Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 00 Versuch : Ipedanzessung an Piezoelektrischen Baueleenten. Beschreibung des Versuchsaufbaus Die Ipedanzessung erfolgt it eine frequenzstabilen Funktionsgenerator für sinusförige Wechselspannungen it einstellbarer Aplitude und Frequenz, sowie eine digitalen Speicherosziloloskop. Die Ipedanzberechnungen sind öglich durch Spannungsessung it eine Kanal des Oszilloskops. Dabei wird, aus de vo Oszilloskop bei einer festen Frequenz aufgenoenen zeitabhängigen Signal, der koplexe Scheitelwertzeiger bestit. Diese Messung wird an drei Baueleenten durchgeführt: ) De unbekannten Messobjekt ( device under test dut ) ) Zwei bekannten Messobjekten (Kalibrierstandards) Funktionsgenerator Agilent 865 Z Z Oszilloskop Agilent DSO 306 U q ~ Z i U dut Z dut Z oszi U Abb. Messaufbau zur Ipedanzessung von Z dut Z i: Innenwiderstand des FunktionsGenerators hier 50 Ω U q: Einstellbarer Scheitelwertzeiger Z : Zuleitung zu Messobjekt Mögliche Anpassung Z : Zuleitung zu Oszilloskop Z oszi: Ipedanz des Oszilloskops U dut : nicht direkt essbare Spannung des Messobjekts it Ipedanz Z dut
Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 00. Kalibrierung des Messaufbaus durch bekannte Messobjekte. I Folgenden wird gezeigt, wie it Hilfe von verschiedenen, bekannten Messobjekten die Ipedanzberechnung durchgeführt werden kann: Mit Hilfe der Spannungsteilerregel folgt aus Abb : U Z oszi ( ) U dut Z Z oszi U dut Z eff U q Z Z i Z eff Z Z ( ) i Z eff it Z eff. Z dut Z Z oszi Wird nur das erste bekannte Messobjekt angeschlossen ( hier ein OPEN ) Mit Z dut Z o ( Ipedanz des OPEN Standarts Z o ; o 00 ff jωo Ersatzschaltbild des OPEN Standards So gilt für die geessene Spannung U o a Oszilloskop it ()*() und Index o für OPEN: U o U U Z o * dut oszi * ( 3 ) U q U dut U q Z Z oszi Z Z i Z effo it. ( 3 ) Z effo Z o Z Z oszi Für das zweite bekannte Messobjekt wird ein ohscher Widerstand benutzt, dessen Widerstandswert ungefähr de Betrag der Ipedanz des Messobjekts entspricht: Hier Z dut Z L 5kΩ jω nh Ersatzschaltbild des LOAD Standards o R L L L R L 5 kω L L nh Hier gilt analog zu (3) it Index L für Load
Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 00 U L U U Z L dut oszi ( 4 ) U q U dut U q Z Z oszi Z Z i Z effl it Z effl ( 4 ) Z L Z Z oszi Bildet an nun, so ergibt sich (3) (4) U q U o U L Z Z oszi Z Z i Z effo Z Z oszi Z Z i Z effl Z Z oszi Z Z i Z effo Z effl it (3 ) und (4 ) folgt daraus: U q U 0 U l Z Z oszi ( ) Z Z i Z o Z L oder U q Z o Z L Z ( ) Z Z i Z oszi U o UL al ( 5 ) Auf der linken Seite von Gleichung (5) stehen die unbekannten Größen des Messaufbaues, auf der rechten Seite von (5) hat an die Ipedanzen der bekannten Messobjekte und die dazugehörigen geessenen Spannungen a Oszilloskop. Dait ist die Kalibrierkonstante al, die durch den Messaufbau bestit wird, bekannt. Wird nun das unbekannte Messobjekt it der Ipedanz Z dut in den Messaufbau eingesetzt, so lässt sich analog zu (5) it der OPEN Messung als bekanntes Messobjekt schreiben: 3
Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 00 al Z o Z dut U o U dut ( 6 ) Wegen (5) (6) lässt sich aus (5) und (6) nun die Ipedanz Z dut berechnen: Z o Z dut U o U dut Z o Z L U o U L Z Z Y o L dut ( 7 ) Z dut Z o U o U dut U o U L Dieses Vorgehen zur Berechnung der Adittanz Y dut lässt sich nun für unterschiedliche Messfrequenzen durchführen, so dass der Frequenzgang von Y dut (f) geessen werden kann. 3. Modellierung des Piezobaueleents it Bestiung von Wirkungsgrad, echanischer und elektrischer Güte Bei piezoelektrischen Materialien wie z.b. Blei Zirkanat Titanat (PZT), wie es bei diese Versuch Verwendung findet, wird ein Teil der durch echanische Verforung aufgebrachten Energie in elektrische Energie ugewandelt. Der Wirkungsgrad für diese Energiewandlung wird durch den elektro-echanischen Koppelfaktor K eff eingespeiste elektrische Energie abgegebene echanische Energie eingespeiste echanische Energie abgegebene elektrische Energie dargestellt. Zur Beschreibung des gekoppelten elektro-echanischen Verhalten wird das Butterworth van Dyke Modell (BVD-Modell) aus Abb. als Standardodell benutzt. (siehe Anhang aus IEEE Standard zur Piezoelektrizität) 4
Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 00 0 L Y S j ω 0 R j ω L ω R Abb. BVD-Modell Der elektrische Bereich des Piezos wird durch die Parallelkapazität 0 odelliert, in der die, durch echanische Verforung getrennten, Ladungen gespeichert vorliegen. Das echanische Verhalten wird durch einen zu 0 parallelgeschalteten Schwingkreis it den elektrischen Baueleenten L, und R dargestellt. Unter welchen Voraussetzungen diese elektrische Darstellung des echanischen Verhaltens erlaubt ist wird i folgenden erläutert: Bei de in Abb. 3 gezeigten Piezo handelt es sich u ein echanisch schwingfähiges Syste, it einer bewegten Masse, einer Steifheit (Federkonstante D) und viskosen (geschwindigkeitsproportionalen) Reibungsverlusten d. Abb. 3 Piezo it Ipedanzessplatz 5
Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 00 Die Bewegungsgleichung eines solchen Masse-Feder-Däpfer Systes läßt sich einerseits durch die auftretenden Kräfte bei freier Schwingung durch folgende Differenzialgleichung beschrieben: d x dx d D x 0 (8) dabei ist x die Auslenkung der bewegten Masse aus ihrer Ruhelage, und d x d x die Trägheitskraft auf die it beschleunigte Masse; D x die Rückstellkraft der Feder it Federkonstante D und dx d die geschwindigkeitsproportionale Reibungskraft it Proportionalitätskonstante d. Das elektrische Verhalten der Baueleente L, und R in Abb. wird andererseits i elektrischen Bereich durch die folgenden Spannungs - Stro u-i, bzw. Spannungs-Ladungszusaenhänge u-q beschrieben: Spannung u L an der Spule bei zeitlicher Änderung des Stros i di d q L L ; wobei ul dq i Spannung u a Kondensator bei vorhandener Ladung q u q Spannung u R a ohschen Verbraucher bei Strofluss i u R R i R dq Wird der Schwingkreis aus L, und R bei vorhandener Ladung q kurzgeschlossen *, so ergibt sich folgende Differenzialgleichung für die Ladung q analog zu (): L d q dq R q 0 (9) * Dies entspricht der freien Schwingung des einal ausgelenkten, frei schwingenden echanischen Masse Feder Däpfer Systes. 6
Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 00 Durch Vergleich von (8) und (9) stellt an fest: Die Auslenkung x wird in der elektrischen Beschreibung durch die Ladung q dargestellt, die echanische Kraft f entspricht der elektrischen Spannung u, d.h. Auslenkung und Ladung, sowie Kraft und Spannung sind zueinander korrespondierende Größen. Für kleine Änderungen sind diese Größen bei Piezo zueinander proportional: f u (0) q x () Eine a Piezo anliegende Spannung führt zu auftreten einer proportionalen Kraft, eine echanische Verbiegung aus der Ruhelage erzeugt eine Ladungstrennung auf den Kondensatorplatten von 0. Beide Proportionalitätskonstanten sind wegen der Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes gleich, denn für die echanische Leistung p gilt p dx f f v it Kraft f und Geschwindigkeit v. Für die elektrische Leistung p e gilt: dq p e u u i it Spannung u und Strostärke i Wegen (0) und () wird nun: p f dx dx u u dq u i it p pe oder K e () K e heißt dann piezoelektrische Koppelkonstante. Wenn i elektrischen Ersatzschaltbild an den Serienschwingkreis von Abb. eine Spannungsquelle u(t) angeschlossen wird entspricht das also einer Kraft die i echanischen Masse Feder - Däpfer Syste wirksa wird und es gilt: u(t) L d q R dq q it (0), () und () wird daraus: f(t) K e oder L K e d x R K e dx K e x zeitabhängige physikalische Größen sind kleingeschrieben 7
Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 00 d x dx Ke f(t) L Ke R Ke x (3) außerde gilt wegen (8) d x dx (t) d D x (4) f Ein Koeffizientenvergleich zwischen (3) und (4) liefert dait die elektroechanischen Uwandlungsforeln für die Modellparaeter ; L K e d ; R K e Ke D (4 ) 4. Bestiung der Modellparaeter, L, R und 0 : Diese lassen sich it Hilfe der elektrischen Ipedanzessung it haronische Wechselspannung in der Ugebung der echanischen Resonanzfrequenz bestiten. Für das Ersatzschaltbild in Abb. gilt dann für die Adittanz Y S Y ( ω) S j ω 0 R j L ω Für die Paraeterextraktion wird dann folgendes Vorgehen gewählt (siehe IEEE Standard für...). Hierzu werden die aus den geessenen Spannungswerten durch Gleichung (7) berechneten Adittanzen Y M benutzt: 4.. Bestiung der Serienresonanzfrequenz f s, die an der Stelle auftritt, an der Realteil (Y M ) ein Maxiu besitzt. 4.. Berechnung der Ipedanz Z M und Bestiung der YM Parallelresonanzfrequenz f p die an der Stelle auftritt, an der Realteil (Z M ) ein Maxiu besitzt. 4.3. Berechnung des elektroechanischen Wirkungsgrads K eff 8
Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 00 K eff fp fs, f p der angibt wie viel elektrische Energie bei der Messung in echanische Energie ugewandelt wurde. 4.4. Bestiung der Gesatkapazität T 0 bei Frequenzen indestens 0% unterhalb der Resonanzfrequenzen it T I aginärteil ω ( Y ) M fs 4.5. Bestiung von o T und T 0 f p 4.6. Bestiung von L ( π fs ) 4.7. Bestiung von R Re alteil ( Y (f )) M s Bei diese Vorgehen ist nur der Iaginärteil (Y M ) frequenzabhängig gut odelliert, während der Realteil (Y M ) nur für die Frequenz f f s angepasst ist. Außerhalb von f s wird der Realteil (Y M ) in der Regel zu klein berechnet, wie es eine Beispielextraktion von Abb. 4 zeigt. 3.50E-04 3.00E-04 Adittanz / S.50E-04.00E-04.50E-04.00E-04 5.00E-05 real(ym) / S iag(ym) / S real(ys) / S iag(ys) / S Abb. 4 0.00E00 0000 5000 30000 35000 40000 45000 Frequenz / Hz Vergleich Messung Y M und Siulation Y S eines Piezos. U auch den Realteil (Y M ) breitbandig richtig zu berechnen üssen die dielektrischen Verluste des Piezos it berücksichtigt werden. Hierzu wird das Ersatzschaltbild u einen frequenzabhängigen Parallelwiderstand erweitert: Es gilt für den dielektrischen Verlustfaktor tanδ: 9
Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 00 tan δ ω R und deshalb p 0 Rp (5) ω tan δ 0 Dabei ergibt sich das verbesserte Ersatzschaltbild nach Abb. 5. ω tan δ 0 0 L Y ω tan δ Y (6) e 0 s R Abb. 5 Erweitertes Ersatzschaltbild it dielektrischen Verlusten. tanδ lässt sich außerhalb der Resonanz durch als Startwert extrahieren. tan δ Re alteil I aginärteil ( YM) ( Y ) M Jetzt stehen genügend genaue Startwerte für die Berechnung von Y e zur Verfügung, u it eine Optiieralgorithus eine verbesserte Kurvenanpassung zu erreichen. Hierzu wird der ittlere Quadratische Fehler zwischen geessenen Y-Paraetern Y M und nach (6) berechneten Y-Paraeter Y e gebildet: Fehler n geeignete Frequenzpunkte Real ( YM) Real( Ye ) Real( Y ) M Iag ( YM) ) Iag( Ye ) Iag( Y ) M n Anzahl der benutzten Frequenzen Ersatzschaltbild bei hohen Frequenzen Für hochfrequente echanische Resonanzen ( f > 00 khz ) spielen auch die Zuleitungsinduktivitäten und der Kontaktwiderstand zwischen Piezoaterial und Metall eine Rolle: Diese beiden neuen Modellparaeter erscheinen nun i Ersatzschaltbild von Abb. 6. 0
Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 00 R s L s ω tan δ 0 0 L ZRF R j ω L S s Y e (7) R Abb. 6 Hochfrequenztaugliches Ersatzschaltbild des Piezos Bei bekannten Baueleentewerten kann jetzt die dielektrische Güte Q e, tan δ sowie die echanische Güte i Resonanzfall werden. Q π f R berechnet s Bei Kenntnis von K e ist es nun auch öglich eine effektive bewegte Masse it eff L K, e eine effektive Proportionalitätskonstante für viskose Reibung und eine effektive Federkonstante K e D eff zu bestien. d eff R K e
Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 00 5. Aufgaben: Häusliche Vorbereitung: Berechnen Sie die Ipedanz (Z-Paraeter) und die Addittanz (Y-Paraeter) der Schaltung in Abb. 7. 0 L R 0 R Abb.7 Schaltung zur Berechnung von Y- und Z- Paraetern 5. Siulieren Sie den vorhandenen Messaufbau it de Schaltungssiulationsprogra ADS (Advanced Design Syste) von Agilent. Als Siulationsart wird eine A-Siulation i Frequenzbereich von 0 khz bis 00 khz durchgeführt. Dabei sind die OPEN, LOAD und DUT Messungen, wie in Abb. dargestellt, i Siulator nachzubilden. Die Siulation der OPEN Messung ist bereits als Beispiel vorhanden. Starten sie ADS und öffnen sie das Projekt c:/praktikufunktionswerkstoffe/versuch_prj. Als unbekanntes Messobjekt benutzen sie den Schaltplan von Abb. it den Paraetern 0 nf, 30 pf, L.5 H und R 50 kω. Berechnen Sie aus de Siulationsergebnis der Spannungen a Oszilloskop it Gleichung (5) die Kalibrierkonstante al und stellen sie Realteil und Iaginärteil grafisch dar. Welche physikalische Bedeutung hat al (Hinweis: bestien sie die Einheit).Überlegen sie, wie it (5) bei bekannte al die gesate Eingangsipedanz der Quelle Z Z i abgeschätzt werden kann. Die folgenden Aufgaben werden it EXEL bearbeitet. Hierzu finden Sie unter c:/praktikufunktionswerkstoffe/vorlage_lf.xls ein vorgefertigtes EXEL file als Vorlage, it de die Messgeräte angesteuert werden können und die erzeugten Daten direkt in einer EXEL Tabelle gespeichert werden. Mit diesen Daten werden anschliessend die Auswertungen in EXEL durchgeführt. Wenn Sie einen eigenen LAPTOP it EXEL97 oder neuer besitzen, können Sie diesen zu Versuch itbringen und den Versuch it de eigenen LAPTOP durchführen. Ansonsten benötigen sie einen USB Speicherstick, u die während des Versuchs erzeugten EXEL files für die weitere Auswertung itzunehen.
Elektrotechnik Praktiku i Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 00 5.. Kalibrierung des Messaufbaus it den bekannten Messobjekten OPEN und LOAD i Frequenzbereich 0 khz < Frequenz < 00 khz it der Schrittweite khz. Bestien Sie wie in 5.. die Kalibrierkonstante al und die Eingangsipedanz der Quelle Z Z i. Wie groß ist der Kapazitätswert des Kondensators zur Ipedanzanpassung der Quelle ans Messobjekt? 5.3. Messung des Piezos und Berechnung von Y dut nach Gleichung (7). 5.4. Paraeterextraktion des BVD-Standardodells nach Abb.. 5.5 Erweiterung des Standardodells it dielektrische Verlustfaktor geäß Abb.5. 5.6. Optiierung des Modells aus 5.5 und Bestiung der elektrischen Güte Q e, der echanischen Güte Q und des elektroechanischen Wirkungsgrads K eff. 5.7 Kalibrierung des Messaufbaus it den bekannten Messobjekten OPEN und LOAD i Frequenzbereich MHz < Frequenz < 0 MHz it der Schrittweite 50 khz. Hier wird keine zusätzliche Ipedanzanpassung durch einen Kondensator benötigt, da der Piezo hier niederohig ist (Z < 00 Ω). Bestien Sie wie in 5.. die Kalibrierkonstante al und die Eingangsipedanz der Quelle Z Z i. Wie groß ist der Widerstandswert des Innenwiderstands der Quelle? 5.8 Führen sie die Schritte 5.3. bis 5.6. analog durch. Beurteilen Sie die Anpassung nach der Optiierung. 5.9 Benutzen Sie nun das hochfrequenztaugliche Ersatzschaltbild von Abb. (6) für die siulierten Z-Paraeter von Gleichung (7). Führen Sie nun eine Optiierung der Z-Paraeter durch. Für die Ausarbeitung: A.. Überlegen Sie waru in den unterschiedlichen Frequenzbereichen unterschiedliche LOAD Standards benutzt wurden. A.. Die piezoelektrische Koppelkonstante beträgt K e 0.03 N/V. Bestien Sie dait die effektiven echanischen Eigenschaften für die bewegte Masse, die Federkonstante D und Reibungskoeffizienten d nach Gleichung (4 ). Vergleichen und diskutieren Sie das Ergebnis bei den unterschiedlichen Resonanzfrequenzen. Zeigen Sie durch eine Diensionsbetrachtung, daß die Proportionalitätskonstanten und der Gleichungen (0) und () die gleichen Einheiten besitzen. Anhang IEEE Standard zur Piezoelektrizität aus IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency ontrol, Vol. 43, No. 5, Septeber 996 pp. 737-77. Beachte: I Unterschied zur bisherigen Versuchsanleitung heißen in diese Dokuent die Baueleente des echanischen Schwingkreises L, und R. 3