Grundbegriffe Mengenlehre und Logik Analysis für Informatiker und Lehramt Mathematik MS/GS/FS WS 2016/2017 Agnes Radl
Mengen Georg Cantor (1895) Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Notation m M oder M m, falls m ein Element der Menge M ist. m M oder M m, falls m kein Element der Menge M ist. M = {1, 2, 3, 5}; dann 5 M, 4 M; beachte: {1, 2, 2} = {1, 2} N (Menge der natürlichen Zahlen); {m N : m gerade}
leere Menge oder {} Menge, die kein Element enthält.
Teilmenge, Obermenge Seien A und B Mengen. A B, falls für alle x A auch x B gilt. A ist eine Teilmenge von B bzw. B ist eine Obermenge von A. {1, 4} {1, 2, 4, 5} {2n : n N} N Bemerkung Für jede Menge A gilt: A, A A. A = B bedeutet A B und B A. A B
Durchschnitt Seien A und B Mengen. Durchschnitt von A und B: A B = {x : x A und x B} A B A = {1, 2, 5}, B = {1, 5, 12}, A B ={1, 5} A = {1, 2, 5}, B = {3, 4}, A B = A =, B beliebige Menge: A B = Ist A B, dann ist A B =A. A A =A Bemerkung A und B heißen disjunkt, falls A B =.
Vereinigung Seien A und B Mengen. Vereinigung von A und B: A B = {x : x A oder x B} A B A = {1, 2, 5}, B = {1, 5, 12}, A B ={1, 2, 5, 12} A =, B beliebige Menge: A B =B A A =A Bemerkung disjunkte Vereinigung: A B bedeutet A B, wobei A B =.
Differenz Seien A und B Mengen. Differenz von A und B: A \ B = {x : x A und x B} A B A = {1, 2, 5}, B = {1, 5, 12}, A \ B= {2} A = {1, 2, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, A \ B = A \ =A \ A = A \ A =
Veranschaulichung durch Venn 1 -Diagramme A B A B A B A B A \ B A B 1 John Venn (1834 1923), englischer Mathematiker
Potenzmenge Sei A eine Menge. Potenzmenge von A: P(A) = {M : M A} Menge aller Teilmengen von A A = {2, 5}, P(A) = {, {2}, {5}, {2, 5}} P( ) = { } {1, 3, 7} P(N), {3n : n N} P(N)
kartesisches Produkt Seien A und B Mengen. Kartesisches 1 Produkt von A und B: A B = {(x, y) : x A, y B} A = {2, 5}, B = {1, 2, 3}, A B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)} A = oder B = : A B = 1 René Descartes (1596 1650); französischer Mathematiker
Bemerkung und für endlich viele Mengen A 1,..., A n : n A k = A 1 A n = {x : x A 1 und... und x A n }, k=1 n A k = A 1 A n = {x : x A 1 oder... oder x A n }, k=1 ebenso das kartesische Produkt: A 1 A n = {(x 1,..., x n ) : x 1 A 1,..., x n A n }.
Aussagen und ihre Verknüpfungen Eine mathematische Aussage A beschreibt einen mathematischen Sachverhalt, dem ein Wahrheitswert wahr (w) oder falsch (f) zugeordnet werden kann. 2 ist eine gerade Zahl. 2 ist eine ungerade Zahl. (w) (f) Aus mathematischen Aussagen A und B kann man folgendermaßen neue mathematische Aussagen bilden.
Aussagen und ihre Verknüpfungen Negation: A A gilt nicht. A A w f f w A: 2 ist eine gerade Zahl. (w) A: Es gilt nicht, dass 2 eine gerade Zahl ist. (f)
Aussagen und ihre Verknüpfungen Konjunktion (und): A B Sowohl A gilt als auch B. A B A B w w w w f f f w f f f f A: 2 ist eine gerade Zahl. (w) B: 3 ist eine gerade Zahl. (f) A B: 2 ist eine gerade Zahl und 3 ist eine gerade Zahl. (f)
Aussagen und ihre Verknüpfungen Disjunktion (oder): A B A gilt oder B gilt. Beachte: Dies ist kein ausschließendes oder. Auch beide dürfen gelten. A B A B w w w w f w f w w f f f A: 2 ist eine gerade Zahl. (w) B: 3 ist eine gerade Zahl. (f) A B: 2 ist eine gerade Zahl oder 3 ist eine gerade Zahl. (w)
Aussagen und ihre Verknüpfungen Desweiteren Implikation: A B Wenn A, dann B. Aus A folgt B. A ist hinreichend für B. B ist notwendig für A. A B A B w w w w f f f w w f f w A B A A B w w f w w f f f f w w w f f w w
Aussagen und ihre Verknüpfungen Äquivalenz: A B A B bedeutet (A B) (B A) A genau dann, wenn B. A ist notwendig und hinreichend für B. A und B sind äquivalent. A B A B B A A B w w w w w w f f w f f w w f f f f w w w
Quantoren Ist M eine Menge und A(m) eine Aussage über m, so schreibt man m M : A(m) Für alle Elemente m der Menge M gilt A(m). m M : A(m) Es gibt (mindestens) ein Element m in der Menge M, für das A(m) gilt. (Der Doppelpunkt wird manchmal weggelassen.) Allquantor Existenzquantor
Quantoren A(m): m ist durch 2 teilbar. M = {2, 8, 10, 11}. m M : A(m) Jedes m M ist durch 2 teilbar., m M : A(m) Es gibt ein m M, das durch 2 teilbar ist. (falsch) (wahr) M = {2, 8, 10} m M : A(m) Jedes m M ist durch 2 teilbar., m M : A(m) Es gibt ein m M, das durch 2 teilbar ist. (wahr) (wahr)
Quantoren M = {2, 8, 10, 11}. A(m): m ist durch 2 teilbar. Negation von m M : A(m) m M : A(m) (wahr) Es gibt ein m M, welches nicht durch 2 teilbar ist. Negation von m M : A(m) m M : A(m) (falsch) Für jedes m M gilt, dass es nicht durch 2 teilbar ist. Kein m M ist durch 2 teilbar. Allgemein Negation von Negation von m M : A(m) m M : A(m) m M : A(m) m M : A(m)
Negation bei mehreren Quantoren Erinnerung: N = {1, 2, 3,...} Zu jedem x N existiert ein y N, so dass y < x gilt. (falsch) Mit Quantoren: x N y N : y < x ( ) }{{} A Negation von x N : A wie oben: x N : A Negation von A wie oben: y N : (y < x) bzw. y N : y x Insgesamt Negation von ( ): x N y N : y x Es existiert ein x N, so dass für alle y N gilt, dass y größer oder gleich x ist. (wahr)