Numersce Lösung von Dfferentalglecungen De n den naturwssenscaftlc-tecnscen Anwendungen auftretenden Dfferentalglecungen snd n den wengsten Fällen eplzt lösbar. Man st desalb auf Näerungsverfaren angewesen. Wr betracten m folgenden Dfferentalglecungen. Ordnung mt der Anfangsbedngung y(a) = y0 () y = f (, y) und setzen voraus, dass m Intervall [a,b] ene endeutg bestmmte Lösung estert. Jede Dfferentalglecung des Typs () legt bekanntlc en Rctungsfeld fest. Der Grap der gesucten Funkton y = F() soll durc den Punkt (a, y0) geen und n jedem Punkt de vorgescrebene Stegung annemen. Gesuct st en Näerungswert für den Funktonswert F(b). Wr untertelen das Intervall n n Intervalle der Brete = (b a)/n mt den Telpunkten = a, = 0,,,..., n. De Näerungswerte für de Funktonswerte F() werden mt y =,, 3,., n bezecnet, wobe y(0) = y(a) = y0 glt. Im Folgenden werden Lösungsverfaren scrttwese verbessert.. Das Euler-Caucy-Verfaren (768) Geometrsce Idee: Ersetze an der Stelle a = 0 de Lösungskurve durc de Tangente. Der y-wert der Tangente y an der Stelle st en braucbarer Näerungswert für den.a. unbekannten Funktonswert F(). In den folgenden Intervallen setzen wr das Verfaren analog fort. Vom Punkt (0,y0) ausgeend erält man so ene Punktfolge (, y) = 0,,,, n. Der Wert yn st ene Näerung für den Funktonswert F(n) = F(b). Recnersce Durcfürung 0 = a, y(0) = y(a) = y0, = n ( b a) y = y f (, y ) = = 0,,.., n -. dffgl_num 3..03/bu
Illustraton des Verfarens an enem Bespel ( ) e y' = y mt y(0) = und b =.5 dffgl_num 3..03/bu
3 eakte Lösung: y = ( ) e Das Bespel zegt, dass de Metode von Euler nct ser genau st, vor allem dort, wo sc de Stegung stark verändert. Mt jedem Scrtt entfernt man sc von der Lösungskurve zu ener benacbarten Kurve, de ener andern Anfangsbedngung entsprct, so dass sc de Feler akkumuleren. Zwar kann der Feler deser Metode durc fortlaufende Halberung der Scrttwete verklenert werden. Im Gegenzug nmmt aber mt dem eröten Recenaufwand de Bedeutung der Rundungsfeler zu. Um de Genaugket des Euler-Verfarens abzuscätzen, wurde en Bespel gewält, dessen genaue Lösung angegeben werden kann. In den beden letzten Spalten st der globale Feler aufgefürt. Daraus kann der Quotent q aufenanderfolgender Feler berecnet werden. Es st zu erkennen, dass sc be ener Halberung der Scrttwete auc der Feler albert. Deses Resultat kann auc ergeletet werden, ndem man de Lösungsfunkton n ene Taylorree entwckelt. dffgl_num 3..03/bu
4 Lokaler Feler der Euler-Metode Nac Taylor glt: F ( ) ( ) ( ) ( ) ( c) F = F 0 = F 0 F 0 und damt für den lokalen Feler: F ( ) ( ) ( c) e = F y = Da den ersten beden Termen gerade de Eulersce Näerung entsprct, st der lokale Feler der Euler-Metode proportonal zu, der globale Feler proportonal zu. Be ener Halberung der Scrttwete wrd auc der Feler ungefär albert. Wr sagen: De Euler- Metode at de Ordnung. Verallgemenerung Glt für den Feler ener Metode mt der Scrttwete ungefär p ( ) = c e dann esst der Eponent p de Ordnung der Metode. Für de Scrttwete / erält man damt e = c p c = p p e = ( ) p Hat also ene Metode de Ordnung p so bedeutet des, dass be ener Halberung der Scrttwete der Feler durc p dvdert wrd. Bldet man we m Bespel den Quotenten e( ) q = e aufenanderfolgender Feler, so sollte sc ungefär ene Potenz von ergeben. Der zugeörge Eponent von st dann gerade de gesucte Ordnung p d.. wegen q = p glt p =log q. Übungsaufgaben: a) Anfangswertproblem: = y e Anfangswert: y(0) = Intervall [0, 0.] y Scrttwete: = 0.05 bzw. 0.05 Verglec mt der eakten Lösung: y = ( ) e y y y eakt ( = 0.05) ( = 0.05) 0.00.000 000.000 000.000 000 0.05.00 000.0 883.03 835 0.0.07 564. 55.5 688 0.5.33 00.39 535.336 09 0.0.447 45.56396.465 683 y b) Anfangswertproblem: y = Anfangswert: y() = 4 Intervall [, 6] Scrttwete: = 0.5 y(6) =.09 Verglec mt der eakten Lösung: 8 y = dffgl_num 3..03/bu
5. De Metode von Heun geometrsce Idee: Bestmme zunäcst aus y nac Euler enen * provsorscen Wert y für y. * () y = y f (, y ) Im Intervall [, /] wrd de Lösung durc de Tangente m Punkt (, y) mt Stegung f(, y) appromert, m Intervall [ /, ] durc de Gerade mt Stegung f(, y ) Recnersce Durcfürung: 0 = a, y(0) = y(a) = y0, n ( b a) m = f (, y ) * () y = y f (, y ) = y m = * = f (, y m ) * =, = 0,,,, n - * () y y ( f (, y ) f (, y )) = y ( m m ) = dffgl_num 3..03/bu
dffgl_num 3..03/bu 6
7 Ordnung des Verfarens von Heun Wendet man m Musterbespel das Verfaren von Heun an, so erkennt man, dass be ener Halberung der Scrttwete der Quotent q aufenanderfolgender der Feler ungefär durc 4 = dvdert wrd. Das Verfaren von Heun at also de Ordnung. Übungsaufgabe Anfangswertproblem: y = y Anfangswert: y(0) = 0 Intervall [0, ] Scrttwete: = 0.5 scrttwese alberen Gesuct: y() Verglec mt der eakten Lösung: y = ( ) e n = /n y() y eakt = e Feler e() e e 0.5 0.64063 0.7888 0.078 4 0.5 0.69486 0.7888 8 0.5 0.784 0.7888 6 0.065 0.7659 0.7888 3 0.035 0.7785 0.7888 04 0.00098 0.788 0.7888 00.0000 3.9999 ( ) ( ) Bestmmt man zelenwese den Wert bedeutet, dass für den Feler glt: e 0.45 ( ) ( ) e, so stablsert sc de Folge be 0.45. Des dffgl_num 3..03/bu
8 3. Das Verfaren von Runge-Kutta (90) Es andelt sc um en Verfaren, das sowol relatv enfac als auc für en bretes Anwendungsgebet ausrecend genau st. Dazu werden aus den Werten von f(, y) ver verscedene Stegungen ermttelt, je en Wert an den beden Intervallgrenzen und zwe wetere n der Intervallmtte. ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) m = f, Stegung am lnken Intervallende m = f, m Stegung n der Intervallmtte nac Euler mt Stegung m m3 = f, m Stegung n der Intervallmtte nac Euler mt Stegung m m4 = f, m 3 Stegung am recten Intervallende nac Euler mt Stegung m3 Aus desen ver Werten wrd ene mttlere Stegung m berecnet m ( m m3) m4 m = 6 Mt den Abkürzungen k = m ergbt sc damt für den näcsten Näerungswert (3) y k = y ( k k3) k 6 4 Falls f nct von y abängt, glt k = f ( ) ( ) ( ) k = k3 = f k4 = f und Glecung (3) verenfact sc zu f ( ) 4 f f ( ) y y = 6 d.. das Gegenstück zum Verfaren von Runge-Kutta st das Verfaren von Smpson (70-76) zur Näerungsberecnung enes bestmmten Integrals (entsprecend st das Gegenstück des Verfarens von Heun de Trapezregel). dffgl_num 3..03/bu
9 Für de Recnung verwenden wr folgendes Scema y f (, y) k = f (, y) 0 0 y f 0 (, y 0 0 ) k 0 y0 k f ( 0, y0 k) k 0 y0 k f ( 0, y0 k ) k 3 y f ( y ) k 0 0 k3 0 3 4 0, k Daraus ergbt sc der Näerungswert an der näcsten Stützstelle = 0 zu k ( k k3) k4 y = y 0 k mt k = 6 dffgl_num 3..03/bu
0 In der Tabelle st zu erkennen, dass bem Verfaren von Runge der Quotent q aufenander folgender Feler ungefär durc 6 = 4 dvdert wrd, wenn de Scrttwete albert wrd. Das Verfaren von Runge-Kutta at also de Ordnung 4. Es kann nämlc gezegt werden, dass sc das Verfaren lokal von der Taylorentwcklung der Lösung durc Terme unterscedet, de proportonal zu 5 snd. Damt st der globale Abbrucfeler öcstens ene Konstante mal 4 Fazt: Halbert man de Scrttwete, so wrd der Feler - bem Eulerverfaren ungefär albert Eulerverfaren: Ordnung - bem Verfaren von Heun ungefär durc 4 getelt Heun: Ordnung - bem Verfaren von Runge-Kutta ungefär durc 6 getelt Runge-Kutta: Ordnung 4 dffgl_num 3..03/bu
Übungsaufgabe: Anfangswertproblem: y = y e Anfangswert: y(0) = Intervall [0, 0.] Scrttwete: = 0.05 Gesuct y(0.) Verglec mt der eakten Lösung: y = ( ) e und mt der Eulermetode. y(euler) y(runge-kutta) y eakt = e 0.00.000 000.000 000.000 000 0.05.00 000.03 835.03 835 0.0.07 564.5 688.5 688 0.5.33 00.336 09.336 09 0.0.44745.465 683.465 683 Das Bespel zegt de Überenstmmung der Näerungslösung nac Runge-Kutta mt der eakten Lösung. Aufgabe: Zwscen enem Feld und ener geradlngen Strasse von 4 m Brete legt en Graben von 3 m Brete. En grosser Sten, der sc n 8 m Entfernung vom Strassenrand befndet, soll von enem Tra n den Graben gezogen werden. Dazu wrd am Tra, der n der Strassenmtte rollt en Sel 5 m Länge befestgt. a) Auf welcer Kurve bewegt sc der Stenblock? b) In welcer Entfernung von Grabenrand befndet sc der Sten, wenn der Tra 0 m gerollt st? c) Welce Dstanz muss der Tra zurücklegen, bs der Fels n den Graben fällt? Lösung: a) Zu Begnn befndet sc der Tra m Ursprung des Koordnatensystems. Der Sten befndet sc zu desem Zetpunkt m (-5, 0). Zu enem späteren Zetpunkt befndet sc der Sten m Punkt (, y). Da das Kabel de Rctung der Kurventangente at glt de Dfferentalglecung y y =. Gesuct st de Lösung, welce de Anfangsbedngung y(-5) = 0 erfüllt 65 y dffgl_num 3..03/bu
Näerungswese Bestmmung der Kurve der Kurve, de der Stenblock zurücklegt. Skzze:. b) Gesuct st der Kurvenpunkt mt den Koordnaten (, y), der vom Punkt (0,0) den Abstand 5 at, für den also glt: ( 0) y ) = 5. Dazu wurde n der Tabelle de Spalte Abstand engefügt. Lneare Interpolaton ergbt den Wert 5 für y = 0.69, was enem Abstand von 5.69 5.7 m vom Grabenrand bedeutet. dffgl_num 3..03/bu
3 c) Gesuct st der Kurvenpunkt (, y) für den de y-koordnate klener oder glec 5 st. des st der Fall für 5.5. Zu desem Wert st noc gemäss der Skzze n der Aufgabenstellung der Wert zu adderen 65 y 600 4. 5. Der Tra st also ungefär 40 m vom Startpunkt entfernt. dffgl_num 3..03/bu