Verzerrung und Unsicherheit von Quantilschätzern
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- Harry Gerber
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1 Verzerrung und Unsicherheit von Quantilschätzern Henning Rust, Malaak Kallache, Jürgen Kropp Potsdam-Institut für Klimafolgenforschung p.1/31
2 Motivation Festlegung von Bemessungsgrößen für die Wasserwirtschaft mittels Quantilschätzung aus korrelierten Abflußzeitreihen p.2/31
3 Motivation Festlegung von Bemessungsgrößen für die Wasserwirtschaft mittels Quantilschätzung aus korrelierten Abflußzeitreihen Wichtig ist Verläßlichkeit der Größe (Konfidenzintervalle) Verläßlichkeit der Konfidenzintervalle p.2/31
4 Inhalt 1. Problemstellung/Fragestellung 2. Ansätze zur Quantilschätzung 3. Blockmaxima Simulationsexperiment Bsp. Achleiten 4. Grenzüberschreitung Bsp. Achleiten Cluster-Ansatz bei Korrelationen 5. Zusammenfassung/Perspektiven p.3/31
5 Problemstellung Problem: Gegeben: Gesucht: Zeitreihe der täglichen Abflüsse Bemessungsgröße aus Wasserstand zu bestimmter Eintrittswahrscheinlichkeit p.4/31
6 Problemstellung Problem: Gegeben: Gesucht: Zeitreihe der täglichen Abflüsse Bemessungsgröße aus Wasserstand zu bestimmter Eintrittswahrscheinlichkeit Vorgehen in der Praxis: 1. Schätze HQ T und Konfidenzintervall 2. Bestimme Wasserstand für HQ T + Standardabweichung 3. Addiere Zuschläge (Freibord, Klimawandel) p.4/31
7 Problemstellung Problem: Gegeben: Gesucht: Zeitreihe der täglichen Abflüsse Bemessungsgröße aus Wasserstand zu bestimmter Eintrittswahrscheinlichkeit Vorgehen in der Praxis: 1. Schätze HQ T und Konfidenzintervall 2. Bestimme Wasserstand für HQ T + Standardabweichung 3. Addiere Zuschläge (Freibord, Klimawandel) p.4/31
8 Fragestellung Hat die Abhängigkeit (Korrelation) in den täglichen Abflußzeitreihen einen Einfluß auf die Schätzung der Hochwasserquantile HQ T? Gibt es insbesondere eine Verschiebung des Schätzwertes (Verzerrung) oder Änderung der Standardabweichung (Varianz) aufgrund von Korrelationen? p.5/31
9 Ansätze zur Quantilschätzung Blockmaxima Maxima aus Blöcken der Länge R GEV für R p.6/31
10 Ansätze zur Quantilschätzung Blockmaxima Maxima aus Blöcken der Länge R GEV für R Grenzüberschreitung Q > u GPD für u groß genug p.6/31
11 Ansätze zur Quantilschätzung Blockmaxima Maxima aus Blöcken der Länge R GEV für R Grenzüberschreitung Q > u GPD für u groß genug Punktprozesse verallgemeinerndes Konzept p.6/31
12 Ansätze zur Quantilschätzung Blockmaxima Maxima aus Blöcken der Länge R GEV für R Grenzüberschreitung Q > u GPD für u groß genug Punktprozesse verallgemeinerndes Konzept Bayessche Ansätze erlauben Wahrscheinlichkeitsinterpretation p.6/31
13 Ansätze zur Quantilschätzung Blockmaxima Maxima aus Blöcken der Länge R GEV für R Grenzüberschreitung Q > u GPD für u groß genug Punktprozesse verallgemeinerndes Konzept Bayessche Ansätze erlauben Wahrscheinlichkeitsinterpretation Markov-Ketten explizite Modellierung einfacher Abhängigkeiten p.6/31
14 Ansätze zur Quantilschätzung Blockmaxima Maxima aus Blöcken der Länge R GEV für R Grenzüberschreitung Q > u GPD für u groß genug Punktprozesse verallgemeinerndes Konzept Bayessche Ansätze erlauben Wahrscheinlichkeitsinterpretation Markov-Ketten explizite Modellierung einfacher Abhängigkeiten p.7/31
15 Methode der Blockmaxima Vorgehen: teile Zeitreihe in Blöcke der Länge R (in der Praxis: R=1Jahr) p.8/31
16 Methode der Blockmaxima Vorgehen: teile Zeitreihe in Blöcke der Länge R (in der Praxis: R=1Jahr) bestimme Maximum aus jedem Block p.8/31
17 Methode der Blockmaxima Vorgehen: teile Zeitreihe in Blöcke der Länge R (in der Praxis: R=1Jahr) bestimme Maximum aus jedem Block Theorie: für IID und R streben Maxima gegen GEV p.8/31
18 Methode der Blockmaxima Vorgehen: teile Zeitreihe in Blöcke der Länge R (in der Praxis: R=1Jahr) bestimme Maximum aus jedem Block Theorie: für IID und R streben Maxima gegen GEV kanonische Modellklasse GEV (auch andere, da R < ) p.8/31
19 Methode der Blockmaxima Vorgehen: teile Zeitreihe in Blöcke der Länge R (in der Praxis: R=1Jahr) bestimme Maximum aus jedem Block Theorie: für IID und R streben Maxima gegen GEV kanonische Modellklasse GEV (auch andere, da R < ) schätze GEV Parameter (µ,σ,ξ) aus Maxima (MLE, Momente) p.8/31
20 Methode der Blockmaxima Vorgehen: teile Zeitreihe in Blöcke der Länge R (in der Praxis: R=1Jahr) bestimme Maximum aus jedem Block Theorie: für IID und R streben Maxima gegen GEV kanonische Modellklasse GEV (auch andere, da R < ) schätze GEV Parameter (µ,σ,ξ) aus Maxima (MLE, Momente) berechne HQ T und Standardabweichung p.8/31
21 Experiment mit simulierten Reihen Frage: Haben Korrelationen eine Einfluß auf die Quantilschätzung? p.9/31
22 Experiment mit simulierten Reihen Frage: Haben Korrelationen eine Einfluß auf die Quantilschätzung? Experiment: Erzeuge Datensätze mit bekannter Verteilung (bekanntem HQ T ) ca. 90 Jahre, tägliche Auflösung p.9/31
23 Experiment mit simulierten Reihen Frage: Haben Korrelationen eine Einfluß auf die Quantilschätzung? Experiment: Erzeuge Datensätze mit bekannter Verteilung (bekanntem HQ T ) ca. 90 Jahre, tägliche Auflösung schätze HQ T, T = 100 (Blockmaxima, Gumbel) p.9/31
24 Experiment mit simulierten Reihen Frage: Haben Korrelationen eine Einfluß auf die Quantilschätzung? Experiment: Erzeuge Datensätze mit bekannter Verteilung (bekanntem HQ T ) ca. 90 Jahre, tägliche Auflösung schätze HQ T, T = 100 (Blockmaxima, Gumbel) wiederhole Experiment 1000 mal p.9/31
25 Experiment mit simulierten Reihen Frage: Haben Korrelationen eine Einfluß auf die Quantilschätzung? Experiment: Erzeuge Datensätze mit bekannter Verteilung (bekanntem HQ T ) ca. 90 Jahre, tägliche Auflösung schätze HQ T, T = 100 (Blockmaxima, Gumbel) wiederhole Experiment 1000 mal Verteilung der geschätzten HQ 1 00 vergleiche mit theoretischem Wert p.9/31
26 Experiment mit simulierten Reihen Verteilung HQ100 Verteilung HQ100 rel. Häufigkeit rel. Häufigkeit Wahres Quantil Unkorreliert HQ100 Gaussverteilt HQ100 Exponentialverteilt p.10/31
27 Experiment mit simulierten Reihen Verteilung HQ100 Verteilung HQ100 rel. Häufigkeit rel. Häufigkeit Wahres Quantil Unkorreliert AR[1] HQ100 Gaussverteilt HQ100 Exponentialverteilt p.10/31
28 Experiment mit simulierten Reihen Verteilung HQ100 Verteilung HQ100 rel. Häufigkeit rel. Häufigkeit Wahres Quantil Unkorreliert AR[1] FD HQ100 Gaussverteilt HQ100 Exponentialverteilt p.10/31
29 Experiment mit simulierten Reihen Verteilung HQ100 Verteilung HQ100 rel. Häufigkeit rel. Häufigkeit Wahres Quantil Unkorreliert AR[1] FD FAR[1] HQ100 Gaussverteilt HQ100 Exponentialverteilt p.10/31
30 Fazit Einfluß der Verteilung: Gumbel Jahresmaxima aus Gaußverteilung Gumbel Jahresmaxima aus Exp.-Verteilung p.11/31
31 Fazit Einfluß der Verteilung: Gumbel Jahresmaxima aus Gaußverteilung Gumbel Jahresmaxima aus Exp.-Verteilung Einfluß der Korrelationen: Verzerrung des Schätzers Varianzvergrößerung p.11/31
32 Fazit Einfluß der Verteilung: Gumbel Jahresmaxima aus Gaußverteilung Gumbel Jahresmaxima aus Exp.-Verteilung Einfluß der Korrelationen: Verzerrung des Schätzers Varianzvergrößerung Nota bene: FD und FAR[1] haben selbes H H alleine zur Charakterisierung der Korrelationen nicht ausreichend p.11/31
33 Fazit Einfluß der Verteilung: Gumbel Jahresmaxima aus Gaußverteilung Gumbel Jahresmaxima aus Exp.-Verteilung Einfluß der Korrelationen: Verzerrung des Schätzers Varianzvergrößerung Nota bene: FD und FAR[1] haben selbes H H alleine zur Charakterisierung der Korrelationen nicht ausreichend Korrelationen beeinflußen die Quantilschätzung! p.11/31
34 Beispiel: Pegel Achleiten tägliche Abflußdaten (103 Jahre) p.12/31
35 Beispiel: Pegel Achleiten tägliche Abflußdaten (103 Jahre) Abfluß Werteverteilung Q rel. Häufigkeit 0e+00 2e 04 4e 04 6e Index Q p.12/31
36 Beispiel: Pegel Achleiten tägliche Abflußdaten (103 Jahre) Idee: Benutze Simulationsstudien 1. schätze HQ 100 mit konv. Blockmaxima Ansatz KI zu klein, da IID-Annahme p.12/31
37 Beispiel: Pegel Achleiten tägliche Abflußdaten (103 Jahre) Idee: Benutze Simulationsstudien 1. schätze HQ 100 mit konv. Blockmaxima Ansatz KI zu klein, da IID-Annahme 2. Konfidenzintervall mit Bootstrap Ansatz p.12/31
38 1. Blockmaxima: Achleiten Achleiten Abfluß Wiederkehrperiode GEV/Gumbel Formparameter ξ 0 nicht signifikant HQ 100 = ± p.13/31
39 2. Konfidenzintervall aus Bootstrap Ansatz Bootstrap: erzeuge Surrogatreihe mit ähnliche Eigenschaften: Saisonalität (Mittelwert und Varianz) Korrelationen (FARIMA) Werteverteilung (iaaft) p.14/31
40 2. Konfidenzintervall aus Bootstrap Ansatz Bootstrap: erzeuge Surrogatreihe mit ähnliche Eigenschaften: Saisonalität (Mittelwert und Varianz) Korrelationen (FARIMA) Werteverteilung (iaaft) schätze HQ 100 mit Blockmaxima und Gumbel p.14/31
41 2. Konfidenzintervall aus Bootstrap Ansatz Bootstrap: erzeuge Surrogatreihe mit ähnliche Eigenschaften: Saisonalität (Mittelwert und Varianz) Korrelationen (FARIMA) Werteverteilung (iaaft) schätze HQ 100 mit Blockmaxima und Gumbel wiederhole 1000 Mal p.14/31
42 2. Konfidenzintervall aus Bootstrap Ansatz Bootstrap: erzeuge Surrogatreihe mit ähnliche Eigenschaften: Saisonalität (Mittelwert und Varianz) Korrelationen (FARIMA) Werteverteilung (iaaft) schätze HQ 100 mit Blockmaxima und Gumbel wiederhole 1000 Mal Verteilung der HQ 100 -Schätzwerte p.14/31
43 2. Konfidenzintervall aus Bootstrap Ansatz Bootstrap: erzeuge Surrogatreihe mit ähnliche Eigenschaften: Saisonalität (Mittelwert und Varianz) Korrelationen (FARIMA) Werteverteilung (iaaft) schätze HQ 100 mit Blockmaxima und Gumbel wiederhole 1000 Mal Verteilung der HQ 100 -Schätzwerte Standardabweichung aus Streung des Ensembles p.14/31
44 Bootstrap Verteilung der Schätzwerte rel. Häufigkeit Bootstrap HQ100 p.15/31
45 Bootstrap Verteilung der Schätzwerte rel. Häufigkeit Bootstrap Theroretisch HQ100 p.15/31
46 Bootstrap Verteilung der Schätzwerte rel. Häufigkeit Bootstrap Theroretisch HQ100 Standardabweichungen: Theoretisch (4.5%) Bootstrap (5.4%) p.15/31
47 Fazit Bootstrap Konfidenzintervalle: berücksichtigt Korrelationen Standardabweichung größer p.16/31
48 Fazit Bootstrap Konfidenzintervalle: aber: berücksichtigt Korrelationen Standardabweichung größer Modellannahme für Korrelationen (FARIMA) keine Variabilität in der Verteilung (iaaft) Konfidenzintervall eher zu klein p.16/31
49 Fazit Bootstrap Konfidenzintervalle: aber: berücksichtigt Korrelationen Standardabweichung größer Modellannahme für Korrelationen (FARIMA) keine Variabilität in der Verteilung (iaaft) Konfidenzintervall eher zu klein Erweiterungen: FARIMA-GARCH für Abhängigkeiten Variabilität in Verteilung durch Bootstrap p.16/31
50 Ansätze zur Quantilschätzung Blockmaxima Maxima aus Blöcken der Länge R GEV für R Grenzüberschreitung Q > u GPD für u groß genug Punkt Prozesse verallgemeinerndes Konzept Bayessche Ansätze erlauben Wahrscheinlichkeitsinterpretation Markov-Ketten explizite Modellierung einfacher Abhängigkeiten p.17/31
51 Grenzüberschreitungsmethode (POT) Vorgehen: wähle Schwellenwert u p.18/31
52 Grenzüberschreitungsmethode (POT) Vorgehen: wähle Schwellenwert u betrachte nur Abflüsse Q > u (Überschreitungen) p.18/31
53 Grenzüberschreitungsmethode (POT) Vorgehen: wähle Schwellenwert u betrachte nur Abflüsse Q > u (Überschreitungen) Theorie: für Q IID und u groß genug Q > u GPD p.18/31
54 Grenzüberschreitungsmethode (POT) Vorgehen: wähle Schwellenwert u betrachte nur Abflüsse Q > u (Überschreitungen) Theorie: für Q IID und u groß genug Q > u GPD kanonische Modellklasse GPD p.18/31
55 Grenzüberschreitungsmethode (POT) Vorgehen: wähle Schwellenwert u betrachte nur Abflüsse Q > u (Überschreitungen) Theorie: für Q IID und u groß genug Q > u GPD kanonische Modellklasse GPD schätze GPD parameter (σ, ξ ) (Lokationsparameter ist u) p.18/31
56 Grenzüberschreitungsmethode (POT) Vorgehen: wähle Schwellenwert u betrachte nur Abflüsse Q > u (Überschreitungen) Theorie: für Q IID und u groß genug Q > u GPD kanonische Modellklasse GPD schätze GPD parameter (σ, ξ ) (Lokationsparameter ist u) berechne HQ T und Standardabweichung p.18/31
57 Grenzüberschreitungsmethode (POT) Vorgehen: wähle Schwellenwert u betrachte nur Abflüsse Q > u (Überschreitungen) Theorie: für Q IID und u groß genug Q > u GPD kanonische Modellklasse GPD schätze GPD parameter (σ, ξ ) (Lokationsparameter ist u) berechne HQ T und Standardabweichung In der Praxis: Wahl von u schwierig, existieren heuristische Methoden p.18/31
58 POT, Bsp. Achleiten Wahl des Schwellwertes: u 1 = 2500, u 2 = 3000 p.19/31
59 POT, Bsp. Achleiten Wahl des Schwellwertes: u 1 = 2500, u 2 = 3000 Formparameter ξ 0 nicht signifikant p.19/31
60 POT, Bsp. Achleiten Wahl des Schwellwertes: u 1 = 2500, u 2 = 3000 Formparameter ξ 0 nicht signifikant u 1 : HQ 100 = 6694 ± 85 u 2 : HQ 100 = 6876 ± 126 p.19/31
61 POT, Bsp. Achleiten Wahl des Schwellwertes: u 1 = 2500, u 2 = 3000 Formparameter ξ 0 nicht signifikant u 1 : HQ 100 = 6694 ± 85 u 2 : HQ 100 = 6876 ± 126 zum Vergleich GEV: HQ 100 = ± HQ 100 deutlich kleiner, Varianz deutlich kleiner p.19/31
62 POT, Bsp. Achleiten Achleiten 5e 02 5e 01 5e+00 5e+01 Wiederkehrperiode Achleiten Wiederkehrperiode p.20/31 Abfluß Abfluß
63 POT, Bsp. Achleiten Achleiten Achleiten Abfluß Abfluß e 02 5e 01 5e+00 5e+01 Wiederkehrperiode Wiederkehrperiode nicht zufriedenstellend POT Erweiterung: benutze Clustermaxima p.20/31
64 POT+Cluster POT: betrachte alle Überschreitungen Q > u p.21/31
65 POT+Cluster POT: betrachte alle Überschreitungen Q > u POT+Cluster: betrachte nur Clustermaxima Min. Clusterabstand r=1 Data Index Min. Clusterabstand r=4 Data Index p.21/31
66 POT+Cluster POT: betrachte alle Überschreitungen Q > u POT+Cluster: betrachte nur Clustermaxima setze min. Clusterabstand r Min. Clusterabstand r=1 Data Index Min. Clusterabstand r=4 Data Index p.21/31
67 POT+Cluster, Bsp. Achleiten u= 2500 u= 3000 Abfluß e 02 5e 01 5e+00 5e+01 Wiederkehrperiode u= 2500, r=4 Abfluß Abfluß Wiederkehrperiode u= 3000, r=4 Abfluß Wiederkehrperiode Wiederkehrperiode p.22/31
68 Vergleich der Methoden p.23/31
69 POT+Cluster, Fazit Vorteile des Clusterverfahrens berücksichtigt Korrelationen (teilweise) Konfidenzintervalle verläßlicher (Simulationsstudie) p.24/31
70 POT+Cluster, Fazit Vorteile des Clusterverfahrens berücksichtigt Korrelationen (teilweise) Konfidenzintervalle verläßlicher (Simulationsstudie) Aber Schwellwert- und Clusterbestimmung subjektiv p.24/31
71 Zusammenfassung Simulationsstudie: Korrelationen beeinflussen die Quantilschätzung Approximation durch Modelle (GEV/GPD) weniger gut Verzerrung asympt. Konfidenzintervalle zu klein!! mehr "Gedächtnis" mehr Varianz p.25/31
72 Zusammenfassung Simulationsstudie: Korrelationen beeinflussen die Quantilschätzung Approximation durch Modelle (GEV/GPD) weniger gut Verzerrung asympt. Konfidenzintervalle zu klein!! mehr "Gedächtnis" mehr Varianz Vorschlag: Bootstrap Konfidenzintervalle verlässlichere Konfidenzintervalle Variabilität noch nicht ausreichend p.25/31
73 Zusammenfassung Simulationsstudie: Korrelationen beeinflussen die Quantilschätzung Approximation durch Modelle (GEV/GPD) weniger gut Verzerrung asympt. Konfidenzintervalle zu klein!! mehr "Gedächtnis" mehr Varianz Vorschlag: Bootstrap Konfidenzintervalle verlässlichere Konfidenzintervalle Variabilität noch nicht ausreichend POT+Cluster berücksichtigt Korrelationen (teilweise) verlässlichere Konfidenzintervalle aber: Schwellwert- und Clusterbestimmung p.25/31
74 Perspektiven Konfidenzintervalle Profiling (MLE) erweitere Bootstrap Verfahren POT+Cluster hat Potential p.26/31
75 Perspektiven Konfidenzintervalle Profiling (MLE) erweitere Bootstrap Verfahren POT+Cluster hat Potential Saisonalitäten, Periodizitäten und Trends berücksichtigen erweitertes GEV-Modell (Malaak) Ansatz mit saisonalen Modellen p.26/31
76 Perspektiven Konfidenzintervalle Profiling (MLE) erweitere Bootstrap Verfahren POT+Cluster hat Potential Saisonalitäten, Periodizitäten und Trends berücksichtigen erweitertes GEV-Modell (Malaak) Ansatz mit saisonalen Modellen bestimmte Wahrscheinlichkeit der Überschreitung des HQ T z.b. 95% KI statt Standardabweichung Bayesscher Ansatz p.26/31
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Korrektur: Lineare Regression in Excel Doppelsummenkurve 1 8 kum. Abfluss 6 4 2 Juni 1987 5 1 15 2 kum. Niederschlag 1 PDFA Abfluss Lange Bramke 4 kum. Stabw. 3 2 1 Feb. 1981 1.8 1.82 1.84 1.86 1.88 1.9
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Definition 18 (Die verallgemeinerte Pareto Verteilung (GPD)) Die standard GPD G γ : ) 1/γ. G γ,ν,β = 1 (1 + γ x ν β
Die POT Methode (Peaks over Threshold) Definition 18 (Die verallgemeinerte Pareto Verteilung (GPD)) Die standard GPD G γ : G γ (x) = { 1 (1 + γx) 1/γ für γ 0 1 exp{ x} für γ = 0 wobei x D(γ) D(γ) = { 0
Man kann also nicht erwarten, dass man immer den richtigen Wert trifft.
2.2.2 Gütekriterien Beurteile die Schätzfunktionen, also das Verfahren an sich, nicht den einzelnen Schätzwert. Besonders bei komplexeren Schätzproblemen sind klar festgelegte Güteeigenschaften wichtig.
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