eckugsrückstellug 33 4 eckugsrückstellug iel: erfhre zur Erittlug des Wertes eies ersicherugsvertrgs ud der zur eckug der Risike ötige Rückstelluge des ersicherugsuterehes. Proble: Präie werde kostt gezhlt, Risiko ädert sich ber währed Lufzeit. Beispiel: (Risikolebesversicherug ch A 1994 T it 2,75%) ersicherugseher älich, 30 Jhre Lufzeit ud Beitrgszhlugsduer 20 Jhre ersicherugssue 100.000 jährlich zu zhlede Nettopräie kostt 237,68 türliche Präie q 100.000 vriiert 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 gezhlte Präie türliche Präie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Jhr
eckugsrückstellug 34 4.1 Spektre eier ersicherug ud Nettodeckugsrückstellug I Folgede sei stets ds Beitrittslter der versicherte Perso die Lufzeit der ersicherug bereits verstrichee Jhre seit ersicherugsbegi efiitio: (Spektru) Als Spektru eies zufällige hlugsstros bezeiche wir die Fuktio S: N R, die jede eitpukt N die vereibrte deteriistische hlug bei Eitritt des etsprechede Ereigisses zuordet. ie Fuktio E: N R heißt Erlebesfllspektru eier ersicherug, we bei der ersicherug ch Jhre eie Erlebesfllleistug i Höhe vo E() für lle 1, 2,, fällig wird. ie Fuktio T: N R heißt Todesfllspektru eier ersicherug, we bei der ersicherug ch Jhre eie Todesfllleistug i Höhe vo T() für lle 1, 2,, fällig wird. ie Fuktio B: N R heißt Beitrgsspektru eier ersicherug, we bei der ersicherug zu Begi des -te Jhres bei Erlebe ei Beitrg i Höhe vo B() für lle 1, 2,, fällig wird. efiitio: (Leistugs- ud Beitrgsbrwert) Für eie ersicherug it Spektre E, T ud B ist der Leistugsbrwert ch Jhre seit ertrgsbegi defiiert ls LB : 1 ( + 1p + E( µ + + 1) + µ p q +µ T( µ + + 1) ) µ µ 0 sowie der Beitrgsbrwert ch Jhre seit ertrgsbegi defiiert ls BB : 1 µ p B( µ + + 1) µ 0 v µ v µ+ 1
eckugsrückstellug 35 Aerkug: Wege des Äquivlezprizips gilt offesichtlich 0 LB 0 BB. Beispiel: (Kpitllebesversicherug it ersicherugssue 1) LB µ 0 1 ( p E( µ + + 1) + p q T( µ + + 1) ) µ+ 1 1 M A µ µ 0 p M : q +µ + v µ+ 1 + µ µ+ 1 p +µ v v µ+ 1 Für vorher bestite Jhrespräie P geäß des Äquivlezprizips P A ä : : gilt ußerde BB 1 µ µ 0 P ä p : P v µ N P N Stz: Gilt für eie ersicherug it Spektre E, T ud B, dss für lle 1, 2,, die Gleichug LB BB erfüllt ist, d ist die hlug türlicher Beiträge vereibrt. Beweis: urch Iduktio über it Begi 1.
eckugsrückstellug 36 efiitio: (Prospektive eckugsrückstellug) ie prospektive eckugsrückstellug zu eitpukt eies ertrgs it Spektre E, T ud B ist defiiert ls pro : LB BB Aerkug: ie prospektive eckugsrückstellug ist der Brwert (bgezist it de Rechugszis) der zuküftige Leistuge, die bereits durch Beitrgszhluge durch de ersicherugseher gedeckt sid. Ist die prospektive eckugsrückstellug größer 0, so bestehe Reserve. er ersicherugseher ht i der erggeheit ehr Beiträge eigezhlt ls für die eckug der Leistuge ötig wr. Ist die prospektive eckugsrückstellug kleier 0, so htte der ersicherugseher i der erggeheit Aspruch uf Leistuge die höher wre ls seie Beiträge. Küdigt der ersicherugseher i so eier Situtio, so etsteht für ds ersicherugsuterehe ei efizit. efiitio: (Leistugs- ud Beitrgsedwert) Für eie ersicherug it Spektre E, T ud B ist der Leistugsedwert ch Jhre seit ertrgsbegi defiiert ls LE : 1 1 µ r ( µ + 1p E( µ + 1) + µ p qµ T( µ + 1) ) µ 0 p sowie der Beitrgsedwert ch Jhre seit ertrgsbegi defiiert ls BE : 1 µ r µ p B( µ + 1) µ 0 p efiitio: (Retrospektive eckugsrückstellug) ie retrospektive eckugsrückstellug zu eitpukt eies ertrgs it Spektre E, T, ud B ist defiiert ls retro : BE LE
eckugsrückstellug 37 Stz: (Gleichheit der Berechugsethode der eckugsrückstellug) Sei eie ersicherug it Spektre E, T ud B gegebe, d gilt für beliebige 0 retro pro. Beweis: Wege der ögliche erlegug jedes Brwerts zu ersicherugsbegi i eie retrospektive ud eie prospektive zu eie eitpukt 0 i der For L B 0 v p LE + v p LB ud 0 v p BE + v p BB ud der Gleichheit vo L 0 ud B 0 geäß des Äquivlezprizips folgt v p (BE LE ) v ud dit die Behuptug. p (LB BB ) Aerkug: Wichtig für de Beweis ist, dss die Präie ch de gleiche Rechugsgrudlge erittelt werde wie die Leistugsbrwerte ud dit ds Äquivlezprizip wedbr ist. Nch der eregulierug ist es ber prizipiell öglich die Leistuge sicherer ls ötig zu reserviere. I diese Fll gilt der Stz icht ehr. Für die Bilzierug ist uf jede Fll die prospektive der retrospektive Methode vorzuziehe. er retrospektive Astz eier eckugsrückstellug i der ersicherugsbilz ist ch 341f Abs.1 HGB ur d zulässig, we der Wert der zuküftige erpflichtuge oder Beiträge icht erittelt werde k. er Ide retro ud pro wird üblicherweise weggelsse, we beide Methode äquivlet sid, lso isbesodere we die Präie über ds Äquivlezprizip bestit sid.
eckugsrückstellug 38 Stz: (Beitrgsdifferezforel) Sei eie ersicherug it Spektre E ud T gegebe ud seie P ud P für beliebige 0 die ch de Äquivlezprizip klkulierte Präie für die ersicherug it Eitrittslter bzw., d gilt für die Beitrgsspektre B P ud B P (P P ) ä : Beweis: ei kostter Beitrg der Höhe P gezhlt wird, gilt : LB BB LB P ä. : Wege der Berechug der Präie P geäß der Äquivlezgleichug gilt ußerde LB 0 LB P ä. : it folgt die Behuptug. 4.2 Nettodeckugsrückstellug für typische ersicheruge ie Altersrete: Nch eier Wrtezeit vo Jhre (die sog. Aufschubzeit) ohe Erlebes- ud Todesfllleistug, i der 1 t Jhre Beiträge gezhlt werde, wird eie lebeslge, jährliche Rete der Höhe 1 gewährt. 0 E ( µ ) 1, flls 1 µ <, flls µ ω T(µ) 0 für lle 1 µ ω ä N P B( µ ) ä N N :t 0 t, flls 1 µ t, flls t < µ
eckugsrückstellug 39 rus ergibt sich für ds eckugskpitl ch prospektiver Berechug i Fll 0 < t ä für t < ä ud für P ä N :t N ä. N N N N t N N Kokreter erluf für 30, t 20, 35 ud eier Jhresrete vo 1.000 ch der Tfel A 1994 RM it Rechugszis 2,75 %: t, 18.000 16.000 14.000 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 LB BB
eckugsrückstellug 40 ie reie Risikoversicherug: Währed der ertrgslufzeit vo Jhre wird i Todesfll eie Leistug vo 1 fällig. Erlebesfllleistuge werde icht gewährt. Beitrgszhlugsduer ist 1 t. E(µ) 0 für lle 1 µ T(µ) 1 für lle 1 µ ν B( P ) 0 A M N M N µ ä:t t, flls 1 µ t, flls t < µ rus ergibt sich für ds eckugskpitl ch prospektiver Berechug i Fll 0 < t A ud für t P ä :t M M M A. M M N M N t N N Kokreter erluf für 30, t 30, 35 ud eier ersicherugssue vo 100.000 ch der Tfel A 1994 TM it Rechugszis 2,75 %: t, 18.000 16.000 14.000 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0 0 5 10 15 20 25 30 35 LB BB
eckugsrückstellug 41 ie Kpitllebesversicherug: Währed der ertrgslufzeit vo Jhre wird i Todesfll eie Leistug vo 1 ud zu ersicherugsede eie Erlebesfllleistuge vo 1 fällig. Beitrgszhlugsduer ist 1 t. 0 E ( µ ) 1, flls 1 µ <, flls µ T(µ) 1 für lle 1 µ ν A : M M + P B( µ ) ä N N :t t 0, flls 1 µ t, flls t < µ rus ergibt sich für ds eckugskpitl ch prospektiver Berechug i Fll 0 < t A : M M ud für t P ä :t + M M + N N M M + A. : t N N Kokreter erluf für 30, t 30, 35 ud eier ersicherugssue vo 10.000 ch der Tfel A 1994 TM it Rechugszis 2,75 %: 12.000 10.000 t, 8.000 6.000 4.000 LB BB 2.000 0 0 5 10 15 20 25 30 35
eckugsrückstellug 42 4.3 Rekursiosforel, Spr- ud Risikobeitrg iel: Jährliche eräderug der eckugsrückstellug soll geuer utersucht werde. Astz: er jährliche Kpitlfluss uss usgegliche sei: ie Sue us der vorhdee eckugsrückstellug zu Begi des Jhres ud der Beitrgseihe etspreched verzist uss die Sue us der eckugsrückstellug Ede des Jhres ud der zu erwrtede Leistuge sei. ( 1 + B()) (1+ i) p 1 + p 1 E() + q 1 Löst ch uf, so ergibt sich: p 1 1 ( 1 q + B()) (1+ i) E() p oder durch Kouttioswerte usgedrückt 1 1 1 C 1 ( 1 + B()) E() T(). T() T(). use it 0 0 lässt sich it dieser Rekursiosforel der erluf der eckugsrückstellug über die geste Lufzeit der ersicherug erittel.
eckugsrückstellug 43 Löst die Gleichug des Kpitlflusses ch B() uf, so erhält eie erlegug des gezhlte Beitrgs: p B() 1+ i (1 q 1 ( 1 q 1 + E()) + T() 1 1+ i ) v ( + E()) + q v T() 1 v ( 14 444 + E()) 24444 1 3 + q 1 v (T() 1444 2 E()) 4443 S :B () :R() 144444244444 3 oder durch Kouttioswerte usgedrückt R :B () 1 C 1 B() v ( 14 444 + E()) 24444 1 3 + v (T() 1444 2 E()) 4443 S 1 :B () :R() 144444 2444444 3 :B R () Bezeichuge: B S () R() B R () Sprbeitrg i -te Jhr Teil des Beitrgs, der zur Erhöhug der eckugsrückstellug ud zur Sicherug der Erlebesfllleistug zu Ede des -te Jhres diet, uf de Jhresbegi bgezist risikiertes Kpitl i -te Jhr zu erbrigede Todesfllleistug bzüglich de bereits gesprte Kpitl Ede des -te Jhres Risikobeitrg i -te Jhr Teil des Beitrgs, der für die eckug des Todesfllrisikos zu Ede des -te Jhres ufgebrcht werde uss, uf de Jhresbegi bgezist
eckugsrückstellug 44 Beispiel: (Spr- ud Risikobeitrg eier Kpitllebesversicherug) Für < ist bei eier Kpitllebesversicherug die Todesfllleistug kostt T() 1, lso B S () v 1 ud B R () q 1 v (1 ). Für ist die eckugsrückstellug 1 ud sie wird vollstädig ls Erlebesfllleistug usgezhlt B S () v 1 ud B R () 0. Kokreter erluf des Spr- ud Risikobeitrgs für 30, t 30 ud eier ersicherugssue vo 10.000 ch der Tfel A 1994 TM it Rechugszis 2,75 % (ergibt eie Jhresbeitrg vo 230,99 ): 250 200 150 100 Risikobtg. Sprbtg. 50 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
eckugsrückstellug 45 4.4 Gezillerte ud usreichede eckugsrückstellug 4.4.1 illerreserve Geäß de Astz der illerkoste α werde diese sofort zu Begi der ersicherug verrechet. ergleich die ugezillerte Präie P it der gezillerte Präie P, so gilt geäß des Äquivlezprizips für eie ersicherug it Leistugsbrwert A: P ä :t ud dit P :t A + α A α α + P +. ä ä ä :t :t Auswirkug uf die eckugsrückstellug: s Todesfll- ud Erlebesfllspektru bleibt durch die illerug uverädert ud dit uch der Leistugsbrwert LB. s Beitrgsspektru erhöht sich u eie kostte, dditive Ter für lle 1 t uf B () P α B() + ä :t, ud es ergibt sich ei etspreched odifizierter Beitrgsbrwert BB. urch die Berücksichtigug der illerug ergibt sich für die gezillerte eckugsrückstellug α, ä LB BB ä :t :t, für < t, für t
eckugsrückstellug 46 Soderfll: 0 α 0 0 ä 0 ä :t :t α ie gezillerte eckugsrückstellug ist zu Begi ier gleich de egtive illerkoste. Beispiel: (illerreserve eier Kpitllebesversicherug) Kokreter erluf der ugezillerte ud gezillerte eckugsrückstellug für 30, t 20, 30, eier illerug vo 40 der Beitrgssue ud eier ersicherugssue vo 10.000 ch der Tfel A 1994 TM it Rechugszis 2,75 % Jhresbeitrg ugezillert: 301,35 Jhresbeitrg it 40 der Beitrgssue gezillert: 317,90 030 254,32 10.000 9.000 8.000 7.000 6.000 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0-1.000 ugezillert gezillert 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
eckugsrückstellug 47 4.4.2 Ausreichede eckugsrückstellug Berücksichtigt ebe de illerkoste uch och lle weitere Koste, so spricht bei der sich drus ergebede eckugsrückstellug vo der usreichede eckugsrückstellug. efiitio: (Kostespektru ud -Brwert) ie Fuktio Γ: N R heißt Kostespektru eier ersicherug, we bei der ersicherug zu Begi des -te Jhres bei Erlebe α γ -, β- ud γ-koste i Höhe vo Γ() für lle 1, 2,, fällig werde. er Kostebrwert sei log des Beitrgsbrwertes defiiert ls ΓB : 1 µ p Γ( µ + + 1) µ 0 v µ Aerkug: β-koste ur flle, we uch Beiträge gezhlt werde, ud diese defiitiosgeäß ier kleiergleich des Beitrgs sid, köte sie geu so i Beitrgsbrwert berücksichtige. Wege des Sldierugsverbots der Bilzierug werde die Ikssokoste ber uch ier seprt geführt. efiitio: (usreichede eckugsrückstellug) ie usreichede eckugsrückstellug zu eitpukt eies ertrgs it Spektre E, T, B ud Γ ist defiiert ls : LB + ΓB BB
eckugsrückstellug 48 Rekursiosforel it Koste: ie Sue us der vorhdee eckugsrückstellug zu Begi des Jhres ud der Beitrgseihe bzüglich der Koste etspreched verzist uss die Sue us der eckugsrückstellug Ede des Jhres ud der zu erwrtede Leistuge sei. ( 1 + B() Γ()) (1 + i) p 1 Löst ch p 1 1 ( 1 + p 1 E() + q uf, so ergibt sich: 1. T() q + B() Γ()) (1+ i) E() p oder durch Kouttioswerte usgedrückt 1 1 1 C 1 ( 1 + B() Γ()) E() T(). T() use it α lässt sich it dieser Rekursiosforel der erluf der eckugsrückstellug über die geste Lufzeit der ersicherug erittel. Beitrgszerlegug it Koste: Löst die Gleichug des Kpitlflusses ch B() uf, so erhält eie erlegug des gezhlte Beitrgs: B() B S () + B R () + Γ { () :B K () Bezeichuge: B K () Kostebeitrg i -te Jhr Teil des Beitrgs bzw. der eckugsrückstellug, der für Iksso- ud erwltugskoste ufgewedet wird
eckugsrückstellug 49 Kostereserve: Edet die Beitrgszhlug vorzeitig, so üsse die Koste us der eckugsrückstellug getilgt werde. ie Rückstellug für die zuküftige Aufwäde Koste wird durch de erwltugskostebrwert gebildet. Sid die erwltugskoste für eie ertrg etw kostt Γ, d gilt ΓB Γ ä Γ ä ä: Γ : ä :t : ä :t, für < t, für t Beispiel: (Beitrgszerlegug eier Kpitllebesversicherug) Kokreter erluf des Spr-, Risiko- ud Kostebeitrgs für 30, t 20 ud 30 ud eier ersicherugssue vo 10.000 ch der Tfel A 1994 TM it Rechugszis 2,75 %. Als Koste werde berücksichtigt: α: 40 der Beitrgssue β: 2% des Beitrgs γ: 2 der ersicherugssue Als usreichede Jhrespräie ergibt sich 352,87 Nch Beitrgszhlugsede i 20. Jhr uss eie Kostereserve i Höhe vo γ S ä 20 ä t: t 50:10 + 170,88 zurückbehlte werde, us der die zuküftige erwltugskoste vo jährlich 20 getilgt werde. 400,00 350,00 300,00 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 0,00-50,00 Kostebtg. Risikobtg. Sprbtg. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
eckugsrückstellug 50 4.5 Bilzrückstellug Für de Jhresbschluss der ersicherug uss die eckugsrückstellug ller erträge zu 31.12. erittelt werde. der ersicherugsbegi ur zufällig der 01.01. ist, uss dzu lier iterpoliert werde. Ist die Huptfälligkeit eies ertrgs zu Erste des Mots h {1,, 12} i -te ersicherugsjhr, d ist die Bilzrückstellug für de uf die -te Huptfälligkeit folgede Jhresbschluss defiiert ls 13 h 12 h 1 12 13 h 12 B + ( + 1 ) + + 1 Aerkuge: ie Bilzrückstellug bezieht sich ier uf die usreichede eckugsrückstellug iklusive ggf. zu bildeder erwltugskosterückstelluge ( 341f (1) ud (2) HGB, 25 Rechers). Wege des orsichtsprizips der HGB-Bilz dürfe egtive Rückstelluge icht it positive verrechet werde, d.h. sie werde uf 0 gesetzt. Negtive Bilzrückstelluge dürfe llerdigs ktiviert werde (d.h. ls Forderuge gegeüber de Kude uf die Aktiv-Seite gestellt werde), we sie us der illerug resultiere ( 15 (1) Rech- ers). ie versicherugsthetische Methode ud Berechugsgrudlge bei der Erittlug der Bilzrückstellug üsse i Ahg der Bilz veröffetlicht werde ( 52 Rechers).
eckugsrückstellug 51 4.6 Grtiewerte Regelug für Uwdlug i eie präiefreie ersicherug geäß 174 ud 175 G: ie Berechug der beitrgsfreie ersicherugsleistug ist it de Rechugsgrudlge der Präieklkultio vorzuehe. Für de Fll, dss die vereibrte Midestversicherugssue oder -rete icht erreicht wird, ht der ersicherer de uf die ersicherug etfllede Rückkufswert zu ersttte. ie präiefreie Leistug ist uf de Schluss der lufede ersicherugsperiode uter Berücksichtigug vo Präierückstäde zu bereche. er ersicherer ist zu eie Storobzug ur berechtigt, we dieser vereibrt ud geesse ist. Regeluge über de Rückkufswert geäß 176 G: Ei Rückkufswert wird fällig bei Aufhebug des ertrgs durch Rücktritt, Küdigug oder Afechtug orussetzug: Es liegt eie Kpitlversicherug uf de Todesfll der Gestlt vorliegt, dss der Eitritt der erpflichtug des ersicherers zur hlug des vereibrte Kpitls gewiss ist. Bei solche ersicheruge wird der Rückkufswert uch i Fll des Selbstordes der versicherte Perso fällig. er Rückkufswert ist ch de erkte Regel der ersicherugsthetik für de Schluss der lufede ersicherugsperiode ls eitwert (eckugsrückstellug + Gewie) der ersicherug zu bereche. Präierückstäde werde vo Rückkufswert bgesetzt. er ersicherer ist zu eie Storobzug ur berechtigt, we dieser vereibrt ud geesse ist. Grüde für Storobzug: Erstttug och icht getilgter Aufwäde bei ertrgsbschluss erlust durch ugeplte Auflösug lgfristiger Kpitllge egtive Risikouslese kopesiere
eckugsrückstellug 52 Beispiel: (Beitrgsfreistellug bzw. Rückkuf eier Kpitllebesversicherug) Für eie Kpitllebesversicherug it de te 30, t 30 ud eier ersicherugssue vo 10.000 ch der Tfel A 1994 TM it Rechugszis 2,75 % soll ch 20 Jhre die beitrgsfreie ersicherugssue ud der Rückkufswert bestit werde. Aus de orgbe ergibt sich: Jhresettopräie: P 230,99 eckugsrückstellug ch 20 Jhre: 20 30 5.739,82 Soll die ersicherug die restliche 10 Jhre präiefrei geführt werde, so uss die eue ersicherugssue S geäß des Äquivlezprizips bestit werde (it Storobzug s()): s() S A : lso etw für eie Storobzug s(20) 95% s() S A : 0,95 5.739,82 0,752044 7.250,68. Etspreched erittelt sich der Rückkufswert zu R s() 0,95 5.739,82 5.452,83. erluf der eckugsrückstellug bei eier Beitrgsfreistellug ch 20 Jhre: 9.000 8.000 7.000 6.000 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0 0 5 10 15 20 25 30 LB BB
eckugsrückstellug 53 4.7 Techische ertrgsäderuge Nebe Beitrgsfreistellug ud Küdigug werde ersicherugseher häufig och dere ertrgsäderuge eröglicht. efiitio: Eie techische ertrgsäderug ist eie ertrgsäderug, bei der sich idestes eies der folgede te ädert Präie Sue bzw. Rete Trif Geburtsdtu der versicherte Perso(e) Abluf der Beitrgszhlugsduer Abluf der ersicherugsduer Kobitio vo Präieäderug it Ei-/Auszhlug der eckugsrückstellug. Typische techische ertrgsäderuge sid etw Erhöhuge ud Beitrgsdyike, Reduzieruge, erlägeruge, erkürzuge, Wiederikrftsetzuge, errechug vo Werte.
eckugsrückstellug 54 4.7.1 Methode der urchführug ie vier folgede Methode ud dere Kobitio sid llgeei üblich, u die Kudewüsche it de thetische, betriebswirtschftliche ud rechtliche Aforderuge i Übereistiug zu brige: 1. ertrgsäderug durch Neubschluss er ursprügliche ertrg wird so belsse, wie er sich zu Äderugsteri drstellt. Techisch wird ei zweiter ertrg hizugefügt, der eigetlich uch lleie bschließbr wäre ud zuse it de ursprügliche ertrgsteil edet (selbstädige Nchversicherug). er ersicherugseher sieht bei seie eue ertrg ur eie Präie ud eie Rückkufswert. Nur sivoll etw bei Erhöhug, Wiederikrftsetzug, uzhluge. 2. ertrgsäderug durch uzhlug zur eckugsrückstellug Hierbei wird für de geäderte ertrg etweder die ersicherugssue zur gegebee Präie oder die eue Präie zur gegebee ersicherugssue gerechet. ie ifferez der eckugsrückstellug zu Äderugsteri wird vo ersicherugseher chgezhlt. 3. ertrgsäderug durch eckugskpitlvergleich ( Begiverlegug ) Für de geäderte ertrg wird ei hypothetischer Begi gesucht, so dss die eckugsrückstelluge des lte ud eue ertrgszustdes zu Äderugsteri gleich sid. 4. ertrgsäderug durch kostruktive Beitrg urch uittelbre Awedug des Äquivlezprizips uf de eue ertrg werde zu Äderugsteri die Leistuge ud Gegeleistuge vergliche. Hierus wird d die eue Präie/Sue gerechet.
eckugsrückstellug 55 4.7.2 Beispiele für Äderuge Gegebe sei bei de folgede Beispiele eie Kpitllebesversicherug it de te 30, t 30, Todes- ud Erlebesfllleistug S 10.000 klkuliert ch der Sterbetfel A 1994 TM it 2,75 % Rechugszis. Es werde ußerde folgede Koste berücksichtigt: α: 40 der Beitrgssue β: 2% des Beitrgs γ: 2 der ersicherugssue chträglich ufgeschlgee Stückkoste: 20 it ist: P ä lso A P ä P 30:30 30:30 S A 30:30 + γ ä30:30 S 272,76 30 α ( 1 β) 30:30 + P β ä 30:30 P + Stückkoste 292,76 + S γ ä 30:30 + 30 α P ie techische Äderug soll jeweils ch 15 Jhre durchgeführt werde. Es ergibt sich zu diese eitpukt eie gezillerte eckugsrückstellug i Höhe vo 15 30 S A + (P β + S γ) ä P ä 45:15 45:15 45:15 3.835,23
eckugsrückstellug 56 Sueerhöhug bei 15 uf S () 15.000 Methode 1: (Äderug durch Neubschluss, ohe Stückkoste uf de zweite Teil) urch Bestiug der Präie für de Neubschluss 30+15; t 15 ud S (zus) 5.000 erhlte wir log obe stehede Äquivlezprizip P (zus) 315,99. ie Gestpräie ergibt sich us P,() P + P () 608,75. 16.000 14.000 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0-2.000 eu zus 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Methode 4: (kostruktiver Beitrg) Äquivlezprizip bei 15 (och ohe Stückkoste): P () ä 45:15 S () + 15 A 30 45:15 + (P () β + S () γ) ä 45:15 + 15 α (P () P Bechte, dss ur die Erhöhug der Präie it Abschlusskoste belstet wird. Es folgt P () 588,75 ud bei Berücksichtigug der Stückkoste P,() 608,75. ) Beide Methode sid offesichtlich äquivlet!
eckugsrückstellug 57 Lufzeitverlägerug bei 15 bei gleiche Beitrg erlägerug u 5 Jhre, d.h. Restlufzeit jetzt 20 Jhre b Äderugsteri. Methode 3: (Begiverlegug) erschiebe de ersicherugsbegi u k so, dss bei gleich bleibede Beitrg die eckugsrückstellug zu eitpukt 15 k öglichst uverädert bleibt. Geäß der Äquivlezgleichug gilt: P () () ä S A + (P β + S γ) ä + (35 k) α P 30+ k:35 k 30+ k:35 k 30+ k:35 k lso S () (1 β) ä A 30+ k:35 30+ k:35 k ud schließlich (35 k) α k P + γ ä 30+ k:35 k () () 15 k 30 + k S A + (P β + S γ) ä P ä 45:20 45:20 45:20 it ergibt sich folgede Tbelle k S () k 30 k 15 + -2 12.703,33 4.193,48-1 12.243,57 3.900,22 0 11.789,19 3.610,41 1 11.340,29 3.324,08 2 10.896,94 3.041,29. Offebr psst k 1 beste zur vorhdee eckugsrückstellug 3.835,23. Allerdigs üsste der ersicherugseher oder ds ersicherugsuterehe 64,99 zu der eckugsrückstellug zuschieße. Altertiv k uch k 0 gewählt werde ud die restliche 224,82 stehe zur Bildug eier beitrgsfreie ustzversicherug ch Methode 1 zur erfügug. rus ergäbe sich eie zusätzliche Leistug i Höhe vo S (zus) A 30:35 1 β α + γ ä 30:35 224,82 458,36
eckugsrückstellug 58 Methode 4: (kostruktive ersicherugssue) Äquivlezprizip bei 15 (ohe Stückkoste): () () P 45:20 45:20 ä + 1530 S A + (P β + S γ) ä + (20 15) α P 45:20 lso it P 272,76 S () ((1 β) ä A 45:20 45:20 5 α) P + + γ ä 45:20 15 30 12.056,11 ie Uterschiede zwische de beide Methode rühre huptsichlich vo de uterschiedliche eitpukte der illerug: Bei Methode 3 wird ier koplett bei 0 gezillert, bei Methode 4 ei Teil erst später bei 15. 4.7.3 or- ud Nchteile der Äderugsethode Methode 3: Methode 3 ädert de ertrgsbegi uf rei thetischer Art, ws de ersicherugseher keiesflls trspret ist. Bei Methode 3 ist zur Erklärug des ktuelle ustdes keie Historie otwedig. Wrtezeite, Berechuge zur Steuer oder zu Schlussüberschuss köe us de ktuelle Werte durchgeführt werde. te vor der techische Äderuge lsse sich icht ehr kosistet erittel, d gester ertrg geädert wurde. Bei Methode 3 lässt sich bzgl. jedes techische Teils die Präie ud die eckugsrückstellug us de Trifbuch chvollziehe. Methode 4: Bei Methode 4 ist zu erstädis des ustdes ier die Historie otwedig. Gegeüber de ersicherugseher köe us de ktuelle ertrgsstd ier ur die prospektive te drgestellt werde, us de historische Std llerdigs uch die retrospektive. Präie ud eckugsrückstellug hbe it de Trifbuch i.. ichts ehr zu tu.