Polarisationsgradientenkühlung

Technische Universität Darmstadt - Fachbereich Physik Seminar zur Experimentalphysik, WS 2003/04 Kalte Atome - Von der Theorie zu Anwendungen Polarisationsgradientenkühlung und Sisyphus-Kühlung Kedar S. Ranade Betreuer: Prof. Th. Walther Seminarvortrag: 19. November 2003 1 Einleitung: Idee der Laser-Kühlung Die Temperatur von Atomen wird im wesentlichen durch ihre Geschwindigkeit v bestimmt. Für den Mittelwert der kinetischen Energie E kin gilt dann E kin = f 2 k BT = 1 2 m v2. (1) Dabei ist k B die Boltzmann-Konstante, m die Masse der Atome und f die Anzahl der Freiheitsgrade. Für punktförmige Atome, die sich in drei Dimensionen bewegen, ist f = 3; in diesem Text wird später ein eindimensionales Modell mit f = 1 betrachtet. Kühlen von Atomen bedeutet also, daß man die Bewegung der Atome bremst, indem man eine der Bewegungsrichtung entgegengesetzt wirkende Kraft ausübt. Diese Kraft soll mit Hilfe eines Lasers hervorgerufen werden. Homepage: http://prp0.prp.physik.tu-darmstadt.de/~ranade/ 1

2 Doppler-Effekt und Doppler-Kühlung Setzt man ein Atom einer gerichteten Photonenquelle aus, so kann das Atom die Photonen absorbieren und spontan emittieren. Die absorbierten Photonen tragen den Impuls h k 0, die emittierten Photonen den Impuls h k 1. Dabei ist k 0 durch die Ausrichtung der Photonenquelle gegeben, während k 1 auf der durch k 1 = k 0 definierten Kugelschale gleichverteilt ist, d.h. im Mittel wird bei einem Stoß (Streuvorgang, Absorptions-Emissions-Prozeß) der Impuls h k 0 auf das Atom übertragen. 2.1 Doppler-Verschiebung von Licht Ein Beobachter, der sich relativ zu einer Lichtquelle bewegt, sieht eine andere Frequenz als ein ruhender Beobachter. Dieser Effekt wird als Doppler-Effekt bezeichnet. Bewegt sich der Beobachter mit einer Geschwindigkeit v c auf eine Quelle (z.b. einen Laser) zu, die Licht mit der Frequenz ω L emittiert, so nimmt der Beobachter die Frequenz ω wahr, die durch die folgende Gleichung gegeben ist: 1 ( ω = ω L 1 + v ) = ω L + kv (2) c 2.2 Doppler-Kühlung Beim Modell der Doppler-Kühlung betrachtet man ein Zwei-Niveau-Atom, das sich in einer Dimension auf eine Laserquelle der Frequenz ω L zubewegt. Die Kraft, also der auf das Atom übertragene Impuls pro Zeiteinheit, ist bestimmt durch die Frequenz und die Streurate der Photonen. Die Photonen- Frequenz ergibt sich aus der Geschwindigkeit v des Atoms und der Wellenzahl k = ω L /c, die Streurate R Streu ist durch eine Lorentz-Kurve gegeben (die Resonanzfrequenz des Atoms sei ω 0 ). Damit gilt für die Kraft der Laserquelle: F Streu ( v) = p P hoton R Streu (3) = h k 1 ( ) 2I/I S (4) 2τ R 1 + 2I/I S + 4 (ω L ω 0 + kv) 2 τr) 2 h k 1, falls I I S. (5) 2τ R Hierbei ist I die Intensität des Lasers, I S die Sättigungsintensität und τ R die Relaxationszeit des angeregten Zustands. 1 vgl. z.b. Dransfeld/Kienle: Physik II, 6. Auflage, S.264ff. 19.11.2003 TU Darmstadt Seite 2/12

Man betrachtet nun ein Atom, welches sich zwischen zwei Laserquellen gleicher Intensität und gleicher Frequenz (im Laborsystem!) befindet, die in entgegengesetzte Richtungen Photonen emittieren. Ist das Atom in Ruhe, so addieren sich die Kräfte beider Laser im Mittel zu Null. Bewegt es sich jedoch auf einen der Laser zu, so sieht das Atom die Doppler-verschobenen Frequenzen, so daß das entgegenkommende Licht eine höhere Frequenz hat als das nachlaufende. Durch eine geeignete Frequenzverschiebung δ := ω L ω 0 kann die wirkende Doppler-Kraft maximiert werden; idealerweise ist dabei δ = kv; im folgenden soll δ < 0 stillschweigend vorausgesetzt werden. Die Kraft auf ein Atom ergibt sich also für nicht zu große Geschwindigkeiten v zu: F ges ( v) = F Streu ( v) + F Streu ( v) = α v + O( v 2 ) (6) mit α := 2 d F Streu /dv, was einer viskosen (Coulomb-) Reibung entspricht. Man spricht deshalb auch von optischer Melasse. Hierbei muß beachtet werden, daß es sich bei der Kühlung noch nicht um eine optische Falle handelt, da kein Potential vorliegt, welches die Atome zu einem Minimum zwingt. 2.3 Die Doppler-Grenze Der Effekt der Doppler-Kühlung wird begrenzt durch die Tatsache, daß ein Atom mit spontan emittierten Photonen stoßen kann. Liegt die Intensität des Laserlichts im Sättigungsbereich, so erwartet man eine Streurate von R Streu = 1/2τ R, und die Impulsaufnahme des Atoms kann durch einen random walk modelliert werden, was zu einem mittleren Impulsquadrat von p 2 (t) = h2 k 2 2τ R t =: 2Dt (7) führt, wobei D die Diffusionskonstante ist. Diese Diffusion bewirkt also eine Aufheizung und begrenzt den Effekt der Doppler-Kühlung. Analog zur Brownschen Bewegung ergibt sich daraus die kleinste mögliche Temperatur, die für die Doppler-Kühlung erreichbar ist, zu k B T = D/α. Eine genauere Rechnung unter Berücksichtigung der Schwankungen der Photonen- Absorption ergibt für ein Atom, welches sich in drei Dimensionen bewegt, die Gleichung k B T D = h = hγ R 2τ R 2. (8) Dabei ist Γ R = 1/τ R die spektrale Breite und T D die Doppler-Grenze, d.h. die tiefste Temperatur, die durch Doppler-Kühlung erreichbar ist. 19.11.2003 TU Darmstadt Seite 3/12

3 Polarisationsgradientenkühlung In Abweichung zum Modell der Doppler-Kühlung ergaben jedoch Experimente, daß die erreichbaren Temperaturen weit unter der vorhergesagten Grenze lagen. 2 Es mußten daher neue Modelle für den Prozeß der Kühlung entwickelt werden. Bei den hier vorgestellten Modellen macht man folgende vereinfachende Annahmen: Man betrachtet ein Atom mit den Feinstrukturniveaus 3 J g (Grundzustand) und J e = J g + 1 (angeregter Zustand) sowie den zugehörigen Zeeman-Niveaus m j (Zwei-Niveau-Atom). Der Laser habe eine geringe Intensität, d.h. für die optische Pumpzeit gilt τ P 2τ R. Dies bedeutet insbesondere, daß fast nur der Grundzustand bevölkert ist und man die Besetzung des angeregten Zustands vernachlässigen kann. Die Bewegung des Atoms erfolge in einer Dimension. Es wird ein semi-klassisches Modell betrachtet, d.h. es wird die Kraft betrachtet, die auf ein punktförmiges Atom wirkt. Diese Modelle gehen im wesentlichen auf Dalibard und Cohen-Tannoudji zurück, vgl. [DalCoh89]. Die zentrale Feststellung ist, daß der optische Pumpvorgang eine endliche Zeit τ P benötigt. 3.1 Stark-Effekt und Light shifts Die Wechselwirkung eines Atoms mit den durch den Laser erzeugten elekromagnetischen Feldern bewirkt gemäß dem Stark-Effekt 4 eine Aufspaltung der Unterniveaus der Zustände. Dies bezeichnet man im Englischen als Light shift. Die Verschiebung h der Unterniveaus des Grundzustandes ist proportional zur Laserintensität und stark von der Polarisation des Lichts abhängig. Die Niveau-Aufspaltung ist für zirkulare Polarisation maximal. Für den hier betrachteten Fall δ < 0 bewirkt der Stark-Effekt stets eine Vergrößerung des Niveau-Abstandes, d.h. < 0. 2 Für die Messung der Temperaturen vgl. Wiliam D. Philips: Laser cooling and trapping of neutral atoms, Rev. Mod. Phys. 70 (Nr. 3, Juli 1998), S. 721 741 3 g: Grundzustand (engl. ground state), e: angeregter Zustand (engl. excited state) 4 Wechselstrom-Stark-Effekt, engl. a.c. (alternating current) Stark effect 19.11.2003 TU Darmstadt Seite 4/12

3.2 Das lin lin-modell Im lin lin-modell wird ein Atom mit dem Grundzustand J g = 1/2 und einem angeregten Zustand J e = 3/2 angenommen. Man betrachtet zwei in entgegengesetzte Richtungen laufende ebene Wellen gleicher Amplitude und zueinander orthogonaler linearer Polarisation; o.b.d.a. laufen die Wellen entlang der e z -Richtung und seien in e x - bzw. e y -Richtung polarisiert: 5 E 1 (z, t) = E 0 e x exp [i (+kz ωt)] + c.c. (9) E 2 (z, t) = E 0 e y exp [i ( kz ωt)] + c.c. (10) Mit den Definitionen e 1 := ( e x + e y )/ 2 und e 2 := ( e x e y )/ 2 folgt damit für E(z, t) := E 1 (z, t) + E 2 (z, t): E(z, t) = E 0 [ ex e +ikz + e y e ikz] e iωt + c.c. (11) = 2 2E 0 [ e1 cos(kz) cos(ωt) + e 2 sin(kz) sin(ωt) ] (12) Man erkennt, daß die Polarisation des Lichtes sich innerhalb einer Wellenlänge wie folgt verändert: z = 0 linear in Richtung + e 1 polarisiert z = λ/8 zirkular σ polarisiert z = λ/4 linear in Richtung + e 2 polarisiert z = 3λ/8 zirkular σ + polarisiert z = λ/2 linear in Richtung e 1 polarisiert usw.. Entsprechend dem vorangehenden Abschnitt entstehen durch die räumliche Veränderung der Polarisation, dem Polarisationsgradienten, ortsabhängige Verschiebungen der Energie-Unterniveaus von Grund- und angeregtem Zustand. Betrachtet man nun ein Atom in Ruhe, welches sich in dem Lichtfeld befindet, so stellt man fest, daß durch optisches Pumpen der Zustand mit der niedrigeren Energie stärker bevölkert wird. Aus dem Niveau-Schema (Abb. 1) erkennt man z.b., daß bei σ + -Polarisation nur die Übergänge g 1/2 e +1/2 und g +1/2 e +3/2 möglich sind. Der e +3/2 -Zustand zerfällt zwingend in den g +1/2 -Zustand und der e +1/2 -Zustand der Wahrscheinlichkeit P = 2/3. Für σ -Polarisation gilt dies sinngemäß. Dies führt zu einer Niveau-Besetzung, wie in der Abb. 2 dargestellt ist. Betrachtet man nun ein Atom mit nicht zu hoher Geschwindigkeit v, welches aus dem unteren (energieärmeren) Niveau startet. Um das Potentialminimum zu verlassen, muß kinetische in potentielle Energie umgewandelt 5 c.c. bezeichnet jeweils den konjugiert komplexen Ausdruck. 19.11.2003 TU Darmstadt Seite 5/12

Abbildung 1: Übergangsamplituden für J g = 1/2 J e = 3/2 werden. Idealerweise ist dabei v so, daß das Atom innerhalb der Zeit τ P die Strecke λ/4 zurücklegt, also am höchsten Punkt des Potentials ankommt, wo es dann wiederum durch optisches Pumpen in das energieärmere Niveau übergeht. Man stellt also fest, daß dem Atom kinetische Energie durch die beim optischen Pumpen emittierte Strahlung verloren geht. Der geschilderte Prozeß wiederholt sich mehrfach, und daher wird der Effekt nach der Figur aus der griechischen Mythologie auch Sisyphus-Effekt genannt. 3.3 Abschätzung der wirkenden Kraft Wie bei der Doppler-Kühlung kann man für die Sisyphus-Kühlung in erster Ordnung die Kraft auf das Atom bestimmen. Hier soll nun mittels qualitativer Überlegungen die Kraft angegeben werden. Aus dem vorherigen Abschnitt entnimmt man, daß die Kraft maximal ist, falls vτ P = λ/4 ist. Für diese Geschwindigkeit v verliert das Atom im Zeitraum τ P also eine Energie in der Größenordnung von h, d.h. dw dt = h Γ P mit Γ P = 1/τ P. (13) Die lineare Näherung F = αv liefert mit dw/dt = F v und kv Γ P die Abschätzung α = hk 2 /Γ P. Da für kleine Laserintensitäten sowohl als auch Γ P proportional zur Intensität sind, erkennt man, daß α unabhängig von dieser Intensität ist. Da die Laserintensität klein ist (Ω Γ R ), gelten unter der zusätzlichen Annahme δ Γ R die Abschätzungen 6 Γ P Ω 2 Γ R /δ 2 und Ω 2 /δ. 6 Ω ist die monoton mit der Intensität des Lasers wachsende Rabi-Frequenz. 19.11.2003 TU Darmstadt Seite 6/12

Abbildung 2: Energieniveau-Verschiebungen des Grundzustandes und Niveau-Besetzung für ruhende Atome Die formale Herleitung nach [DalCoh89] ergibt noch einen zusätzlichen Zahlenfaktor, so daß gilt: α = 3 hk 2 δ (14) Γ R Die lineare Näherung gilt jedoch nur im Fall kv Γ P ; aus der formalen Herleitung folgt für die gesamte wirkende Kraft im Fall kv Γ R : F (v) = αv 1 + (v/v c ) 2. (15) Dabei ist v c = 1/2τ P k die kritische Geschwindigkeit 7, für die die Kraft maximiert wird. Sie stimmt mit dem anschaulichen Wert vom Beginn diesen Abschnitts überein. 8 Die Gültigkeit der linearen Näherung (14) erfordert, daß kv Γ P ist. Da Γ P bei kleinen Laserintensitäten proportional zu dieser ist, wächst also der Wirkungsbereich der Sisyphus-Kühlung mit der Intensität. Die Abb. 3 zeigt die Verhältnisse von Doppler-Kraft und der Kraft im lin lin-modell. 7 c: engl. critical 8 Die Formel für v c wurde der Referenz [DalCoh89] entnommen; dieser Wert weicht jedoch um den Faktor π vom zuvor angegebenen anschaulichen Wert für den Maximalwert der Kraft ab; ähnliches gilt für die dort getroffene Feststellung kv Γ P. 19.11.2003 TU Darmstadt Seite 7/12

Abbildung 3: Doppler-Kraft und Kraft der Sisyphus-Kühlung als Funktion der Geschwindigkeit (Parameter: Ω = 0, 3Γ, δ = Γ) 3.4 Das σ + σ -Modell Ein anderes Modell, das σ + σ -Modell, geht von einem Atom mit den Niveaus J g = 1 und J e = 2 aus. Die Wellen des Lasers seien zueinander entgegengesetzt zirkular polarisiert und haben die gleiche Amplitude: E 1 (z, t) = E 0 e + exp [i (+kz ωt)] + c.c. (16) E 2 (z, t) = E 0 e exp [i ( kz ωt)] + c.c. (17) Dabei sind e + = ( e x + i e y )/ 2 und e = +( e x i e y )/ 2. Für die Summe E(z, t) := E 1 (z, t) + E 2 (z, t) folgt damit: E(z, t) = E 0 [ e+ e +ikz + e e ikz] e iωt + c.c. (18) = 2 2E 0 [ ex sin(kz) + e y cos(kz) ] sin(ωt) (19) Das bedeutet, daß das Licht an jedem Ort z linear polarisiert ist, die Polarisationsrichtung sich aber mit dem Ort dreht. Das bedeutet insbesondere, daß keine Niveau-Aufspaltung auftritt und somit auch kein Sisyphus-Effekt möglich ist. Auch in diesem Fall bedingt die endliche Pumpzeit die auftretende Kraft. Ruhende Atome bevölkern die Niveaus g +1 und g 1 gleichermaßen. Bewegte Atome benötigen eine endliche Zeit, um sich der räumlich verändernden 19.11.2003 TU Darmstadt Seite 8/12

Polarisationsrichtung anzupassen, was zu einer ungleichmäßigen Verteilung auf die Niveaus g +1 und g 1 führt. Man kann zeigen, daß die Abweichungen der Streuwahrscheinlichkeit der Niveaus zu einer Kraft auf diese Atome führen. Im Gegensatz zum lin lin- Modell (vgl. Abb. 3) ist der Kraftverlauf in der unmittelbaren Umgebung von v = 0 jedoch monoton. 3.5 Abschätzung einer Minimaltemperatur Die vorgestellten Modelle zur Polarisationsgradientenkühlung erklären das Erreichen von Temperaturen unterhalb der Doppler-Grenze T D. Analog zum Doppler-Modell muß nun eine Minimaltemperatur bestimmt werden. Die Abschätzung der durch Polarisationsgradientenkühlung minimal erreichbaren Temperatur erfolgt analog zur Bestimmung der Doppler-Grenze mittels k B T min = D α. (20) Die Konstante α ist durch Gleichung (14) gegeben, und für die Bestimmung der Diffusionskonstante D müssen folgende Beiträge berücksichtigt werden: Schwankungen des Photonen-Impulses Schwankungen in der Photonen-Absorption Schwankungen der Dipolkraft, die von der Besetzung der Energieniveaus abhängig ist. Im Rahmen dieses Seminars ist eine genaue Herleitung nicht möglich, jedoch ergibt die Rechnung (siehe [DalCoh89]) für eine Verschiebung δ Γ den Wert k B T min = h δ 4 s 0 = hω2 8 δ. (21) Dabei bezeichnet s 0 den Sättigungsparameter 9 und Ω die Rabi-Frequenz. Man erkennt daraus folgende Zusammenhänge: Für feste Laserintensität, d.h. feste Rabi-Frequenz Ω, sinkt die Temperatur mit steigender Verschiebung δ. Für eine feste Verschiebung δ sinkt die Temperatur mit sinkender Laserintensität. 9 s 0 = 2Ω 2 /(4δ 2 + Γ 2 R ) 19.11.2003 TU Darmstadt Seite 9/12

Der Schluß, daß beliebig kleine Temperaturen durch Reduktion der Laserintensität erreicht werden können, ist jedoch unzulässig. Aus der formalen Herleitung erkennt man, daß für die mittlere Geschwindigkeit gelten muß (die Masse des Atoms sei m): v 2 hk δ mγ R. (22) Diese Geschwindigkeit liegt im allgemeinen über der Rückstoß-Grenze, die im folgenden Abschnitt angesprochen wird. Eine Rechnung für das σ + σ -Modell liefert für die minimal erreichbare Geschwindigkeit die Formel v hk m, (23) was für große δ unter dem im lin lin-modell erreichbaren Wert liegt. 4 Zusammenfassung und Ausblick Im diesem Abschnitt sollen die zwei Modelle zur Polarisationsgradientenkühlung kurz mit der Doppler-Kühlung verglichen werden und die Möglichkeiten der Kühlung unter die Grenzen der Modelle erwähnt werden. 4.1 Vergleich der Modelle für Atomkühlung Die in diesem Text vorgestellten einfachen Modelle können Temperaturen unterhalb der Doppler-Grenze T D erklären. Bei der Polarisationsgradientenkühlung wird von einer niedrigen Intensität I Laser des Lasers ausgegangen. In diesem Fall weisen die Modelle von Doppler- und Polarisationsgradientenkühlung gewisse charakteristische Unterschiede auf, die in folgender Tabelle dargestellt sind: Modell Wirkende Kraft Wirkungsbereich Doppler-Kühlung I Laser unabh. von I Laser Polarisationsgradientenkühlung unabh. von I Laser I Laser Man muß hierbei jedoch beachten, daß die Diffusionskonstanten D in beiden Fällen proportional zur Intensität des Lasers sind. Das bedeutet für die Grenztemperatur, daß sie bei der Doppler-Kühlung unabhängig von der Intensität ist, bei der Polarisationsgradientenkühlung jedoch mit steigender Laserintensität wächst. Zusammenfassend läßt sich also sagen, daß ein Kühlvorgang zweistufig erfolgt: durch Doppler-Kühlung werden die Atome so weit abgekühlt, daß ihre 19.11.2003 TU Darmstadt Seite 10/12

Geschwindigkeit in den Wirkungsbereich der Polarisationsgradientenkühlung gelangt. Durch diese werden dann die tieferen, unter der Doppler-Grenze liegenden Temperaturen erreicht. 4.2 Prinzipielle Grenzen der Modelle In den Modellen der Laserkühlung wird im allgemeinen angenommen, daß die Atome auch nach der Kühlung ständig mit den Photonen des Lasers stoßen. Da diese Stöße zufällig erfolgen, hat dies zur Folge, daß die minimal erreichbare Temperatur über den Impuls eines einzelnen Photons gegeben ist. Ein einzelnes Photon trägt den Impuls p = h k, welches auch der minimal kontrollierbare Impuls des Atoms ist. Damit ergibt sich mit der Atommasse m die Einzelphoton-Rückstoßgrenze zu E R = 1 2 k BT R = h2 k 2 2m, (24) wobei T R die Rückstoß-Temperatur ist. Sie ist die prinzipielle Grenze der betrachteten Modelle. 4.3 Ausblick: Kühlen unter die Rückstoß-Grenze Es gibt jedoch auch Möglichkeiten, Atome unter die Rückstoßgrenze zu kühlen. Die Idee hierbei ist, die Absorbtions-/Emissionsrate der Atome so zu steuern, daß die Übergänge für kleine Temperaturen unterdrückt werden. Diese Möglichkeiten wurden sowohl theoretisch als auch experimentell untersucht, sind jedoch nicht Bestandteil dieses Vortrages. 19.11.2003 TU Darmstadt Seite 11/12

Abbildungsverzeichnis 1 Übergangsamplituden für J g = 1/2 J e = 3/2........ 6 2 Energieniveau-Verschiebungen und Niveau-Besetzung..... 7 3 Doppler-Kraft und Kraft der Sisyphus-Kühlung........ 8 Alle Graphiken wurden der Referenz [DalCoh89] entnommen. Literatur [Foot91] [Cohen98] Christopher J. Foot: Laser cooling and trapping of atoms Journal of Contemporary Physics 32 (Nr. 6, 1991), S. 369 381 Claude N. Cohen-Tannoudji: Manipulating atoms with photons Reviews of Modern Physics 70 (Nr. 3, Juli 1998), S. 707 719 [MetStr99] Harold J. Metcalf, Peter van der Straten: Laser cooling and trapping (Springer-Verlag 1999) Kap. 8: Cooling below the Doppler Limit, 99 122 [DalCoh89] Jean Dalibard, Claude N. Cohen-Tannoudji: Laser cooling below the Doppler limit by polarization gradients: simple theoretical models Journal of the Optical Society of America B 6 (Nr. 11, Nov. 1989), S. 2023 2045 19.11.2003 TU Darmstadt Seite 12/12