Finanzmathematik Inhalt: Martin Keller-Ressel Satz: Martin Haubold 17. November 2014 Inhaltsverzeichnis 0 Einführung und Motivation 1 0.1 Zentrale Fragestellungen der Finanzmathematik.............. 1 0.2 Mathematisches Finanzmarktmodell.................... 2 0.3 Anleihe und elementare Beispiele für Derivate............... 4 0.4 Elementare Replikations- und Arbitrageargumente............ 6 1 Mathematische Grundlagen 9 1.1 Bedingte Erwartung und Martingal..................... 9 1.2 Anlagestrategien und stochastisches Integral................ 15 1.3 Stoppzeiten und Martingalungleichungen.................. 20 i
0 Einführung und Motivation 0.1 Zentrale Fragestellungen der Finanzmathematik Bewertung von Derivaten und Absicherung gegen aus deren Handel entstehenden Risiken Definition. Ein Derivat ist ein Finanzprodukt dessen Auszahlung sich vom Preis eines oder mehrerer gehandelter Basisgüter ( underlying ) ableitet. Beispiel. Recht in drei Monaten 125.000 Schweizer Franken gegen 100.000 EUR zu erhalten. (Basisgut: Wechselkurs EUR/CHF; Derivat: Call-Option ) Recht innerhalb des nächsten Jahres 100 Daimler-Aktien zum Preis von 60 EUR/Stück zu erwerben. (Basisgut: Daimler-Aktie; Derivat: amerikanische Call-Option ) Versicherung gegen Zahlungsausfall spanischer Staatsanleihen mit Laufzeit 5 Jahre. (Basisgut: Kurs spanischer Staatsanleihen; Derivat: CDS (credit default swap)) Recht in den nächsten 6 Monaten 100.00 MWh elektrische Energie zum Preis von 30 EUR/MWh zu kosumieren mit Mindestabnahme von 50.000 MWh (Underlying: Strompreis; Derivat: Swing-Option ) Auszahlungsvereinbahrungen für Derivate können sehr komplex sein... zu komplex? Rolle von CDOs (Partizipationsrechte an gebündelten Kredite) in Finanzkrise. Zugehörige Fragestellungen: Was ist der faire Preis für ein solches Derivat ( Pricing )? Fair: für Käufer und Verkäufer akzeptabel. Wie kann sich der Verkäufer gegen Risiken aus der eigenen Verpflichtung absichern ( Hedging )? Zusammenstellung von Portfolios die nach Risiko- und Ertragsgesichtspunkten optimal sind. Zugehörige Fragestellungen: Wie vergleiche ich unsichere zukünftige Gewinn- und Verlustmöglichkeiten? Wie wäge ich Risiko gegen Ertrag ab? 1
Was bedeutet optimal? Bemerkung. Abgrenzung zur Versicherungsmathematik: Auszahlungen von Versicherungsverträgen hängen i.a. nicht von gehandelten Basisgütern ab. Beispiel: Kfz-Versicherung, Hausratsversicherung Mischformen möglich: z.b. fondsgebundene Lebensversicherung Mathematische Werkzeuge dieser Vorlesung: Hauptsächlich Wahrscheinlichkeitstheorie, etwas lineare Algebra, Optimierung und Maßtheorie 0.2 Mathematisches Finanzmarktmodell Wir betrachten: W-Raum (Ω, F, P) später auch weitere W-Maße Q auf demselben Messraum (Ω, F) ω Ω... Elementarereignisse, Szenarien Zeitachse I entweder I = {0, 1,..., T }... diskretes Modell (T-Perioden-Modell) I = [0, T ]... zeitstetiges Modell T... Zeithorizont Eine messbare Abbildung (Ω, I) R d, (ω, t) S t (ω) heißt stochastischer Prozess. Insbesondere ist t S t (ω) Funktion I R 0 ( ω Ω) ω S t (ω) Zufallsvariable ( t I) beide Sichtweisen sind wichtig Eine Filtration ist eine Folge (F t ) t I von σ-algebren F t F mit F s F t s t, s, t I Interpretation. F t ist dem Marktteilnehmer zum Zeitpunkt t verfügbare Information, Ereignisse A F t gelten als zum Zeitpunkt t bekannt. Zusätzlich werden wir stets annehmen, dass F 0 die triviale σ-algebra ist. Aus W-Theorie: Eine R d -wertige Zufallsvariable X heißt messbar bzgl. F t, wenn für alle Borel-Mengen B R d X 1 (B) F t 2
gilt. Schreibweise. X F t (Beachte: X ist kein Element von F t im Sinne der Mengenlehre) Definition. Ein stochastischer Prozess S = (S t ) t I auf (Ω, F, P) heißt adaptiert an (F t ) t I wenn S t F t, t I gilt. Interpretation. Der Wert S t ist zum Zeitpunkt t bekannt. Da F 0 trivial ist, ist für jeden adaptieren Prozess X der Anfangswert X 0 deterministisch. Für das Finanzmarktmodell, modellieren wir d Wertpapiere (assets) als stochastische Prozesse S i : Ω I R 0, (ω, t) S i t(ω) S i t... Preis des i-ten Wertpapiers zum Zeitpunkt t, i {0,..., d} typischerweise ist S i (i {1,..., d}) eine Aktie (stock), könnte auch Wechselkurs, etc. sein. S 0 trägt Sonderrolle: Verrechnungskonto, Numeraire, beschreibt die Verzinsung von nicht in Wertpapieren angelegtem Kapital. Definition. Ein Finanzmarktmodell mit Zeitachse I ist gegeben durch einen filtrierten W-Raum ( Ω, F, (F t ) t I, P ) einen an (F t ) t T adaptierten, R d+1 wertigen stochastischen Prozess (S t ) t I Beispiel. Cox-Ross-Rubinstein-Modell (zeitdiskret) R t... Rendite der t-ten Periode, Zufallsvariable mit zwei möglichen Werten b > a definiere S 0 t := (1 + r) t (Verzinsung mit konstanter Zinsrate r) und S 1 t := S 1 0 T t=1 (1 + R t) rekombinierender Baum 3
Ereignisse ω = Pfade in diesem Baum ( Ω < ) zeitdiskretes Mehrperiodenmodell auf endlichem W-Raum Samuelson-/ Black-Scholes-Modell (zeitstetig) Brownsche Bewegung: Stochastischer Prozess (B t ) t 0 in stetiger Zeit, sodass - B t B s N (0, (t s)), t s 0 - (B t B s ) ist unabhängig von (B s B r ), t s r 0 - t B t (ω) ist stetig ω A mit P[A] = 1 (genauere Behandlung gegen Ende des Semesters) St 0 = exp(rt) ( ) St 1 = exp (µ σ2 2 )t + σb t (µ σ2 2 )t... Trend, σb t... stoch. Fluktuation) Ω = zeitstetiges Modell auf unendlichen W-Raum große Unterschiede in mathematischer Handhabung 0.3 Anleihe und elementare Beispiele für Derivate Hier betrachten wir nur ein Wertpapier S t = S 1 t Anleihe (bond), genauer Null-Kupon-Anleihe: Der Verkäufer einer Anleihe mit Endfälligkeit T und Nominale N verspricht dem Käufer zum Zeitpunkt T den Betrag von N Währungseinheiten zu zahlen. Anleihen können auf dem Sekundärmarkt weiterverkauft werden. Preis bei Erstauflage: B(0, T ) Preis bei Weiterverkauf: B(t, T ), (t T ) Wir normieren stets N = 1 B(T, T ) = 1 4
Anleihen können statt Bankkonto als Numeraire S 0 t = B(t, T ) genutzt werden. Es existieren auch Kupon-Anleihen bei denen zu Zeitpunkten T 1, T 2, T 3,..., T n weitere Zahlungen (Kupons) erfolgen. Terminvertrag (forward contract) aus Käufersicht: Vereinbarung zu einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt T eine Einheit des Basisgutes zum Preis K zu kaufen. Bemerkung. Kaufverpflichtung!! Auszahlungprofil: S T K T... Laufzeitende (maturity) K... Ausübungspreis (strike) Europäische Call-Option: Recht zu bestimmten zukünftigem Zeitpunkt T eine Einheit des Basisgutes zum Preis K zu kaufen Bemerkung. keine Kaufverpflichtung!! Auszahlungsprofil (zum Zeitpunkt T): 0 wenn S T K, (keine Ausübung) S T K wenn S T K, (Ausübung) = (S T K) + Preis zum Zeitpunkt t: C t Europäische Put-Option: Recht zu bestimmten zukünftigem Zeitpunkt T eine Einheit des Basisgutes zum Preis K zu verkaufen Bemerkung: keine Verkaufsverpflichtung!! Auszahlungsprofil: (K S T ) + 5
Amerikanische Put-/Call-Option: Recht zu beliebigem zukünftigem Zeitpunkt τ [0, T ] eine Einheit des Basisgutes zum Preis K zu verkaufen/kaufen. Auszahlungsprofil (zum Zeitpunkt τ): (K S τ ) +, (S τ K) + Der optimale Ausübungszeitpunkt τ [0, T ] muss als Lösung eines Optimierungsproblems bestimmt werden! Preis zum Zeitpunkt t: Ct AM, Pt AM 0.4 Elementare Replikations- und Arbitrageargumente Was können wir (mit elementaren Mitteln) über faire Preise F t, P t, C t, B(t, T ) aussagen? Für die Überlegungen verwenden wir: Replikationsprinzip: Zwei Investitionsstrategien mit derselben zukünftigen Auszahlung haben heute den selben Wert. No-Arbitrageprinzip: Ohne Kapitaleinsatz kann kein sicherer Gewinn ohne Risiko eines Verlustes erzielt werden. Arbitrage... zu gut um wahr zu sein Manchmal ist auch folgende schwächere Form des Replikationsprinzips nützlich: Superreplikationsprinzip: Hat eine Investitionsstrategie in jedem Fall eine größere zukünftige Auszahlung als eine weitere Strategie, so hat sie auch heute den größeren Wert. Lemma 0.1. Für den Preis C t des europäischen Calls gilt: (S t B(t, T )K) + C t S t 6
Beweis. untere Schranke(Widerspruchsbeweis): Angenommen es gilt dann ergibt sich folgende Tabelle: S t B(t, T )K C t = ɛ > 0 Portfolio Wert in t Wert in T S T K S T > K Kaufe Call C t 0 S T K Verkaufe Basisgut S t S T S T Kaufe Anleihe ɛ + B(t, T )K ɛ B(t,T ) + K ɛ B(t,T ) + K Σ 0 K S T + ɛ B(t,T ) > 0 ɛ B(t,T ) > 0 kein Anfangskapital sicherer Gewinn Widerspruch zu No-Arbitrageprinzip C t S t B(t, T )K da außerdem C t 0 (C t S t B(t, T )K) + Obere Schranke(Widerspruchsbeweis): Angenommen es gilt dann ergibt sich folgende Tabelle: C t S t = ɛ > 0 Portfolio Wert in t Wert in T S T K S T > K Verkaufe Call C t 0 (S T K) Kaufe Basisgut S t S T S T Kaufe Anleihe ɛ ɛ B(t,T ) ɛ B(t,T ) Σ 0 S T + ɛ B(t,T ) > 0 K + ɛ kein Anfangskapital sicherer Gewinn Widerspruch zu No-Arbitrageprinzip C t S t B(t,T ) > 0 Lemma 0.2. (Put-Call-Parität) Für die Preise des Puts (P t ), Calls (C t ) und des Basisgutes (S t ) gilt: C t P t = S t KB(t, T ) 7
Beweis. Wir benutzen das Replikationsprinzip und erstellen zwei Portfolios mit derselben Auszahlung. Portfolio 1 Wert in t Wert in T S T K S T > K Kaufe Call C t 0 S T K Kaufe Anleihe KB(t, T ) K K Σ C t + KB(t, T ) K S T Portfolio 1 Wert in t Wert in T S T K S T > K Kaufe Put P t K S T 0 Kaufe Basisgut S t S T S T Σ P t + S t K S T Gleiche Auszahlung gleicher Wert in t C t + KB(t, T ) = P t + S t 8
1 Mathematische Grundlagen 1.1 Bedingte Erwartung und Martingal Sei (Ω, F, P) W-Raum. Wir definieren für p 1 L p (P) = L p (Ω, F, P) = {X : Ω R d X ist F messbar, E [ X p ] < } X p := E [ X p ] 1 p... L p Norm Die Räume (L p (P), p ) sind vollständige, normierte Vektorräume, d.h. Banachräume. Besonders wichtig: L 2 (Ω, F, P)... Raum der quadratintegrierbaren Zufallsvariablen, ist Hilbertraum mit Skalarprodukt X, Y L 2 = E [XY ] Es gilt: L p (Ω, F, P) L q (Ω, F, P) für p q L p (Ω, G, P) L p (Ω, F, P) für G F Definition. Seien P, Q zwei W-Maße auf (Ω, F). Dann heißt Q äquivalent zu P (Q P), wenn P[A] = 0 Q[A] = 0, A F absolutstetig bzgl. P (Q P), wenn P[A] = 0 Q[A] = 0, A F singulär zu P (Q P), wenn A F existiert mit Q[A] = 0 und P[A] = 1 Bemerkung. Die Relationen und sind symmetrisch Es gilt: Q P (Q P P Q) Theorem 1.1 (Satz von Radon-Nikodym). Seien Q, P W-Maße auf (Ω, F) mit Q P. Dann existiert eine Dichte dq dp L(Ω, F, P) sodass [ E Q [X] = E P X dq ], X L(Ω, F, Q) dp Die Dichte dq dp ist P-f.ü. eindeutig. 9
Korollar 1.2. Seien Q, P W-Maße auf (Ω, F) mit Q P. Dann existieren die Dichten und es gilt dq dp, dp dq dq dp > 0, dp dq > 0 f.s und dq dp = ( ) 1 dp dq Frage. Gegeben sei eine Zufallsvariable X : Ω R und eine σ-algebra G F. Was ist die beste G-messbare Schätzung für X, d.h. was ist die beste Prognose für X mit der durch G gegebenen Information? Proposition 1.3. Sei X L 2 (Ω, F, P). Dann exitiert eine fast sicher eindeutige Orthogonalprojektion von X auf L 2 (Ω, G, P), welche wir mit E [X G] bezeichnen. Es gilt: a) E [X G] minimiert den Abstand von X zu L 2 (Ω, G, P), d.h. X E [X G] 2 = min Z L 2 (P) X Z 2 b) (X E [X G]) ist orthogonal zu L 2 (Ω, G, P), d.h. E [1 A (X E [X G])] = 0, A G Beweis (Skizze). L 2 (Ω, G, P) ist abgeschlossener Teilraum von Hilbertraum L 2 (Ω, F, P). Mit Sätzen der Funktionalanalysis folgt: Orthogonalprojektion Y von X auf L 2 (Ω, G, P) Y ist eindeutig a) und b) gelten wichtige Beobachtung. b) macht auch Sinn, wenn X L 1 (P) Definition. Sei X L 1 (Ω, F, P) und G F. Die Zufallsvariable Y L 1 (Ω, G, P) mit E [1 A (X)] = E [1 A (Y )], A G 10
heißt bedingte Erwartung von X und wir schreiben E [X G] := Y. Bemerkung. Wieso existiert E [ X G] und ist eindeutig? Übungsaufgabe. Zwei Beweis-Methoden: Satz von Radon-Nikodym oder Satz von Hahn-Banach Proposition 1.4 (Eigenschaften der bedingten Erwartung). Seien X, Y L 1 (Ω, F, P) und G F. Dann gilt: a) (Linearität): E [αx + Y G] = αe [X G] + E [Y G], (α R) b) (Monotonie): X Y f.s. E [X G] E [Y G] c) Sei X G, so gilt E [X G] = X. Ist außerdem E [ XY ] < so gilt: E [XY G] = XE [Y G] d) (Turmeigenschaft): Sei H G. Dann gilt: E [E [X G] H] = E [X H] e) Ist X unabhängig von G so gilt: E [X G] = E [X] Beweis. a) Übungsaufgabe. b) Übungsaufgabe. c) Nehme an X 0, Y 0, der allgemeine Fall folgt durch aufteilen X = X + X und Linearität. Approximiere X monoton z.b. mit X n = 2 n 2 n X. Es gilt X n X f.s. und Mit monotoner Konvergenz: X n E [Y G] X E [Y G] f.s. (wegen X, Y 0) lim E [1 AX n E [Y G]] = E [1 A X E [Y G]] n 11
Andererseits: E [1 A X n E [Y G]] = = k2 n E [ 1 A 1 (Xn=k2 n )E [Y G] ] k=1 k2 n E [ 1 A 1 (Xn=k2 n )Y ] k=1 = E [1 A Y X n ] n E [1A XY ] E [1 A X E [Y G]] = E [1 A XY ] E [XY G] = X E [Y G] d) Sei A H (und daher auch A G). Dann gilt: E [1 A E [E [X G] H]] = E [1 A E [X G]] = E [1 A X] = E [1 A E [X H]] E [X H] = E [E [X G] H] f.s. e) Übungsaufgabe. Proposition 1.5 (Maßwechsel bei bedingten Verteilungen). Auf dem W-Raum (Ω, F, P) sei eine σ-algebra G, F und ein äquivalentes Maß Q P gegeben. Dann gilt: für alle X L 1 (Ω, F, Q). Der Beweis ist Übungsaufgabe. [ E Q [X G] = EP X dq dp G ] E [ P dq G ] Bemerkung. Wichtiger Spezialfall: Sei (Ω, F, (F t ) t 0, P) ein filtrierter W-Raum und X F T. Dann heißt [ ] dq M t := E P dp F t Maßwechselprozess zu Q und es gilt E Q [X F t ] = 1 M t E P [X M T F t ], t [0, T ] dp 12
Mit der bedingten Erwartung können wir nun den Begriff des Martingals definieren. Wir verwenden Indexmenge/Zeitachse I R (meist I = N, I = R 0 oder I = [0, T ]) und Filtration (F t ) t I. Definition. Sei X ein bzgl. (F t ) t I adaptierter R-wertiger stochastischer Prozess. X heißt Martingal, wenn gilt: a) E [ X t ] <, t I b) X s = E [X t F s ], s t; s, t I Interpretation. Gegeben die heutige Information (F s ) ist die beste Schätzung für X zum Zeitpunkt t (E [X t F s ]) der heutige Wert (X s ). Definition. Falls in Punkt b) statt = die Ungleichung bzw. gilt, so heißt X Submartingal bzw. Supermatingal. Bemerkung. Für die Indexmenge I = N reicht es statt b) die Eigenschaft b ) X n 1 = E [X n F n 1 ] n N zu zeigen (wegen Turmeigenschaft). Mit Turmeigenschaft folgt auch - X Martingal t E [X t ] ist konstant - X Submartingal t E [X t ] ist steigend - X Supermartingal t E [X t ] ist fallend Das Leben ist ein Supermatingal, die Erwartungen fallen mit der Zeit. Einen R d -wertigen Prozess nennen wir Martingal, wenn jede Komponente ein Martingal ist. Beispiel. a) Seien (Y n ) n N unabhängige Zufallsvariablen mit E [Y n ] = 0. Definiere S n = n k=1 Y k und F n = σ(y 1,..., Y n ) dann ist S ein Martingal bzgl. (F n ), denn S n ist F n -messbar adaptiert E [ S n ] n k=1 E [ Y k ] < integrierbar E [S n F n 1 ] = E [Y n F n 1 ] + S n 1 = E [Y n ] + S n 1 = S n 1 13
b) Seien (Y n ) n N unabhängige Zufallsvariablen mit E [Y n ] = 1. Definiere M n = n k=1 Y k und F n = σ(y 1,..., Y n ) dann ist M ein Martingal bzgl. (F n ), denn M n ist F n -messbar adaptiert E [ M n ] = n k=1 E [ Y k ] < integrierbar E [M n F n 1 ] = E [Y n M n 1 F n 1 ] = E [Y n F n 1 ] M n 1 = E [Y n ] M n 1 = M n 1 c) Sei (Ω, F, (F t ) t I, P) ein filtrierter W-Raum, Q P ein absolutstetiges W-Maß und [ ] dq M t = E P dp F t, t I der zugehörige Dichteprozess. Dann ist M ein P-Martingal, denn E [ ] P dq dp Ft Ft M adaptiert E P [ M t ] E [ P E [ P dq ]] dp F [ t = E P dq ] dp < integrierbar E P [M t F s ] = E [ P E [ ] ] P dq [ ] Ft Fs = E P dq Fs = Ms dp dp 14
1.2 Anlagestrategien und stochastisches Integral Wir wollen nun das Konzept einer Anlagestrategie mathematisch formalisieren. Annahme. I = N, d.h diskretes Marktmodell Anlagestrategie bleibt zwischen den Zeitpunkten n 1 und n unverändert Eine Anlagestrategie kann nur auf Information aus der Vergangenheit basieren (kein in die Zukunft schauen oder Insiderinformation) Definition. Eine Strategie ξ n = ( ) ( ) ξn, 0 ξ n = ξ 0 n,..., ξn d n N ist ein Rd+1 -wertiger stochastischer Prozess für den gilt. Bemerkung. ξ n F n 1, n N ( ) Eigenschaft ( ) heißt Vorhersehbarkeit (vorhersehbar = predictable). ξ i n steht für die Anzahl der Wertpapiere S i, die im Zeitraum (n 1, n] gehalten werden. Negative Werte von ξ i n stehen für Leerverkäufe (short sale) und werden durch Lieferverpflichtung gegen Kaution (collateral) realisiert. Durch diese Definition ist ξ zum Zeitpunkt 0 nicht definiert, wir verwenden daher die Konvention ξ 0 = ξ 1 Definition. Der Strategie ξ wird der Wertprozess (WP) zugeordnet. V n = ξ n S n = d ξns i n i Im allgemeinen muss beim Umschichten des Portfolios zum Zeitpunkt n Geld zugeschossen oder abgezogen werden, und zwar i=0 δ n := ξ n+1 S n }{{} ξ n S n }{{} W ert nach Umschichten W ert unmittelbar vor Umschichten 15
Definition. Eine Strategie ξ heißt selbstfinanzierend (SF), wenn δ n = ξ n+1 S n ξ n S n = 0, n N Interpretation. Einer selbstfinanzierenden Strategie wird kein Geld zugeschossen oder abgezogen. Ziel. Verbindung zwischen SF-Eigenschaft, diskretem stochastischem Integral und Martingaleigenschaft herstellen. Lemma 1.6. Sei ξ eine selbstfinanzierende Strategie. Dann lässt sich der Wertprozess V schreiben als n V n = V 0 + ξ k (S k S k 1 ) ( ) Beweis. V n = V 0 + k=1 n ( ) SF= ξk S k ξ k 1 S k 1 V0 + k=1 n ξ k (S k S k 1 ) k=1 Definition. Sei X ein adaptierter und H ein vorhersehbarer stochastischer Prozess bzgl. der Filtration (F n ) n N. Dann heißt (H X) n := n H k (X k X k 1 ) (n N) k=1 diskretes stochastisch Integral von H bzgl. X. Bemerkung. Mit dieser Definition können wir ( ) kompakt schreiben als V n = V 0 + ( ξ S ) n Definition. Ein stochastischer Prozess (H n ) n N heißt lokal beschränkt, wenn jedes H n eine beschränkte Zufallsvariable ist, d.h. B n R : H n B n, n N Theorem 1.7. Sei X ein adaptierter stochastischer Prozess. Dann ist X ein Martingal genau dann, wenn auch das stochastische Integral (H X) für jeden lokal beschränkten vorhersehbaren Prozess H ein Martingal ist. 16
Interpretation. stochastische Integration erhält Martingaleigenschaft Ein fairer Finanzmarkt lässt sich auch durch ausgeklügeltste Anlagestrategien nicht in einen vorteilhaften Finanzmarkt verwandeln. Beweis. Adaptiertheit von (H X) folgt aus Definition H n B n E [ H n (X n X n 1 ) ] B n E [ X n + X n 1 ] < E [(H X) n ] < [ n ] E [(H X) n F n 1 ] = E H k (X k X k 1 ) F n 1 k=1 = (H X) n 1 + E[ H }{{} n (X n X n 1 ) F n 1 ] F n 1! = (H X) n 1 + H n E [(X n X n 1 ) F n 1 ] }{{} =0 = (H X) n 1 Fixiere N N und betrachte lokal beschränkten vorhersehbaren Prozess H n = 1 {n=n} Es gilt: (H X) N 1 = 0 und (H X) N = X N X N 1 Da (H X) Martingal folgt: 0 = E [(H X) N F N 1 ] = E [(X N X N 1 ) F N 1 ] = E [X N F N 1 ] X N 1 X N 1 = E [X N F N 1 ] N N Zur Erinnerung: (S 1,..., S d )... Wertpapiere, S 0... Numeraire/Verrechnungskonto Nicht in Wertpapieren investiertes Kapital kann auf Verrechnungskonto angelgt werden. 17
Vergleich von Vermögenswerten zu unterschiedlichen Zeitpunkten k, n nur in Relation zu Numeraire sinnvoll Definition. Der R d -wertige stochastische Prozess X n = ( X 1 n,..., X d n heißt diskontierter Wertpapierprozess. ( ) ) S 1 = n Sn 0,..., Sd n Sn 0, n N Gegeben die Strategie ξ mit Wertprozess V, dann heißt diskontierter Wertprozess zu ξ. Lemma 1.8. Ṽ n = V n S 0 n a) Der diskontierte Wertprozess einer selbstfinanzierenden Strategie ξ = (ξ 0, ξ) erfüllt Ṽ n = V 0 + (ξ X) n, n N b) Sei ξ ein R d -wertiger vorhersehbarer Prozess. Dann ist ξ = (ξ 0, ξ) eine selbstfinanzierende Strategie genau dann, wenn ξ 0 n = V 0 + (ξ X) n ξ n X n, n N Interpretation. Wenn wir mit diskontierten Größen arbeiten ist es nicht nötig ξ 0 anzugeben. Stattdessen reicht es ξ und das Anfangskapital V 0 anzugeben. Beweis. a) Ṽ n = V 0 + = V 0 + n (Ṽk Ṽk 1) k=1 n k=1 ( ξ k S k Sk 0 ξ ) k 1 S k 1 Sk 1 0 18
SF = V0 + = V 0 + n k=1 ( Sk ξ k Sk 0 S ) k 1 Sk 1 0 n ξ k (X k X k 1 ) k=1 = V 0 + (ξ X) n b) δ n =ξ 0 n+1s 0 n ξ 0 ns 0 n + ξ n+1 S n+1 ξ n S n δ n Sn 0 =ξn+1 0 ξn 0 + ξ n+1 X n+1 ξ n X n : δ n Sn 0 = 0, n N Aufsummieren: n 0 =ξn+1 0 ξ0 0 ξ k (X k X k 1 ) k=1 +ξ n+1 X n+1 ξ 0 X 0 ξn+1 0 =V 0 + (ξ X) n+1 ξ n+1 X n+1 : δ n Sn 0 =ξ n+1 (X n+1 X n ) + ξ n X n ξ n+1 X n+1 +ξ n+1 X n ξ n X n = 0 Korollar 1.9. Sei der diskontierte Wertpapierprozess X ein Martingal und ξ eine selbstfinanzierende Strategie. Dann ist auch der diskontierte Wertprozess ein Martingal. Ṽ n = V 0 + (ξ X) n Korollar 1.10. Sei X ein adaptierter stochastischer Prozess. Wenn für jeden lokal 19
beschränkten vorhersehbaren Prozess H E [(H X) T ] = 0 gilt, dann ist (X n ) n {0,...,T } ein Martingal. 1.3 Stoppzeiten und Martingalungleichungen Definition. Eine Zufallsgröße τ : Ω I {+ } heißt Stoppzeit bzgl. der Filtration (F t ) t I, wenn {τ t} F t, t I Interpretation. Zu jedem Zeitpunkt t ist mit Sicherheit bekannt ob τ bereits vorbei ist ( τ t ) oder noch nicht ( τ > t ). Bemerkung. τ darf den Wert annehmen! Mit der Notation t τ := min{t, τ} können wir den gestoppten Prozess X t τ : ω X t τ(ω) (ω) definieren. Für f.s. endliche Stoppzeiten (P [τ < ] = 1) ist auch die Zufallsgröße X τ : ω X τ(ω) (ω) wohldefiniert. Sie lässt sich (für I = N 0 ) als schreiben. Ab jetzt sei I = N X τ = 1 {τ=t} X t t=0 Theorem 1.11 (Optionales Stoppen). Sei X ein Martingal und τ eine Stoppzeit bzgl. einer Filtration (F t ) t I. Dann ist auch der gestoppte Prozess X t τ ein Martingal bzgl. (F t ) t I. Beweis ist Übungsaufgabe. Anwendung. Betrachte Wette auf unabhängige faire Münzwürfe: Y := laufender Gewinn: S t = t i=0 Y i natürliche Filtration: F t := σ(y 0,..., Y t ) { +1, mit W-keit 1 2 1, mit W-keit 1 2 20
Frage: Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass S den Wert +A vor dem Wert B erreicht? Ansatz: Definiere Ereignis: Definiere Stoppzeit: Es gilt D := {S erreicht + A vor B} τ := min{t N 0 : S t = A oder S t = B} {τ t} = t ({S k = A} {S k = B}) F t }{{} F k F t k=0 d.h. τ ist Stoppzeit. Des weiteren ist S ein (F t )-Martingal. (S t τ ) ist (F t )-Martingal E [S t τ ] = E [S 0 τ ] = E [S 0 ] = 0, t 0 Wir wollen t gehen lassen. Definiere Ereignis: E k := {Y i = +1, i {k(a + B),..., (k + 1)(A + B) 1}} = (A + B) Gewinne hintereinander P [E k ] = 2 (A+B) (wg. Unabhängigkeit) Wenn E k eintritt, dann gilt τ < k + 1 Umkehrung: P [τ > k(a + B)] = P [ E0 c E1 c... Ek 1 c ] = (1 P [E 0 ]) k (wg. Unabhängigkeit) = (1 2 (A+B) ) k k 0 P [τ = ] lim P [τ > k(a + B)] = 0 k P [τ < ] = 1 21
Des weiteren S t τ max(a, B) E [S τ ] = lim t E [S t τ ] = 0 Andererseits gilt: E [S τ ] = B P [S τ = B] + A P [S τ = A] = B + (A + B) P [S τ = A] = 0 P [S τ = A] = B A + B Die Wahrscheinlichkeit, dass S den Wert +A vor B erreicht ist also B A+B Lemma 1.12 (Bedingte Jensen sche Ungleichung). Sei Φ : R R eine konvexe Funktion, X L 1 (Ω, F, P), Φ(X) L 1 (Ω, F, P) und G F. Dann gilt: Φ(E [X G]) E [Φ(X) G] f.s. Beweis. Sei L := {L(x) = ax + b : L(x) Φ(x), x R} (lineare Funktionen, die unter dem Graph von Φ liegen) Für Φ : R R konvex gilt Φ(x) = sup L(x) L L Daher: [ E [Φ(X) G] = E sup L L ] L(X) G sup E [L(X) G] L L = sup L(E [ X G]) L L = Φ(E [X G]) (Monotonie) (Linearität) Theorem 1.13. Sei X ein Martingal, Φ : R R konvex und E [ Φ(X t ) ] < t I. Dann ist (Φ(X t )) t I ein Submartingal. 22
Beweis. Φ(X t 1 ) Marting. = Φ(E [X t F t 1 ]) Jensen E [Φ(X t ) F t 1 ] Bemerkung. Insbesondere gilt: X Martingal X Submartingal X Martingal, E [ X t p ] < X p Submartingal (p > 1) Theorem 1.14 (Doobsche Maximalungleichung). Sei X ein Martingal oder ein nichtnegatives Submartingal und λ > 0. Dann gilt: [ ] P (max X k ) λ k t E [ X t ], t I λ Bemerkung. Die Ungleichung liefert eine Abschätzung des laufenden Maximums durch den Endwert. Beweis. Wir setzen Y t = X t, Z t = max k t X t. Nach Theorem 1.13 ist Y ein nichtnegatives Submartingal. Definiere Stoppzeit τ = min{k : Y k λ} Es gilt: P [Z t λ] = P [τ t] (I) Des weiteren: λ 1 (τ t) Y τ 1 (τ t) (II) t = Y k 1 (τ=k) k=0 Außerdem: [ ] E[Y t 1 (τ=k) ] = E E [Yt F k ] 1 (τ=k) (III) }{{} F k E [ ] Y k 1 (τ=k) für k t 23
Wir folgern: λ P [Z t λ] (I) = λ P [τ t] = E [ λ 1 (τ t) ] (II) = (III) = E t E [ ] Y k 1 (τ=k) k=0 t E [ ] Y t 1 (τ=k) k=0 [ Y t ] t 1 (τ=k) k=0 = E [Y t P [τ t]] (I) = E [ ] Y t 1 (Zt λ) (Y 0) E [Y t ] Bemerkung. Als Nebenresultat erhalten wir aus dem Beweis λ P [Z t λ] E [ ] Y t 1 (Zt λ) ( ) Theorem 1.15 (Doob s L p -Ungleichung). Sei X ein Martingal oder nichtnegatives Submartingal und p > 1. Dann gilt: [ ] 1 E (max X k ) p p p k t p 1 E [ X t p ] 1 p d.h. max X k k t p p p 1 X t p Bemerkung. X p := E [ X p ] 1 p Wichtigster Fall: p = 2 ist die Norm des Banachraums L p (Ω, F, P). Beweis. Setze Y t = X t, Z t = max k t X t wie im Beweis von Theorem 1.14. Definiere: Z n := max(z t, n) für n N 0 Es gilt: z p = p z 0 x p 1 dx = p 0 x p 1 1 (x z) dx 24
Einsetzen von Z n für z Bilden von Erwartungen: Z p n = p 0 x p 1 1 (x Zn)dx Höldersche Ungleichung: E [Z p n] = p p 0 x p 1 P [x Z n ] dx x p 2 E [ Y t 1 (x Zn)] dx 0 [ ] = p E Y t x p 2 1 (x Zn)dx 0 [ ] = p E Y t Zn 0 x p 2 dx = p p 1 E [ Y t Zn p 1 ] E [A B] A p B q, für 1 p + 1 q = 1, p, q [1, ) Lemma von Fatou liefert: E [Zn] p p p 1 Y t p Z p 1 n 1 p + 1 = 1 p = q(p 1) q [ ] 1 Z p 1 q p = E = E [Zn] p 1 q = E [Zn] p 1 1 p n Z n p = E [Z p n] 1 p Z q(p 1) n E [Z p n] 1 p p p 1 Y t p q = lim inf n E [Zp n] 1 p p p 1 Y t p 25
Literatur 26