Einige parametrische Familien für stochastische Prozesse

Technische Universität Dortmund Fakultät Statistik Seminar: Grundlagen der Simulation und Statistik von dynamischen Systemen Einige parametrische Familien für stochastische Prozesse Ausarbeitung Dozentin: Prof. Dr. Christine Müller Verfasser: Stefan H. Meinke 15. Mai 2012

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Statistische Methoden 3 2.1 Mean-Reverting-Prozess.............................. 4 2.2 Vasicek- und Ornstein-Uhlenbeck-Prozess..................... 4 2.3 Explizite Lösung der SDE nach Vasicek und Ornstein-Uhlenbeck........ 5 2.4 Black-Scholes-Merton-Modell........................... 6 2.5 Cox-Ingersoll-Ross-Modell............................. 7 2.6 Modellfamilie nach Chan-Karolyi-Longstaff-Sanders............... 8 3 Modellierungsmöglichkeiten 9 3.1 Modellierung eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozzeses................ 9 3.2 Anwendung des Vasicek-Prozesses als Finanzierungsmodell........... 11 3.3 Modellierung des Cox-Ingersoll-Ross-Modells................... 13 4 Zusammenfassung 14 5 Zusätzliche Anmerkungen 15 Literaturverzeichnis 16 A R-Code 16 2

1 Einleitung 1 Einleitung Stochastische Differentialgleichungen haben Anwendungsmöglichkeiten in Bereichen wie dem Finanzwesen oder der Beobachtung von biologischen Phänomenen. Da sich jedoch beispielsweise die Preisbildung auf den Ölmarkt anders verhalten könnte als ein Finanzierungsmodell, reicht ein einziges Modell nicht aus, um alle Anwendungsmöglichkeiten geeignet zu modellieren. Im Rahmen dieser Ausarbeitung werden daher unterschiedliche parametrische Modelle vorgestellt, die in vielen Kontexten bereits erfolgreich eingesetzt werden. Hierbei handelt es sich um den Prozess nach Vasicek oder im Speziellen Ornstein-Uhlenbeck, das Black-Scholes-Merton- Modell und das Cox-Ingersoll-Ross-Modell. Diese haben gemeinsam, dass sie der Klasse der Mean-Reverting-Prozesse angehören. Ferner geben Chan, Karolyi, Longstaff und Sanders eine stochastische Differentialgleichung an, um alle vorgestellten Prozesse zu einer Modellfamilie zusammenzufassen. Dazu werden im zweiten Kapitel die im Vorfeld genannten stochastischen Prozesse beschrieben und deren explizite Lösung hergeleitet sowie einzelne Momente und zugrundeliegende Verteilungen angegeben. Eine anschließende Beispielsimulation ausgewählter Prozesse im dritten Kapitel soll den Einfluss der Parameter auf den Verlauf einer Trajektorie feststellen. Abschließend werden die zentralen Ergebnisse im vierten Kapitel zusammengefasst. 2 Statistische Methoden In diesem Abschnitt werden die nach Iacus (2008) expliziten Lösungen zu einigen bekannten stochastischen Differentialgleichungen (SDE) mit der allgemeinen Form dx t = b(x t )dt + σ(x t )dw t mit t 0 vorgestellt, wobei es sich bei W t um eine Brownsche Bewegung oder Wiener Prozess W : [0, ) Ω R zum Zeitpunkt t handelt und ω b(x t (ω)) bzw. ω σ(x t (ω)) messbare stochastische Prozesse sind. Ferner werden zu jedem Prozess die ersten beiden Momente, 3

2 Statistische Methoden Kovarianz und die bedingte Übergangsdichte von X t in Abhängigkeit des Startwerts X 0 = x 0 angegeben. 2.1 Mean-Reverting-Prozess Sei (X t ) t 0 ein stochastischer Prozess. Weiterhin existiere eine explizite Lösung zu der SDE dx t = b(x t )dt + σ(x t )dw t, t 0 mit Startpunkt X 0 = x 0 und es gelte b(x) = β + αx = ( α)( β α x), x I, α R, β R σ(x) > 0 für alle x I, wobei I den Zustandsraum des Prozesses bezeichne. Dann wird der stochastische Prozess auch Mean-Reverting-Prozess genannt. Hierbei gibt α (Mean-Reversion-Force) an, wie schnell der Prozess zu β (Mean-Reversion-Level) gezogen wird (vgl. Schulmerich, 2008). α 2.2 Vasicek- und Ornstein-Uhlenbeck-Prozess Der Vasicek-Prozess ist nach Iacus (2008) ein stochastischer Prozess und ist über eine SDE dargestellt. Er kann für b(x t ) = θ 1 θ 2 X t und σ(x t ) = θ 3 aus der allgemeinen SDE für stochastische Prozesse abgeleitet werden. Somit lautet die SDE für den Vasicek Prozess dx t = (θ 1 θ 2 X t )dt + θ 3 dw t mit t 0, wobei X 0 = x 0 den Startpunkt bezeichne und θ 3 R + und θ 1, θ 2 R wählbare Parameter sind. Ist θ 2 > 0, dann handelt es sich um einen Mean-Reverting-Prozess. Zudem gilt für den Vasicek-Prozess, dass für alle t 0 die Varianz endlich ist. Die SDE heißt im Speziellen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, falls für θ 1 der Wert 0 festgelegt wird. 4

2 Statistische Methoden 2.3 Explizite Lösung der SDE nach Vasicek und Ornstein-Uhlenbeck Mittels Itôs Lemma und der Funktion f(t, x) = xe θ 2t ist es laut Iacus (2008) möglich eine explizite Lösung der SDE zu erhalten. Da die Funktion f(t, x) zweimal stetig differenzierbar ist, gilt für die partiellen Ableitungen f t (t, x) = θ 2 f(t, x), f x (t, x) = e θ 2t und f xx (t, x) = 0. Dann ist X t e θ 2t = f(t, X t ) = f(0, X 0 ) + = x 0 + t 0 θ 2 X u e θ 2u du + = x 0 + θ 1 θ 2 (e θ 2t 1) + θ 3 t 0 t 0 t 0 θ 2 X u e θ 2u du + t 0 e θ 2u dx u e θ 2u {(θ 1 θ 2 X u )du + θ 3 dw u } e θ 2u dw u. Durch Umformung der Gleichung nach X t lautet die explizite Lösung der SDE X t = θ 1 + (x 0 θ t 1 )e θ2t + θ 3 e θ 2t e θ2u dw u. θ 2 θ 2 0 Für den Fall θ 2 > 0 ist der Prozess ergodisch und es gilt für die Zufallsvariable X t, dass X t N( θ 1 θ 2, θ2 3 2θ 2 ) ist mit Kovarianz Cov(X t, X s ) = θ 2 3e θ 2 t s /2θ 2 für alle t, s 0. Zudem ist es möglich, abhängig vom Startpunkt X 0 = x 0 den bedingten Erwartungswert bzw. die bedingte Varianz über die bedingte Übergangsdichte p θ(t, X t X 0 = x 0 ) für ein t 0 zu formulieren. Somit gilt für den bedingten Erwartungswert, der bedingten Varianz und der bedingten Kovarianz m(t, x) = E θ (X t X 0 = x 0 ) = θ 1 θ 2 + (x 0 θ 1 θ 2 )e θ 2t v(t, x) = V ar θ (X t X 0 = x 0 ) = θ2 3(1 e 2θ 2t ) 2θ 2 Cov θ (X s, X t X 0 = x 0 ) = θ2 3 2θ 2 e θ 2(s+t) (e 2θ 2(s t) 1). 5

2 Statistische Methoden 2.4 Black-Scholes-Merton-Modell Das Black-Scholes-Merton-Modell bezeichnet nach Iacus (2008) eine geometrische Brownsche Bewegung und hat seinen Namen durch die Einführung im Finanzkontext bekommen. Der Prozess liefert eine Lösung zur SDE dx t = θ 1 X t dt + θ 3 X t dw t mit Startpunkt X 0 = x 0 und freien Parametern θ 1 R und θ 3 R +. Der Parameter θ 1 wird als constant interest rate und θ 3 als Volatilität interpretiert. Die explizite Lösung der SDE lautet X t = x 0 e (θ 1 1 2 θ2 3 )t+θ 3W t. Die bedingte Dichte ist log-normalverteilt. Der logarithmisch transformierte Erwartungswert und logarithmisch transformierte Varianz sind µ = log(x 0 ) + (θ 1 1 2 θ2 3)t σ 2 = θ3t. 2 Durch Einsetzen der Werte ist Erwartungswert und Varianz gegeben durch m(t, x 0 ) = e µ+ 1 2 σ2 = x 0 e θ 1t v(t, x 0 ) = e 2µ+σ2 (e σ2 1) = x 2 0e 2θ1t (e θ2 3 t 1). Somit lautet die bedingte Dichte p θ (t, y x 0 ) = = 1 yσ µ)2 exp{ (log(y) } 2π 2σ 2 1 exp{ (log(y) (log(x 0) + (θ 1 1 2 θ2 3)t)) 2 }. yθ 3 2πt 2θ3t 2 6

2 Statistische Methoden 2.5 Cox-Ingersoll-Ross-Modell Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell (CIR) ist ein dritter parametrischer Ansatz zur Modellierung eines stochastischen Prozesses. Er findet unter anderem Anwendung in der Erklärung von biologischen Phänomenen und im Finanzwesen. Der CIR Prozess ist nach Iacus (2008) die Lösung zu der SDE dx t = (θ 1 θ 2 X t )dt + θ 3 X t dw t und t 0 mit Startpunkt X 0 = x 0 > 0 und freien Parametern θ 1, θ 2, θ 3 R +. Die Besonderheit ist, dass der Prozess für 2θ 1 > θ 2 3 strikt positiv und ansonsten lediglich nicht-negative Werte annehmen kann. Die explizite Lösung der SDE lautet X t = θ 1 + (x 0 θ t 1 )e θ2t + θ 3 e θ 2t e θ 2u X u dw u. θ 2 θ 2 0 Weiterhin ist der Prozess für 2θ 1 > θ3 2 stationär und die bedingte Übergangsdichte liegt in expliziter Form vor. Mittels einer Transformation Y t = 2cX t und c = 2θ 2 /(θ3(1 2 e θ2t )) hat der Prozess die bedingte Dichte Y t Y 0 = y 0 und ist χ 2 (ν, λ)-verteilt mit ν = 4θ 1 /θ3 2 Freiheitsgraden und Nichtzentralitätsparameter λ = y 0 e θ2t. Anschließend kann die bedingte Dichte der ursprünglichen Verteilung X t X 0 = x 0 daraus abgeleitet werden und lautet p θ (t, y x 0 ) = ce (u+v) ( u v )q/2 I q (2 uv) mit u = cx 0 e θ 2t, v = cy und q = 2θ 1 /θ 2 3 1. Ferner bezeichne I q (.) die Bessel-Funktion erster Gattung mit I q (x) = ( x 1 k=0 2 )2k+q k! Γ(k + q + 1) und x R, wobei Γ(.) die Gammafunktion ist. Der Erwartungswert und die Varianz der bedingten Dichte im Cox-Ingersoll-Ross-Modell lauten 7

2 Statistische Methoden m(t, x 0 ) = θ 1 θ 2 + (x 0 θ 1 θ 2 )e θ 2t v(t, x 0 ) = x 0 θ 2 3(e θ 2t e 2θ 2t ) θ 2 + θ 1θ 2 3(1 e 2θ2t ) 2θ 2 2 Zudem ist die Kovarianzfunktion für s, t 0 gegeben durch θ3 2 Cov(X s, X t ) = x 0 (e θ2t e θ2(t+s) ) + θ 1θ3 2 (e θ2(t s) e θ2(t+s) ). θ 2 2θ 2 2 2.6 Modellfamilie nach Chan-Karolyi-Longstaff-Sanders Die Modellfamilie nach Chan, Karolyi, Longstaff und Sanders (CKLS) liefert eine Möglichkeit die bisher vorgestellten drei parametrischen SDE zu einer Klasse zusammenzufassen. Der CKLS Prozess liefert laut Iacus (2008) eine Lösung der SDE dx t = (θ 1 + θ 2 X t )dt + θ 3 X θ 4 t dw t. Nachfolgend kann in Tabelle 1 nachvollzogen werden, für welche Belegung von θ 1, θ 2, θ 3 und θ 4 die entsprechende spezielle SDE abgeleitet werden kann. Für das CKLS Modell ist es möglich eine explizite Übergangsdichte anzugegeben, falls θ 1 = 0 oder θ 4 = 1 ist. Zudem nimmt es 2 für θ 1, θ 2 > 0 und θ 4 > 1 Werte im Intervall (0, + ) an. Der Wertebereich für θ 2 3 ist in allen Fällen im positiven reellen Bereich. Tabelle 1: Überblick für die Wahl der Parameter, um von dem CKLS-Prozess zu einem speziellen Prozess überzugehen Prozess θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 Vasicek R R R + 0 Ornstein-Uhlenbeck 0 R R + 0 Black-Scholes-Merton 0 R R + 1 1 Cox-Ingersoll-Ross R + R + R + 2 8

3 Modellierungsmöglichkeiten 3 Modellierungsmöglichkeiten Alle nachfolgenden Berechnungen und Abbildungen entstammen der freien Statistiksoftware R (R Development Core Team, 2012). Der Programmcode zur Simulation des Ornstein-Uhlenbeck- Prozesses richtet sich nach Iacus (2008). 3.1 Modellierung eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozzeses Da der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess (OU-Prozess) ein Spezialfall des stochastischen Modells nach Vasicek ist, sind wegen θ 1 = 0 lediglich Startwert und zwei Parameter frei wählbar. Nachfolgend wird untersucht, welchen Einfluss der Startwert X(0) sowie θ 2 und θ 3 auf den X 1 2 3 4 5 6 θ 3 = 6 θ 3 = 2 θ 3 = 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Zeit Abbildung 1: Simulation des Ornstein-Uhlenbeck-Proesses mit Startwert X(0) = 5 sowie Parameter θ 1 = 0, θ 2 = 3 und θ 3 {0, 2, 6} Verlauf des stochastischen Prozesses haben. Als Ausgangspunkt der Untersuchung dient die initiale Parameterbelegung θ 2 = 3, θ 3 = 2 und X(0) = 5. In Abbildung 1 sind drei Trajektorien des OU-Prozesses abgebildet, welche sich lediglich im 9

3 Modellierungsmöglichkeiten Parameter θ 3 unterscheiden. Der Startwert X(0) und θ 2 bleiben unverändert. Es fällt auf, dass unabhängig vom Wert für θ 3 die Funktionswerte kleiner werden und gegen den Wert 0 konvergieren. Einzig der Verlauf der Trajektorien schwankt umso mehr, je größer der Wert für θ 3 gewählt ist. Da mittels des Itô-Integrals im hinteren Teil der expliziten Lösung der SDE ein Wiener Prozess modelliert wird, bestimmt der Parameter θ 3 den Einfluss des Zufalls. In der Literatur ist dieser Parameter ein Maß für die Volatilität im Modell. Die Konvergenz liegt darin begründet, dass es sich bei diesem Prozess um einen Mean-Reverting-Prozess handelt, der somit gegen den für den OU-Prozess festen Wert θ 1 = 0 strebt. Zur Feststellung des Einflusses von θ 2 werden für unveränderte Startwerte X(0) und Parameter θ 3 Trajektorien mit unterschiedlichen Werten für θ 2 dargestellt. Diese sind in Abbildung 2 zu sehen. Es ist zu beobachten, dass die Struktur der einzelnen Trajektorien gleich bleibt. X 0 2 4 6 θ 2 = 1 θ 2 = 3 θ 2 = 6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Zeit Abbildung 2: Simulation des Ornstein-Uhlenbeck-Proesses mit Startwert X(0) = 5 sowie Parameter θ 1 = 0, θ 3 = 2 und θ 2 {1, 3, 6} Der einzige Unterschied zwischen den Verläufen ist, dass der Prozess umso schneller gegen 0 konvergiert, je größer der Wert für θ 2 ist. Der Parameter gibt somit den Drift oder die Geschwindigkeit an, mit dem der Prozess zum stationären Punkt konvergiert. Zuletzt wird der Verlauf der Trajektorie mit unterschiedlichen Startwerten X(0) betrachtet. 10

3 Modellierungsmöglichkeiten Eine Darstellung der drei Prozesse ist in Abbildung 3 zu sehen. Es fällt auf, dass auch bei einem negativen Startwert der Prozess gegen den Wert 0 konvergiert und nur durch Drift und Volatilität gestört wird. X 6 4 2 0 2 4 6 X(0) = 5 X(0) = 0 X(0) = 5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Zeit Abbildung 3: Simulation des Ornstein-Uhlenbeck-Proesses mit Parameter θ 1 = 0, θ 2 = 3 und θ 3 = 2 sowie Startwert X(0) { 5, 0, 5} 3.2 Anwendung des Vasicek-Prozesses als Finanzierungsmodell Ein aus dem Finanzwesen bekanntes Modell richtet sich nach dem Vasicek-Prozess. Dieser stochastische Prozess liefert eine explizite Lösung der SDE dx t = θ(µ X t )dt + σdw t mit Startwert X 0 = x 0. Er entsteht durch die Umparametrisierung µ = θ 1 /θ 2, θ = θ 2 und σ = θ 3. Die explizite Lösung zu der SDE lautet analog zum Vasicek-Prozess t X t = µ + (x 0 µ)e θt + σe θt e θu dw u. 0 11

3 Modellierungsmöglichkeiten Der Parameter θ hat den gleichen Einfluss auf das Modell wie θ 2 im OU-Prozess. Er gibt den Drift an und ist ein Maß dafür, wie schnell der Prozess seinen stationären Punkt erreicht. Zudem gibt σ ebenso wie θ 3 aus dem vorherigen Modell die Volatilität an, mit der der Prozess stört wird. Um nachzuvollziehen welchen Einfluss µ auf den stochastischen Prozess hat, werden den übrigen Parametern die festen Werte θ = 3 und σ = 2 zugewiesen und µ variabel gehalten. Die entsprechenden Trajektorien für µ { 5, 0, 5} sind in Abbildung 4 zu sehen. Zu erkennen ist, dass bei identischen Startwerten die Trajektorie in Richtung des Wertes von µ konvergiert und ab dem stationären Punkt lediglich zufällig um diesen Wert schwankt. Dieser Verlauf ist X 6 4 2 0 2 4 6 µ = 5 µ = 0 µ = 5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Zeit Abbildung 4: Simulation eines mathematischen Finanzmodells mit Parameter θ = 3 und σ = 2 sowie Startpunkt X(0) = 0 und µ = {5, 0, 5} anschaulich anhand der Prozessgleichung zu erklären. Liegt für einen Zeitpunkt t der Wert von X t unter dem von µ, dann ist des Ergebnis von (µ X t ) positiv. Somit neigt der Prozess dazu, für X t+1 einen größeren Wert anzunehmen. Analog tendiert der Prozess für X t > µ dazu im nächsten Zeitpunkt einen kleineren Wert anzunehmen. Für den Fall X t µ ist der deterministische Werte der SDE nahe bei 0. Der weitere Verlauf hängt somit nur noch vom stochastischen Integral ab. 12

3 Modellierungsmöglichkeiten 3.3 Modellierung des Cox-Ingersoll-Ross-Modells Da die Parameter θ 1, θ 2 und θ 3 im Modell nach Cox-Ingersoll-Ross (CIR) einen ähnlichen Einfluss auf den Prozess haben wie beim Vasicek-Prozess, wird im Folgenden auf die spezielle Struktur und Eigenschaft des Prozesses eingegangen. In Abbildung 5 sind Trajektorien für den Vasicek- und den CIR-Prozess jeweils mit Startwert X(0) = 5 und Parameter θ 1 = 0, θ 2 = 3 und θ 3 = 2 zu sehen. Die Graphen haben gemeinsam, dass sowohl der deterministische Anteil der Differentialgleichung als auch die Zufallszahlen zur Erstellung des Wiener Prozesses identisch sind. Einzig die Auswertung des stochastischen Integrals von Schritt t zu t + 1 ist unterschiedlich. Während die Zuwächse Vasicek-Prozess unabhängig sind, ergeben sich die Zuwächse für den Zeitpunkt X t+1 im CIR-Modell aus dem X 0 2 4 6 8 Ornstein Uhlenbeck Cox Ingersoll Ross 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Zeit Abbildung 5: Vergleich zwischen dem Ornstein-Uhlenbeck-Prozess und dem Cox-Ingersoll-Ross- Modell mit festgelegten Parametern θ 1 = 0, θ 2 = 3 und θ 3 = 2 sowie Startpunkt X(0) = 5 Wiener Prozess gewichtet mit X t, wobei X t der Wert des Prozesses zum Zeitpunkt t ist. Durch diese Tatsache ist es nachvollziehbar, dass bei gleicher Parametereinstellung beide Graphen gegen den Wert 0 konvergieren, aber der Prozess im CIR-Modell einen unruhigeren Verlauf als der Vasicek-Prozess hat. 13

4 Zusammenfassung Ferner hat der CIR-Prozess laut Methodenbeschreibung die Besonderheit keine negative Werte anzunehmen. Diese Eigenschaft eignet sich laut Krah (2005) beispielsweise bei der Modellierung von Zinsstrukturen, da in diesem Bereich keine negativen Werte auftreten dürfen. Ist zudem die Bedingung 2θ 1 > θ3 2 erfüllt, ist der Prozess sogar stets positiv. Dies ist dadurch zu erklären, dass das stochastische Integral für X t gegen 0 kaum noch Einfluss auf den stochastischen Prozess hat. Somit bekommt der Prozess durch θ 1 einen positiven Drift und tendiert dazu größere Werte anzunehmen. Auf Implementationsebene ist zu betonen, dass die Erstellung des Programmcodes zur Erstellung eines CIR-Prozess insoweit Schwierigkeiten bereitet, dass bei großer Schrittweite negative Werte entstehen. Jedoch ist diese Ungenauigkeit zu beheben, wenn die Schrittweite kleiner gewählt wird. 4 Zusammenfassung Das Ziel dieses Berichtes ist es einen Überblick über verschiedene parametrische Modelle zu geben. Hierbei werden im ersten Schritt verschiedene Modellzustände gewählt, um deren Einfluss auf den Prozess festzustellen. Daraufhin können einzelne Modelle gegenübergestellt und Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede erkannt werden. Die wichtigsten Resultate werden nun abschließend festgehalten. Der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess hat neben dem Startpunkt X(0) zwei weitere Parameter und ist ein Spezialfall des Vasicek-Prozesses mit drei freien Parametern. Dieser spezielle Prozess hat für jede Parametereinstellung seine stationäre Phase im Punkt 0. Die beiden Parameter steuern zum einen die Konvergenzgeschwindigkeit und zum anderen den Einfluss der unabhängigen Zuwächse, die über den Wiener Prozess simuliert werden. Ferner kann der Vasicek-Prozess durch Umparametrisierung als finanzmathematisches Modell aufgefasst werden. Hierbei kann, neben der Konvergenzgeschwindigkeit und der Steuerung des Einflusses von Zufall, auch der Punkt bestimmt werden, zu dem die Trajektorie konvergiert. Ein drittes vorgestelltes Modell ist das nach Cox, Ingersoll und Ross (kurz: CIR-Modell). Dieser Prozess unterscheidet sich gegenüber den anderen insoweit, dass die Zuwächse aus dem Wiener 14

5 Zusätzliche Anmerkungen Prozess noch mit der Wurzel des Prozesswertes aus dem Zeitpunkt davor gewichtet werden. Somit ist es wahrscheinlicher, dass die Zuwächse im CIR-Modell tendenziell größer sind als bei den anderen Modellen. Zudem bleibt der Prozess nicht-negativ und sogar stets positiv, falls der festgelegte Wert eines entsprechenden Parameters positiv ist. Alle Prozess haben die Gemeinsamkeit, dass es sich hierbei um einen sogenannten Mean- Reverting-Prozesse handelt, da vor Generierung des Prozesses bereits bekannt ist, zu welchem stationären Punkt sie konvergieren. Ein letzter Prozess ist das Black-Scholes-Merton-Modell. Dieses Modell wird in dieser Ausarbeitung lediglich theoretisch vorgestellt, da es identisch mit der geometrischen Brownschen Bewegung ist und bereits in einem früheren Bericht besprochen wurde. 5 Zusätzliche Anmerkungen Als Grundlage dieser Ausarbeitung diente mir der Abschnitt über einige parametrische Familien von stochastischen Prozessen aus Iacus (2008). Dadurch, dass ich mich mit der vorliegenden Literatur intensiv beschäftigt habe, sind mir Fehler in der Beschreibung und Implementierung einiger Prozesse aufgefallen. Daher habe ich folgende Korrekturvorschläge: S.45: Parameter σ fehlt in Programmcode zur Simulation des OU-Prozesses S.47: Additiver Term θ 1 /θ 2 fehlt vor expliziten Lösung des CIR-Modells S.49: Tabelle 1.4: OU-Prozess hat festen Parameter θ 1 = 0 S.49: Tabelle 1.4: CIR-Modell hat freie Parameter θ 1, θ 2 R + 15

Literaturverzeichnis Literaturverzeichnis [1] Iacus, S.M. (2008): Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations. With R Examples, Springer, New York. [2] Krah, S. (2005): Verfahren zur Erklärung und Verfahren zur Schätzung von Zinsstrukturen, GRIN Verlag, Diplomarbeit. [3] R Development Core Team (2012): R - A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria, R package version 2.15.0, URL http://www.r-project.org. [4] Schulmerich, M. (2008): Statistische Verfahren für Diffusionsprozesse mit Anwendung auf stochastische Zinsmodelle der Finanzmathematik, GRIN Verlag, Diplomarbeit. A R-Code ## Brownsche Bewegung: BM <- function(x=0,t0=0,t=1,n=1000){ if(t <= t0){stop("wrong times")} dt <- (T-t0)/N t <- seq(t0,t,length=n+1) X <- ts(cumsum(c(x,rnorm(n)*sqrt(dt))),start=t0,deltat=dt) return(x) } ## Ornstein-Uhlenbeck-Prozess: Ornstein <- function(x_0,theta,seed,num){ 16

A R-Code if(seed){ set.seed(num) } W <- BM() # Beownsche Bewegung t <- time(w) # Zeitpunkt N <- length(t) # Anzahl Zeitpunkte X <- numeric(n) X[1] <- x_0 # Startpunkt # Stochastisches Integral über Ito-Summe: ito.sum <- c(0,sapply(2:n,function(x){exp(theta*t[x-1])*(w[x] - W[x-1])})) } # Berechnung des Prozesses über die explizite Lösung: X <- sapply(1:n,function(x){x[1]*exp(-theta[2]*t[x]) + theta[3]*exp(-theta[2]*t[x])*sum(ito.sum[1:x])}) X <- ts(x,start=start(w),deltat=deltat(w)) ## Finanzmathematisches Modell: FiMa <- function(x_0,mu,theta,sigma,seed,num){ if(seed){ set.seed(num) } W <- BM() t <- time(w) N <- length(t) X <- numeric(n) X[1] <- x_0 ito.sum <- c(0,sapply(2:n,function(x){exp(theta*t[x-1])*(w[x] - W[x-1])})) # Explizite Lösung des Modells: X <- sapply(1:n,function(x){mu + (X[1] - mu)*exp(-theta*t[x]) + sigma*exp(-theta*t[x])*sum(ito.sum[1:x])}) 17

A R-Code } X <- ts(x,start=start(w),deltat=deltat(w)) ## Cox-Ingersoll-Ross-Modell: CIR <- function(x_0,theta,seed=f,num){ if(seed){ set.seed(num) } W <- BM() t <- time(w) # Zeit N <- length(t) # Anzahl Zeitpunkte X <- numeric(n) X[1] <- x_0 # Startpunkt ito.sum <- 0 for(i in 2:N){ # Stochastisches Integral über Ito-Summe: ito.sum <- ito.sum + exp(theta[2]*t[i-1])*sqrt(x[i-1])*(w[i] - W[i-1]) # Deterministische Wert: determ <- theta[1]/theta[2] + (X[1] - theta[1]/theta[2])*exp(-theta[2]*t[i]) } # Deterministischer Wert + Vorfaktor*Ito-Summe: X[i] <- determ + theta[3]*exp(-theta[2]*t[i])*ito.sum } ts(x,start=start(w),deltat=deltat(w)) ## Darstellung der Ergebnisse: par(cex=1.3) 18

A R-Code ## OU-Prozess mit variablen Parameter theta_3: plot(ornstein(5,c(0,3,6),num=321,seed=t),col="red",ylab="x",xlab="zeit", + cex=1.3) lines(ornstein(5,c(0,3,2),num=321,seed=t),col="green") lines(ornstein(5,c(0,3,0),num=321,seed=t),col="blue") legend("topright",legend=c(expression(theta[3] == 6), + expression(theta[3] == 2 * phantom(0)), + expression(theta[3] == 0)),col=c("red","green","blue"),lwd=2) ## OU-Prozess mit variablen Parameter theta_2: plot(ornstein(5,c(0,6,2),num=321,seed=t),col="blue",ylab="x",xlab="zeit", + ylim=c(0,8)) lines(ornstein(5,c(0,3,2),num=321,seed=t),col="green") lines(ornstein(5,c(0,1,2),num=321,seed=t),col="red") legend("topright",legend=c(expression(theta[2] == 1), + expression(theta[2] == 3 * phantom(0)),expression(theta[2] == 6)), + col=c("red","green","blue"),lwd=2) ## OU-Prozess mit variablen Startwert X(0): plot(ornstein(-5,c(0,3,2),num=321,seed=t),col="blue",ylab="x",xlab="zeit", + ylim=c(-6,6)) lines(ornstein(0,c(0,3,2),num=321,seed=t),col="green") lines(ornstein(5,c(0,3,2),num=321,seed=t),col="red") legend("topright",legend=c("x(0) = 5","X(0) = 0","X(0) = -5"), + col=c("red","green","blue"),lwd=2) ## Finanzmathematisches Modell mit variablen Parameter mu: plot(fima(0,mu=5,theta=3,sigma=2,num=321,seed=t),col="red",ylab="x", + xlab="zeit",ylim=c(-6,6)) lines(fima(0,mu=0,theta=3,sigma=2,num=321,seed=t),col="green") 19

A R-Code lines(fima(0,mu=-5,theta=3,sigma=2,num=321,seed=t),col="blue") legend(0.6,3.7,legend=c(expression(mu == 5 * phantom(0) * phantom(0)), + expression(mu == 0),expression(mu == -5)), + col=c("red","green","blue"),lwd=2) ## Vergleich zwischen OU-Prozess und CIR-Prozess: plot(ornstein(5,c(0,3,2),num=321,seed=t),col="blue",ylab="x",xlab="zeit", + ylim=c(0,7)) lines(cir(5,c(0,3,2),seed=t,num=321),col="red") legend("topright",legend=c("ornstein-uhlenbeck","cox-ingersoll-ross"), + col=c("blue","red"),lwd=2) 20