Physik-Department Ferienkurs zur Experimentalphysik 3 Matthias Golibrzuch,Daniel Jost Montag Inhaltsverzeichnis Technische Universität München 1 Elektromagnetische Wellen 1 1.1 Maxwell-Gleichungen im Medium...................... 1 1.2 Wellenfunktion und Dispersionsrelation................... 2 1.3 Poynting-Vektor................................. 3 1.4 Wellenpakte................................... 3 2 Polarisation 4 3 Brechung und Reexion 6 3.1 Fermatsches Prinzip.............................. 7 3.2 Snellius...................................... 7 3.3 Fresnel...................................... 8 3.4 Reflexions- und Transmissionskoeffizient.................. 9 3.5 Brewsterwinkel und Totalreflexion...................... 9
Inhaltsverzeichnis 4 Oszillatormodell und Brechungsindex 10 4.1 Absorption.................................... 11 5 Ausbreitung in anisotropen Medien 11 1
1 Elektromagnetische Wellen 1.1 Maxwell-Gleichungen im Medium Licht ist eine elektromagnetische Welle. In der Optik werden Probleme behandelt, in denen sich diese elektromagnetische Welle in Medien fortpflanzt. Zunächst wollen wir daher aus dem was wir über Elektrodynamik wissen Ausdrücke für diese elektromagnetische Welle in Medien herleiten. Die Maxwell-Gleichungen im Medium sind gegeben durch D = ρ H = t D + j. E = t B B = 0 Die dielektrische Verschiebung D hängt mit dem elektrischen Feld im Vakuum E über die dielektrische Konstante ɛ 0 und der Polarisation P zusammen: D = ɛ 0 E + P (1) Die Polarisation P kann man mittels Einführung der Suszeptibilität χ schreiben als P = ɛ 0 χe. (2) Gleichung 1 liest sich dann: D = (1 + χ)ɛ 0 E = ɛɛ 0 E (3) Für den magnetischen Fluss B im Vakuum kann man ähnliche Überlegungen anstellen. Hier übernimmt die die Magnetisierung M die Rolle der Polarisation und man erhält einen Ausdruck für das magnetische Feld H im Medium: H = 1 µ B M (4) µ ist die relative Permeabilität. Zwei Annahmen können nahezu immer in der klassischen Optik getroffen werden um die Maxwellgleichungen weiter zu vereinfachen: 1. Die relative Permeabilität ist µ = 1, weil von nichtmagnetischen Medien ausgegangen wird. 2. Die Medien sind nichtleitend: ρ = 0 und j = 0. Wellengleichungen für E und B erhält man durch Anwendung des Rotationsoperators auf die Maxwellgleichungen und Einsetzen ineinander: 2 E = µ 0 ɛɛ 0 2 E t 2 2 B = µ 0 ɛɛ 0 2 B t 2 (5)
1 Elektromagnetische Wellen Die Konstanten ɛ 0 und µ 0 sind mit der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum gekoppelt: c 0 = 1 µ0 ɛ 0 (6) In einem Medium lässt sich der so genannte Brechungsindex einführen. Die Lichtgeschwindigkeit in einem Medium ist um einen Faktor geringer als im Vakuum und der Brechungsindex quantifiziert dies: n = ɛ (7) 1.2 Wellenfunktion und Dispersionsrelation Ebenfalls aus der Elektrodynamik bekannt sind die einfachsten Lösungen der Wellengleichungen. Man kann mit ebenen Wellen ansetzen: E(r, t) = E 0 cos(kr ωt + ϕ). (8) k ist der Wellenvektor in dessen Richtung sich die Welle ausbreitet, ω die Kreisfrequenz und ϕ ein Phasenfaktor. Einsetzen der ebenen Welle in die Wellenfunktion ergibt die optische Dispersionsrelation: k = n ω c 0 = 2π λ Die Wellenlänge λ lässt sich wie bekannt schreiben als (9) λ = 2π k = 2πc 0 nω (10) Die Maxwellgleichungen liefern uns ferner zwei wichtige Folgerungen: 1. Elektrisches und magnetisches Feld stehen senkrecht zueinander. 2. Die Amplituden der Felder sind gekoppelt: B = k ω (e k E) = 1 c 0 (e k E)E 0 = c 0 n B 0 = 1 ɛɛ0 µ 0 B 0 (11) 2
1 Elektromagnetische Wellen Abbildung 1: Elektromagnetische Welle. 1.3 Poynting-Vektor Der Poynting-Vektor S S = 1 µ 0 (E B) = ɛ 0 c 2 0(E B) = c 0 ɛ 0 E 2 0 cos2 (kz ωt)e z (12) beschreibt die Energiestromdichte oder Energie pro Zeit pro Fläche, die senkrecht zum Vektor k steht. Die Lichtintensität ist dann über das zeitliche Mittel des Betrags des Poynting-Vektors S gegeben: I = S = ɛ 0 c 0 E 2 = 1 2 ɛ 0c 0 E 2 0 (13) Licht überträgt auch Impuls auf eine Fläche. Daraus ergibt sich ein Strahlungsdruck: P S = I c 0 (14) Reflexion führt durch Impulserhaltung zu einer Verdopplung des Strahlungsdrucks. 1.4 Wellenpakte Da mit Lösungen der Wellengleichung E 1 und E 2 aufgrund des Superpositionsprinzips Lösungen E 1 + E 2 konstruiert werden können, erhält man mit sich zeitlich und räumlich unterscheidenden Wellenfunktionen so genannte Wellenpakete. Diese Wellenpakete können Fourier-transformiert werden: E(t) = 1 2π E(ω) exp[ iωt)dω (15) 3
2 Polarisation Mit Rücktransformation: E(ω) = 1 2π E(t) exp[iωt]dt (16) Abbildung 2: Wellenpaket als Überlagerung einzelner Wellen mit einhüllender Funktion. Wenn Wellenpakete aus Wellen mit unterschiedlichen Amplituden zusammengebastelt sind, unterscheiden sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle und die der Hüllkurve. Hierzu die Distinktion der Phasengeschwindigkeit v ph und Gruppengeschwindigkeit v gr : 2 Polarisation v ph = ω 0 = c 0 k 0 n v gr = c 0 n k c 0 dn n 2 dk Elektromagnetische Felder stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Wenn man o. B. d. A. den Wellenvektor entlang z legt, kann man beispielsweise für das elektrische Feld schreiben: (17) (18) E 0x cos(kz ωt) E = E 0y cos(kz ωt + ɛ) (19) 0 ɛ ist der Phasenunterschied zwischen x und y - Richtung. Natürliches Licht ist unpolarisiert. Die beiden Komponenten des E-Feldes stehen in keiner Beziehung zueinander. Aber ihr Mittel ist gleich groß. Interessanter sind die drei unterscheidbaren Polarisationen: 4
2 Polarisation Elliptisch polarisiertes Licht erhält man, wenn die Phasendifferenz ɛ = π/2 + mπ ist und für die Amplitudenprojektionen in x und y Richtung gilt E 0x = E 0y. Zirkular polarisiertes Licht erhält man für ɛ = π/2 + mπ, m = 0, 1, 2,..., E 0x = E 0y = E 0 : cos(kz ωt) E = E 0 ± sin(kz ωt) (20) 0 Linear polarisiertes Licht ist gegeben durch ɛ = 0 oder ɛ = ±n 2π, E 0x und E 0y schwingen in Phase und die Richtung des E-Feldes wird durch einen konstanten Vektor beschrieben: E 0x E = E 0y cos(kz ωt) = E 0 cos(kz ωt) (21) 0 5
3 Brechung und Reflexion Polarisatoren können die Polarisation von Licht ändern. Polarisatoren stellen aber auch Grenzflächen zwischen Medien verschiedener Dichten dar. An diesen Grenzflächen entstehen Reflexions- und Brechungseffekte. 3 Brechung und Reexion Die Maxwellgleichungen geben Randbedingungen vor, mittels derer man den Übergang zwischen Medien unterschiedlicher Dichten an deren Grenzfläche beschreiben kann. Die so genannte Einfallsebene steht senkrecht zu dieser Grenzfläche. Betrachtet man zwei isolierende, isotrope und nicht-magnetische Medien 1 und 2, dann gilt: Beim Übergang von 1 nach 2 gibt es keinen Sprung in den Komponenten der dielektrischen Verschiebung D = ɛɛ 0 E die senkrecht zur Grenzfläche stehen, also: D (1) Die Tangentialkomponenten des E-Feldes sind stetig: Die Normalkomponenten des B-Feldes sind stetig: = D(2) (22) E (1) = E (2) (23) B (1) = B(2) (24) Die Tangentialkomponenten des Magnetfelds H = 1/µµ 0 B sind stetig: H (1) = H (2) (25) 6
3 Brechung und Reflexion Aus diesen Randbedingungen ergibt sich, dass sich die Frequenz an der Grenzfläche nicht ändert: ω e = ω r = ω t (26) Außerdem muss der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel sein: θ e = θ r (27) 3.1 Fermatsches Prinzip Das Fermatsche Prinzip besagt, dass Licht in einem inhomogenen Medium immer einen extremalen Weg von einem Punkt zum anderen nimmt. Das kann derjenige sein, der am schnellesten ist. Die Lichtgeschwindigkeit ist vom Medium abhängig. Die Gesamtzeit t(r) gegeben ist durch: t(r) = t i = r i c i = 1 c 0 W i (28) W i ist der optische Weg und ist offensichtlich gegeben durch W i = n i r i. (29) Der Brechungsindex im Medium i ist dann n i und die zurückgelegte Strecke r i. Nach Fermat muss dann gelten: 3.2 Snellius Mit Einfalls- und Transmissionswinkeln θ e und θ t gilt dt dr = 0 (30) k e sin θ e = k t sin.θ t (31) 7
3 Brechung und Reflexion Dann kann man mittels k e /k t = n e /n t das Snelliussche Brechungsgesetz schreiben als: sin θ e sin θ t = n e n t (32) 3.3 Fresnel Die Randbedingungen aus den Maxwellgleichungen lassen es auch zu Aussagen über die Intensitäten an der Grenzfläche zu treffen. Gehen wir zunächst von senkrechtem Lichteinfall aus. Dann gibt es zunächst zwei Prozesse: Transmission und Reflexion. Dazu korrespondieren Transmissionskoeffizient t und Reflexionskoeffizient t. Für die elektrischen Feldstärken gelten dann und E 0r = n e t n e + n t E 0e = re 0e (33) E = te 0e. (34) Falls der Lichteinfall nicht senkrecht stattfindet, kann man zwei Fälle unterscheiden: 1. Das E-Feld ist parallel zur Grenzfläche und steht senkrecht auf der Einfallsebene. Das B-Feld hat also Komponenten sowohl parallel als auch senkrecht zur Grenzfläche. 8
3 Brechung und Reflexion 2. Das B-Feld steht parallel zur Grenzfläche und senkrecht auf der Einfallsebene. Das E-Feld hat dann Komponenten sowohl senkrecht als auch parallel zur Grenzfläche. Einiger Rechenaufwand unter Berücksichtigung von k E H ergibt dann verschiedene Koeffizienten, i. e. die Fresnel-Formeln: r = E 0r E 0e = sin(θ e θ t ) sin(θ e + θ t ) (35) t = E 0t E 0e = 2 sin θ t cos θ e sin(θ e + θ t ) (36) r = E 0r E 0e = tan(θ e θ t θ e + θ t (37) t = E 0t E 0e = 2 sin θ t cos θ e sin(θ e + θ t ) cos(θ e θ t ) (38) 3.4 Reexions- und Transmissionskoezient Die reflektierte und transmittierte Leistung wird durch den Reflexionsgrad R und den Transmissionsgrad T angegeben. Senkrechte und parallele Anteile des Reflexionsund Transmissionsgrades hängen mit den senkrechten und parallelen Anteilen des Reflexions- und Transmissionskoeffizienten zusammen: R = r 2 R = r 2 T = 1 r 2 T = 1 r 2 (39) Für den einfachen Fall des senkrechten Lichteinfalls ist der Reflexionsgrad gegeben über die Brechungsindizes der Medien: R = I r I e = 3.5 Brewsterwinkel und Totalreexion ( ) ne n 2 t (40) n e + n t Reflexions- und Transmissionskoeffizienten verschwinden für bestimmte Winkel und Brechungszahlen. Der Reflexionskoeffizient wird Null bei einem E -Feld, wenn θ t + θ e = π/2. Der Brewsterwinkel ist so definiert: tan θ B = n t n e (41) Licht von einem optisch dichteren Medium, das auf eine Grenzfläche fällt mit n e > n t wird totalreflektiert für Winkel θ TR < π/2. Hier ist der Transmissionswinkel θ t > π/2. sin θ TR = n ( ) t nt oder θ TR = arcsin (42) n e n e 9
4 Oszillatormodell und Brechungsindex 4 Oszillatormodell und Brechungsindex Der Brechungsindex n(ω) = 1/ ɛ(ω) (43) bestimmt die Ausbreitung von Licht in einem Medium. Auf dem Weg durch das Medium wechselwirkt Licht mit der Elektronensuppe im Festkörper. Die Elektronen ihrerseits wechselwirken mit den Atomen. Wenn man das elektrische Feld als treibende Kraft betrachtet und die Wechselwirkung der Elektronen mit den Atomen als Dämpfung, kann man mit einem gedämpften, getriebenen Oszillator ansetzen: ẍ + γẋ + ω 2 x = e m e E 0 exp[iωt] (44) Als Lösung erhält man: x(t) = e 1 m e (ω0 2 E(t) (45) ω2 ) + iγω Letztlich kann man eine frequenzabhängige dielektrische Funktion schreiben als ɛ(ω) = 1 + e2 N ɛ 0m e 1 (ω 2 0 ω2 ) + iγω. (46) In optisch verdünnten Medien kann man die dielektrische Funktion in den komplexen Brechungsindex n c = n R + in I umwandeln: n R = 1 + e2 N ω0 2 ω2 2ɛ 0 m e (ω0 2 ω2 ) 2 + γ 2 ω 2 (47) n I = e2 N γω 2ɛ 0 m e (ω0 2 ω2 ) + γ 2 ω 2 (48) Für Frequenzbereiche in hinreichender Entfernung von der Resonanzfrequenz vereinfacht sich der Brechungsindex zu n R 1 e2 N 2ɛ 0 m e 1 ω 2 = 1 ω2 Pl 2ω 2 (49) mit der Plasmafrequenz ω Pl. In Metallen bewegen sich die Elektronen frei und die Dämpfung entfällt, also ω 0 = 0. Dann gilt: n 1 ω2 Pl ω 2 (50) 10
5 Ausbreitung in anisotropen Medien 4.1 Absorption Es stellt sich die Frage, was der imaginäre Anteil des Brechungsindex für eine physikalische Bedeutung hat. Betrachtet man eine ebene Welle E(z, t) = E 0 exp[iωt ikz] (51) ergibt sich durch Einsetzen von k = ω/c(n R + in I ) zunächst: [ E(z, t) = E 0 exp iωt i ω ] [ c (n ωni ] [ R + in I )z = E 0 exp c z exp iωt i ωn R c ] z (52) Der Imaginärteil in der vorderen Exponentialfunktion ist vorzeichenbehaftet, weswegen die Amplitude insgesamt abfällt. Das ist die Definition von Absorption des Lichts. Die Lichtintensität in Abhängigkeit von der Eindringtiefe ist ( ) 2ωnI z I(z) = I(0) exp = I(0) exp ( az) (53) c zusammen mit dem Extinktionskoeffizienten: a = 5 Ausbreitung in anisotropen Medien e2 N γω 2 2ɛ 0 m e c (ω0 2 ω2 ) 2 + γ 2 ω 2 (54) Die dielektrische Funktion kann nicht nur frequenzabhängig sein sondern auch von der Einfallrichtung des Lichts abhängen. In diesem Fall spricht man von einem anisotropen Medium. In diesen Medien kommt es zu einer Aufspaltung von ordentlichem (o) und außerordentlichen (e) Strahl. Der außerordentliche Strahl breitet sich entlang der optischen Achse aus. Anwendungen findet man in Kompensatorplatten, λ/2- und λ/4-plättchen. Linear polarisiertes Licht beispielsweise, kann durch unterschiedliche Brechungsindizes in x- und y-richtung in zirkular polarisiertes Licht umgewandelt werden. Da die Frequenz an der Grenzfläche gleich bleiben muss (Randbedingungen), kommt es wegen des Wegunterschieds l zu einer Phasenverschiebung φ der beiden Strahlkomponenten. l = d(n 0 n 0e ) φ = k 0 d k 0e d = 2πd λ (n 0 n 0e ) (55) Ein λ/4-plättchen der Dicke d sorgt für eine Phasenverschiebung von π/2, sodass hinter dem Plättchen zirkular polarisiertes Licht austritt. λ/2-plättchen drehen den Drehsinn zirkular oder elliptisch polarisierter Wellen. 11