist. In dem unten stehenden Diagramm ist die gemessene Zeit T über den Impulsen m-1 aufgetragen.
Aufgabe Elastizität,9,8,7,6 Hart PVC Kupfer mit Lautsprecher Messing T [s],5,4,3 Edelstahl Kupfer mit Piezo, Aluminium,1 1 3 4 5 6 7 8 Hart PVC Aluminium Kupfer mit Lautsprecher Kupfer mit Piezo Messing Edelstahl Linear (Aluminium) Linear (Edelstahl ) Linear (Kupfer mit Piezo) Linear (Kupfer mit Lautsprecher) Linear (Messing) Linear (Hart PVC) Impulse m-1 Bei der Berechnung des E-Moduls von Aluminium verwendeten wir nur die ersten beiden Messwerte, da die darauf folgenden Werte unphysikalisch und unstetig sind. Dies lässt sich auf eine nicht immer homogene Stoßstärke zurückführen. Die Literaturwerte sind wieder Kaye and Laby Tables of Physical and Chemical Constants (Internetportal) entnommen. Die prozentuale Abweichung von Hart PVC gegenüber dem Literaturwert beträgt %, von Aluminium,3%, von Messing,1% und von Edelstahl 14,%. Bei Kupfer führten wir die Messung sowohl mit dem Lautsprecher als auch mit dem Piezokristall durch. Die Messdaten sind der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen. L [m] d [m] m T L [s] T p [s] m-1 m [kg] p E p [kn/mm ] E L [kn/mm ] 1,488,993,85,8 1 1,3 8955,479 155,36 1,76 4,396,183 3 6,5546,796 5 8,71,3658 7 Bei der Berechnung des E-Moduls ließen wir in beiden Fällen die letzten beiden Messwerte weg, da die Laufzeiten zwischen den beiden Messverfahren sehr stark differieren. (siehe Tabelle). Dies lässt sich vielleicht durch Übervorsichtigkeit beim Piezokristall erklären. Die prozentuale Abweichung von dem Literaturwert für das mit dem Lautsprecher gemessene E- Modul beträgt 5,4%, die für den mit dem Piezokristall ermittelten Wert beträgt 19,7%. Fazit: Die Ergebnisse aus den beiden Messungen für Messing und Aluminium sind relativ kohärent zueinander. Die prozentuale Abweichung von den in Aufgabe 1 ermittelten E-Modulen für Messing und Aluminium zu denjenigen in Aufgabe gemessenen beträgt 1,7% bzw. 5,6%. Die Messwerte für Hart PVC lassen sich nicht mehr vergleichen, da sie extrem differieren. Von den drei Messwerten für Kupfer ist der mit dem Lautsprecher ermittelte Wert der mit der
geringsten prozentualen Abweichung zum Literaturwert. Am ungenausten stellte sich für alle Materialien die in Aufgabe 1 verwendete Messmethode heraus. Gründe hierfür wären Ableseungenauigkeiten und Fehler, die durch die Messapparatur bedingt sind, z.b. die Einstellung der Spiegel und die nicht mittige Belastung der Stäbe. 3. Bestimmung des Schubmoduls aus Torsionsschwingungen Wir ermittelten nun die Schubmodule für Messing und Aluminium aus den Torsionsschwingungen. Dazu lenkten wir eine an den Stäben befestigte Drehscheibe, die mit zwei bzw. vier Zusatzgewichten belastet war, aus, und maßen die Schwingungsdauer T. Um größere Fehler zu vermeiden, maßen wir die Schwingungsdauern jeweils drei Mal und stoppten beide die Zeit. Daraus bildeten wir für jeden Fall den Mittelwert. Die Messdaten sind in der unten stehenden Tabelle aufgeführt, wobei T die Schwingungsdauer im unbelasteten Zustand, T die mit zwei Zusatzgewichten und T 4 diejenige mit vier Zusatzgewichten beschreibt. Der obere Teil der Tabelle stellt die Messwerte für Messing da. L [m] d[m] <d> [m] T [s] t [s] <t > [s] T [s] t [s] <t > [s],797,,,195,198 4,53 4,4 4,34 4,5 4,6,453,44,434,45,46,4478 4,94 43,6 43,1 43 43,15 43,15 4,94 4,36 4,31 4,3 4,315 4,315 T 4 [s] t 4 [s] <t 4 > [s] G [kn/mm ] 5,66 5,636 34,6 5,646 5,65 5,6175 5,6875 5,635 4,37 56,6 56,46 56,5 56,175 56,875 56,35,774,39,4,395,395 13,78 13,95 14,34 13,6 13,9 14,1,689,6975,717,68,695,75,6973 4,78 4,95 4,84 5,1 5 4,9 1,39 1,475 1,4 1,55 1,5 1,45 1,46 3,3 3,3 3,7 33 3,4 3,45 1,615 1,616 1,6135 1,65 1,6 1,65 1,68 3, Um nun aus den Schwingungsdauern die Schubmodule G zu berechnen gehen wir davon aus, das G für die Messung ohne die Zusatzgewichte gleich dem G bei der Messung mit den Zusatzgewichten ist. Mittels der Formel aus der Vorbereitung ergibt sich: + t + 1 = bzw. = t t t4 Nach Θ umgestellt, folgt: t = t = 1 t t bzw. t4 t Die Trägheitsmomente Θ 1 ( mit zwei Zusatzgewichten ) und Θ (mit vier Zusatzgewichten) lassen sich mit dem Steinerschen Satz 1 Z = MR + mb
berechnen. Die Masse und der Durchmesser der Gewichte sind im Messprotokoll aufgeführt und der Abstand b zur Drehachse betrug 11 mm. Da wir für T mit den Gewichten d 3 und d 4 maßen ergab sich Θ 1 =,14 kgm Θ =,45 kgm Daraus ergeben sich mit den jeweiligen gemessenen Schwingungsdauern für Aluminium und Messing je zwei Werte für Θ : für Messing: 1. Θ =,1137. Θ =,9891 für Aluminium: 1. Θ =,9689. Θ =,963 Bildet man nun den Mittelwert folgt Mes sin g = Alu min ium =,114,966 Mittels der Formel 8πL G = 4 R t können nun die Schubmodule G für beide Materialien berechnet werden, die in der obigen Tabelle aufgeführt sind. Die Literaturwerte (G Aluminium =6, 1 kn/mm, G Messing = 37, 3 kn/mm ) sind Kaye and Laby Tables of Physical and Chemical Constants (Internetportal) entnommen. Die prozentuale Abweichung vom Literaturwert beträgt für Aluminium 11,1 %, für Messing 7, %.