Übungsaufgaben mit Lösungen

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1 Dr. O. Wittich Aachen, 7. September 8 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben mit Lösungen im Vorkurs Mathematik 8, RWTH Aachen University Folgen, Häufungspunkte, Konvergenz Aufgabe Untersuchen Sie die Folgen (a n ) n N auf Monotonie und Beschränktheit. a) a n = n, b) a n = n + 5n, c) a n = n n +, d) a n = ( )n n + 3, e) a n = n 3n n, f) a n = n n +, 5n g) a n =, h) a n = n n + n + n, i) a n = n + n. a) Es gilt a n+ a n = (n + ) n = n (n + ) n (n + ) = n + n < n N. (n + ) Also ist (a n ) n streng monoton fallend. (Alternativ: Die Funktion x x ist streng monoton fallend auf (, ).) Weiter ist < a n a = für alle n N und damit (a n ) n nach oben und unten beschränkt. b) Es gilt a n = n+ 5n = 5 ( + n ). Mit ( n )n ist auch (a n) n streng monoton fallend. Insbesondere ist damit a > a n > für alle n, das heißt die Folge ist nach oben und unten beschränkt. c) Wir betrachten wieder a n+ a n. Es gilt a n+ a n = n + (n + ) + n n + = (n + )(n + ) n((n + ) + ) (n + )((n + ) + ) n 3 + n + n + n(n + n + ) < (n + n ) <. Wegen n + n + = > ist dies für alle n eine wahre Aussage. Also ist (a n ) n streng monoton fallend. Wegen a > a n > für alle n ist damit (a n ) n nach oben und unten beschränkt. <

2 d) Es gilt a n = n+3 < für alle n. Damit ist (a n) n nach oben und nach unten beschränkt. Wegen a n+ a n = ( )n+ n + 4 ( )n n + 3 = ( )n+ (n + 3) ( ) n (n + 4) (n + 3)(n + 4) = ( ) n+ n + 7 (n + 3)(n + 4) }{{} > ist damit a n+ a n > für n ungerade und a n+ a n < für n gerade. Also ist die Folge (a n ) n nicht monoton. e) Es gilt a n+ a n = (n + ) n + n n = n3 + n n 3 + n n + n(n + ). = n((n + ) ) (n + )(n ) n(n + ) = n + n + n(n + ) > für alle n N. Damit ist (a n ) n streng monoton wachsend. (Alternativ: Man schreibt a n = n n als Summe zweier streng monoton wachsender Funktionen.) Weiter hat man a n für alle n N, das heißt (a n ) n ist nach unten beschränkt. Wegen n n = n + }{{ n } > (n ) > n n N ist (a n ) n nach oben unbeschränkt. f) Es gilt a n+ a n = 3(n + ) (n + ) (n + ) + 3n n n + = (3(n + ) (n + ) )(n + ) (3n n )((n + ) + ) ((n + ) + )(n + ) 3n 7n + <. < Wegen 3n + 7n = 9 > ist die letzte Ungleichung für alle n N erfüllt. Damit ist (a n ) n streng monoton fallend. Also ist (a n ) n nach oben beschränkt durch a. Schließlich folgt aus 3n n n + = 3 n n n }{{ + } n + > n n > n N }{{ + } > < die Beschränktheit nach unten.

3 g) Es gilt zunächst a n = 5 n = n 5 n + n + = 5 n +. ( ) Die Folge b n := 5 n+, n N ist streng monoton wachsend. Da x x auch streng monoton wächst, ist damit auch (a n ) n = ( b n ) n streng monoton wachsend. Desweiteren gilt a n 5 für alle n, woraus die Beschränktheit folgt. h) Es gilt a n = n n + n = n n n + n = + n n. Die Folgen (b n ) n = ( n ) n und (c n ) n = ( n ) n sind streng monoton fallend. Damit ist auch (a n ) n streng monoton fallend mit a n a für alle n. i) Mit der 3. binomischen Formel gilt zunächst a n ( n + + n) = ( n + n) ( n + + n) = n + n =, also a n = n + n + n N. Die Funktionen n n bzw. n n + sind streng monoton wachsend. Es folgt, dass (a n ) n streng monoton fällt. Desweiteren gilt a n a für alle n, woraus die Beschränktheit folgt. Aufgabe Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folgen a) a n = ( ) n, b) a n = ( ) n + n, c) a n = ( ) n ( ( ) n + n ), d) a n = n ( ) n n, und e) n gerade a n = 3 n n ist durch drei teilbar 5 n sonst a) b) Beide Folgen haben die Häufungspunkte + und und keine weiteren. Ist nämlich q / {, } und ɛ = min{ q, q + }, dann liegt für a) n =, b) n > /ɛ kein Folgenglied a n mit n > n mehr in (q ɛ, q + ɛ). Damit liegen in diesem Intervall höchstens endlich viele Folgenglieder und q ist kein Häufungspunkt. c) Wegen a n = + ( )n n (diese Folge 3

4 konvergiert gegen ) ist auch der einzige Häufungspunkt. d) Die Folge kann auch geschrieben werden als { n gerade a n = n n ungerade. R ist einziger Häufungspunkt, die Folge divergiert. Gäbe es einen weiteren Häufungspunkt q R mit q < n N, so ist q + q / < n und keines der Folgenglieder a n mit n > n liegt in (q q /, q + q /), also liegen höchstens endlich viele Folgenglieder in diesem Intervall im Widferspruch dazu, dass q ein Häufungspunkt ist. e) ist ein Häufungspunkt, da es unendlich viele gerade Zahlen gibt. ist ein Häufungspunkt, da es beliebig große durch drei teilbare Zahlen gibt, 5 ist ein Häufungspunkt, da es beliebig große Primzahlen gibt, die größer als 3 sind, d.h. die weder gerade noch durch drei teilbar sind. Dass es keine weiteren Häufungspunkte geben kann folgt analog wie für die anderen Folgen. Aufgabe 3 Konstruieren Sie jeweils eine Folge mit genau drei Häufungspunkten. Eine natürliche Zahl hat bei Teilen durch drei entweder den Rest, den Rest, oder den Rest Null, d.h. die Zahl ist durch drei teilbar. Wir definieren also die Folge (a n ) n durch die Vorschrift: a n ist der Rest, wenn man n durch 3 teilt. Dies ergibt die ersten Folgenglieder,,,,,,,,,,,,... Damit sind, und Häufungspunkte der Folge und kein anderer Punkt q R, denn ist d > der kleinste der drei Abstände von q zu,, bzw., so liegt für ɛ = d/ > kein Folgenglied in (q ɛ, q + ɛ). Aufgabe 4. Zeigen Sie mit Hilfe der Definition der Konvergenz: Eine Folge (a n ) n konvergiert genau dann gegen Null, wenn die Folge der Beträge ( a n ) n gegen Null konvergiert.. Konstruieren Sie ein Beispiel einer divergenten Folge (a n ) n, so dass die Folge der Beträge konvergiert. ) Zunächst gilt a n = a n = a n. Gibt es also zu jedem ɛ > ein n = n (ɛ), so dass a n < ɛ ist für alle n > n, so gilt auch a n < ɛ für alle n > n (mit demselben n ) und umgekehrt. Daraus folgt die Behauptung. ) Ein einfaches Beispiel ist die Folge a n = ( ) n. Wie oben gesehen hat sie zwei Häufungspunkte, die Betragsfolge ist aber a n = konstant und somit konvergent. Aufgabe 5 Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folgen (a n ) n, n N. Beweisen Sie Ihre Vermutung, indem Sie zu jedem ε > ein n = n (ε) R bestimmen mit a n a < ε für alle n N mit n > n (ε). 4

5 a) a n = n n +, b) a n = 3 n, c) a n = 5 +, n d) a n = + n, e) a n = e n, f) a n = sin(n). n a) Es gilt a n = n+ n = n+. Wir behaupten lim n a n =. Sei dazu ε >. Dann gilt a n = n n + = n + = n + < ε n + > ε n > ε. Für n (ε) = ε gilt damit a n < ε für alle n > n. b) Wir behaupten lim n a n =. Sei dazu ε >. Dann gilt Für n (ε) = 3 n = 3 n < ε n > 3 ε 3 ε gilt damit a n < ε für alle n > n. n> n > 3 ε. c) Wir behaupten lim n = 5. Sei dazu ε >. Dann gilt a n 5 = n = < ε n > n ε n > ε. Für n (ε) = ε gilt damit a n 5 < ε für alle n > n. d) Wir behaupten lim n a n = und betrachten den Ausdruck a n = der 3. binomischen Formel gilt ( + n ) ( + n + ) = + n = n, + n. Nach also a n = n + n + }{{} < < n. Also ist a n < ε, sobald nur n < ε, das heißt n > ε =: n (ε) ist. e) Wir behaupten lim n e n =. Sei dazu ε >. Dann gilt e n = e n < ε ln e n = n < ln ε n > ln ε. Für n (ε) = ln ε gilt dann a n < ε für alle n > n. 5

6 f) Zunächst gilt sin(n) für alle n N. Wir behaupten lim n a n =. Sei dazu ε >. Dann gilt a n = a n = sin(n) n n. Damit ist a n < ε, sobald n < ε, das heißt n > ε =: n (ε) ist. Aufgabe 6 Bestimmen Sie den Grenzwert a (falls er existiert) der angegebenen Folgen (a n ) n. Hinweis: Die Grenzwertsätze oder das Sandwich-Lemma können hierbei hilfreich sein. a) a n = n + n, b) a n = n n + n 3, c) a n = ( ) n n + 3, d) a n = n3 n + n 3 + 3n, e) a n = n 4 n 3n + 5, f) a n = n 5 n+, g) a n = (n 3 ) n 3, h) a n = n + n n, i) a n = 3 ( n j) a n = n n, k) a n = n + n n, l) a n = ( )n. n! Wir benutzen die Grenzwertsätze. ), a) a n = n + n = + n n + = b) a n = n n + n 3 = ( ) n n + ( ) 3 n + 3 = n c) Es gilt das heißt lim n a n =. a n = n + 3 n, d) a n = n3 n + n 3 + 3n = n + n n n + + = e) Es gilt lim n 4 n = (vgl. A 5 (e)). Es folgt a n = n 4 n 3n + 5 = ( n 4 n ) 3n + 5 = ( 4 n ) 3 + n 5 n ( ) 3 + = 3. 6

7 f) g) a n = n 5 n+ = 5 n+ n = 5 b n mit b n = n + n Es gilt lim n b n = und damit lim n a n = 5 = 5. (Streng genommen benutzt man hier schon die Stetigkeit der Exponentialfunktion). a n = (n 3 ) n 3 n(n )(n ) = 3! n 3 = 6 n n n n n n n 6 = 6. h) Es gilt a n = n + n n ( n = + n ) n = n + n. Mit der 3. binomischen Formel erhält man dann Es folgt a n = n ++n n i) Wegen lim n n = gilt a n = ( ) 3 n ( n + n) ( n + + n) = n + n =. n, das heißt lim n a n =. = 3 3 n n 3 3 = 3. j) Nach der allgemeinen binomischen Formel gilt n = n k= (n k ) > (n 3 ). Es folgt a n = n n < n ( n 3 ) = 3! n n(n )(n ) = 3! n und damit lim n a n =. k) Es gilt also a n = n + n n = l) Es gilt n! n für alle n N. Es folgt und damit auch lim n a n =. n n n n ( n + n n) ( n + n + n) = n + n n = n, n n + n + n = n +n + n a n = n! n = n n 3! = n = + n Aufgabe 7 ( ) Konstruieren Sie eine Folge, die in jedem Punkt n N einen Häufungspunkt besitzt. Hinweis: Grundlagen, Aufgabe 5 7

8 Nach der Grundlagen - Aufgabe 5 gibt es eine bijektive Abbildung φ : N N N und wir schreiben φ(n) = (k(n), l(n)). Die Folge (a n ) n ist dann gegeben durch a n = k(n) + l(n). Da φ bijektiv ist, gibt es eine zu jedem k N eine Teilmenge U k N mit U k = φ ({k} N). Da die Mengen {a n : n U k } = {k + l : l N} gleich sind, gibt es somit in jeder noch so kleinen Umgebung um k unendlich viele Glieder der Teilfolge (a n ) n Uk. Damit ist k N Häufungspunkt der Folge (a n ) n. Da dieses Argument für jedes k N richtig ist, sind alle Punkte k N Häufungspunkte der Folge. Funktionen Aufgabe 8 Bestimmen Sie jeweils, ob es sich bei den angegebenen Mengen um Intervalle handelt. Geben Sie in diesem Fall bitte die Intervallschreibweise an. a) [, ] (, ], b) [, ] [, 3] c) [, 3] (, 4), d) (, 5] \ (4, 5], e) (, 5] (, 6), f) {x : x R}, g) { n : n N}, h) {, 7}, i) {x R : x < }, j) (, ) Q, k) {x R : x < }, l) {x R : x > 7}. a) [, ], b) kein Intervall, c) (, 3], d) (, 4], e) (, 5], f) [, ), g) kein Intervall, h) kein Intervall, i) (, ), j) kein Intervall, k) (, ), l) kein Intervall. Aufgabe 9 Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich von f /g. Untersuchen Sie, ob sich f /g in den Definitionslücken noch sinnvoll erklären lässt. Falls ja, mit welchem Funktionswert? a) f : R R, f (x) = x, g : R R, g(x) = x 7x + b) f : R R, f (x) = x 3, g : R R, g(x) = x x + c) f : R R, f (x) =, g : R R, g(x) = x 5 8

9 d) f : R R, f (x) = x, g : R R, g(x) = x 3 a) Es gilt x 7x + = (x 3)(x 4). Also ist D = R \ {3, 4}. Da die Nennerfunktion die Nullstellen x = 3 und x = 4 besitzt, die Zählerfunktion allerdings nicht, kann die Funktion dort nicht sinnvoll fortgesetzt werden. b) Es gilt x x + = (x 3)(x 7). Also ist f g zunächst auf D = R \ {3, 7} definiert. Allerdings gilt nach Kürzung f g (x) = x 7 für alle x D. Damit kann f im Punkt x = 3 noch sinnvoll erklärt werden mit f g (3) := 4. c) Es gilt x 5 = x { 5, 5}. Damit ist D = R \ { 5, 5}. d) Es gilt x 3 = (x )(x + x + ). Das Polynom x + x + ist auf R nullstellenfrei. Damit ist der Definitionsbereich D = R \ {}. Nach Kürzung erhält man f g (x) = x + x + für alle x D. Dieser Ausdruck ist auch noch für x = definiert. Eine sinnvolle Fortsetzung ist damit f g () := 3. Aufgabe Gegeben seien die Funktionen f : R R, f (x) = x und g : R + R, g(x) = x. Bestimmen Sie die Definitionsbereiche D( f g) und D(g f ) und geben Sie f g und g f explizit an. Es gilt D( f g) = {x D(g) : g(x) D( f )} = {x R + : x R} = R +. Für alle x R + gilt ( f g)(x) = f ( x) = x = x. Offensichtlich kann x x auf ganz R erklärt werden. Der Definitionsbereich von g f bestimmt sich zu D(g f ) = {x D( f ) : f (x) D(g)} = {x R : x R + } = {x R : x } = [, ]. Für x [, ] gilt (g f )(x) = g( x ) = x. Im Allgemeinen müssen f g und g f also nicht übereinstimmen. 9

10 Monotonie Aufgabe Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf ihrem Definitionsbereich auf (strenge) Monotonie. Bestimmen Sie die maximalen Monotoniebereiche ohne Zuhilfenahme von Methoden der Differentialrechnung. Versuchen Sie dabei möglichst die jeweils voranstehenden Aufgabenteile zu benutzen. a) f : R R, f (x) = x 5, b) f : R \ {} R, f (x) = x, c) f : R R, f (x) = x, d) f : R + R, f (x) = x, e) f : R R, f (x) = x, f) f : R R, f (x) = x + x +, g) f : [, ] R, f (x) = x, h) f : R \ {3, 4} R, f (x) = (x 7x + ). Hinweis: Benutzen Sie in Teil d) die 3. Binomische Formel. a) Diese Funktion ist streng monoton wachsend wachsend auf ganz R: Aus der Vorlesung wissen wir bereits, dass f : R R, f (x) = x 3 eine auf R streng monoton wachsende Funktion ist. Seien x, y R mit x < y. Wir verfahren wie dort und machen zunächst eine Fallunterscheidung: xy > : In diesem Fall sind x, y = und damit ist x 5 = x (x 4 ) x4 > < y (x 4 ) = xy (x 3 ) VL < xy (y 3 ) = x y 4 y4 > < y (y 4 ) = y 5. xy = : In diesem Fall ist x = oder y =. Aus x = folgt y > und damit x 5 = < y 5. Aus y = folgt x < und damit x 5 < = y 5. xy < : In diesem Fall gilt x < < y und damit x 5 < < y 5. b) Diese Funktion ist nicht monoton auf R \ {}. Es gilt f ( ) = < = f (), das heißt f ist nicht monoton fallend. Weiter ist f ( ) = < = f ( ), das heißt f ist auch nicht monoton wachsend. Damit ist f nicht (streng) monoton auf seinem Definitionsbereich. Für < x < y gilt hingegen f (x) = x > y = f (y). Damit ist f streng monoton fallend auf (, ). Für x < y < hat man f (x) = x = x > y = f (y). Damit ist f streng monoton fallend auf (, ). c) Diese Funktion ist nicht monoton auf R. Es gilt f ( ) = > = f (), das heißt f ist nicht monoton wachsend. Weiter ist f () = < = f (), das heißt f ist auch nicht monoton fallend. Für x < y gilt x < y und für x < y hat man x > y. Damit ist f streng monoton wachsend auf [, ) und streng monoton fallend auf (, ].

11 d) Diese Funktion ist streng monoton wachsend auf ganz R + : Seien x, y R + mit x < y. Es gilt zunächst x + y >, da y >. Mit der 3. binomischen Formel erhalten wir ( y x) ( y + x) = y x > nach Voraussetzung an x und y. Also gilt y x = y x y+ x >, das heißt f (x) = x < y = f (y). e) Diese Funktion ist nicht monoton auf R. Es gilt f () = = < = = f (), das heißt f ist nicht monoton fallend. Umgekehrt ist f ( ) = = > = = f (), das heißt f ist nicht monoton wachsend. Für x gilt f (x) = x. Also ist f streng monoton wachsend auf [, ). Für x hat man f (x) = x, also ist f streng monoton fallend auf (, ]. f) Diese Funktion ist nicht monoton auf R. Wir schreiben f in Scheitelpunktform, also f (x) = x + x + = x + x + + = (x + ) +. Für x < y gilt x + < y +. Weil x x auf [, ) streng monoton wachsend ist, folgt f (x) = (x + ) + < (y + ) + = f (y). Damit ist f streng monoton wachsend auf [, ). Für x < y gilt x + < y +, also auch f (x) = (x + ) + > (y + ) + = f (y). Damit ist f streng monoton fallend auf (, ]. g) Diese Funktion ist nicht monoton auf [, ]. Es gilt f () = = > = = f (), das heißt f ist nicht monoton wachsend. Umgekehrt hat man f ( ) = < = f (), das heißt f ist auch nicht monoton fallend. Für x, y [, ] mit x < y hat man x, y R + sowie x > y, da die Funktion x x auf [, ] R + streng monoton fällt. Es folgt f (x) = x > y = f (y), da x x auf R + streng monoton wächst. Damit ist f auf [, ] streng monoton fallend. Genauso zeigt man, dass f auf [, ] streng monoton wächst. h) Diese Funktion ist nicht monoton auf R \ {3, 4}. Wir bestimmen die Monotoniebereiche. Sei dazu zunächst g : R R, g(x) = x 7x +. Mit quadratischer Ergänzung erhält man g(x) = x 7x + ( ) 7 ( ) 7 ( + = x 7 ) 4. Wie in Aufgabe f) sieht man, dass g auf (, 7 ] [ streng monoton fallend, sowie auf 7, ) streng monoton wachsend ist. Weiter gilt g(x) < genau dann, wenn x (3, 4). Für x R \ (3, 4) gilt g(x) >. Seien jetzt also x, y R \ {3, 4} mit x < y. Für x, y (, 3) erhält man g(x) > g(y) >, also f (x) = g(x) < g(y) = f (y), das heißt f ist streng monoton wachsend auf (, 3). Für x, y ( 3, 7 ] ist > g(x) > g(y) und damit f (x) = g(x) < g(y) = f (y), also ist f streng monoton wachsend auf ( 3, 7 ]. Für x, y [ 7, 4 ) gilt g(x) < g(y) <, also f (x) = g(x) > = f (y). Damit ist f streng g(y) monoton fallend auf [ 7, 4 ). Schließlich folgt für x, y (4, ) sofort < g(x) < g(y) und damit f (x) = g(x) > = f (y), das heißt f ist streng monoton fallend auf (4, ). g(y)

12 Aufgabe Seien D, E R nichtleere Teilmengen. Zeigen Sie: a) Ist f : D R eine (streng) monoton wachsende Funktion, so ist f : D R mit ( f )(x) := f (x) (streng) monoton fallend. b) Seien f, g : D R monoton wachsende Funktionen mit f, g auf D, so ist auch f g : D R mit ( f g)(x) := f (x) g(x) monoton wachsend. c) Seien f : D R und g : E R monoton mit g(e) D. Zeigen Sie, dass dann auch f g : E R monoton ist. Welche Art von Monotonie liegt jeweils vor? d) Sei f : D W streng monoton und bijektiv. Zeigen Sie, dass dann auch f : W D streng monoton ist. a) Sei f monoton wachsend. Seien x, y D mit x < y. Dann gilt f (x) f (y), also f (x) f (y). Damit ist f monoton fallend. Analog zeigt man die Behauptung für streng monoton wachsendes f. b) Seien f, g : D R monoton wachsend. Seien x, y D mit x < y. Dann gilt f (x) g(x) g mon., f f (x) g(y) f mon.,g f (y) g(y). c) Wir zeigen exemplarisch die Aussage f mon. fallend, g mon. wachsend f g mon. fallend. Seien dazu x, y E mit x < y. Dann gilt g(x) g(y), da g monoton steigt. Da f monoton fällt, folgt ( f g)(x) = f (g(x)) f (g(y)) = ( f g)(y). Analog formuliert und beweist man die übrigen Fälle f mon. fallend, g mon. fallend f g mon. wachsend, f mon. wachsend, g mon. wachsend f g mon. wachsend, f mon. wachsend, g mon. fallend f g mon. fallend. d) Sei f zunächst streng monoton wachsend. Seien y, y W mit y < y. Seien x = f (y) und x = f (y ). Angenommen x x. Dann wäre auch y = f (x) f (x ) = y im Widerspruch zur Annahme. Es folgt f (y) = x < x = f (y ). Ist f streng monoton fallend, so wendet man das eben Bewiesene auf ( f ) = f an.

13 Aufgabe 3 Bestimmen Sie den Wertebereich der folgenden Funktionen. a) f : R \ {} R, f (x) =, b) f : [, ] R, f (x) = x x 3 c) f : ( 4, ] R, f (x) = x + x +, d) f : [, ] R, f (x) = x e) f : R R, f (x) = + x, f) f : (, ) R, f (x) = x g) f : (4, 5] R, f (x) = (x 7x + ). a) Sei R := R \ {}. Für x = gilt zunächst x = und damit f (R ) R. Zu y R wählen wir x = y. Dann gilt f (x) = x = ( y ) = y. Es folgt f (R ) = R. Bemerkung: Schränken wir den Zielbereich von f auf R ein, so folgt f f = id R, das heißt, f ist bijektiv mit f = f. b) Für x [, ] gilt x 3 [ 4, ]. Mit Aufgabe b) sieht man damit, dass f auf D = [, ] streng monoton fällt, also 4 = f ( ) f (x) f () = für alle x D. Damit haben wir f ([, ]) [, 4 ]. Sei umgekehrt y [, 4 ]. Es gilt f (x) = y x = y + 3. Da y y + 3 auf (, ) monoton fällt, folgt = y =, also x [, ]. Damit ist f (x) = y und somit f ([, ]) = [, 4 ]. c) Die Funktion f ist auf ( 4, ] streng monoton fallend, das heißt es gilt = f ( 4) > f (x) f ( ) =. Es folgt f (( 4, ]) [, ). Sei umgekehrt y [, ). Für y = hat man f ( ) = = y. Sei also y (, ). Wir machen den Ansatz y = f (x) = x + x + = (x + ) +. Wegen y hat die obige quadratische Gleichung in x über R die beiden Lösungen x = y und x = + y. Wegen < y < 9 hat man aufgrund der strengen Monotonie von x x dann 4 = < x < =, also x ( 4, ]. Es gilt f (x ) = y. Im Übrigen gilt x / ( 4, ]. Insgesamt haben wir damit f (( 4, ]) = [, ) gezeigt. d) Die Funktion ist auf dem Bereich [, ] streng monoton wachsend und auf [, ] streng monoton fallend mit f ( ) = f () = und f () =. Es folgt f ([, ]) [, ]. Sei y [, ]. Der Ansatz y = x liefert die notwendige Bedingung y = x. Dies 3

14 ist eine quadratische Gleichung in x, welche wegen y die beiden Lösungen x, = ± y [, ] hat. Eine Probe zeigt f (x, ) = y = y = y = y, da y. Ingesamt haben wir damit f ([, ]) = [, ] gezeigt. e) Es gilt zunächst < + x für alle x R, wobei Gleichheit genau für x = besteht. Es folgt damit zunächst f (R) (, ]. Sei nun umgekehrt y (, ). Der Ansatz y = f (x) = +x ist äquivalent zu x = y. Aus y (, ) folgt y >, das heißt die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind x, = ± y und es gilt f (x, ) = y. Damit haben wir f (R) = (, ] gezeigt. f) Wir betrachten zunächst h : (, ) R, h(x) = x. Es gilt h(x) = genau dann, wenn x = ±. Mit d) erhält man also h((, )) = (, ]. Wir betrachten jetzt g : (, ] R, g(x) = x. Wie in Teil a) schließt man g((, ]) = [, ). Nun ist aber f = g h, also f ((, )) = g(h((, ))) = g((, ]) = [, ). g) Wir betrachten zunächst wieder g : R R, g(x) = x 7x + und bestimmen g((4, 5]). Nach Aufgabe h) ist g streng monoton wachsend auf (4, 5], das heißt = g(4) < g(x) g(5) = für alle x (4, 5] und damit g((4, 5]) (, ]. Sei nun also umgekehrt y (, ]. Der Ansatz y = g(x) = ( ) x 7 4 liefert eine quadratische Gleichung in x mit den beiden Lösungen x, = y + 4. Wegen der strengen Monotonie von y y folgt 7 ± 4 = < x = 7 + y = 5 und damit x (4, 5]. Wegen g(x ) = y folgt insgesamt g((4, 5]) = (, ]. Abschließend betrachten wir nun h : (, ] R, h(x) = x. Man zeigt leicht, dass h((, ]) = [, ). Für f = h g gilt folglich f ((4, 5]) = h((, ]) = [, ). Stetigkeit Aufgabe 4 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit in den angegebenen Punkten. a) f : R R, f (x) = x in x =. 4

15 b) f : R R, f (x) = { x, x =, x = in x = c) f : R R, f (x) = { x x+ x, x =, x = in x = d) f : R R, f (x) = { x, x x, x < in x =. a) Es gilt lim f (x) = lim x = lim x = und lim x + x + x + Also ist f stetig in x =. f (x) = lim x = lim x =. x x x b) Es gilt Also ist f unstetig in x =. lim f (x) = lim x + x + x =. c) Es gilt f (x) = x x + x = (x ) x = x für alle x R, x =. Wegen f () = = folgt dann f (x) = x für alle x R. Also ist f stetig in x =. d) Es gilt lim f (x) = lim x = und x + x + Also ist f unstetig in x =. lim f (x) = lim x = =. x x Aufgabe 5 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit in ihrem Definitionsbereich. 5

16 a) f : R R, f (x) = x + 4 b) f : R \ {4} R, f (x) = x 6 x 4 { x + 4, < x 4 c) f : R R, f (x) = x + 6, 4 < x < x 6 d) f : R R, f (x) = x 4, x = 4, x = 4 a) Als lineares Polynom ist f stetig. b) Als rationale Funktion auf ihrem Definitionsbereich ist f stetig. c) Als lineare Funktion auf den Bereichen (, 4) und (4, ) ist f dort stetig. Wir betrachten also x = 4. Es gilt Damit ist f unstetig in x = 4. lim f (x) = lim x + 6 = = = 8 = f (4). x 4+ x 4+ d) Als rationale Funktion ist f stetig auf R \ {4}. Wir betrachten also x = 4. Es gilt Damit ist f unstetig in x = 4. x lim f (x) = 6 lim x 4 x 4 x 4 = lim x + 4 = 8 = = f (4). x 4 Aufgabe 6 Untersuchen Sie die Funktion auf Differenzierbarkeit. Differenzierbarkeit f : R R, x x Falls x >, also x R \ [, ], so gilt f (x) = x. Falls x <, also x (, ), so gilt f (x) = x. In beiden Fällen ist f ein Polynom und damit differenzierbar. Es bleiben die Randpunkte x = und x = zu untersuchen. Für x > gilt f (x) f () x = x x = x + x +. 6

17 Sei nun < x <. Dann ist f (x) f () x = x x = x x =. Also ist f in x = nicht differenzierbar. Genauso zeigt man, dass f auch in x = nicht differenzierbar ist. Aufgabe 7 Untersuchen Sie die Funktion f : R R, x x x auf Differenzierbarkeit im Nullpunkt. Bestimmen Sie gegebenenfalls f (). Wir bestimmen wieder den Differenzenquotienten. Für x > gilt Für x < gilt f (x) f () x f (x) f () x = x x x = x ( x) x Damit ist f in x = differenzierbar mit f () =. = x x +. = x x. Differentialrechnung Aufgabe 8 Zeigen Sie durch vollständige Induktion und mit Hilfe der Definition der Ableitung, dass für die Funktionen f n : R R, x x n gilt: Hinweis: Produktformel. f n(x) = nx n. () Induktionsanfang: Für n = gilt für jede Folge (x n ) mit lim n x n = x, dass f (x) = lim n f (x n ) f (x) x n x = lim n x n x x n x = lim n =, also ist f (x) = für alle x R. () Induktionsschluss: Sei die Aussage für n bewiesen. Dann ist nach der Produktregel f n(x) = ( f f n ) = f f n + f f n = xn + x (n )x n = nx n. Damit ist die Behauptung bewiesen. 7

18 Aufgabe 9 Bestimmen Sie jeweils die Ableitung f der Funktionen f, welche auf geeigneten Definitionsbereichen durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind: a) f (x) = 5x 3 + 7x 4x + 9, b) f (x) = 3 x6 + x + x, c) f (x) = 4x 4 4x, d) f (x) = 8x x x 4, e) f (x) = x + x 3 3x 4, f) f (x) = x + x + 3 x 5, g) f (x) = e x x + 3x 5, h) f (x) = 4x 4 4 x, i) f (x) = x ln(x) + ln(x 3 ), j) f (x) = 3x 4 sin(x), k) f (x) = (e x + 4 x ), l) f (x) = ln(x) e x, m) f (x) = 3x + 4, n) f (x) = x o) f (x) = 7x + 3x + q) f (x) = + x, x, p) f (x) = (5x 3) 5 ( + x 3x 4 ) 4 x + 7, r) f (x) = 3 (x 3 + 3x) 5. a) f (x) = 5x + 4x 4, b) f (x) = x x, c) f (x) = 6x 3, d) f (x) = 6x x, x e) f (x) = x 3 6x 4 + x 5, f) f (x) = x x x 8, g) f (x) = e x x(x + ) + 5x 4, h) f (x) = 4x 3 4 x (4 + x ln(4)), i) f (x) = ln(x) x, j) f (x) = 3x 3 (4 sin(x) + x cos(x)), ( ) 4 x k) f (x) = e x + ln(4)6 x + (ln(4) ), ( ) e l) f (x) = e x ln(x) x + ln(x), m) f (x) = 3 x, n) f (x) = x( + x), o) f (x) = 4x x (x + x), p) f (x) = 5(5x 3) 4, q) f (x) = (48x 3 + 8x ) ( 3x 4 ) 3 x + 7, r) f (x) = (x + 5) 3 (x 3 + 3x). 8

19 Aufgabe Bestimmen Sie zunächst die Definitionsbereiche der Funktionen f, welche durch die folgenden Abbildungsvorschriften gegeben sind. Bestimmen Sie im Anschluss f. a) f (x) = x 3x + x, b) f (x) = + (x 4) 3, c) f (x) = x (x 4x + 3). a) Es ist D( f ) = R und f (x) = x + x + (x + ). b) Es ist D( f ) = R \ {±} und f (x) = 5x x (x 4) 4. c) Es ist D( f ) = R \ {, 3} und f (x) = (3x 6x + ) (x 4x + 3) 3. Aufgabe Bestimmen Sie die maximalen Definitionsbereiche der Funktionen f, welche durch die folgenden Abbildungsvorschriften gegeben sind. Bestimmen Sie in jedem Punkt, in welchem f differenzierbar ist, die Ableitung. (Randpunkte des Definitionsbereichs sind dabei zu vernachlässigen.) a) f (x) = 3 x 3 + 4x 5, b) x + 4 x + 5 x, c) f (x) = cos ( tan( + x ) ). a) Zunächst gilt x 3 + 4x 5 = (x + x + 5)(x ). Die erste Faktor ist für alle x R positiv, der zweite genau für x. Also ist D( f ) = [, ). Weiter ist f ist als Komposition differenzierbarer Funktionen auf (, ) differenzierbar mit f (x) = 3 ( x 3 + 4x + 5) 3 (3x + 4). b) Es gilt D( f ) = [, ) und f ist als Komposition differenzierbarer Funktionen auf (, ) differenzierbar mit f (x) = ( x + 4 x + 5 x ) ( + ) 4 x x

20 c) Es gilt D(tan) = R \ ( π + Zπ ), sowie + x = π + kπ x = ± π + kπ, k N. Damit ist D( f ) = R \ k N { } π ± + kπ. Die Ableitung bestimmt sich zu f (x) = sin(tan( + x x )) cos ( + x ). Integralrechnung Aufgabe Bestimmen Sie ohne Rechnung und nur mit der Definition des bestimmten Integrals (6x + )dx, x dx. 4 x dx, Das Integral ist die Fläche zwischen dem Graph der Funktion und der x-achse, wobei Fläche unter der x-achse negativ gezählt wird. a) Das erste Integral ist die Differenz der Flächen der beiden Dreiecke 9 9/ 5 5/ = 8. b) Das zweite Integral ist die Fläche eines Halbkreises vom Radius, also π / = π. c) Die Fläche besteht aus vier Dreiecken, die zusammen ein Quadrat der Kantenlänge ergeben. Damit ist das Integral gleich ( ) = 8. Aufgabe 3 Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen f, welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind. a) f (x) = 4x 3 + 3x +, b) f (x) = 5 x 3, c) f (x) = e x, d) f (x) = 4 4 x, e) f (x) = 5x x + 3, f) f (x) =, x x g) f (x) = (x ), h) f (x) = 4 x.

21 a) F(x) = x x + x, b) F(x) = 5 8 x 5 x 3, c) F(x) = e x, d) F(x) = 3 4 x 3, e) F(x) = x 5 + 4x + 6 ln x, f) F(x) = 4 3 x x + 6 x, g) F(x) = 3 x3 x + 4x, h) F(x) = 4x ln(4). Aufgabe 4 Bestimmen Sie: a) d) f) i) (3x + ) dx, b) x 4 dx 3 ( x 4 + x 5 ) x 4 dx x 4 dx, e) dx, g) 5 x dx, j) ( x + x) dx, c) x(x + x) dx x dx, h) 4 x dx. 4 ( x) dx + (x 3 + x ) dx 7 (x ) dx, (x 3 + x ) dx, ( e x 3 + 3x ) dx, a) 38, b) 73 6, c), d) 65, e), ( f) 9, g) 6 4, h) 3 3 e 3 e ) +, i) 4 ln(5), j) 4 ln(3). Aufgabe 5 Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitutionsmethode jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen f, welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind. a) f (x) = (x + 3) 3, b) f (x) = ex 3 + e x, c) f (x) = x x + 3, d) f (x) = 9x + x(3x + ), e) f (x) = 3 3x ln(x) + x, f) f (x) = (x + ) ln(x + ). a) ϕ(t) = t + 3 und F(x) = 8 (x + 3)4, D f = R, b) ϕ(t) = 3 + e t und F(x) = ln(3 + e x ), D f = R, c) ϕ(t) = t + 3 und F(x) = x + 3, D f = R,

22 d) ϕ(t) = t(3t + ) und F(x) = ln( 3x 3 + x ), D f = R \ {}, e) ϕ(t) = 3 ln(t) + und F(x) = ln( 3 ln(x) + ), D f = (, ), f) ϕ(t) = ln(t + ) und F(x) = ln( ln(x + ) ), D f = (, ). Aufgabe 6 Bestimmen Sie den Wert I der folgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsmethode. a) d) (x + 3) 4 dx, b) x dx, e) x + 5 ( + x 3 ) 3x dx, c) (6x + 5) e 3x +5x dx, f) x + 4 x + 4x dx, 4x 4 x + 4 dx. a) ϕ(t) = t + 3, I = 88, b) ϕ(t) = + t3, I = 7 3, c) ϕ(t) = t + 4t, I = ln 5 7, d) ϕ(t) = t + 5, I = 34 3, e) ϕ(t) = 3t + 5t, I = e 8, f) ϕ(t) = t + 4, I = Aufgabe 7 Bestimmen Sie mit Hilfe der partiellen Integration jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen f, welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind. a) f (x) = x e x, b) f (x) = e x (x + 3x), c) f (x) = ln(x), d) f (x) = x ln(x), e) f (x) = log (x), f) f (x) = ln(x). a) f (x) = x, g (x) = e x, F(x) = (x )e x, b) f (x) = x + 3x, g (x) = e x, F(x) = e x ( x + x ), c) f (x) = ln(x), g (x) =, F(x) = x(ln(x) ), d) f (x) = ln(x), g (x) = x, F(x) = x3 (3 ln(x) ), 9 e) f (x) = log (x), g(x) =, F(x) = x (ln(x) ), ln() f) f (x) = ln(x), g (x) = ln(x), F(x) = x ln(x) x ln(x) + x.

23 Aufgabe 8 Bestimmen Sie die folgenden Integrale unter Benutzung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. a) d) g) / π/3 a) dx, b) 3 + 7x x dx, e) x 5 sin(x) dx, h) + 3 cos(x) / x dx = 3 / 7 / 3 3 π/6 dx, c) 4 + 9x 3 4x dx, f) 5x + cos(x) sin(x) dx x dx = 3 6 x x 5 dx, 8x 5 4x 5x + dx, [ 3 ( 7 )] 7 7 arctan 3 x = π 6. b) / x dx = 4 / x dx = 4 [ ( )] 3 / 3 3 arctan x = π 8. c) Es gilt x x 5 = (x + 3)(x 5). Damit erhalten wir die Partialbruchzerlegung Es folgt 6 x x 5 dx = 8 (x + 3)(x 5) = 8(x + 3) + 8(x 5). 6 x + 3 dx x 5 dx = 8 (ln(6) ln(4) + ln(9)) = (3 ln(3) ln(7)). 8 d) 4 8 x x 5 dx = (ln(3) ln(5) ln(3)). 8 e) Es gilt 4x 5x + = (x )(4x ). Damit erhalten wir die Partialbruchzerlegung 4x 5x + = 3(x ) 4 3(4x ). 3

24 Es folgt 3 4x 5x + dx = (ln() ln() + ln(7)). 3 f) Aus d dx ( 4x 5x + ) = 8x 5 folgt mit der Substitutionsmethode 3 8x 5 [ ] 3 4x 5x + dx = ln(4x 5x + ) = ln() ln(7). g) Aus d dx ( + 3 cos(x)) = 3 sin(x) folgt mit der Substitutionsmethode π/3 sin(x) + 3 cos(x) dx = 3 [ ] π/3 ln( + 3 cos(x)) = (ln() + ln(5)). 3 h) Aus d dx (3 + 4 sin(x)) = 4 cos(x) folgt mit der Substitutionsmethode π/6 cos(x) sin(x) dx = 4 [ ] π/6 ln(3 + 4 sin(x) = (ln(5) ln(3)). 4 Aufgabe 9 Bestimmen Sie mit Hilfe partieller Integration die folgenden Integrale. a) c) π/4 π/6 cos(x) ln(sin(x)) dx, b) x 5 ln(x 3 + ) dx, d) a) Aus d dx sin(x) = cos(x) folgt mit partieller Integration π/4 π/6 cos(x) ln(sin(x)) dx = = π [ ] π/4 sin(x) ln(sin(x)) [ sin(x) x sin(x) dx, x 3 e x dx. π/4 π/6 π/6 ] π/4 = π/6 sin(x) cos(x) sin(x) dx + =. 4

25 b) Aus d dx cos(x) = sin(x) folgt mit partieller Integration π [ x sin(x) dx = ] π π x cos(x) + [ ] π = π + x sin(x) x cos(x) dx π sin(x) dx = π 4. c) = [ ( ) ] (x 3 + ) ln(x 3 + ) (x 3 + ) 3 = 3 ( ln() ) x 5 ln(x 3 + ) dx = x 5 ln(x 3 + ) dx = 3 ( ln() ) 3 x3 3x ln(x 3 + ) dx x (x 3 + ) ln(x 3 + ) x (x 3 + ) dx x ln(x 3 + ) dx + x 5 + x dx x 5 ln(x 3 + ) dx 3 ( ln() ) 3 +. Es folgt x 5 ln(x 3 + ) dx =. d) [ x 3 e x dx = x3 e x] = e 3 = e 3 = 4 e + 3 3x ex dx x e x dx [ x e x] [ xex] x ex dx ex dx = 8 (e + 3). 5

26 Extremwerte Aufgabe 3 Bestimmen Sie jeweils, ob die angegebenen Mengen beschränkt sind. Geben Sie falls diese existieren auch die Maxima und Minima der Mengen an. a) [, ], b) (, ), c) {, 7}, d) {π, e} } e) { + n : n N, f) {}, g) [, ] [, 3], h) {r Q : r < } i) {r Q : r < 4}, j) {r Q : r < }, k) {, π 3, π, } l) {p : p Primzahl}, m) {( ) n n : n N}, n) {x + : x R}, o) {x R : x = x}, p) {3 n : n N}. a) beschränkt, (min), (max), b) beschränkt, c) beschränkt (min), 7 (max), d) beschränkt, e (min), π (max), e) beschränkt, (max), f) beschränkt, (min), (max), g) beschränkt, (min), 3 (max), h) unbeschränkt i) beschränkt, j) beschränkt, k) beschränkt, (min), (max), l) (min), n. o. unb., m) unbeschränkt, n) unbeschränkt, (min) o) beschränkt (min), (max), p) beschrnkt, 3 (max). Aufgabe 3 Betrachten Sie die Funktion f : [, ] R, welche gegeben ist durch x +, falls x f (x) := x, falls < x < x, falls x. Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima. Wir bestimmen zunächst die Monotoniebereiche von f. Für x [, ] gilt f (x) = x +, das heißt f ist streng monoton wachsend. Für x (, ) ist f (x) = x, also ist f streng monoton fallend auf (, ] und streng monoton wachsend auf [, ). Für x [, ] gilt f (x) = x, das heißt f ist streng monoton wachsend auf [, ]. Da sich in lokalen Extrempunkten das Monotonieverhalten ändert, können lokale Extrema höchstens in den Randpunkten der Monotoniebereiche vorliegen, das heißt in x {,,,, }. Es genügt also diese Punkte zu untersuchen: 6

27 Für x (, ] gilt f (x) = f ( ) und für x [, ] gilt f (x) f ( ), da f dort streng monoton steigt. Damit liegt in x = ein globales Minimum vor. Für x [, ] gilt f (x) f ( ) = < = f () und für x (, ] gilt f (x) = f (). Damit liegt in x = ein globales Maximum vor. Für x [, ] gilt f (x) = f () = f (). Also liegen in x = und x = lokale Minima vor, welche nicht global sind. Für x (, ) gilt f (x) = x > = f ( ) und für x [, ) hat man f (x) = x + <. Damit kann in x = kein lokales Extremum vorliegen. Aufgabe 3 Betrachten Sie die Funktion f : (, ] R, welche gegeben ist durch x +, falls x < f (x) := x, falls x x, falls x >. Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima. Man verfährt analog zu Aufgabe 3. In x {,, } besitzt f ein globales Maximum. In x = besitzt f ein lokales Minimum, welches nicht global ist. Die Funktion f hat kein globales Minimum. Aufgabe 33 Betrachten Sie die Funktion f : (, ) R, welche gegeben ist durch x + falls x < f (x) := x falls x x falls x >. Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima. Man verfährt wieder analog zu Aufgabe 3. In x {, } besitzt f ein globales Maximum. In x = besitzt f ein lokales Minimum, welches nicht global ist. Die Funktion f hat kein globales Minimum. Aufgabe 34 Bestimmen Sie die lokalen und globalen Maxima und Minima der Funktionen aus Aufgabe. 7

28 a) Wir bestimmen zunächst die kritischen Punkte in D( f ) = R. Es gilt f (x) = x + x + = (x ) = x = ±. Um zu bestimmen, ob es sich dabei um lokale Extrema handelt, bestimmen wir zunächst die Positivitäts- und Negativitätsbereiche von f zu f > auf (, + ), f < Sei zunächst x = +. Für ε > gilt also auf (, ) ( +, ). f ( + ε) > und f ( + + ε) <. Also wechselt f in x sein Vorzeichen (monoton fallend) und damit hat f in x ein lokales Maximum. Sei x =. Für < ε < gilt f ( ε) < und f ( + ε) >. Also wechselt f in x sein Vorzeichen (monoton wachsend) und damit hat f in x ein lokales Minimum. Direktes Ausrechnen liefert f (x ) = ( ) > und f (x ) = ( + ) <. Wegen lim x f (x) = = lim x f (x) sind die Extrema sogar global. b) Es gilt 5x x < für alle x R. Damit besitzt f keine kritischen Punkte und damit auch keine lokalen Extrema. c) Wir bestimmen zunächst die kritischen Punkte in D( f ) = R \ {, 3}. Es gilt f (x) = (3x 6x + ) (x 4x + 3) 3 = 3x 6x + = x = ± 3. Wir verfahren wie in a) und bestimmen zunächst die Positivitäts- und Negativitätsbereiche von f zu ( ) ( ) f < auf,, + (3, ), 3 3 ( ) ( ) f > auf 3, + 3, 3. Setze nun x = 3 und x = + 3. Für < ε gilt f (x ε) < und f (x + ε) >. 8

29 Also besitzt f in x ein lokales Minimum. Weiter ist f (x ε) < und f (x + ε) >. Also besitzt f auch in x ein lokales Minimum. Desweiteren ist Folglich besitzt f keine globalen Maxima. lim f (x) = und lim f (x) =. x x 3 Aufgabe 35 Betrachten Sie die Funktion f : R R, f (x) = 3x 5 5x 3 + 6x 3. a) Bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima von f. b) Bestimmen Sie die größten Intervalle, auf denen f streng monoton wachsend ist. c) Fertigen Sie eine Skizze von f an. a) Es gilt f (x) = 5x 4 75x + 6, f (x) = 6x 3 5x, f (x) = 8x 5. Wir bestimmen zunächst die kritischen Punkte von f. Es gilt f (x) = 5x 4 75x + 6 = 5(x 4 5x + 4) = x {±, ±}. Explizit berechnet man f () = 9, f ( ) = 9, f () = 4, f ( ) = 4. Damit liegen in x = und x = lokale Minima, sowie in x = und x = lokale Maxima vor. b) Es gilt f > auf (, ) (, ) (, ). Die gesuchten Monotonieintervalle sind damit (, ) und (, ). Aufgabe 36 Untersuchen Sie analog zu vorigen Aufgabe die Funktion f : R \ { } R, f (x) = 3x (x ). (x + ) Hinweis: Die einzige reelle Nullstelle von f ist x = 3. 9

30 a) Es gilt f (x) = 6 x (x + x 4) (x + ). Weiter hat man f (x) = x {, 5, + } 5. Die Positivitäts- und Negativitätsbereiche von f bestimmen sich zu f < auf (, 5) (, + 5), f > auf ( 5, ) ( + 5, ). Wie oben sei < ε. Für x = hat man f (x ε) > und f (x + ε) <. Damit hat f in x = ein lokales Maximum. Für x = 5 gilt f (x ε) < und f (x + ε) >. Damit hat f in x = 5 ein lokales Minimum. Für x = + 5 gilt f (x ε) < und f (x + ε) >. Damit hat f in x = + 5 ein lokales Minimum. b) Die einzige reelle Nullstelle von f liegt in x = 3 vor. Da f ( 3 ε) < und f ( 3 + ε) > für ε klein genug, handelt es sich hierbei um einen Wendepunkt. c) Es ist f > auf ( 5 ) (, ) ( + 5, ). Damit ist ( + 5, ) das gesuchte Intervall. Aufgabe 37 Untersuchen Sie die Funktionen a) f : [, 3] R, f (x) = 4 x, b) f : [, 4] R, f (x) = x 5 5x 4 + 5x auf lokale und globale Maxima und Minima. Bestimmen Sie auch die entsprechenden Extremalwerte. 3

31 a) Es gilt f (x) = x = genau für x =. Es gilt f (x) = <. Damit liegt in x = ein lokales Maximum vor. Es ist f ( ) = und f (3) = 5. Aus f () = 4 folgt damit, dass f auf dem Intervall [, 3] in x = ein globales Maximum und in x = 3 ein globales Minimum besitzt. b) Es ist ( ) f (x) = 5x 4 x 3 + 5x = 5x x 4x + 3 = 5x (x 3)(x ), f (x) = x 3 6x + 3x. Also sind x =, x = 3 und x 3 = die einzigen Nullstellen von f. Weiterhin gilt f () = <, f (3) = 9 >, f () =. Im Punkt x 3 = besitzt die Funktion also ein lokales Maximum, im Punkt x = 3 ein lokales Minimum. Im Punkt x = ist keine Aussage möglich, da f in diesem Punkt keinen Vorzeichenwechsel hat. Schließlich müssen die inneren Extremwerte mit den Randwerten verglichen werden. Man berechnet Damit hat f ( ) = 4, f () = 8, f (3) =, f (4) = 7. f in x = ein lokales, aber kein globales Minimum, f in x = ein lokales, aber kein globales Maximum, f in x = 3 ein lokales und globales Minimum, f in x = 4 ein lokales und globales Maximum. Aufgabe 38 Seien a R, m, n Z mit m = n und m, n =. a) Zerlegen Sie a so in zwei Summanden, dass deren Produkt möglichst groß wird. b) Zerlegen Sie a so in zwei Summanden, dass das Produkt der m-ten Potenz des einen Summanden und der n-ten Potenz des anderen Summanden möglichst groß wird. a) Die beiden Summanden sind x = y = a. b) Die beiden Summanden sind x = ma m+n und y = na m+n. Aufgabe 39 Die Summe der Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks ergibt k. Wie groß müssen die einzelnen Kathetenlängen gewählt werden, damit die Hypothenusenlänge möglichst klein wird? 3

32 Die beiden Katheten müssen die Länge k haben. Aufgabe 4 Der Querschnitt eines Tunnels habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Sein Umfang sei U. Für welchen Halbkreisradius wird der Flächeninhalt des Querschnitts am größten? Es bezeichne r den Halbkreisradius, a die Höhe des Rechtecks und F die Fläche des Querschnitts. Dann ist Für die Fläche erhalten wir U = πr + a + r, also a = U ( + π)r. F = ar + πr. Setzen wir a als Funktion von r ein, so ergibt dies F(r) = r (U ( + π)r) + π r = ( F (r) = + π ) r + U, ( F (r) = + π ). ( + π ) r + Ur, Die einzige Nullstelle von F wird durch r = π+4 U gegeben. Wegen F (r ) < handelt es sich hierbei um ein lokales Maximum. Wegen lim r F(r) = ist das lokale Maximum sogar global. Elementare Funktionen A. Exponentialabbildung und Logarithmus Aufgabe 4 Es seien a, u, v > und r R. Beweisen Sie : log a (u r ) = r log a (u). Sei x = log a (u). Nach Definition ist dann a x = u. Mit den Potenzgesetzen folgt u r = (a x ) r = a xr, also log a (u r ) = rx = r log a (u). 3

33 Aufgabe 4 Bestimmen Sie die folgende Logarithmen. a) log (4), b) log 4 (64), c) log ( 8 ), d) log 4 (), e) log 7 (7 x ), x R. a), b) 3, c) 3, d), e) x. Aufgabe 43 a) Drücken Sie log 3 (4) als Logarithmus einer einzigen Zahl aus. b) Vereinfachen Sie ( ) ( ) ( ) log log 6 + log c) Vereinfachen Sie für a > den Ausdruck log a ( 3) log a (7). a) ) log 3 (4) = log 3 (3) log 3 (4) = log 3 (9) log 3 (4) = log 3 ( 9 4 b) ( ) ( ) ( ) ( ) log log 6 + log 9 = log = log () = c) log a ( 3) log a (7) = log a (3) 3 log a (3) = 6 Aufgabe 44 Berechnen Sie noch einmal den Grenzwert aus Aufgabe 6 (j), indem Sie die Identität n ln + ln n = e n n (warum ist das richtig?) und die Eigenschaften der Exponentialfunktion benutzen. Hinweis: Sie ln(n) können ohne Beweis benutzen, dass lim n n = ist. 33

34 Mit den Logarithmusgesetzen gilt n = e ln(n), n = e n ln() und somit Damit divergiert der Exponent bestimmt mit n n = n n = e ln(n) n ln() = e n(ln( ) ln(n) n ). lim n(ln( ) ln(n) n n = und somit ist aufgrund der Existenz des Funktionsgrenzwertes lim x e x = lim ) ln(n) n e n(ln( n ) =. Aufgabe 45 Bestimmen Sie jeweils Definitionsbereich und Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichungen. a) log (x) = log (), b) log (x) = log (5) log (4), c) log 3 (x ) =, d) ln(3x 3) =, e) log 4 (x) = log 4 (6), f) log (x ) =, g) log (x + ) log () =, h) log (x) = log 3 (x), i) log (x + ) =. a) Der Definitionsbereich der Gleichung ist D = R >. Es gilt log (x) = log () x =. b) Der Definitionsbereich der Gleichung ist D = R >. Es gilt ( 5 ) log (x) = log (5) log (4) log (x) = log x = c) Der Definitionsbereich der Gleichung ist D = (, ). Es gilt log 3 (x ) = 3 log 3 (x ) = 3 x = 9 x =. d) Der Definitionsbereich der Gleichung ist D = (, ). Es gilt ln(3x 3) = ln(3x 3) = 3x 3 = e = e x = + e. 3 e) Der Definitionsbereich der Gleichung ist (, ). Es gilt ( ) log 4 (x) = log 4 (6) log 4 = log x 4 (6) x = 6 = x x =. 34

35 f) Der Definitionsbereich der Gleichung ist R \ [, ]. Es gilt log (x ) = log (x ) = log () x = x = x = ±. g) Der Definitionsbereich der Gleichung ist (, ). Es gilt ( ) x + log (x + ) log () = log = x + = x = 99. h) Der Definitionsbereich der Gleichung ist (, ). Es gilt log (x) = log 3 (x) ln(x) ln() = ln(x) ln(3) also genau dann, wenn ln(x) =, das heißt x =. i) Der Definitionsbereich der Gleichung ist R. Es gilt ( ) ln(x) = ln(x)ln() ln(3) ln(x) ln() =, ln(3) }{{} = log (x + ) = x + = x = 9 x = ±3. Aufgabe 46 Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich der folgenden Terme. Drücken Sie im Anschluss die Terme durch einen Logarithmus aus. a) log a (x + ) 3 log a ( x) + log a (x), ( ) ( ) b) log a x + log x+ a x. a) Der Definitionsbereich des Ausdrucks ist (, ). Es gilt log a (x + ) 3 log a ( x) + log a (x) = log a ( (x + )x ( x) 3 b) Der Definitionsbereich des Ausdrucks ist R \ [, ]. Es gilt ) log a (x + ( ) x + log a = ( ( )) x + log x a (x ) + log a x = ( loga x + log a x + + log a x + log a x ) = log a x +. ). Aufgabe 47 Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme. 35

36 a) { x y = x 3 y = 43 }, b) log (x) + log (y) = ( ) 5 log (x) log (y) = log, x, y > c) { 4 x = 5 y 4 x = 7 y }. a) Es ist x = y + und damit x 3 y = 43 y+ 3 y = 43 6 y = 43 y = log 6 (6) = log 6 (6 3 ) = 3. Es folgt x = y + = 4. b) Es gilt = log (x) + log (y) = log (xy) xy =, ( ) ( ) 5 x log = log (x) log (y) = log 5 y = x y x = 5 y. Damit ist das Gleichungssystem äquivalent zu xy = und x = 5y. Einsetzen von x = y in die zweite Gleichung liefert = 5y, also y = ±. Es folgt x = ±5. Mit Hinblick auf den Definitionsbereich des Gleichungssystems ist damit (x, y) = (5, ) die einzige Lösung. c) Es gilt 7 y = 4 x = x = x+ x + = log (7 y ) = y log (7), 5 y = 4 x = x x = log (5 y ) = y log (5). Dies impliziert y log (7) = y log (5). Wir erhalten daher die Lösung y = log (7) log (5), x = log (5) (log (7) log (5)). Aufgabe 48 Wieviele Dezimalstellen besitzt die Primzahl p = ? 36

37 Da p eine Primzahl ist, ist p = N für irgendein N N und wir können annehmen, dass p und p + dieselbe Anzahl Dezimalstellen haben. Nach den Logarithmusgesetzen haben wir log (p + ) = log (p + ) log () = log ( 5) = log () + log (5) = ln 5 ln = (ln 5 mit Taschenrechner). Wir haben also p + = a M mit < a < und M = Damit hat p Dezimalstellen. Trigonometrische Funktionen Aufgabe 49 Beweisen Sie die Additionstheoreme für Tangens und Cotangens. Bestimmen Sie auch den Definitionsbereich der Gleichungen. a) tan(α + β) = a) Die Gleichung ist definiert für α, β, α + β / π b) Die Rechnung verläuft analog. tan(α) + tan(β) cot(α) cot(β), b) cot(α + β) = tan(α) tan(β) cot(α) + cot(β). + Zπ. Mit tan(α) = sin(α) cos(α) folgt sin(α + β) tan(α + β) = cos(α + β) sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α) = cos(α) cos(β) sin(β) sin(α) tan(α) cos(β) + sin(β) = cos(β) tan(α) sin(β) tan(α) + tan(β) = tan(α) tan(β). Aufgabe 5 Zeigen Sie mit Hilfe der Addtionstheoreme: a) sin ( α + π ) = cos(α), b) cos ( α + π ) = sin(α), c) tan ( α + π ) = cot(α), d) cot ( α + π ) = tan(α). Man verwende sin ( π ) = und cos ( π ) =. Für c) und d) verwende man a) und b). Bemerkung: Man beachte, dass Aufgabe 49 für die Aufgabenteile c) und d) nicht anwendbar ist. 37

38 Aufgabe 5 Bestimmen Sie die Definitionsbereiche der folgenden Gleichungen. Bestimmen Sie im Anschluß die Lösungsmenge. a) tan(x) = sin(x), b) tan(x) = 3 cos(x), c) sin(x) = tan(x), d) cos(3x) = 5 4 cos (x). Hinweis: Beweisen Sie für die Aufgabenteile c) bzw. d) zunächst die Identitäten sin(x) = tan(x) + tan (x), cos(3x) = 4 cos3 (x) 3 cos(x). ( π ) a) Der Definitionsbereich der Gleichung ist R \ + Zπ. Dort gilt stets cos(x) =. Es folgt tan(x) = sin(x) sin(x) = ( ) sin(x) cos(x) sin(x) cos(x) =. Letzteres ist wiederum äquivalent zu sin(x) = oder cos(x) =, also zu x πz bzw. zu x ± π 4 + πz. b) Der Definitionsbereich der Gleichung ist R \ zunächst ( π + Zπ ). Dort gilt stets cos(x) =. Es gilt tan(x) = 3 cos(x) sin(x) = 3 cos (x) = ( ) 3 sin (x) sin (x) + sin(x) =. 3 Dies ist eine quadratische Gleichung in t = sin(x). Wir bestimmen also die Lösungen der Gleichung t + t =. Diese werden (z.b. mit p-q-formel) gegeben durch 3 t = 3, t = 3 <. Wegen sin(x) sind also alle x zu bestimmen mit t = Lösungsmenge durch ( π ) ( ) π 3 + πz 3 + πz gegeben. 3 = sin(x). Damit ist die 38

39 ( π ) c) Der Definitionsbereich der Gleichung ist R \ + Zπ. Es gilt sin(x) = sin(x + x) = sin(x) cos(x) = Damit folgt die Äquivalenz sin(x) = tan(x) sin(x) cos(x) sin (x) + cos (x) = tan(x) + tan (x). tan(x) + tan (x) = tan(x) tan(x)3 = tan(x) tan(x)(tan(x) ) =. Also ist die Gleichung äquivalent zu tan(x) = oder tan(x) =. Damit wird die Lösungsmenge gegeben durch ( π ) πz 4 + πz ( π ) 4 + πz. d) Es ist cos(x) = cos (x) sin (x). Es gilt Damit ist cos(3x) = cos(x + x) = cos(x) cos(x) sin(x) sin(x) = cos 3 (x) sin (x) cos(x) sin (x) cos(x) = cos 3 (x) 3( cos (x)) cos(x) = 4 cos 3 (x) 3 cos(x). cos(3x) = 5 4 cos (x) 4 cos 3 (x) 3 cos(x) = 5 4 cos (x). Dies ist eine kubische Gleichung in t = cos(x). Wegen cos(x) [, ] genügt es also die Lösungen der Gleichung 4t 3 + 4t 3t 5 = im Intervall [, ] zu bestimmen. Durch Ausprobieren erhält man zunächst die Lösung t =. Polynomdivision durch t liefert ( ) 4t 3 + 4t 3t 5 = (4t + 8t + 5)(t ) = 4(t + ) + (t ) Nun ist 4(t + ) + > für alle t R. Damit ist t = die einzige Nullstelle in [, ]. Insgesamt ergibt sich damit als Lösungsmenge πz. Aufgabe 5 Es seien α, β, γ R mit α + β + γ = π. Zeigen Sie: a) sin(β) cos(γ) + cos(β) sin(γ) = sin(α), b) sin(α) sin(β) cos(β) cos(α) = cos(γ). a) Es gilt sin(β) cos(γ) + cos(β) sin(γ) = sin(β + γ) = sin(π α) wegen sin(π) = und cos(π) =. = sin(π) cos(α) cos(π) sin(α) = sin(α), 39

40 b) Es gilt sin(α) sin(β) cos(β) cos(α) = cos(α + β) = cos(π γ) = (cos(π) cos(γ) + sin(π) sin(γ)) = cos(γ), wegen sin(π) = und cos(π) =. Aufgabe 53 In einiger Entfernung zu einer Antenne wird ein Lichstrahl vom Boden (Meßebene) auf die Spitze der Antenne gerichtet. Der Winkel des Strahls zur Meßebene wird mit α bezeichnet. Nun geht man a Meter auf den Antennenmast zu und wiederholt die Messung. Man erhält nun einen Winkel β. Es ist insbesondere < α < β < π. Wie hoch ist der Mast? Bezeichnet man die unbekannte Höhe des Mastes mit h und die Entfernung des zweiten Messpunktes vom Mast mit b so gelten die Beziehungen tan(α) = h a + b tan(β) = h b. Dies ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Insbesondere folgt ( ) tan(α) h = a tan(β). tan(β) tan(α) 4