Kapitel 3 Fuzzy-Mengen und Relationen 12. Mai 2005
Rückblick Darstellung unscharfer Konzepte mit Hilfe von Fuzzy-Mengen, Definition von Fuzzy-Mengen, Fuzzy-Mengen über einem festen Universum bilden einen Verband, Alternative Schnitt- und Vereinigungsoperatoren.
Paare von t-normen und t-konormen die Weber-Familie (umfaßt die von beschränktem Produkt, Produkt und drastischem Produkt erzeugten Paare): t λ (a, b) = max{0, a + b 1 + λab } für λ ( 1, ), 1 + λ s λ (a, b) = min{1, a + b λab } für λ ( 1, ), 1 + λ die Yager-Familie(umfaßt die von drastischem Produkt und Minimum erzeugten Paare): t p (a, b) = 1 min{1, [(1 a) p + (1 b) p ] 1 p } für p [0, ), s p (a, b) = min{1, [a p + b p )] 1 p } für p [0, ), Archimedische t-normen und t-konormen.
Archimedische t-normen Definition Seien t : [0, 1] 2 [0, 1] und s : [0, 1] 2 [0, 1] zwei Funktionen. 1. t heißt archimedische t-norm genau dann, wenn t stetige t-norm ist und für alle a (0, 1) die Ungleichung t(a, a) < a gilt. 2. s heißt archimedische t-konorm genau dann, wenn s stetige t-konorm ist und für alle a (0, 1) die Ungleichung s(a, a) > a gilt.
Darstellung von Archimedischen t-normen und t-konormen Satz Eine Funktion t : [0, 1] 2 [0, 1] ist genau dann eine archimedische t-norm, wenn eine streng monoton fallende Funktion f : [0, 1] [0, ] existiert mit f (1) = 0 und t(a, b) = f 1(f (a) + f (b)), wobei f 1 die Pseudoinverse von f ist mit { f 1 x [0, 1] f (x) = y, falls y [0, f (0)]; (y) = 0, falls y [f (0), ]. Für f (0) = ist t streng monoton wachsend in beiden Argumenten.
Beispiel Archimedische t-normen Sei f : [0, 1] [0, 1] mit f (x) = 1 x. Dann gilt: f (0) = 1, f 1 (y) = { 1 y, falls y [0, f (0)] 0, sonst. t(x, y) = max{0, a + b 1} (beschränkte Summe) die im Satz auftretende Funktion f ist eindeutig bis auf Multiplikation mit einer positiven reellen Konstanten, f heißt additiver Generator von t, eine archimedische t-norm heißt nilpotent, wenn f (0) <.
Beispiele für Archimedische t-normen II f p : [0, 1] [0, 1], f p (x) = (1 x) p, p [0, ) t(a, b) = f 1 (f (a) + f (b)) = f 1 ((1 a) p + (1 b) p ) = 1 ((1 a) p + (1 b) p ) 1 p definiert die Yager-Familie.
Beispiel für Archimedische t-normen III f : [0, 1] [0, 1], f (x) = { ln(x), falls x [0, 1],, fallsx = 0. t(a, b) = f 1 (f (a) + f (b)) = f 1 ( ln(a) ln(b)) = e ln(a)+ln(b) = a b definiert das algebraische Produkt.
Literatur zu t-normen Ling,C.-H. Representations of associative functions, Publucations Mathematicae Debrece, 12: 189-212, 1965 H.Bandemer, S.Gottwald: Einführung in Fuzzy-Methoden, Akademie-Verlag, Berlin, 4.Auflage, 1993, S.Gottwald: A Treatise on Many-Valued Logic, Studies in Logic and Computation 9, Research Studies Press, Baldock, 2000, G. Klir, T.A. Folger: Fuzzy-Sets, Uncertainty, and Information, Prentice Hall, 1988
α-schnitte von Fuzzy-Mengen bisher wurden Fuzzy-Mengen u ausschließlich durch die sie charakterisierende Zugehörigkeitsfunktion dargestellt: vertikale Repräsentation, ein Experte muß dazu für jedes Element x aus dem Referenzbereich M einen Wert u(x) bestimmen, horizontalen Repräsentation durch Niveau-Mengen. Definition Sei u F(M) und α [0, 1]. Die Menge heißt α-schnitt von u. C(u, α) = {x M u(x) α}
Beispiel α-schnitte Interpretation des Begriffes jung-sein durch die Fuzzy-Menge u(x) = e 1/1000x 0.5 Schnitt von u besteht aus den Jahreszahlen, für die wir (entsprechend unserer Modellierung) sagen würden, daß ein Mensch in diesem Alter mindestens zum Grad 0.5 als jung bezeichnet werden kann. 1 0.5 10 20 30 40 Alter C(u, 0.5) 0.5-Schnitt der Fuzzy-Menge u(x) = e 1/1000x
Eigenschaften von α-schnitten Satz Sei u F(M), α, β [0, 1]. Dann gilt: 1. C(u, 0) = M, 2. für α < β gilt: C(u, α) C(u, β), 3. α α<β C(u, α) = C(u, β).
Offene α-schnitte Definition Ein offener α-schnitt einer Fuzzy-Menge u wird definiert durch: O(u, α) = {x M u(x) > α} Im obigen Beispiel ist der offene 0.5-Schnitt das rechtsseitig halboffene Intervall [0,26.6). für alle u F(M) gilt: O(u, 1) =. O(u, 0) heißt Träger der Fuzzy-Menge u. Falls O(u, 0) nur ein einziges Element enthält, dann heißt u Fuzzy-Einermenge.
Eigenschaften abgeschlossener α-schnitte Satz 1. Die Familie der abgeschlossenen α-schnitte einer Fuzzy-Menge ist sup-umkehrend, d.h. für eine Menge {α i } i I [0, 1] gilt: C(u, sup α i ) = C(u, α i ). i I i I 2. Für eine Menge {u i } i I F(M) von Fuzzy-Mengen gilt außerdem: C( u i, α) = C(u i, α). i I i I
Eigenschaften offener α-schnitte Satz 1. Die Familie der offenen α-schnitte einer Fuzzy-Menge ist inf-umkehrend, d.h. für eine Menge {α i } i I gilt: O(u, inf α i) = O(u, α i ). i I i I 2. Für eine Menge {u i } i I F(M) von Fuzzy-Mengen gilt: O( u i, α) = O(u i, α). i I i I
α-schnitte zur Charakterisierung von Fuzzy-Mengen Sei α [0, 1], X M, u α (x) := α für alle x M. Bezeichnung: α X = u α χ X α X = u α χ X Satz Für jede Fuzzy-Menge u F(M) gilt: u = u = α [0,1] α [0,1] (α C(u, α)) und u = α [0,1] (α C(u, α)) und u = α [0,1] (α O(u, α)), (α O(u, α)).
Extensionsprinzip bisher Möglichkeit der Verallgemeinerung mengentheoretischer Operationen auf Fuzzy-Mengen, Erweiterung von Funktionen f : X n Y zu Abbildungen ˆf : F(X ) n F(Y ), v Interpretation des Begriffes Jung, u Interpretation des Begriffes ungefähr 20, man interpretiert u(22) als Grad der Akzeptanz, daß die Aussage 22 ist ungefähr 20 korrekt ist, u v(22) ist der Zugehörigkeitsgrad von 22 zum vagen Begriff ungefähr 20 und jung, Akzeptanzgrade stellen verallgemeinerte Wahrheitsgrade dar, Wie operiert man auf solchen Akzeptanzgraden?
Beispiel + : R R R Addition auf den reellen Zahlen. Ziel: eine Additionsoperation auf Intervallen Seien A 1, A 2 R reele Intervalle. ˆ+ : P(R) P(R) P(R). A 1 ˆ+A 2 = {x 1 + x 2 mit x 1 A 1, x 2 A 2 }.
Verallgemeinerung auf Mengen Für f : X n Y ergibt sich ˆf : (P(X )) n P(Y ), mit ˆf (A 1,..., A n ) = {y Y (x 1,..., x n ) A 1... A n : f (x 1,... x n ) = y} Der Akzeptanzgrad acc(y gehört zum Bild von (A 1,..., A n )) = { acc ( (x 1,..., x n ) A 1... A n : f (x 1,... x n ) = y) 1, falls (x 1,..., x n ) A 1... A n : f (x 1,... x n ) = y) = 0, sonst.
Verallgemeinerung auf Fuzzy-Mengen Erweiterung von f : X n Y auf ˆf : (F(X )) n F(Y ) Der Akzeptanzgrad acc(y gehört zum Bild von (v 1,..., v n )) v i F(X ) ist dann = acc( (x 1,..., x n ) X n f (x 1,... x n ) = y x 1 gehört zu v 1 und x 2 gehört zu v 2 und. x n gehört zu v n.) =sup (x1,...,x i ) X n,y=f ((x 1,...,x i )){min{v 1 (x 1 ),... v n (x n )}}
Extension Definition Sei f : X n Y eine Abbildung, die Extension von f ist gegeben durch ˆf : (F(X )) n F(Y ) mit ˆf (v 1,... v n )(y) = sup{min{v 1 (x 1 ),... v n (x n )} (x 1,..., x i ) X n und y = f (x 1,..., x n )}
Fuzzy-Relationen Definition Eine Fuzzy-Relation S über U 1,..., U n ist eine Abbildung S : U 1,..., U n [0, 1].
Beispiel Relation n m: die natürliche Zahl n ist viel kleiner als m, läßt sich im klassischen Sinn einer Relation nicht definieren, als Fuzzy-Relation: S(n, m) = { 0 falls m n 1 1 n m sonst. es gibt kein absolutes viel kleiner d.h. es existiert kein Paar (n, m) so daß S(n, m) = 1. die Werte von S(m, n) konvergieren aber für (m n) gegen 1
Beispiel andere Definition: S x (n, m) = { 0 falls m n (1 1 n m )x sonst. man erhält damit eine (allerdings der Intuition nicht besonders gut entsprechende) scharfe Relation, wenn man für x = 0 einsetzt, welche Definitionen im konkreten Fall verwendet wird, ist keine mathematische Frage, sondern hängt vom Anwendungszweck ab.
t-ähnlichkeitsrelationen Definition Sei t eine t-norm. Eine Fuzzy-Relation R : U U [0, 1] über dem Universum U heißt t-ähnlichkeitsrelation, wenn für alle x, y, z U gilt:, (i) R(x, x) = 1 (ii) R(x, z) t(r(x, y), R(y, z)) (iii) R(x, y) = R(y, x) (Reflexivität) (Transitivität) (Symmetrie) Falls x, y U gilt R(x, y) {0, 1} dann ist R charakteristische Funktion einer klassischen Äquivalenzrelation.
Beispiel Thriller Krimi SciFi Fantasy Thriller 1 0.8 0.7 0.5 Krimi 0.8 1 0.5 0.5 SciFi 0.7 0.5 1 0.4 Fantasy 0.5 0.5 0.4 1 R ist t 2 -und t 4 -Ähnlichkeitsrelation aber keine t 1 -oder t 3 -Ähnlichkeitsrelation. R(K, T )t 1 R(T, S) = min(0.8, 0.7) = 0.7 R(K, S) = 0.5 R(K, T )t 3 R(T, S) = 0.8 0.7 = 0.56 R(K, S) = 0.5
Produkt von Relationen Definition Seien R U 1,..., U n, W und S W, V 1,..., V m Relationen. Das Produkt R S zweier Relationen ist gegeben durch: (x 1,..., x n, y 1,... y m ) R S, gdw. z W, so daß (x 1,..., x n, z) R und (z, y 1,... y m ) S.
Produkt von Fuzzy-Relationen Fuzzy-Relationen sind Fuzzy-Mengen, nämlich über dem entsprechenden kartesischen Produkt, die schon definierten Operationen,, lassen sich auf Paare von Fuzzy-Relationen anwenden, das Produkt von Fuzzy-Relationen läßt sich nicht mit Hilfe der verallgemeinerten Mengenoperationen darstellen.
Standardprodukt von Fuzzy-Relationen Definition Seien S 1 : U 1... U n W [0, 1] und S 2 : W V 1... V m [0, 1] zwei unscharfe Relationen. Das Standardprodukt S 1 S 2 : U 1... U n V 1... V m [0, 1] wird definiert durch: S 1 S 2 ((x 1,..., x n, y 1,... y m )) = sup{min(s 1 ((x 1,..., x n, z)), S 2 ((z, y 1,... y m ))) z W }. Verwendet man anstelle von sup nur max, so ist S1 S 2 eventuell nur partiell definiert. Andere Produkte von Fuzzy-Relationen als das Standardprodukt erhält man, wenn man min durch eine andere t-norm ersetzt.
Abstrakte Ähnlichkeitslogik (Ying, 1994) Logik für approximatives Schließen auf der Basis von Fuzzy-Relationen, Ableitungsregeln können auch dann anwendet werden, wenn die Prämissen den Antezenten nur annähernd erfüllen, Gegeben sei folgende Inferenz: x ist ein Thriller x gefällt mir, y ist ein Krimi, Thriller ist ähnlich zu Krimi, y gefällt mir.
Abstrakte Ähnlichkeitslogik II Die Relation ähnlich zu ist eine Fuzzy-Relation. Eine Fuzzy-Logik sollte einen Zusammenhang zwischen dem Grad der Ähnlichkeit und dem Grad, zu dem wir die Konklusion als gültig anerkennen, herstellen. Der Grad der Konklusion y gefällt mir sollte groß sein, wenn wir annehmen wollen, daß der Grad der Ähnlichkeit zwischen Krimi und Thriller groß ist.
Transitive Hülle unter einer Fuzzy-Ähnlichkeitsrelation Sei R : F L F L [0, 1]. Beispiel SIM(u)(ϕ) = sup{t 2 (R(ϕ, ψ), u(ψ)) ψ F L }. Sei R die t2 Ähnlichkeitsrelation von oben, u mit u(t ) = 0.8, u(f ) = 0.9 Charakterisierung einer spannenden Fantasy-Geschichte, SIM(u)(T ) = 0.8, SIM(u)(K) = 0.6 SIM(u)(S) = 0.7, SIM(u)(F ) = 0.9
Transitive Hülle unter einer Fuzzy-Ähnlichkeitsrelation II SIM(u) ist eine Art transitive Hülle, es gilt: 1. SIM(u)(ϕ) u(ϕ) (Inklusion) 2. für u v gilt SIM(u) SIM(v) (Monotonie) 3. SIM(SIM(u)) = SIM(u) (Idempotenz)
Abstrakte Ähnlichkeitslogik Für den Schluß y gefällt mir brauchen wir noch einen Abschlußoperator D, der das logische Schließen übernimmt. D : F(F L ) F(F L ), Abschlußoperator auf Fuzzy-Mengen K = D SIM v SIM(v) D(SIM(v)) SIM(D(SIM(v)))... D R (v) D R (v) = n N K n (v).