Mikroökonomik B (Bachelor)

Bitte eintragen: Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG Mikroökonomik B (Bachelor) Prüfung vom 17.07.2012 Wichtige Hinweise: Sie haben 90 Minuten Zeit, um die folgenden drei Aufgaben zu insgesamt 90 Punkten zu bearbeiten. Teilen Sie sich Ihre Zeit sorgfältig ein! Der Prüfungsbogen umfasst 20 Seiten einschließlich dieses Deckblatts. Überprüfen Sie Ihr Exemplar auf Vollständigkeit! Benützen Sie nur die ausgeteilten Blätter für die Lösung der Aufgaben. Benützen Sie wenn nötig die Rückseiten der Blätter und vermerken Sie dies unbedingt. Entfernen Sie nicht die Heftklammer! Tragen Sie Ihre Matrikelnummer und Ihre Platznummer auf diesem Deckblatt sowie auf jeder beschriebenen Seite ein. Lassen Sie auf jeder Seite rechts einen Rand von ca. cm frei. Taschenrechner sind nicht erlaubt. Legen Sie bitte Ihren Studentenausweis zur Kontrolle bereit. VIEL ERFOLG! Für Korrektur bitte frei lassen. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Σ Aufgabe 1 /0 Aufgabe 2 / / /2 / /9 /4 /2 /4 /0 Aufgabe / / /6 /6 / /6 / /0 Total /90 1

Aufgabe 1: Multiple-Choice- und Kurz-Fragen (0 Punkte) Geben Sie zu jeder der folgenden Fragen die korrekte Antwort. Multiple-Choice-Fragen: In jedem Fall ist nur eine Antwort korrekt! Eine korrekte Antwort gibt Punkte, jede falsch oder nicht beantwortete Frage gibt 0 Punkte. Kurz-Fragen: Geben Sie eine kurze und präzise Antwort (max. Sätze!). Jede korrekt beantwortete Frage gibt Punkte. (a) Intertemporale Budgetmenge: Konsument Kurt lebt über zwei Perioden. Sein Einkommen in Perioden 1 bzw. 2 beträgt m 1 = 15 bzw. m 2 = 16. Der Preis für das einzige Konsumgut beträgt in den Perioden jeweils p 1 = bzw. p 2 = 4. Kurt sieht sich keinem perfekten Kreditmarkt gegenüber: In Periode 1 erspartes kann er zum Zinssatz r S = 1/ anlegen, oder er kann einen Kredit zum Zinssatz r K = 5/ aufnehmen. Zeichnen Sie Kurt s Budgetmenge (mögliche intertemporale Konsumbündel (c 1,c 2 )) im folgenden Diagramm ein: c 2 10 Autarkie -Punkt ist ( 15, 16 4 )=(5,4), Steigung jeweils (1+r) p 1 p 2, also 1 für Sparer, 2 für Kreditnehmer. 5 0 0 5 10 c 1 (b) Zinsänderung: Betrachten Sie das Modell intertemporaler Entscheidung aus der Vorlesung mit einem Gut, zwei Perioden und perfektem Kapitalmarkt mit Zinssatz r. Nun werde der Zinssatz r erhöht. Welche der folgenden komparativ statischen Aussagen ist für beliebige Präferenzen richtig? x Ein Gläubiger wird bei einer Zinserhöhung immer Gläubiger bleiben. Ein Schuldner wird bei einer Zinserhöhung immer Schuldner bleiben. Ein Schuldner wird bei einer Zinserhöhung immer zum Gläubiger werden. Ein Gläubiger wird bei einer Zinserhöhung immer zum Schuldner werden. 2

(c) Zeitinkonsistenz von Präferenzen: Konsument Knut lebt über drei Perioden t {1,2,} und trifft in jeder Periode eine Konsumentscheidung c t. Für beliebige Konsumpläne c (c 1,c 2,c ) seien Knuts Präferenzen in Periode t durch die Nutzenfunktion U t (c) repräsentiert. In welchem der folgenden Fälle sind Knuts Präferenzen zeitinkonsistent? [Hierbei sei u(c) eine beliebige Funktion mit u > 0 und u < 0.] U 1 (c)= u(c 1 )+ u(c 2 )+ 1 2 u(c ) und U 2 (c)= u(c 2 )+ 1 2 u(c ) Für Konsistenz U 1 (c)= u(c 1 )+ 1 2 u(c 2)+ 1 2 u(c ) und U 2 (c)= 1 2 u(c 2)+ 1 2 u(c ) x U 1 (c)= u(c 1 )+ 1 2 u(c 2)+ 1 4 u(c ) und U 2 (c)= 1 2 u(c 2)+ 1 2 u(c ) U 1 (c)= u(c 1 )+ 1 2 u(c 2)+ 1 4 u(c ) und U 2 (c)= u(c 2 )+ 1 2 u(c ) muss gelten: U 1 / c 2 U 1 / c = U 2/ c 2 U 2 / c (GRS zwischen 2/ unverändert) (d) Äquivalenz von Bernoulli-Nutzenfunktionen: Ein VNM-Erwartungsnutzenmaximierer habe die Bernoulli-Nutzenfunktion u(w) = ln(w). Welche der folgenden alternativen Nutzenfunktionen v(w) ist nicht äquivalent (beschreibt nicht das selbe Verhalten)? v(w)= 1 2 ln(w) v(w)= 1 2 ln(w)+ 4 v(w)=ln ( w ) [= 1 2 ln(w)] x v(w)=ln ( e w) (e) Axiome der Erwartungsnutzentheorie: Welches der 4 Axiome der Erwartungsnutzentheorie wird von folgenden Präferenzen verletzt: Rationalität Stetigkeit Reduktion x Unabhängigkeit 2 1 und ( 1 4 2, 4 10) ( 1 4 1, 4 10)?

(f) Mean-Preserving Spread: Nachfolgend zwei Geldlotterien g und h mit jeweils zwei möglichen Ergebnissen. h 1 / 2 / g 1 / 2 / 6 Lotterie g ist hierbei ein Mean-Preserving-Spread von h. Zeigen Sie dies, indem Sie eine zusammengesetzte Lotterie aufzeichnen, welche die Ergebnisse von Lotterie h durch weitere Lotterien ersetzt. 1 7 h 1 / 2 / 2 / 1 / 1 / 6 5 / 6 1 7 1 7 (g) Risikoprämie: Erwartungsnutzenmaximierer Heinrich hat die Bernoulli- Nutzenfunktion u(w) = w/(w + 1). Er sieht sich einer Lotterie gegenüber, welche jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1 2 bzw. 2 auszahlt. Wie hoch ist Heinrichs Risikoprämie für diese Lotterie? x 1/4 EU(g)= 1 1/2 2 /2 + 1 2 2 = 1/2 1/2 SÄ(g)=1 (löst w/(w+1)=eu(g)= 1 2 ) 1 E[g]= 1 2 1 2 + 1 2 2=5/4 P=E[g] SÄ(g)=1/4 5/4 (h) Maße der Risikoaversion: Ulf ist ein strikt risikoaverser VNM-Erwartungsnutzenmaximierer mit Bernoulli-Nutzenfunktion u(w) über Geldbeträge w. Welche der folgenden Aussagen kann nicht zutreffen? [Notation: E[u(g)] = Erwartungsnutzen einer Lotterie g, E[g] = Erwartungswert einer Lotterie g, SA(g) = Sicherheitsäquivalent, P(g) = Risikoprämie.] x E[u(g)] u(e[g]) für jede Lotterie g u (w) 0 für jedes Einkommen w x SA(g) E[g] für jede Lotterie g P(g) 0für jede Lotterie g Fehler in der Fragestellung (da zwei Antworten richtig) wurde während Prüfung kommuniziert und in Korrektur berücksichtigt (eine richtige Antwort reicht). 4

(i) Erstes Wohlfahrtstheorem: Welche der folgenden Annahmen ist keine notwendige Bedingung für das 1. Wohlfahrtstheorem (Pareto-effizienz des Marktgleichgewichts): Keine Externalitäten x Konstante Grenzkosten Keine Transaktionskosten Marktteilnehmer agieren als Preisnehmer (j) Cournot vs. Stackelberg-Leader: Der Gewinn einer Firma im Cournot-Duopol (simultane Mengenwahl) ist niemals größer als ihr Gewinn als Stackelberg-Führer im Stackelberg-Duopol (sequentielle Mengenwahl). Erklären Sie warum. [Tipp: Überlegen Sie grafisch anhand der Beste-Antwort-Kurven.] Weil der Stackelberg-Führer immer das Cournot-Gleichgewicht herbeiführen kann, indem er seine Cournot-Gleichgewichtsmenge setzt. Dies weil der Follower im Cournot- wie auch im Stackelberg-Gleichgewicht Beste Antwort auf die Menge der anderen Firma spielt. Anders (grafisch) ausgedrückt: Im Stackelberg-Fall kann der Führer einen beliebigen Punkt auf der Beste-Antwort-Kurve des Followers auswählen. Im Cournot-Gleichgewicht muss er jenen Punkt wählen, welcher auch auf seiner eigenen Beste-Antwort-Kurve liegt. 5

Aufgabe 2: Unsicherheit und Spiele in extensiver Form (0 Punkte) Die Wahrscheinlichkeit, dass Bauer B eine gute Ernte einfährt, hängt folgendermaßen von seinem Arbeitsaufwand ab: Bei hoher Anstrengung ist die Wahrscheinlichkeit für eine gute Ernte 4 und für eine schlechte 1 4, bei niedriger Anstrengung sind die Wahrscheinlichkeiten umgekehrt ( 4 1 für eine gute und 4 für eine schlechte Ernte). Eine gute Ernte führt zu einem Einkommen von Geldeinheiten (GE) und eine schlechte Ernte zu einem Einkommen von 1 GE. Bauer B maximiert seinen Erwartungsnutzen gemäß der Nutzenfunktion ( u B (x,c)= 2 ) c, x wobei x das Geldvermögen ist und c den Nutzenverlust für den Arbeitsaufwand darstellt, welcher c L = 1 und c H = 2 für niedrige bzw. hohe Anstrengung beträgt. (a) Formulieren Sie die Einkommenslotterien, denen sich B bei den verschiedenen Anstrengungsniveaus gegenübersieht. ( Punkte) Hohe Anstrengung:( 4, 1 4 1) Niedrige Anstrengung:( 1 4, 4 1) 6

(b) Für welche Anstrengung wird sich B entscheiden? ( Punkte) Nutzen aus hoher Anstrengung: 4 u B(,c H )+ 1 4 u B(1,c H )= 4 Aus niedriger Anstrengung: 1 4 u B(,c L )+ 4 u B(1,c L )= 1 4 Also wird er die hohe Anstrengung wählen. ( 2 ) + 1 ( 2 ) 2 4 1 = 4 ( 2 ) + ( 2 ) 1 4 1 = 1 7

Weil B plötzlich krank wird, kann er nicht arbeiten und will deshalb den Angestellten A beschäftigen, welcher die Nutzenfunktion u A (w, c)= w c hat. Hierbei bezeichne w As Lohn und c seinen Nutzenverlust für seinen Arbeitsaufwand, welcher c L = 0 und c H = 1 für niedrige bzw. hohe Anstrengung beträgt. (c) Nehmen Sie an, A ist nur bereit für B zu arbeiten, wenn sein Nutzen aus der Beschäftigung mindestens 0 beträgt. Bezeichne mit w L (w H ) den Lohn, den B dem A zahlen müsste, um ihn bei niedriger (hoher) Anstrengung indifferent zwischen Arbeit und keiner Arbeit zu machen. Zeigen Sie, dass w L = 0 und w H = 1. (2 Punkte) Für die niedrige Anstrengung muss wl c L = 0 gelten, also ist w L = 0. Für die hohe Anstrengung wh c H = 0 w H = 1. 8

(d) Da B den ganzen Sommer über im Krankenhaus ist, kann er nicht kontrollieren wie hart A arbeitet (und aus der Ernte lässt sich auch nicht eindeutig darauf schließen). Welches Anstrengungsniveau wird A wählen? ( Punkte) Da der Lohn unabhängig von der Anstrengung ist, und niedrigere Anstrengung höheren Nutzen bringt, wird A immer die niedrige Anstrengung wählen. 9

(e) Formulieren Sie folgende Situation als Spiel in extensiver Form und finden Sie das teilspielperfekte Gleichgewicht: B bietet dem A zuerst einen niedrigen oder einen hohen Lohn (benutzen Sie dabei w L und w H aus Aufgabenteil (c), die A gerade indifferent machen), und dann entscheidet sich A für ein Anstrengungsniveau. (9 Punkte) Nutzen des Angestellten: Bei Anstrengung entsprechend des Lohns ist der Nutzen gerade 0. Bei niedriger Anstrengung und Lohn w H ist der Nutzen 1, andersherum ist er 1. Nutzen des Bauern: (w L,L) : 1 4 u B (,0)+ 4 u B(1,0)= 4 (w L,H) : 4 u B (,0)+ 1 4 u B(1,0)=2 (w H,L) : 1 4 u B ( 1,0)+ 4 u B(1 1,0)= 9 (w H,H) : 4 u B ( 1,0)+ 1 4 u B(1 1 16 27,0)= 16 B L A w L H w H L A H ( 4,0 ) ( 2, 1 ) ( 9 16, 1 ) ( 27 16,0 ) Da A immer L wählt, entscheidet sich B für w L. Das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht ist also ( w L,(L,L) ). 10

(f) Gibt es noch andere Nash-Gleichgewichte in dem Spiel? Begründen Sie Ihre Antwort. (4 Punkte) Das einzige andere Gleichgewicht, das in Frage käme, wäre ( wl,(l,h) ) (off-path Abweichung). Dann ist w L für B aber nicht mehr optimal. Also gibt es nur das eine Gleichgewicht. Alternativ kann man die reduzierte Normalform des Spiels aufschreiben und nach anderen NGG suchen. 11

(g) Ist das teilspielperfekte Gleichgewicht Pareto-effizient? Begründen Sie Ihre Antwort. (2 Punkte) Bei (w L,L) ist der Nutzen von B geringer als er bei (w H,H) wäre. Der Nutzen von A ist in beiden Situationen gleich. Also ist das Gleichgewicht nicht Pareto-effizient. 12

(h) Wenn B das Anstrengungsniveau beobachten könnte, würde er dem A den entsprechenden Lohn aus Aufgabenteil (c) zahlen. Wie viel wäre B bereit für eine Überwachungskamera zu bezahlen, die ihm ermöglicht die Anstrengung zu beobachten? [Hinweis: Sie müssen den Ausdruck nicht vollständig vereinfachen um die volle Punktzahl zu erhalten.] (4 Punkte) Bezeichne p die Prämie, welche B zahlen müsste. Es muss folgende Bedingung erfüllt sein: ( 4 2 )+ 1 ( 2 1 p ) 1 4 1 1 p 4 Diese Bedingung bindet bei p= 1 ( 16± ) 19 15 ( 2 ) + ( 2 ). 0 4 1 0 (Auflösung für volle Punktzahl nicht nötig), wovon nur die Lösung mit relevant ist (die andere führt zu negativem Netto-Geldvermögen). 1

Aufgabe : Cournot-Duopol und Spiele in strategischer Form (0 Punkte) Betrachten Sie folgende Cournot-Duopol Situation: Zwei (nicht zwingend identische) Firmen i = 1, 2 konkurrieren im Cournot-Wettbewerb bei einer Marktnachfrage, die durch Q(p)=24 p gegeben ist. Die Firmen haben konstante Stückkosten von c 1 und c 2. (a) Angenommen, Firma 2 produziert eine Menge von q 2. Stellen Sie das Optimierungsproblem von Firma 1 auf. ( Punkte) Der Gewinn von Firma 1, wenn sie die Menge q 1 produziert, gegeben q 2 ist π 1 (q 1 q 2 )=q 1 (24 q 1 q 2 ) c 1 q 1. Das Maximierungsproblem lautet dann also max q 1 q 1 (24 q 1 q 2 ) c 1 q 1. 14

(b) Leiten Sie die Bedingung erster Ordnung für die optimale Produktionsmenge von Firma 1 her und ermitteln Sie ihre Beste-Antwort-Funktion. ( Punkte) Die BEO lautet Also gilt für die beste Antwort 2q 1 + 24 q 2 c 1 = 0. q 1 (q 2)= 24 q 2 c 1. 2 15

(c) Leiten Sie das Cournot-Gleichgewicht her indem Sie zeigen, dass die Firmen im Gleichgewicht folgende Mengen produzieren: q 1 = 24+c 2 2c 1 und q 2 = 24+c 1 2c 2 (6 Punkte) Erst sieht man, dass die beste Antwort von Firma 2 gegeben q 1 symmetrisch lautet: q 2 (q 1)= 24 q 1 c 2. 2 Auflösen des Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und den Unbekannten q 1,q 2 ergibt die Gleichgewichtsmengen. 16

Nehmen Sie nun an, die Stückkosten sind c 1 = c 2 = 6 und die beiden Firmen haben jeweils nur zwei mögliche Strategien: entweder die Menge 4 oder die Menge 6 zu produzieren. (d) Stellen Sie die dem Spiel zugehörige Normalform auf und bestimmen Sie das Nash- Gleichgewicht. Ist das Nash-Gleichgewicht ein Gleichgewicht in dominanten Strategien? (6 Punkte) Die Produktionsmengen werden in die Formeln für π 1 (q 1 q 2 ) bzw. π 2 (q 2 q 1 ) eingesetzt. Dann ergibt sich die Spielmatrix Firma 1 Firma 2 4 6 4 40, 40 2, 48 4 48, 2 6, 6 Man sieht, dass (6,6) ein Nash-Gleichgewicht in dominanten Strategien ist. 17

(e) Hat das Spiel die Struktur eines Gefangenendilemmas? Begründen Sie Ihre Antwort. ( Punkte) Das Spiel hat die Gefangenendilemma-Struktur, weil die Auszahlungen im Gleichgewicht(6,6) niedriger sind als im Fall(4,4) und es für jeden Spieler eine strikt dominante Strategie ist, 6 zu spielen. 18

Betrachten Sie nun folgendes Spiel: Anfangs haben beide Firmen Grenzkosten von c 1 = c 2 = 6. In Phase 1 kann Firma 1 sich entscheiden in eine Technologie zu investieren, die ihre Stückkosten auf c 1 = halbiert. Die Kosten dafür betragen K. In Phase 2 wird das Cournot-Spiel aus den Teilen (a) (c) dieser Aufgabe gespielt (sie entscheiden also gleichzeitig über die produzierte Menge und können wieder beliebige Mengen wählen). (f) Wie hoch sind die Cournot-Gewinne von Firma 1 wenn sie investiert bzw. nicht investiert? (6 Punkte) Wenn Firma 1 nicht investiert: Man setzt c 1 = c 2 = 6 in die Gleichgewichts-Produktionsmengen ein und erhält q 1 = q 2 = 6. In die Formel für den Gewinn eingesetzt ergibt das π 1 (6 6)=6 Wenn Firma 1 investiert: Die Gleichgewichts-Produktionsmengen sind bei c 1 =,c 2 = 6 nun q 1 = 8,q 2 = 5. Der Gewinn ist dann π 1(8 5)= 64. 19

(g) Wie hoch müssen die Kosten K mindestens sein, sodass Firma 1 in einem teilspielperfekten Gleichgewicht dieses Spiels nicht investiert? ( Punkte) Firma 1 wird genau dann investieren, wenn 64 K 6 K 64 6=28. Die Kosten müssen also mindestens 28 betragen. 20