Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur SoSe 2010 Hamburg, 08.10.2010 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:................................................................... Vorname:.................................................................... Matrikelnummer: Studienfach:................................................................. Fachsemester:............................................................... Name des Tutors:............................................................ Art der Anmeldung: STiNE FlexNow Zulassung unter Vorbehalt Versuch in Mathematik II: 1. 2. 3. Unterschrift der/des Studierenden: Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 13 Seiten. Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt. 1 15 2 15 3 15 4 15 5 15 6 15 Summe 90 Note
Aufgabe 1: Folgen und Reihen (15 Punkte) a) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N für 0 < q < 1 mit a n = 1 ( ) 7 + 4n 3 qn 2n2 2n 3n n 2. + 5n b) Geben Sie die Reihe 4 7 + 8 35 + 16 175 + in der Form k=0 a k an und berechnen Sie den Wert dieser Reihe. c) Das wievielte Glied einer arithmetischen Folge (a n ) n N mit dem Anfangsglied a 1 = 7 und d = 20 ist gerade größer als 4000? Welchen Wert nimmt die Folge beim 301. Glied an? 2
Aufgabe 1: Folgen und Reihen (15 Punkte) 3
Aufgabe 2: Differentialrechnung in R (15 Punkte) a) Geben Sie die erste Ableitung der Funktion f : D R x f(x) := ln(4x 2 7x) 8 sin( 1 4 x) mit D := {x R x < 0 x > 7 4 } an und vereinfachen Sie sie soweit wie möglich. b) Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert, sofern er existiert: c) Gegeben sei die reelle Funktion (cos(x)) 2 1 lim x 0 2x 3 + x 2 f(x) = e kx für alle x R und ein k N. Für welchen Punkt auf dem Graphen von f verläuft die Tangente der Funktion f durch den Ursprung? 4
Aufgabe 2: Differentialrechnung in R (15 Punkte) 5
Aufgabe 3: Kurvendiskussion, Approximation (15 Punkte) 1. Gegeben seien die Funktionen f 1, f 2, g : R R mit f 1 (x) = 2x 3 6x f 2 (x) = 1 3 x3 3 2 x2 + 2x + c für ein c R sowie f 1 (x) für x 1 g(x) = f 2 (x) für x > 1. a) Bestimmen und klassifizieren Sie alle lokalen Extrempunkte von f 1 und f 2. b) Wie ist c zu wählen, damit g an der Stelle x = 1 stetig ist? c) Bestimmen und klassifizieren Sie alle lokalen Extrempunkte der Funktion g unter Verwendung der in b) bestimmten Konstanten c. 2. Gegeben sei die Funktion f : D R x f(x) := x ln(x) mit D := {x R x > 0}. Geben Sie das Taylor-Polynom 2. Grades mit dem Entwicklungspunkt x 0 = 1 an und berechnen Sie den Wert f(3) approximativ anhand des Taylor-Polynoms. 6
Aufgabe 3: Kurvendiskussion, Approximation (15 Punkte) 7
Aufgabe 4: Integralrechnung in R (15 Punkte) a) Berechnen Sie das bestimmte Integral: 4 x 2 für x < 2 f(x)dx mit f(x) = 0 4x 2 für x 2 b) Berechnen Sie das unbestimmte Integral: x 3 3x 4 2 dx für x R\{± 4 2/3} c) Bestimmen Sie die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = 4x 2 + 6x 4 und der x-achse innerhalb des Integrationsintervalls [0; 1]. 8
Aufgabe 4: Integralrechnung in R (15 Punkte) 9
Aufgabe 5: Optimierung im R p (15 Punkte) Ein Produzent bietet zwei Güter an. Zwischen den Absatzmengen x 1, x 2 und den Preisen p 1, p 2 gelten die Beziehungen: x 1 (p 1, p 2 ) = 50 p 1 0, 5p 2 x 2 (p 1, p 2 ) = 60 0, 5p 1 1, 5p 2 Die Produktionskosten für die beiden Güter sind gegeben durch: c 1 (x 1 ) = 60 + 0, 5x 1 c 2 (x 2 ) = 60 + 0, 5x 2 Nehmen Sie an, dass der Produzent die Preise der Güter festlegen kann und dabei seinen Gewinn maximieren möchte. a) Bestimmen Sie seinen Gewinn G(p 1, p 2 ) als Funktion der beiden Preise. b) Wie sind die Preise p 1 und p 2 zu wählen, damit der Gewinn maximal wird? Geben Sie den maximalen Gewinn an. c) Der Produzent setzt den Preis p 2 = 10 fest. Wie hat er dann p 1 zu wählen, damit der Gewinn maximal wird? 10
Aufgabe 5: Optimierung im R p (15 Punkte) 11
Aufgabe 6.1: Differentialrechnung im R p (5 Punkte) Gegeben sei die Funktion f : D R (x, y) f(x, y) := ln(xy) mit D := {(x, y) R 2 xy > 0}. Bestimmen Sie den Gradienten, die Hesse- Matrix und das totale Differential von f(x, y). 12
Aufgabe 6.2: Multiple Choice (10 Punkte) Kreuzen Sie bitte an, welche der Aussagen a) - j) als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Beachten Sie dabei Folgendes: Richtig gesetztes Kreuz = 1 Punkt Kein Kreuz = 0 Punkte Falsch gesetztes Kreuz = 1 Punkt Diese Teilaufgabe kann nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet werden. a) Jede nicht beschränkte Folge divergiert. b) Jede divergente Folge ist unbeschränkt. c) Wenn (a n ) n N0 eine Nullfolge ist, dann konvergiert die Reihe k=0 a k. d) Wenn die Reihe k=0 a k konvergiert, dann ist (a n ) n N0 eine Nullfolge. e) Jede stetige Funktion ist differenzierbar. f) Jede differenzierbare Funktion ist integrierbar. g) Jede integrierbare Funktion ist stetig. h) Eine mehrdimensionale Folge ist konvergent, wenn mindestens eine Koordinatenfolge konvergent ist. i) Die (partielle) Preiselastizität der Nachfrage nach einem bestimmten Gut weist immer das gleiche Vorzeichen wie die (partielle) Änderungsrate der Nachfrage nach diesem Gut auf. j) Jede (total) differenzierbare Funktion ist stetig partiell differenzierbar. Wahre Aussagen: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Falsche Aussagen: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 13