Hydrologie und Flussgebietsmanagement

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Kai Grosse
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1 Hydrologie und Flussgebietsmanagement o.univ.prof. DI Dr. H.P. Nachtnebel Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau Wiederholung Statistische Grundlagen Definitionen der statistischen Grundlagen Grundgesamtheit / Stichprobe / Wahrscheinlichkeit Absolute / relative Häufigkeit Histogramm / Dichte- / Verteilungsfunktion Summenlinie / Dauerlinie Verteilungen Parameter zur Beschreibung Normalverteilung Standardisierung Begriffe Jährlichkeit Wiederkehrintervall Empirische Verteilung Stichprobe, endlich Häufigkeitsverteilung (Histogramm) Summenhäufigkeit Relative Häufigkeit Empirische Wahrscheinlichkeiten = Häufigkeiten Mittelwert x Standardabweichung s Theoretische Verteilung Grundgesamtheit, unendlich Dichtefunktion f(x) Verteilungsfunktion F(x) Wahrscheinlichkeit Mittelwert μ Standardabweichung δ Extremwertstatistik Seite 2 1

2 Generelle Vorgangsweise bei Extremwertanalyse Auswahl der Stichprobe Auswahl einer Verteilung Anpassung der Verteilung an Stichprobe Ermittlung von Schätzwerten (Bemessungsgrößen) Schätzung der Unsicherheit der Aussage Extremwertstatistik Seite 3 Was ist ein Extremwert / Q T Extremwert Etwas, das selten auftritt Hochwasser Niederwasser Lange niederschlagsfreie Perioden Hagel, Schnee (saisonales Auftreten) Ermittlung von Q T (Bemessungsgröße) Quantil Q T ist gesuchtes Extremereignis mit Wiederkehrintervall T bzw. Wahrscheinlichkeit 1/T Ermittlung: 1. Berechnung 2. Grafisch Extremwertstatistik Seite 4 2

3 Beispiele Wiederkehrinterval T= 100 Jahre bedeutet, dass ein Ereignis im Durchschnitt (Mittel) alle hundert Jahre einmal auftritt Die Auftrittswahrscheinlichkeit W A für ein Jahr ist daher 1/T = 0.01 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein HQ 100 in hundert Jahren? Extremwertstatistik Seite 5 Beispiele Wiederkehrinterval T= 100 Jahre bedeutet, dass ein Ereignis im Durchschnitt (Mittel) alle hundert Jahre einmal auftritt Die Auftrittswahrscheinlichkeit W A für ein Jahr ist daher 1/T = 0.01 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein HQ 100 in hundert Jahren? W A,1 =1/100, W N,1 =1-1/100 W N,2 =W N,1 *W N,1 = (1-1/100)*(1-1/100) W N,100 =W 100 N,1 =(1-1/100) 100 W A,100 =1-W N,100 = 1-(1-1/100) 100 = 63,4 % Für derartige Fragen Anwendung des Binomialsatzes!! Extremwertstatistik Seite 6 3

4 Jahresreihe Der größte Wert eines Jahres wird ausgewählt Extremwertstatistik Seite 7 Partielle Reihe Alle Werte über einem Schwellenwert werden ausgewählt wobei auf Unabhängigkeit zu achten ist z.b zeitlicher Abstand und Minimum dazwischen Extremwertstatistik Seite 8 4

5 Hinweise Frage: wo liegt Schwellenwert? Faustformel: 3x soviel Werte als Beobachtungsjahre in der Stichprobe Wann wählt man Jahresreihe oder partielle Reihe? Bei kurzen Beobachtungsreihen partielle Reihe Bei saisonaler Auswertung auch Extremwertstatistik Seite 9 Vergleich Jahresreihe mit partieller Reihe Extremwertstatistik Seite 10 5

6 Auswahl einer Verteilung Log-Normalverteilung Gumbelverteilung Log-Gumbelverteilung Pearson III-Verteilung Log-Pearson III Verteilung Weibull Verteilung Wakeby Verteilung Gamma Verteilung. Extremwertstatistik Seite 11 Quantil und Verteilung Zusammenhang zwischen Q und P(Q>Q T ) F(Q) 1 F(Q) ist gewählte Verteilungsfunktion f(q) ist die Dichtefunktion f(q) 0 Q Q Extremwertstatistik Seite 12 6

7 Gumbelverteilung Gewählte Verteilungsfunktion: Gumbel 2parametrig (Schätzung) Doppelt exponentiell Linksseitig mit 0 begrenzt, rechtsseitig unbegrenzt a+ x T e c 1 F( xt ) = e = 1 log arithmieren T a+ xt e c 1 ln = 1 T a + xt 1 = ln ln 1 c T log arithmieren a + 1 = c c *( 1) x T Geradengleichung bei 2x logarithmieren der Gumbelverteilung Extremwertstatistik Seite 13 Grafische Ermittlung von QT Jahr Qmax Rang T Weib ,7 1, ,5 2, , ,3 1, , ,4 1, , ,1 1, ,3 3,7 Beachten: 2 gleiche Werte Partielle Reihen Plotting Positions Korrektur mittels Weibull Festlegung der Jährlichkeit T (Wiederkehrintervall) Extremwertstatistik Seite 14 7

8 Grafische Ermittlung von Q T Wahrscheinlichkeitspapier für Gumbel-Verteilung Unterschreitungswahrscheinlichkeit [%] Wiederkehrintervall Q(m 3 /s) 1100?? X Modus Mittel reduzierte Variable y T Extremwertstatistik Seite 15 Allgemeine Aussagen 1. T soll nicht größer sein als die 3-fache Beobachtungsdauer 2. Erwartungswert und Unsicherheit angeben Extremwertstatistik Seite 16 8

9 Rechnerische Ermittlung von Q T bzw. x T Schätzwerte a+ x T e c 1 F( xt ) = e = 1 T Parameter a (Maßstabsparameter) c (Lageparameter) Hydrologische Grundgleichung Entsprechung bei NV a = x 0,5772* c π c = 6 s x x = x + K( T) * T s x x = x + u( T) * T s x Extremwertstatistik Seite 17 Rechnerische Ermittlung von Q T n Häufigkeitsfaktor K T Wiederholungszeitspanne in Jahren T y = y + K( T )* y T T s y T = ln ln T 1 x 100 = x + K( T) * sx = = ,323*128,3 = 928 m ³ / s Extremwertstatistik Seite 18 9

10 Bemessungswert und Schätzfehler ¾ Annahme: die Messungen sind perfekt aber man weiß nicht die Jährlichkeit der Beobachtungen Annahme: das Modell ist korrekt ¾ Schätzfehler: nimmt ab mit Beobachtungslänge nimmt zu mit Extrapolation T ¾ (aus Yevjevich, 1973) Extremwertstatistik Seite 19 Berücksichtigung des Schätzfehlers ¾ Annahme: die Messungen sind perfekt n Wiederholungszeitspanne in Jahren aber man weiß nicht die Jährlichkeit der Beobachtungen ¾ ¾ Annahme: das Modell ist korrekt Schätzfehler: nimmt ab mit Beobachtungslänge nimmt zu mit Extrapolation T ist NV verteilt xt ± u (α ) * st = xt ± u (α ) * δ T sx n δ T = 1 + 1,14 * K T + 1,1* K T KT, δt und u(α) aus Tabellen Tabelle δt δ T = 1 + 1,14 * 4, ,1* 4,3232 = 5, ± 1,960 5, ,3 / 10 = 928 m ³ / s ± 409 m ³ / s Extremwertstatistik u(α) Seite 20 10

11 δ T Wert / Red. Zufallsvariable der Gumbel VT δ T - Wert der Gumbel-Verteilung in Abhängigkeit von Jährlichkeit und Stichprobenumfang Reduzierte Zufallsvariable y T = -ln ln (T R /T R -1) als Funktion des Wiederkehrintervalls (Gumbelverteilung) Extremwertstatistik Seite 21 Schätzwert und Schätzfehler Abflussgeschehen Maxima Bad Schallerbach Wiederkehrintervall (Jahre) Verteilung HQ m³/s Gumbel 23,46 43,74 57,44 74,57 87,19 99,81 Vertrauensbereich +/- 4,32 7,85 11,20 14,90 18,45 21,62 Log Pearson III 20,87 35,95 48,95 64,14 87,56 108,90 (Nachtnebel und Vollhofer, 1980) Extremwertstatistik Seite 22 11

12 Vergleich verschiedener Verteilungen HQ HQ Statistik Ill - Vandans Jährliche Reihe [m³/s] Q sortiert nach WEIBULL P III 95% Konfidenzintervall P III Gumbel 95% Konfidenzintervall Gumbel 350 LP III 95% Konfidenzintervall LP III 300 AEV 95% Konfidenzintervall AEV T Pu (((Nachtnebel und Stanzel, 2007) Extremwertstatistik Seite 23 Ausreisser? HQ [m³/s] HQ Statistik Lutz - Garsella Jährliche Reihe Q sortiert nach WEIBULL P III 95% Konfidenzintervall P III Gumbel 95% Konfidenzintervall Gumbel LP III 95% Konfidenzintervall LP III AEV 95% Konfidenzintervall AEV UG AEV T Pu (((Nachtnebel und Stanzel, 2007) Extremwertstatistik Seite 24 12

13 Verteilungen Übersicht 1 Normalverteilung 2-parametrig Symmetrisch Beidseitig unbegrenzt Gumbel-Verteilung a+ x 2parametrig e c Doppelt exponentiell F( x) = e Asymmetrisch mit fester Schiefe c s =1,1396 Parameter a Lageparameter, Modalwert a = x 0,5772* c Parameter c - Maßstabsparameter Rechtsseitig unbegrenzt 1,28255 c = s x Jahresniederschlag Jahrestemperatur Extremwerte: Hochwasser Niederwasser Starkregen Extremwertstatistik Seite 25 Verteilungen Übersicht 2 Weibull-Verteilung Sonderfall der Kritsky-Menkel Verteilung 3-parametrig Asymmetrisch ohne fester Schiefe Rechtsseitig unbegrenzt Extremereignisse Welche Verteilung ist nun die beste zur Berechnung eines Hochwasserereignisses? Keine eindeutige Aussage aber Empfehlung: Gumbel Weibull Pearson GammaVerteilung Extremwertstatistik Seite 26 13

14 Ergebnisinterpretation Verschiedene Verteilungen verschiedene Ergebnisse 2parametrig vs. 3parametrig f(x) 3parametrig 2parametrig Auswirkung der Verteilungswahl auf Kriterium: Gumbel liefert für kleine Jährlichkeiten höhere Werte Pearson liefert dies für große Jährlichkeiten IMMER: Angabe des Ergebnisses mit Erwartungswert und Konfidenzintervall x Extremwertstatistik Seite 27 Niederwasserstatistik Anwendung: Wasserentnahme Einleitung in Vorfluter Beispiel: thermische Belastung α x = x + K( T, g*) T s x T KEIN negativer Abfluss Für Österreich: Log Pearson Log Gumbel Extremwertstatistik Seite 28 14

15 Zusammenfassung Extremwertstatistik Jahresreihe vs. partielle Reihe Grafische und rechnerische Ermittlung eines Extremereignisses Grafisch Wahrscheinlichkeitspapier Rechnerisch Hydrologische Grundgleichung Angabe des Ergebnisses mit Erwartungswert und Konfidenzintervall Überblick über Verteilungen Anwendung der Verteilungen Extremwertstatistik Seite 29 15

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