Die reellen Funktionen f : xa f (x); D = R a a f a Nachtermin 2003 Nichttechnik 12 Analysis 1 2 f a (x) = (x + 4x a) mit a R 4 sind die ersten Ableitungen der Funktionen Der Graph einer solchen Funktion wird mit f a : xa f a (x); D f a = R. G bezeichnet. 4 20 Gegeben ist ferner die lineare Funktion g: xa g(x) = x ; Dg = R. 9 9 Der Graph dieser Funktion ist die Gerade G g. 1.1 Bestimmen Sie die Werte von a, für die der Graph f a G f a keine, eine bzw. zwei waagrechte Tangenten besitzt. Geben Sie für a > 4 Art und Abszissen der Extrempunkte an. (9 BE) 1.2 Zeigen Sie ohne Verwendung der dritten Ableitung, dass der Graph unabhängig von a bei xw = 2 einen Wendepunkt besitzt. Berechnen Sie a so, dass für die Steigung m w der Wendetangente gilt: mw mg = 1. Dabei ist m g die Steigung der Geraden G g. (6 BE) 1.3 Bestimmen Sie für a = 5 den Funktionsterm von f 5 so, dass die Gerade den Graphen G f 5 in dessen Tiefpunkt schneidet. (6 BE) 1 1 5 25 (Ergebnis: 3 2 f 5(x) = x x + x + ) 12 2 4 3 2.0 Der Funktionsterm f 5 (x) lässt sich auch in folgender Form schreiben: 1 2 f 5(x) = (x + x 20)(x + 5) (Nachweis nicht erforderlich!) 12 2.1 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f 5 und deren Vielfachheit. Zerlegen Sie den Funktionsterm in ein Produkt aus Linearfaktoren. (4 BE) 2.2 Ermitteln Sie Art und Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen die Koordinaten des Wendepunktes. G g G f 5 sowie (4 BE) Seite 1 von 1
2.3 Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graph G f 5 und die Gerade G g für 6 x 5 in ein gemeinsames Koordinatensystem. Verwenden Sie dazu eine eigene Seite. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm. (7 BE) 2.4 Die Gerade G g, der Graph G f 5 und die y-achse schließen im II. und III. Quadranten ein Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses in der Zeichnung. Berechnen Sie dessen Inhalt gerundet auf 2 Nachkommastellen. (6 BE) 2.5 Gegeben ist nun die reelle Funktion s: xa s(x); D s = R f 5(x) für x 3 s(x) = b mit b, c R. + c für x > 3 x Berechnen Sie b und c so, dass die Funktion s an der Stelle x0 = 3 stetig und differenzierbar ist. (8 BE) 3.0 Die folgende Tabelle ist Grundlage der Kalkulation eines Landwirts für den Anbau von Getreide je Flächeneinheit. Die angegebenen Größen sind in Abhängigkeit von der Düngermenge x dargestellt: Ertrag E in Mengeneinheiten (ME) Kosten K in pro ME Verkaufspreis P in pro ME 1 E(x) = 100 + x 8 1 K(x) = 300 + x + x 800 1 2 P(x) = 20 x 40000 2 3.1 Ermitteln Sie die Düngermenge x für den Fall, dass der Ertrag 150 ME beträgt. Bestimmen Sie hierfür den erzielten Verkaufspreis. (3 BE) 3.2 Der Gewinn G in Abhängigkeit von der Düngermenge x lässt sich beschreiben 3 2 x 3x 3x durch: G(x) = + + 1700 mit x [ 0;400]. 320000 800 2 Geben Sie den Zusammenhang dieser Formel mit den Termen E(x), K(x), P(x) in Form einer Gleichung an. Berechnen Sie nun x so, dass der Landwirt den größtmöglichen Gewinn erzielt. (7 BE) Seite 2 von 2
Stochastik 1.0 Die drei Sektoren eines Glücksrades sind blau (b), rot (r) und grün (g). Beim Stillstand des Rades weist ein Pfeil genau auf eine Farbe. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Pfeil auf den grünen Sektor zeigt, beträgt P({g}) = x. Für den blauen Sektor gilt: P({b}) = 5x. Das Zufallsexperiment besteht aus dem zweimaligen Drehen des Glücksrades. 1.1 Geben Sie den feinsten Ergebnisraum Ω dieses Zufallsexperiments an.(2 BE) 1.2 Berechnen Sie in Abhängigkeit von x die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E 1 : Es tritt genau einmal Blau auf. (3 BE) (mögliches Ergebnis: P(E 1 ) = 10x(1 5x)) 1.3 Die Wahrscheinlichkeit P(E 1 ) kann auch als eine Funktion der Variablen x mit 1 x 0; 6 aufgefasst werden, deren Graph Teil einer Parabel ist. Ermitteln Sie die Koordinaten des Scheitels der Parabel und interpretieren Sie das Ergebnis im Kontext der vorliegenden Situation. (4 BE) 1.4 Setzen Sie x = 0,1. Prüfen Sie, ob die Ereignisse E 1 aus 1.2 und E 2 : Es tritt mindestens einmal Grün auf stochastisch unabhängig sind. (5 BE) 2.0 Die Abbildung zeigt die fünf Hauptwege durch einen Irrgarten. An den vier Weggabelungen entscheidet man sich jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 für einen der beiden Wege. Je nach den getroffenen Entscheidungen wird einer der Ausgänge A1 bis A5 erreicht. Am Eingang ist ein Eintrittsgeld in Höhe von 10 zu entrichten. Erreicht man einen Ausgang mit ungerader Nummer, d.h. A1, A3 oder A5, dann bekommt man kein Geld zurück. Am Ausgang A2 erhält man 20 ausbezahlt. Seite 3 von 3
2.1 Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Erreichen der Ausgänge A1 bis A5. (2 BE) 2.2 Berechnen Sie den Betrag, den man bei Erreichen des Ausgangs A4 erhält, wenn der Betreiber des Irrgartens durchschnittlich 80 % der Eintrittsgelder wieder auszahlt. (3 BE) 2.3.0 Nun werden am Ausgang A4 40 ausgehändigt. Die Zufallsgröße X gibt den Gewinn bzw. Verlust an, den man bei einem Gang durch den Irrgarten erzielen kann. (Bei der Gewinnermittlung ist das Eintrittsgeld zu berücksichtigen!) 2.3.1 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X und zeichnen Sie mit Hilfe einer Wertetabelle den Graphen der kumulativen Verteilungsfunktion F. (Maßstab: 1 cm ˆ= 10 ) (5 BE) 2.3.2 Berechnen Sie P(E) = 1 F(0) und beschreiben Sie das Ereignis E im Sinne der vorliegenden Thematik. (2 BE) 2.4 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei einem Gang durch den Irrgarten einen Gewinn erzielt, beträgt 0,3125. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) von fünf Besuchern nur die beiden ersten, b) von zehn Besuchern mehr als zwei einen Gewinn erzielen. (5 BE) 3.0 Einer Zeitungsmeldung zufolge lehnen 70 % der Bevölkerung eines bestimmten europäischen Landes eine Beteiligung ihrer Soldaten an militärischen Einsätzen außerhalb der EU-Grenzen ab. Ein namhafter Politiker hält diesen Prozentsatz für zu hoch (Gegenhypothese). Deshalb wird ein Test durchgeführt, bei dem 50 zufällig ausgewählte Bürger befragt werden. Von den 50 Befragten sprachen sich 28 gegen einen solchen Einsatz aus. 3.1 Geben Sie die Testgröße T, die Art des Tests sowie die Nullhypothese an. Ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem 1%-Niveau. Entscheiden Sie dann, ob der Aussage des Politikers aufgrund des Testausgangs zugestimmt werden kann. (7 BE) 3.2 Beschreiben Sie in Worten den Fehler 2. Art bei diesem Test. (2 BE) Seite 4 von 4
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