Zu Beginn der Vorlesung Signale und Systeme ausgegebene Übungsaufgaben V 1.2

Leibniz Universität Hannover Institut für Kommunikationstechnik Prof. Dr. J. Peissig Zu Beginn der Vorlesung Signale und Systeme ausgegebene Übungsaufgaben V 1.2 Universität Hannover, Institut für Kommunikationstechnik, Appelstraße 9A, 30167 Hannover, Tel.: 0511/762-2814 Fax: 0511/762-3030, E-Mail: sek@ikt.uni-hannover.de

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 2 Aufgabe 1 Gegeben ist eine Zeitfunktion f(t) = t, 0 t < t 0 und f(t+t 0 ) = f(t). 1.1 Skizzieren Sie f(t). 1.2 Berechnen und skizzieren Sie die reellen Fourierkoeffizienten der Funktion f(t). 1.3 Berechnen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten der Funktion f(t). Gegeben ist eine Zeitfunktion g(t), für die gilt 1.4 Skizzieren Sie g(t). g(t) = f(t) t 0 2. 1.5 Berechnen und skizzieren Sie nun die reellen Fourierkoeffizienten der Funktion g(t).

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 3 Aufgabe 2 2.1 Geben Sie die Darstellung einer periodischen reellen Funktion f(t) mit der Periodendauer t 0 = 2π ω 0 als reelle Fourierreihe in allgemeiner Form mit den Fourierkoeffizienten a k und b k an. Hinweis: a k = 2 c+t 0 f(t)cos(kω 0 t)dt, b k = 2 c+t 0 f(t)sin(kω 0 t)dt. t 0 t 0 c 2.2 Geben Sie die Darstellung einer periodischen reellen Funktion f(t) mit der Periodendauer t 0 = 2π ω 0 als komplexe Fourierreihe in allgemeiner Form an. Geben Sie zusätzlich die Vorschrift zur Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten c k an. 2.3 Leiten Sie allgemein die Formel zur Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten c k in Abhängigkeit von a k und b k für eine periodische reelle Funktion f(t) her. Welche Symmetrieeigenschaften weisen die c k auf? c Gegeben sei nun die folgende periodische Funktion f 1 (t): T f 1 (t) -3T -2T -T T 2T t -T 2.4 Geben Sie die Symmetrieeigenschaften von f 1 (t) in mathematischer Form an. Geben Sie an und begründen Sie, welche Fourierkoeffizienten als Konsequenz hieraus zu Null angenommen werden können. 2.5 Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten a k, b k und c k für f 1 (t). G 2 Hinweis zur partiellen Integration: pq dt = pq G 2 G 2 p qdt. G 1 G 1 G 1

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 4 Aufgabe 3 Beweisen Sie, dass für eine periodische Funktion f(t) = f(t+t 0 ) mit der Periodendauer t 0 folgende Beziehung mit c R gilt. c n = 1 c+t0 f(t)e jnω0t dt = 1 t0 f(t)e jnω0t dt t 0 t 0 c 0

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 5 Aufgabe 4 Gegeben ist eine periodische Zeitfunktion f(t) = f(t + t 0 ) mit der Periodendauer t 0 = 2π ω 0. 4.1 Wie lautet die komplexe Fourier-Reihen-Darstellung von f(t)? Im Folgenden sei f(t) = sin(ω 0 t)+4cos(2ω 0 t). 4.2 Geben Sie die komplexe Fourier-Reihen-Darstellung zu f(t) an. 4.3 Skizzieren Sie den Betrag der Fourierkoeffizienten. 4.4 Berechnen Sie die mittlere Leistung von f(t).

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 6 Aufgabe 5 Gegeben ist eine Zeitfunktion 5.1 Skizzieren Sie f 1 (t). f 1 (t) = { A, t < T 2 0, t > T 2. 5.2 Berechnen Sie die Fourier-Transformierte F 1 (jω) von f 1 (t). 5.3 Skizzieren Sie F 1 (jω) unter Angabe der charakteristischen Werte. Im Folgenden sei eine Zeitfunktion f 2 (t) gegeben, für die gilt f 2 (t) = { A 2, t < T 0, t > T. 5.4 Skizzieren Sie f 2 (t). 5.5 Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte F 2 (jω) von f 2 (t). 5.6 Skizzieren Sie F 2 (jω) unter Angabe der charakteristischen Werte. Nun sei eine weitere Zeitfunktion f 3 (t) gegeben, für die gilt { A f 3 (t) =, 0 < t < 2T 2 0, sonst. 5.7 Skizzieren Sie f 3 (t). 5.8 Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte F 3 (jω) von f 3 (t).

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 7 Aufgabe 6 Zu einer Originalfunktion f(t) existiert ihre Fouriertransformierte f(t) F(jω). Zeigen Sie die Gültigkeit der Beziehung f(t)e jω 0t F(jω jω 0 ).

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 8 Aufgabe 7 Zu einer Originalfunktion f(t) existiert ihre Fouriertransformierte f(t) F(jω). 7.1 Geben Sie die Fouriertransformierte V 1 (jω) in Abhängigkeit von F(jω) an, wenn gilt v 1 (t) = f(t) 2cos(ω 0 t). 7.2 Geben Sie v 2 (t) als Funktion von f(t) an, wenn gilt V 2 (jω) = F(j2ω). Nun sind die Funktion f(t) = ω 0 π si2 (ω 0 t) und ihre Fouriertransformierte F(jω) in Bild 1 gegeben: F(jω) 1 2ω 0 ω Bild 1 Durch Überlagerung verschobener Spektren der Form F(jω) wird U(jω) erzeugt (siehe Bild 2): 1 U(jω) 2ω 0 4ω 0 ω Bild 2 7.3 Geben Sie U(jω) als Funktion von F(jω) an.

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 9 7.4 Bestimmen Sie u(t). Nun soll das Spektrum U(jω) gestaucht werden (siehe Bild 3): 1 U 1 (j ω) 0,5 ω 0 ω Bild 3 7.5 Geben Sie U 1 (jω) als Funktion von U(jω) an. 7.6 Geben Sie u 1 (t) an. Gegeben ist G N (jω) = N k= N ( )) F j ((2N +1)ω 2kω 0. 7.7 Skizzieren Sie G N (jω) für N=2 unter Angabe der charakteristischen Punkte. 7.8 Geben Sie g N (t) für beliebiges N an.

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 10 Aufgabe 8 Gegeben ist eine Zeitfunktion h(t) = { 1 T e T, t t > 0 0, sonst. 8.1 Skizzieren Sie h(t) unter Angabe charakteristischer Werte. 8.2 Berechnen Sie die Fouriertransformierte H(jω). 8.3 Skizzieren Sie H(jω). Im Folgenden sei ein Rechteckimpuls der Breite 2T gegeben. Für den Rechteckimpuls x(t) gilt { A x(t) =, 0 < t < 2T 2 0, sonst. 8.4 Berechnen Sie y(t) = h(t) x(t). 8.5 Bestimmen Sie die Fouriertransformierte Y(jω) von y(t). Geben Sie zunächst Y(jω) in Abhängigkeit von X(jω) an.

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 11 Aufgabe 9 Gegeben ist eine Zeitfunktion 9.1 Skizzieren Sie f(t). { 1, 0 < t < T f(t) = 0, sonst. 9.2 Geben Sie die Fouriertransformierte F(jω) an. 9.3 Welche Symmetrieeigenschaften besitzt F(jω)? 9.4 Geben Sie einen Ausdruck für ϕ ff (τ) in Abhängigkeit von f(t) an und berechnen Sie ϕ ff (τ). Die Fourier-Transformation ordnet der Autokorrelationsfunktion ϕ ff (τ) von f(t) das Energiedichtespektrum Φ ff (jω) = F(jω) 2 zu, d.h. Hinweis: 1 2π ϕ ff (τ) = 1 2π (si 2 (bω)) e jωt dω = F(jω) 2 e jωτ dω. 9.5 Berechnen Sie ϕ ff (τ) aus dem Energiedichtespektrum Φ ff (jω) und skizzieren Sie ϕ ff (τ) mit Angabe der charakteristischen Punkte. 1 t (1 ) für t < 2b 2b 2b 0 sonst Es sei nun x(t) eine beliebige reelle Zeitfunktion mit der Fourier-Transformierten X(jω). Für y(t) soll gelten y(t) Y(jω) = X(jω) 2 = X(jω) X (jω). 9.6 Geben Sie y(t) in Abhängigkeit von x(t) an. Hinweis: Es gilt x( t) X( jω).

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 12 Nun sei eine Zeitfunktion x(t) nach Bild 1 gegeben: x(t) 1 0 T 2T 3T 4T t Bild 1 9.7 Bestimmen und skizzieren Sie die Autokorrelationsfunktion ϕ xx (τ). Im Folgenden sei eine Funktion g 1 (t) gegeben, die sich aus dem Grundimpuls f(t) wie folgt zusammensetzt: g 1 (t) = f(t+t) f(t) 9.8 Skizzieren Sie g 1 (t). Geben Sie die zugehörige Fouriertransformierte G 1 (jω) an. Gegeben ist nun die Funktion g 2 (t), die durch Fortsetzen der Funktion g 1 (t) mit der Periode t 0 = 3T entsteht. 9.9 Skizzieren Sie g 2 (t) im Bereich 4T t 4T. 9.10 Bestimmen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten der Funktion g 2 (t). Für welche Werte von n gilt c n = 0? 9.11 Bestimmen Sie die mittlere Leistung P g2 der Funktion g 2 (t). Im Folgenden sei die Fourierreihe g 2 (t) gegeben, für die gilt A g 2 (t) = c n e jω0nt. n= A 9.12 Geben Sie die mittlere Leistung der Fourierreihe g 2 (t) an.

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 13 Im Folgenden gilt A = 3. 9.13 Berechnen Sie das Verhältnis der mittleren Leistung von g 2 (t) zu der mittleren Leistung von g 2 (t) (Zahlenwerte!).

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 14 Aufgabe 10 Gegeben ist eine Zeitfunktion f 1 (t) = cos(ω 0 t). 10.1 Bestimmen und skizzieren Sie die Fouriertransformierte F 1 (jω) von f 1 (t). Gegeben ist eine Zeitfunktion f 2 (t) = jsin(ω 0 t). 10.2 Bestimmen und skizzieren Sie die Fouriertransformierte F 2 (jω) von f 2 (t). Im Folgenden ist eine Funktion f(t) gegeben, für die gilt f(t) = f 1 (t)+f 2 (t). 10.3 Bestimmen und skizzieren Sie die Fouriertransformierte F(jω) von f(t). Im Folgenden sei eine Funktion g(t) gegeben, für die gilt g(t) = f 1 (t) f 2 (t). 10.4 Berechnen Sie g(t) und bestimmen und skizzieren Sie die Fouriertransformierte G(jω) von g(t).

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 15 Aufgabe 11 Gegeben sind die Zeitfunktionen f 1 (t) = ε(t) cos(βt) und f 2 (t) = ε(t) e αt cos(βt) mit α, β I R, α < 0. Definition: ε(t) = { 1 für t > 0 0 für t < 0 11.1 Skizzieren Sie f 1 (t) und f 2 (t) mit Angabe der wesentlichen Punkte auf den Koordinaten. 11.2 Eine Zeitfunktion f(t) besitze die Laplace-Transformierte F(p). Beweisen Sie, dass gilt. f(t) e γt F(p γ), γ C 11.3 Berechnen Sie die Laplace-Transformierten F 1 (p) und F 2 (p) von f 1 (t) und f 2 (t). 11.4 Für welche der Zeitfunktionen f 1 (t) und f 2 (t) läßt sich die zugehörige Fourier- Transformierte F i (jω) angeben? Welche Bedingung muß dann erfüllt sein? (Begründung) 11.5 Welche Beziehung besteht zwischen F 2 (jω) und der Laplace-Transformierten F 2 (p)? 11.6 Berechnen Sie die Fourier-Transformierte F 2 (jω) von f 2 (t).

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 16 Aufgabe 12 Gegeben ist die Zeitfunktion f(t) = ε(t) e at mit a C. Definition: ε(t) = { 1 für t > 0 0 für t < 0 12.1 Berechnen Sie die Laplace-Transformierte F(p) von f(t). Nun sei folgende Schaltung nach Bild 1 gegeben: i(t) L = 1 C = 1 2 u(t) R = 3 Bild 1 Hinweis: Alle Größen sind als normiert, d.h. dimensionslos zu betrachten. Ferner sei U(p) = L{u(t)} und I(p) = L{i(t)}. Für t < 0 sei das Netzwerk in Bild 1 strom- und spannungslos. 12.2 Stellen Sie die Differentialgleichung dieser Schaltung in Abhängigkeit von i(t) und u(t) auf. 12.3 Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte Y(p) = I(p) U(p). 12.4 Skizzieren Sie das Pol-Nullstellendiagramm von Y(p). Die Schaltung werde mit u(t) = δ(t) erregt. 12.5 Bestimmen Sie die Zeitfunktion i(t). 12.6 Nun gelte u(t) = ε(t). Geben Sie hierfür die Zeitfunktion i(t) an. Im Folgenden gelte u(t) = δ(t) und R = 2. 12.7 Bestimmen Sie i(t). Skizzieren Sie zunächst das Pol-Nulstellen-Diagramm für Y(p).

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 17 Aufgabe 13 Gegeben ist eine Folge {u(k)}, für die gilt u(k) = { 1, k 0 0, sonst. 13.1 Berechnen Sie die z-transformierte U(z) von{u(k)}. Skizzieren Sie das zugehörige Pol-Nullstellendiagramm. Gegeben ist eine Rechteckfolge {f(k)}, für die gilt { 1, 0 k N 1 f(k) = 0, sonst. 13.2 Geben Sie {f(k)} in Abhängigkeit von {u(k)} an. 13.3 Berechnen Sie die z-transformierte F(z) von {f(k)}. 13.4 Skizzieren Sie das Pol-Nullstellendiagramm von F(z) für N = 3. Im Folgenden sei eine z-transformierte H(z) der Form H(z) = N i=1 A i z z i gegeben. 13.5 Berechnen Sie {h(k)}. Aus der Folge {f(k)} entsteht durch folgende Zuordnungsvorschrift die Folge {g(k)}: {f(k)} {g(k)} = b 1 {g(k 1)}+a 1 {f(k 1)}+a 0 {f(k)} 13.6 Bestimmen Sie nun H(z) = G(z) F(z). 13.7 Skizzieren Sie das Pol-Nullstellendiagramm von H(z), wenn a 0 = 1, a 1 = 1, b 1 = 0.5 ist. 13.8 Berechnen und skizzieren Sie {h(k)}, wenn a 0 = 1, a 1 = 1, b 1 = 0.5 ist. Im Folgenden gilt a 0 = 1, a 1 = 1, b 1 = 0. 13.9 Wie lautet nun {h(k)}? 13.10 Berechnen Sie die diskrete Faltung der Folgen {h(k)} und {f(k)}.

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 18 Aufgabe 14 Gegeben ist eine diskrete reelle Zahlenfolge {x(n)} mit x(n) = x(n +n) n. {x(n)} besitze die diskrete N-Punkte Fouriertransformierte (DFT) {X(k)}. {x(n)} {X(k)} 14.1 Zeigen Sie, dass {X(k)} periodisch mit der Länge N ist. 14.2 Berechnen Sie die DFT der Folge {x(n m)}. 14.3 Überprüfen Sie die Symmetrieeigenschaften von Re{X(k)} und Im{X(k)}. 14.4 Zeigen Sie, dass für eine N-Punkte Folge und die entsprechende N-Punkte DFT N 1 n=0 x(n) 2 = 1 N N 1 k=0 X(k) 2 gilt. Diese Gleichung wird allgemein als Parsevalsches Theorem der DFT bezeichnet. Im Folgenden gilt für {x(n)} x(n) = { 1, n = 0 0, n = 1,...,N 1. 14.5 Berechnen Sie die N-Punkte DFT {X(k)} von {x(n)}. Skizzieren Sie {x(n)} und {X(k)}. Im Folgenden gilt für {x(n)}: x(n) = { 1, n = 0,1 0, n = 2,...,N 1 14.6 Geben Sie die N-Punkte DFT {X(k)} von {x(n)} an. Skizzieren Sie X(k).

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 19 Aufgabe 15 Untersuchen Sie, ob für die folgenden Transformationen f(t) T{g(t)} bzw. Systeme f(t) g(t) Superpositionsprinzip und Zeitinvarianz gelten. 15.1 g(t) = k +f(t) 15.2 g(t) = s(t) f(t) 15.3 g(t) = t f(s)ds

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 20 Aufgabe 16 Gegeben sei ein reelles LZI-System mit der Systemfunktion H(jω). Das System werde mit f(t) = ˆfcos(ω 0 t+ϕ f ) erregt. Wie lautet die Reaktion g(t) des Systems auf die Erregung f(t)?

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 21 Aufgabe 17 Gegeben ist ein lineares zeitinvariantes System f(t) g(t) mit der Sprungantwort w(t) = (1 e at ) ε(t) mit a R, a > 0. Die Erregung des Systems lautet: 0, t 0 f(t) = t, 0 t T T, T t 17.1 Geben Sie in allgemeiner Form die Vorschrift für die Berechnung der Reaktion g(t) auf die Erregung f(t) für ein kausales System an. 17.2 Skizzieren Sie w(s),f(s),f (s) sowie f (t s) unter Angabe der charakteristischen Werte. 17.3 Berechnen Sie die Reaktion g(t) auf die Erregung f(t). 17.4 Skizzieren Sie g(t) für a = 1,T = 1. 17.5 Bestimmen Sie die Impulsantwort h(t). Geben Sie eine Berechnungsvorschrift für g(t) bei kausalen Systemen mit Hilfe der Impulsantwort h(t) an. 17.6 Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von h(t). Das System werde nun mit f(t) = cos(ω 0 t) erregt. 17.7 Bestimmen Sie nun die Reaktion g(t).

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 22 Aufgabe 18 Betrachtet wird das aus zwei idealen Tiefpaßfiltern mit der Übertragungsfunktion H(jω) und einem Multiplizierer u(t) = r(t) g(t) bestehende System in Bild 1. Es gilt und H(jω) = F(jω) = 1+cos(ωt 0 ) { 1 für ω < ω 0 2 0 sonst mit ω 0 = 2π t 0. f(t) g(t) u(t) v(t) H(j ω) H(j ω) F(jω) G(jω) U(jω) V(jω) r(t), R(jω) 18.1 Bestimmen und skizzieren Sie f(t). 18.2 Skizzieren Sie G(jω) für ω < ω 0. Bild 1. 18.3 Geben Sie g(t) in Abhängigkeit von der Stoßantwort h(t) des idealen Tiefpaßfilters an. Das Signal g(t) wird mit einer Abtastimpulsfolge multipliziert. r(t) = t A n= δ(t nt A ) 18.4 Geben Sie allgemein die komplexe Fourierreihendarstellung von r(t) an. Berechnen Sie deren Koeffizienten r k. 18.5 Wie lautet die Fouriertransformierte R(jω) von r(t)? 18.6 Bestimmen Sie U(jω) in Abhängigkeit von G(jω). Für die folgenden Punkte gilt t 0 t A = 3 4. 18.7 Geben Sie V(jω) in Abhängigkeit von G(jω) an, und skizzieren Sie V(jω) im Bereich ω < 3 4 ω 0. 18.8 Für das Fehlersignal e(t) gilt: e(t) = v(t) g(t). Skizzieren Sie die Fouriertransformierte E(jω), und geben Sie die Energie P e von e(t) in Abhängigkeit von G(jω) an.

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 23 Aufgabe 19 Gegeben ist das System 1 mit der Übertragungsfunktion H(p) und einer Pol/Nullstellen- Verteilung gemäß Bild 1. Es gilt H(0) = 1,T > 0. jω p = σ +jω System 1 1 T σ Bild 1 19.1 Geben Sie die Übertragungsfunktion H(p) in Abhängigkeit von der Zeitkonstanten T an. Ist das System stabil (Begründung)? 19.2 Bestimmen Sie die Sprungantwort w(t) von System 1. Skizzieren Sie w(t) für den Bereich T t 4T unter Angabe der charakteristischen Werte. Die Eigenschaften des Systems 1 sollen durch eine Schaltungsstruktur gemäß Bild 2 verändert werden. Dadurch entsteht das System 2 mit der resultierenden Übertragungsfunktion H res (p): X(p) + K V H(p) 01 Y(p) H res (p) K R System 2 Bild 2 19.3 Berechnen Sie H res (p) in Abhängigkeit von K V,K R und H(p). 19.4 Geben Sie H res (p) an in der Form H res (p) = H res (0) 1 (1+p T res ).

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 24 Im Folgenden soll das System 2 die Bedingung H res (0) = 1 erfüllen. 19.5 Für welche Werte von K V ist das System 2 stabil? Geben Sie hierfür ein gültiges Wertepaar (K V ;K R ) an. 19.6 Für welches Wertepaar (K V ;K R ) wird das System 2 verzerrungsfrei (Grenzfall)? 19.7 Skizzieren Sie für diesen Fall die Sprungantwort w res (t) von System 2.

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 25 Aufgabe 20 Bild 1 beschreibt die Wirkungsweise eines Abtast-Übertragungssystems nach dem Prinzip der Pulsamplitudenmodulation (PAM). Bild 1 Das System ist gegeben durch den Multiplizierer M mit z(t) = f(t) s(t), den idealen Tiefpaß TP mit der Grenzfrequenz ω g und H(jω) = { 1 für ω < ωg 0 sonst sowie den idealisierten impulsförmigen Träger s(t) = t a k= δ(t kt a ) mit t a = 2π ω a. 20.1 Durch welche Eigenschaft muß die Klasse der zugelassenen Eingangsfunktionen {f(t)} charakterisiert werden, wenn bei vorgegebenem t a zwischen f(t) und z(t) eine umkehrbar eindeutige Zuordnung bestehen soll? 20.2 Wieistbeivorgegebenemt a unddernach20.1gegebeneneigenschaft vonf(t)die Grenzfrequenz ω g des Tiefpasses zu wählen, wenn eine fehlerfreie Übertragung, d.h. g(t) = f(t) bestehen soll? Am Eingang des Abtastsystems liegt nun die Funktion f(t) = { 1 für t < t a2 0 sonst. Im Folgenden gilt ω g = ω a 2. 20.3 Geben Sie die Fouriertransformierte F(jω) von f(t) an. Skizzieren Sie F(jω). 20.4 Wie lautet z(t)? Skizzieren Sie z(t). 20.5 Geben Sie g(t) an und skizzieren Sie g(t). Am Eingang des Abtastsystems liegt nun die Funktion f(t) = cos(ω 0 t) mit ω 0 < ω g = ωa 2. 20.6 Berechnen Sie nun Z(jω), G(jω) und g(t).

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 26 Aufgabe 21 Ein zeitdiskretes System {x(k)} {y(k)} besitzt folgende Zuordnungsvorschrift: y(k) = N 1 n=0 21.1 Überprüfen Sie, ob das System linear ist. x(k n) 21.2 Bestimmen und skizzieren Sie die Impulsantwort {h 1 (k)}. Ist das System kausal? 21.3 Berechnen Sie die z-transformierte der Impulsantwort {h 1 (k)}. Im Folgenden sei ein zweites System gegeben, für dessen Impulsantwort gilt 1 für k = 0 h 2 (k) = 1 für k = N 0 sonst. 21.4 Geben Sie {h 2 (k)} in Abhängigkeit von {h 1 (k)} an und skizzieren Sie {h 2 (k)}. 21.5 Berechnen Sie die z-transformierte der Impulsantwort {h 2 (k)}. Nun werden die beiden Systeme nach Bild 1 zusammengeschaltet. {x(k)} {h 1 (k)}, H {y(k)} 1 (z) {h 2 (k)}, H 2 (z) {g(k)} {h res (k)}, H res (z) Bild 1 21.6 Berechnen und skizzieren Sie die Impulsantwort {h res (k)} des Gesamtsystems. 21.7 Berechnen Sie die z-transformierte H res (z) der Impulsantwort {h res (k)}. 21.8 Geben Sie H res (z) in Abhängigkeit von H 1 (z) und H 2 (z) an. Berechnen Sie H res (z) alternativ auf diesem Wege.

Aufgabensammlung Signale und Systeme Seite 27 Aufgabe 22 Gegeben ist die Impulsantwort eines zeitkontinuierlichen LZI-Systems h(t) = e t (cos(t) sin(t)) ǫ(t). 22.1 Skizzieren Sie h(t). 22.2 Berechnen Sie die Laplace-Transformierte H(p) und skizzieren Sie das Pol/Nullstellendiagramm. 22.3 Geben Sie die Fouriertransformierte H(jω)an. Skizzieren Sie H(jω) 2 qualitativ. Im Folgenden soll mittels impulsinvarianter Transformation das System diskret nachgebildet werden. 22.4 Geben Sie die Folge {h k } an. 22.5 Berechnen Sie die z-transformierte der Impulsantwort {h k }. 22.6 Geben Sie die zugehörigen Differenzengleichungen für den Fall an, daß jeder Pol getrennt betrachtet wird. Zeichnen Sie eine mögliche Realisierung dieses Systems. 22.7 Berechnen Sie den Realisierungsaufwand für ein System nach 22.6, wenn es mit einer reellen Folge erregt wird. 22.8 Geben Sie die zugehörigen Differenzengleichungen für den Fall an, daß konjugiert komplexe Pole zusammengefaßt werden. Zeichnen Sie eine mögliche Realisierung dieses Systems. 22.9 Berechnen Sie den Realisierungsaufwand für ein System nach 22.8, wenn es mit einer reellen Folge erregt wird.