5 Die Transformationsformel

$Id: transform.tex,v 1.6 1/1/11 15:47:59 hk Exp hk $ 5 Die Transformationsformel In der letzten Sitzung haben wir die Transformationsformel als n-dimensionale Erweiterung der bekannten Substitutionsregel eingeführt. Insbesondere konnten wir diese auf die drei Standard-Transformationen des 1. anwenden und erhielten damit die Transformationsformeln zur Integration in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten. Zum Einstieg in die heutige Sitzung wollen wir noch ein weiteres Beispiel in Kugelkoordinaten rechnen, und bei der Gelegenheit gleich eine bequeme, wenn auch etwas unsaubere, Notation einführen. Wir betrachten den Kegel C := {(x, y, z) R 3 x + y z, z } R 3 und die Kugelschale 1.5 1 B := {(x, y, z) R 3 1 x + y + z 4} R 3..5 Als Integrationsbereich wollen wir dann den Durchschnitt D := B C verwenden, und wir drücken diesen 1 1 1.5.5 1 erst einmal in Kugelkoordinaten ϕ aus. Schreiben wir (x, y, z) = ϕ(r, φ, ψ) mit r, φ π, ψ π, so bedeutet (x, y, z) B einfach r [1, ]. Weiter haben wir x + y = r (cos φ + sin φ) sin ψ = r sin ψ und z = r cos ψ. Damit ist z gleichwertig zu ψ [, π/] und da in diesem Fall auch cos ψ ist, wird die Bedingung x + y z äquivalent zu sin ψ cos ψ. Dies können wir weiter zu ψ < π/ und tan ψ 1 = tan(π/4) umformen, also muss ψ [, π/4] sein. Für die z-koordinaten folgt z = r cos ψ cos(π/4) = 1/. Setzen wir also A := [1, ] [ π, π] [, π ] R 3, 4 so ist D = ϕ(a). Die Menge A ist ein Quader, also insbesondere kompakt und Jordanmeßbar. Nun überlegen wir uns das auch die Menge D Jordan-meßbar ist. Dabei wissen wir bereits aus 4.3 das die Kugelschale B = B 1, () Jordan-meßbar ist. Weiter ist die Menge C := C (R [1/, ]) abgeschlossen und C := {(x, y, z) R 3 x + y < z, 1/ < z < } ist offen mit C C C und D = B C. Insbesondere ist jeder Punkt von C ein innerer Punkt von C, und wir zeigen jetzt das umgekehrt jeder innere Punkt von C in C liegt. Sei also p = (x, y, z) C ein innerer Punkt von C. Dann existiert ein < ɛ < mit B ɛ (p) C. Insbesondere sind (x, y, z ɛ/), (x, y, z + ɛ/) B ɛ (p) C also z > z ɛ/ 1/, z < z + ɛ/ < und 15-1

x + y (z ɛ/) < z, d.h. es ist p = (x, y, z) C. Damit ist C die Menge der inneren Punkte von C, also C = (C ) und nach II. 4.Lemma 18.(b) gilt C = C \C = C 1 C C 3 mit C 1 := C := {( ) 1 x, y, R 3 x, y R, x + y 1 }, { } (x, y, z) R 3 1 z, x + y = z, C 3 := {(x, y, ) x, y R, x + y 4}. Ist f : R 3 R die durch f(x, y, z) = x + y z für alle x, y, z R definierte Funktion, so ist für alle x, y, z R mit z > stets grad f(x, y, z) = (x, y, z), d.h. die Menge M := {(x, y, z) R 3 z >, x + y = z } ist nach dem Satz vom regulären Urbild 3.Korollar eine zweidimensionale C -Untermannigfaltigkeit von R 3 und damit sind die drei Mengen C 1, C, C 3 nach 4.Lemma 6.(f) Jordansche Nullmengen, d.h. nach 4.Lemma 6.(b) ist auch C eine Jordansche Nullmenge. Da C außerdem beschränkt ist, ist C damit nach 4.Satz 14 Jordan-meßbar. Damit ist schließlich auch D = B C nach 4.Lemma 13.(b) Jordan-meßbar. Wir wollen jetzt das Integral x + y d(x, y, z) D z durch Integration in Kugelkoordinaten berechnen. Der Integrand ist also die stetige Funktion f : R R R > R; (x, y, z) x + y. z In Kugelkoordinaten hatten wir schon oben x + y = r sin ψ ausgerechnet, also f(r, φ, ψ) = r sin ψ r cos ψ = r sin ψ cos ψ. Beachte das dies eigentlich falsch ist, hier steht nicht f(r, φ, ψ) sondern f(ϕ(r, φ, ψ)). Bei konkreten Rechnungen wird aber häufig einfach auch für die Funktion f ϕ wieder f geschrieben, man unterscheidet die beiden Funktionen dann nicht an ihren Namen sondern an den Bezeichnungen ihrer Argumente. Diese Notation ist auf der einen Seite bequem, auf der anderen Seite erfordert sie aber etwas Aufmerksamkeit da zwei verschiedene Dinge gleichzeitig mit demselben Symbol bezeichnet werden. Bei der Gelegenheit notiert man die Transformationsformel auf Kugelkoordinaten dann auch gerne in der symbolischen Schreibweise d(x, y, z) = r sin ψ d(r, φ, ψ). Dies ist aber keine echte Gleichung da beide Seiten dieser Identität ja undefiniert sind, wir fassen es als reine Merkregel entsprechend zum, ja inhaltlich ebenfalls sinnlosen, 15-

dx dy Gerechne bei der Substitutionsregel auf. Damit kommen wir zum Rechnen, der Integrand in Kugelkoordinaten ist in separierter Form, also x + y d(x, y, z) = r 3 sin3 ψ d(r, φ, ψ) D z A cos ψ ( ) ( ) π/4 = π r 3 sin 3 ψ dr 1 cos ψ dψ = 15 π/4 π sin 3 ψ cos ψ dψ. Das verbleibende eindimensionale Integral ist eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen und damit elementar integrierbar. Schreiben wir für ψ π/4 so wird π/4 ( sin 3 ψ cos ψ dψ = und es ist insgesamt sin 3 ψ cos ψ = (1 cos ψ) sin ψ cos ψ D ln(cos ψ) + 1 sin ψ x + y z = tan ψ sin ψ cos ψ, π/4 ) d(x, y, z) = 15 ( 4 π ln 1 ). ( = ln + 1 ) = ln 4 1 4, Als nächstes Beispiel wollen wir eine Anwendung der Transformationsformel auf die Berechnung eindimensionaler uneigentlicher Riemann-Integrale vorführen, konkret wollen wir das sogenannte Gaußsche Fehlerintegral e x dx berechnen. Da für alle x R mit x 1 stets e x e x gilt und die Funktion f : [, ) R; x e x nach einem Beispiel in II. 3 uneigentlich Riemann-integrierbar ist, ist nach dem Majorantenkriterium für die uneigentliche Riemann-integrierbarkeit II. 3.Satz 6 auch die Funktion g : R R; x e x über [, ) uneigentlich Riemannintegrierbar. Da die Funktion g gerade ist, ist g dann auch über (, ] uneigentlich Riemann-integrierbar, d.h. g ist insgesamt uneigentlich Riemann-integrierbar. Wie am Ende von II. 3 bemerkt, ist damit insbesondere s e x dx = lim e t dt. s s Schon in II..5 hatten wir festgehalten, dass sich die Stammfunktion von e x nicht als eine explizite Formel in Termen der Grundfunktionen schreiben läßt. Wir hatten dann zwar in II..5 die sogenannte Fehlerfunktion erf : R R; x x π 15-3 e t dt = 1 π x x e t dt

eingeführt, aber über diese wissen wir nicht genug um ihren Grenzwert für x zu berechnen. Der Weg zur Berechnung des Gaußschen Fehlerintegrals führt über einen kleinen Umweg in die Ebene. Wir berechnen zunächst für jedes s > das Integral s e x y d(x, y) = re r dr = π re r dr B s() [,s] [ π,π] s = πe r = π (1 e s) durch Transformation auf Polarkoordinaten. Insbesondere ergibt sich damit e x y d(x, y) = π. lim s B s() Andererseits haben wir für alle s > auch B s () [ s, s] [ s, s] B s (), also B s() e x y d(x, y) x y e [ s,s] d(x, y) x y e B s () d(x, y), und da die linke und rechte Seite dieser Ungleichung beide gegen π konvergieren, ist damit auch d(x, y) = π. lim s x y e [ s,s] Dieses Integral können wir aber auch direkt berechnen, wegen e x y = e x e y für alle x, y R haben wir hier ein Integral über einen Quader mit Integrand in separierter Form, d.h. für jedes s > ist explizit ( s x y e d(x, y) = e dt) t. [ s,s] s Der Grenzwert dieses Ausdrucks für s ist π, also haben wir auch s e x dx = lim e t dt = π. s s Damit ist das Gaußsche Fehlerintegral berechnet, und insbesondere ergibt sich die in II..5 angekündigte Gleichung lim erf(x) = 1. x Jetzt wollen wir auch noch zwei Beispiele rechnen bei denen eine an das konkrete Problem angepasste Substitution verwendet wird. Die drei bisher behandelten Koordinatentransformationen, also Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten, kommen zwar in solchen Rechnungen recht häufig vor, aber sie sind keinesfalls 15-4

die einzigen Möglichkeiten. Wie bei der Substitutionsregel für eindimensionale Integrale kann man auch speziell an die Form des Integranden angepasste Koordinaten verwenden. Als Neuerung im Vergleich zur Substitutionsregel muss man sich zusätzlich auch noch um die Anpassung der Koordinaten an den Integrationsbereich kümmern. Wie schon bei der Substitutionsregel gibt es für die Wahl einer geeigneten Koordinatentransformation zwar einige Faustregeln aber keinen allgemeinen, von Hand benutzbaren, Algorithmus. Insbesondere gibt es keinen Standardrechenweg sondern man muss sich eventuell etwas einfallen lassen. Als ein Beispiel betrachten wir die Menge { M := (x, y) R > < y x + y < 1 die etwas weiter unten abgebildet ist, und wollen das Integral x + y d(x, y) (x + y ) 3 M x x + y < 1 }, berechnen. Bei der Wahl einer Koordinatentransformation orientieren wir uns hier am Integrationsbereich M, und betrachten die neuen Koordinaten u = v = x x + y, y x + y. C 1 -Diffeomorphismen sind bijektive Abbildungen zwischen offenen Teilen des R n, wir müssen also schauen das unser u, v tatsächlich auf einer geeigneten Menge bijektiv ist. Rechnerisch führt man dies meist durch, indem versucht wird umgekehrt x, y in Termen von u und v auszudrücken, wir müssen also die u, v definierenden Gleichungen nach x, y auflösen. Zunächst haben wir also weiter x = u + v = x + y (x + y ) = 1 x + y, x x + y (x + y ) = u (x + y ) = u u + v, und analog können wir für y rechnen, und erhalten y = v/(u + v ). Die cartesischen Koordinaten ergeben sich also aus u, v mittels genau derselben Formeln die auch u, v definieren, nur mit x, y und u, v ausgetauscht. Damit können wir den folgenden C 1 - Diffeomorphismus verwenden ( ) u ϕ : R \{} R \{}; (u, v) u + v, v. u + v 15-5

Bei der Wahl von ϕ hatten wir uns an den M definierenden Bedingungen orientiert, und entsprechend nimmt die Menge M in den neuen Koordinaten u, v eine vergleichsweise einfache Form an. Es wird M = ϕ(d) mit { D := (u, v) R > < v < 1 u < 1 } Die Menge M Das Dreieck D Als nächsten Schritt müssen wir die Funktionaldeterminante, also die Determinante der Jacobimatrix, von ϕ berechnen, und bestimmen dazu zunächst die relavanten partiellen Ableitungen: x u = u v (u + v ), x v = uv (u + v ), y u = uv (u + v ), y v = u v (u + v ). Als Determinante ergibt sich (x, y) (u, v) := u v uv uv (u +v ) (u +v ) u v (u +v ) (u +v ) und die Transformationsformel ergibt wegen x + y = = v ) + 4u v (u (u + v ) 4 = u4 + u v + v 4 1 = (u + v ) 4 (u + v ), u + v u + v und x + y = u + v (u + v ) = 1 u + v die Gleichung x + y 1/ 1 v d(x, y) = (u + v) d(u, v) = (u + v) du dv M (x + y ) 3 D 1/ 1/ 1 v 1 1/ = u + uv 1 dv = (1 v) + v(1 v) 1 8 1 v dv 1/ = 1/ 15-6 7 8 1 v 1 v dv = 7 16 1 16 1 48 = 17 48.

Die Schreibweise (x, y)/ (u, v) für die Funktionaldeterminante wird gerne verwendet, da sie erlaubt die Transformationsformel symbolisch als (x, y) d(x, y) = d(u, v) beziehungsweise d(x, y) = (x, y) (u, v) (u, v) d(u, v) zu schreiben. Wenn man will kann man (x, y)/ (u, v) auch gleich als den Betrag der Funktionaldeterminante lesen, an welcher Stelle der Rechnung das Vorzeichen der Determinante entfernt wird spielt ja keine Rolle. Als ein letztes Beispiel wollen wir noch eine Anwendung der Transformationsformel rechnen bei der man sich eher an der Form des Integranden orientiert. Wir betrachten Q := [, 1] [, 1] und xy(x + y ) cos(x y ) d(x, y). Q Hier ist der Cosinusterm im Integranden unangenehm, daher ist es naheliegend das Argument des Cosinus etwa durch u = x y zu substituieren. Dann brauchen wir noch eine passende zweite Koordinate v. Nun ist (x + y ) = x 4 + x y + y 4 = (x y ) + 4x y = (x y ) + (xy) und der Faktor xy kommt noch ein weiteres mal im Integranden vor. Diese Überlegung führt dazu es mit der folgenden Koordinatentransformation zu versuchen: u = x y, v = xy. Dies ist tatsächlich eine Koordinatentransformation R R, und um dies zu sehen müssen wir wie im vorigen Beispiel schauen das wir x und y durch u und v ausdrücken können. Es ist y = v/(x) und also u = x y = x v 4x = x4 ux v 4 =, x = u u ± 4 + v 4 = u ± u + v und wegen u + v u = u ist damit u + u x = + v, y = v (u +. u + v ) Damit liegt tatsächlich eine Koordinatentransformation vor, und die Funktionaldeterminante berechnet sich zu (u, v) (x, y) = x y y x = 4(x + y ). 15-7

Der Integrand wird damit zu xy(x + y ) cos(x y ) = 1 v) v cos(u) (u, 8 (x, y). Erinnern wir uns an die Formulierung der Transformationsformel als so erhalten wir d(u, v) = (u, v) d(x, y), (x, y) Q xy(x + y ) cos(x y ) d(x, y) = 1 8 B v cos u d(u, v) wobei B := ϕ(q) ist. An dieser Stelle konnte man gut sehen warum die Schreibweise (u, v)/ (x, y) hilfreich ist, da man so nur die formale Rechnung xy(x + y ) cos(x y ) d(x, y) = 1 v) v cos(u) (u, 8 (x, y) d(x, y) = 1 v cos(u) d(u, v) 8 durchführen muss. Wie bei der Substitutionsregel ist dies aber eine reine Merkhilfe, und keine wirliche Rechnung. Der Integrand ist jetzt vergleichsweise einfach geworden, es bleibt aber das Problem die Bildmenge B = ϕ(q) zu berechnen. Hier gehen wir etwas indirekt vor, und schauen uns anstelle dessen erst einmal an, wie die Koordinatentransformation ϕ den Rand von M abbildet. Das Quadrat Q B = ϕ(q) Der Rand des Quadrats Q setzt sich aus vier Teilstrecken zusammen, deren Bilder wir jeweils einzeln berechnen. ϕ(x, ) = (x, ), ϕ(1, y) = (1 y, y), ϕ(x, 1) = (x 1, x), ϕ(, y) = ( y, ). 15-8

Die Punkt ϕ(x, ) und ϕ( y, ) durchlaufen zusammen das Intervall [ 1, 1] auf der u-achse. Die Bildpunkte ϕ(1, y) sind durch die Gleichung u = 1 v /4 gegeben und die Bildpunkt ϕ(x, 1) durch die Gleichung u = v /4 1. Das Bild B = ϕ(x) wird also von den Kurven v =, u = 1 v /4 und u = v /4 1 begrenzt. Insbesondere hat B die im obigen Bild gezeigte Form, und wir können das Integral über B berechnen B v cos u d(u, v) = Insgesamt ist damit = 1 v 4 v 4 1 v cos u du dv = v sin Q xy(x + y ) cos(x y ) d(x, y) = 1 8 [ ) ( )] v sin (1 v v sin 4 4 1 dv ) ) (1 v dv = 4 cos (1 v = 4(1 cos(1)). 4 4 B v cos u d(u, v) = 1 (1 cos(1)). Die Bestimmung des Bildes ϕ(q) über die Betrachtung der berandenden Kurven dient hier nur der Bequemlichkeit, wir könnten diese auch leicht rechnerisch durchführen. Daher wollen wir auf eine genaue Begründung dieses Verfahrens an dieser Stelle auch verzichten. Das soll an Beispielen erst einmal genügen, und wir wollen jetzt zur exakten Formulierung und zum Beweis der Transformationsformel kommen. Dieses Vorhaben erfordert noch einige kleine Vorarbeiten, mit denen wir nun beginnen wollen. Wir starten mit einer kleinen Hilfaussage über kompakte Mengen im R n. Lemma 5.1 (Aufdicken kompakter Mengen) Seien n N mit n 1, eine Norm auf dem R n, U R n eine offene Menge und C R n eine kompakte Menge mit C U. Dann existiert ein ɛ > mit B ɛ (C) := {x R n (y C) : x y ɛ} = x C B ɛ (x) U. Weiter sind B ɛ (C) kompakt und B ɛ (C) := x C B ɛ (x) offen mit C B ɛ (C) B ɛ (C). Beweis: Im Fall C = sind alle Aussagen klar, wir können also C annehmen. Da U offen ist, gibt es für jedes x C ein r x > mit B rx (x) U. Da C kompakt ist, gibt es nach II. 8.Satz endlich viele Punkte x 1,..., x m C mit C m B r xk /(x k ) und wir setzen ɛ := 1 min r x k >. 1 k m 15-9

Sei x B ɛ (C). Dann existiert ein y C mit y x ɛ und weiter gibt es ein 1 k m mit y x k < r xk /. Damit ist auch x x k x y + y x k < ɛ r x k r x k, also x B rxk (x k ) U. Dies beweist B ɛ (C) U. Als nächstes beweisen wir das die Menge B ɛ (C) kompakt ist. Sei also (x k ) k N eine Folge in B ɛ (C). Für jedes k N gibt es ein y k C mit y k x k ɛ, also ist u k := x k y k B ɛ () mit x k = y k + u k. Da die Menge C kompakt ist, gibt es eine Teilfolge (y kl ) l N und ein y C mit (y nkl ) l N y. Da nach dem Satz von Heine Borel II. 8.Satz 4 auch die Kugel B ɛ () kompakt ist, gibt es eine weitere Teilfolge (u klp ) p N und ein u B ɛ () mit (u klp ) p N u. Damit ist x := y + u B ɛ (y) B ɛ (C) und es gilt lim p x k lp = lim p (y klp + u klp ) = lim l y kl + lim p u klp = y + u = x. Dies beweist das die Menge B ɛ (C) kompakt ist. Weiter ist die Vereinigungsmenge B ɛ (C) = x C B ɛ(x) nach II. 4.Lemma 17.(h) offen. Die Inklusionen C B ɛ (C) B ɛ (C) sind klar. Als nächsten Schritt führen wir den Begriff des Durchmessers einer beschränkten Teilmenge eines normierten Raums ein. Definition 5.1: Seien E ein normierter Raum und M E eine beschränkte Teilmenge. Ist M, so definieren wir den Durchmesser von M als das Supremum und ist M =, so setzen wir d(m) :=. d(m) := sup{ x y : x, y M}, Beachte das der Durchmesser immer endlich ist, denn da M beschränkt ist gibt es nämlich eine Konstante C mit x C für alle x M und somit ist auch x y x + y C für alle x, y M, d.h. d(m) C <. Wenn man will kann man den Durchmesser einer unbeschränkten Menge als definieren, aber diese Erweiterung benötigen wir hier nicht. Für Kugeln stimmt der Durchmesser mit dem gewöhnlichen Durchmesser überein, d.h. sind E ein normierter Raum, z E und r >, so ist d(b r (z)) = d(b r (z)) = r. Dies ist leicht zu sehen. Zunächst gilt für alle x, y B r (z) stets x y x z + z y r, also ist d(b r (z)) d(b r (z)) r. Wegen E gibt es weiter einen Vektor u E mit u = 1 und für jedes t < r ist dann (z ±tu) z = t < r, also sind z +tu B r (z) und z tu B r (z), es gilt also d(b r (z)) z + tu (z tu) = t. Es folgt d(b r (z)) d(b r (z)) r, und insgesamt haben wir unsere Behauptung eingesehen. Ist umgekehrt M E eine beschränkte Menge mit d(m) r und ist x M, so gilt für jedes y M stets y x d(m) r, also y B r (x), und wir haben M B r (x) eingesehen. Eine weitere einfache Beobachtung ist nützlich. Angenommen wir haben 15-1

eine Teilmenge U E und eine auf U definierte Funktion f : U F in einen weiteren normierten Raum F. Es gebe eine Konstante C mit f(y) f(x) C y x für alle x, y U. Sei M U eine nicht leere, beschränkte Teilmenge. Für alle x, y M ist dann f(y) f(x) C y x Cd(M), d.h. zum einen ist das Bild f(m) F beschränkt und zum anderen gilt d(f(m)) Cd(M). Wir kommen nun zum normierten Raum E = R n und verwenden auf dem R n wieder die Maximumsnorm. Sei Q R n ein nicht ausgearteter Quader und schreibe Q = [a, b] mit a, b R n. Sind x, y Q, so gilt für alle 1 k n stets a k x k, y k b k, also y k x k b k a k und somit haben wir y x max 1 k n (b k a k ) = b a. Dies zeigt d(q) b a und da a, b Q sind, ist auch d(q) b a, d.h. der Durchmesser des Quaders Q ergibt sich als d(q) = b a = max 1 k n (b k a k ). Insbesondere läßt sich damit das Volumen des Quaders Q mittels seines Durchmessers abschätzen, wir haben n vol(q) = (b k a k ) d(q) n. Besonders gut verhalten sich hierbei die Würfel, ist W R n ein Würfel der Kantenlänge a >, so ist d(w ) = a und vol(w ) = a n = d(w ) n. Weiterhin brauchen wir eine kleine Verallgemeinerung des Vereinigungslemmas 4.Lemma 13.(c). Sind M 1,..., M r R n Jordan-meßbare Mengen, so ist auch die Vereinigung r M k Jordan-meßbar und es gilt ( r ) vol M k vol(w k ). Dies können wir leicht durch Induktion nach r einsehen. Für r = 1 ist die Behauptung klar. Nehmen wir die Behauptung dann für ein r 1 an und haben r + 1 viele Jordan-meßbare Mengen M 1,..., M r+1 R n, so ist direkt nach der Induktionsannahme auch die Menge M := r M k Jordan-meßbar mit vol(m) r vol(m k). Nach 4.Lemma 13.(b) ist damit auch r+1 M k = M M r+1 Jordan-meßbar mit ( r+1 ) vol M k = vol(m M r+1 ) = vol(m) + vol(m r+1 ) vol(m M r+1 ) 15-11 r+1 vol(m) + vol(m r+1 ) vol(m k ).

Per vollständiger Induktion ist damit auch diese Vorbemerkung bewiesen. Damit kommen wir zum nächsten vorbereitenden Lemma für die Transformationsformel, dieses untersucht das Verhalten Jordanscher Nullmengen und Jordan-meßbarer Mengen unter stetig differenzierbaren Abbildungen. Lemma 5. (Differenzierbare Transformationen Jordan-meßbarer Mengen) Seien n N mit n 1, U R n eine offene Menge und ϕ : U R n eine stetig differenzierbare Funktionen. (a) Sind A U eine dyadische Würfelfigur und M > mit ϕ (x) M für alle x A, so existieren Würfel W 1,..., W r R n mit r ϕ(a) W k und vol(w k ) M n vol(a). (b) Sind A R n kompakt und Jordan-meßbar mit A U und M, ɛ > mit ϕ (x) M für alle x A, so existieren Würfel W 1,..., W r R n mit r ϕ(a) W k und vol(w k ) M n vol(a) + ɛ. (c) Ist N R n eine Jordansche Nullmenge mit N U, so ist auch das Bild ϕ(n) R n eine Jordansche Nullmenge. (d) Sei A U kompakt und Jordan-meßbar und für jedes x A sei die Ableitung ϕ (x) invertierbar. Dann ist auch das Bild B := ϕ(a) kompakt und Jordan-meßbar mit B ϕ( A) und ( ) n vol(b) sup ϕ (x) vol(a). x A Beweis: Wir verwenden auf dem R n die Maximumsnorm. (a) Es gibt ein m N und paarweise verschiedene dyadische Würfel W 1,..., W r R n der Stufe m mit A = r W k. Insbesondere ist W i W j für alle 1 i < j r eine Jordansche Nullmenge und nach 4.Lemma 13.(c) gilt vol(a) = r vol(w k). Sei 1 k r gegeben und bezeichne z k W k den Mittelpunkt des Würfels W k. Für jedes x W k gilt dann x z k d(w k )/. Ist also x W k, so liefert die Konvexität des Würfels W k auch [z k, x] W k A und mit der Mittelwertungleichung II. 8.Lemma 1 folgt ϕ(x) ϕ(z k ) M x z k Md(W k). Setzen wir also z k := ϕ(z k) R n und definieren den Würfel W k := B Md(W k )/(z k ) Rn mit Durchmesser d(w k ) = Md(W k), so gilt ϕ(w k ) W k. Es folgen ( r ) r r ϕ(a) = ϕ W k = ϕ(w k ) 15-1 W k

und vol(w k) = d(w k) n = M n d(w k ) n = M n vol(w k ) = M n vol(a). (b) Nach Lemma 1 gibt es ein α > so, dass C := B α (A) U kompakt ist. Weiter wählen wir ein ɛ 1 > mit (M + ɛ 1 ) n vol(a) < M n vol(a) + ɛ. Dann gibt es nach 4.Lemma 3 ein δ > so, dass für alle x, y C mit x y < δ stets ϕ (x) ϕ (y) < ɛ 1 ist. Schließlich gibt es auch ein ɛ > mit (M + ɛ 1 ) n (vol(a) + ɛ ) < M n vol(a)+ɛ. Nach 4.Lemma 3.(b) gibt es eine dyadische Würfelfigur W + mit A W + und vol(w + ) < vol(a) + ɛ. Durch weiteres Unterteilen können wir dabei annehmen das W + von einer Stufe m N mit m < min{α, δ} ist, und durch Fortlassen überflüssiger Würfel können wir sogar annehmen, dass W + die Form W + = r W k hat, wobei W k für jedes 1 k r ein dyadischer Würfel der Stufe m mit W k A ist. Sei x W +. Dann existiert ein 1 k r mit x W k. Wegen W k A existiert weiter ein y W k A, also ist auch x y d(w k ) = m < min{α, δ}. Damit gilt zum einen x B α (y) B α (A) = C U und zum anderen ist wegen y x < δ auch ϕ (x) ϕ (y) < ɛ 1 und somit ϕ (x) ϕ (x) ϕ (y) + ϕ (y) < M + ɛ 1. Dies zeigt W + U und ϕ (x) M + ɛ 1 für alle x W +. Nach (a) existieren Würfel W 1,..., W m R n mit und ϕ(a) ϕ(w + ) m vol(w k) (M + ɛ 1 ) n vol(w + ) (M + ɛ 1 ) n (vol(a) + ɛ ) < M n vol(a) + ɛ. (c) Da N beschränkt ist, ist auch C := N R n abgeschlossen und beschränkt, also nach dem Satz von Heine-Borel II. 8.Satz 4 kompakt. Weiter ist auch N eine Jordansche Nullmenge, denn für jedes ɛ > gibt es Quader Q 1,..., Q r R n mit N r Q k und r vol(q k) < ɛ und da r Q k nach II. 4.Lemma 16.(f) abgeschlossen ist, ist nach II. 4.Lemma 16.(b) auch N r Q k. Nach 4.Lemma 1 ist N Jordan-meßbar mit vol(n) = und nach II. 8.Lemma 1.(d) ist die stetige Funktion ϕ auf der kompakten Menge N beschränkt, es gibt also ein M > mit ϕ (x) M für alle x N. Nach (b) gibt es damit für jedes ɛ > endlich viele Würfel W 1,..., W r R n mit m W k r ϕ(n) ϕ(n) W k und vol(w k ) M n vol(n) + ɛ = ɛ. 15-13

Damit ist ϕ(n) eine Jordansche Nullmenge. (d) Zunächst ist nach II. 8.Lemma 1.(e) auch die Menge B R n kompakt, und nach II. 8.Lemma 1.(a) sind die Mengen A und B insbesondere abgeschlossen und beschränkt. Nach II. 4.Lemma 18.(b) gelten somit A = A\A und B = B\B. Nach II. 4.Lemma 17.(b) ist A R n offen und nach 1.Korollar 7.(a) ist damit auch das Bild ϕ(a ) offen im R n. Nach II. 4.Lemma 17.(c) ist damit ϕ(a ) B und dies bedeutet B = B\B ϕ(a)\ϕ(a ) ϕ(a\a ) = ϕ( A). Nach 4.Satz 14 ist A eine Jordansche Nullmenge, also ist nach (c) auch ϕ( A) eine Jordansche Nullmenge und nach 4.Lemma 6.(a) ist schließlich auch B eine Jordansche Nullmenge. Erneut nach 4.Satz 14 ist B Jordan-meßbar. Wir kommen zum Beweis der Ungleichung und setzen M := sup x A ϕ (x) und da A kompakt ist, ist nach II. 8.Lemma 1.(d) auch M <. Ist ɛ >, so gibt es nach (b) endlich viele Würfel W 1,..., W r R n mit B = ϕ(a) r W k und r vol(w k) M n vol(a) + ɛ, also haben wir nach 4.Lemma 13.(a) auch ( r ) vol(b) vol W k vol(w k ) M n vol(a) + ɛ. Da dies für jedes ɛ > gilt, ist somit vol(b) M n vol(a) wie behauptet. 15-14