Ausarbeitung: Ausweg aus einem Labyrinth bei unvollständiger Information

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1 Ausarbeitung: Ausweg aus einem Labyrinth bei unvollständiger Information Arsenij E. Solovjev 7. Mai 2009 Zusammenfassung Problemdenition. Pledge-Algorithmus. Bug-Strategie. Einführung in Robotik. Vorstellung des Simbad 3d Robot Simulators 1 Finden eines Weges aus einem Labyrinth 1.1 Das Problem Stellen Sie sich vor sie wurden in einem dunklen Labyrinth sich benden, und müssten rauskommen nur mit Hilfe eueren Tastsinnes und Informatikwissens. 1.2 Die Modelldenition Das Labyrinth :eine endliche Menge von polygonalen Ketten die sich nicht schneiden, diese Ketten bilden die Ränder der Hindernisse (Wände). Jede Kette kann auch einen Innenhof haben wo auch weitere Ketten sind usw. Der Roboter hat einen Tastsenor, einen Winkelzähler und hat ein Vorne. Der Roboter kann nicht selber erkennen dass er aus dem Labyrinth entkommen ist, dafür muss er ein Signal von aussen bekommen. Bei Wandkontakt dreht sich der Roboter nach rechts, Drehungen nach Rechts werden vom Winkelzähler als negative Winkel betrachtet. polygonale Kette: Serie von verbundenen Liniensegmenten 1.3 Der Pledge-Algorithmus Der Pledge-Algorithmus funktioniert ähnlich wie unser vorheriger Algorithmus, allerdings mit dem Unterschied dass der Gesamtwinkel gleich null sein muss damit der Roboter von der Wand loslässt. gehnachvorne while(!entkommen) if (Wandkontakt und Winkelzähler 0) folgewand else gehnachvorne 1

2 Und tatsächlich ndet der Algorithmus nicht nur ein Ausweg aus den beide Beispielen(Abb. 2 und 3), sondern ein Ausweg aus jedem Labyrinth gemäÿ unserer Denition, sofern dieser Natürlich vorhanden ist. 1.4 Beweis Wir werden ein Weg P betrachten, bei dem der Roboter keinen Ausweg ndet aus denen dann folgt das P existiert nur wenn der Startpunkt des Roboters sich innerhalb eines Innenhofes bendet, was impliziert das in jedem anderen Fall ein Ausweg gefunden wird. Satz 1. Der Pledge-Algorithmus ndet einen Ausweg aus jedem Labyrinth, falls ein Ausweg existiert. Beweis. Lemma 1. Der Winkelzähler nimmt niemals einen positiven Wert an. Beweis. Während der Roboter nach vorne läuft ist der Winkelzähler gleich null. So bald eine Wand getastet wird dreht sich der Roboter nach rechts, der Winkelzähler nimmt einen negativen Wert an. Sobald der Winkelzähler wieder 0 wird, löst sich der Roboter von der Wand bis er wieder auf eine Wand trit. Aus Stetigkeitsgründen kann der Zähler nie einen positiven Wert annehmen, Lemma 2. Falls der Roboter keinen Ausweg ndet, dann besteht sein Weg, bis auf ein endliches Anfangsstück, aus einem geschlossenen Weg der immer wieder durchlaufen wird (Endlosschleife). Beweis. Der Weg des Roboters knickt um nur an den Ecken von Wänden des Labyrinths(entlang einer Wand gehend kann sich der Zähler nicht verändern), deren Anzahl ist endlich. Es gibt zwei Fälle zu betrachten: 1. Fall der Roboter kommt zweimal an einem Eckpunkt mit dem selben Zählerstand wegen der determiniertheit des Algorithmus bendet sich der Roboter in einer Endlosschleife. 2. Fall der Roboter besucht jeden Eckpunkt höhstens einmal mit demselben Zählerstand, dann wird er nur endlich oft Eckpunkte mit dem Zählerstand null besuchen. Sobald diese gemacht sind, läuft der Roboter in einer Endlosschleife einer Wand entlang. Sei P der geschlossene Weg der immer wieder durchlaufen wird. Lemma 3. Der geschlossene Weg P kann sich selbst nicht kreuzen. Beweis. Weil sich die Wände nicht schneiden muss einer der Wege ein freier(weiter nennen wir diesen B) und der andere an einer Wand gehen(a). Sei z der Punkt wo sich die Segmente treen, z der Punkt danach W A (z ) der Zählerstand von A an dem Punkt z, und W B (z ) analog deniert. Es muss gelten: W B (z ) = α, 0 α < π 2

3 W A (z ) = α + k 2 π k kann nicht positiv sein, wegen Lemma 1. Wenn k = 0, dann müssen A und B wegen der Detereminiertheit gleich sein, was mit unserer Annahme widerspricht. Wenn k 1, dann ist W A (t) < W B (t), für die Punkte t die nach z liegen, in diesem Fall muss aber B früher von der Wand loslassen als A. So liegt aber keine Kreuzung vor sondern nur eine Überlappung. Nehmen wir an P geht gegen den Uhrzeiger. Dann wird der Zähler irgendwann positive Werte annehmen, was ein Widerspruch zu Lemma 1 ist. Also läuft P im Uhrzeigersinn. Bei jedem Durchlauf wird der Zähler um 2π erniedrigt. In diesem Fall nimmt der Zähler ab einem gewissen Punkt nur negative Werte an, was heiÿt das er nie von einer Wand loslässt ab dem ersten Eintritt in P, daraus folgt, dass der Roboter sich in einem Innenhof benden muss. 1.5 Ezienz(Vergleich mit Tiefensuche) Ein empirischer Versuch [4] hat folgendes ergeben Abbildung 1: Hellgrau: Laufzeit von Pledge; Dunkelgrau: Laufzeit der Tiefensuche Die x-achse ist die Zeit, die y-achse die Seitenlänge des Labyrinths. Pledge ist schneller aufgrund seiner einfachen Arithmetik, Tiefensuche muss viele Vergleiche ausführen 2 Finden eines Zielpunktes in unbekannter Umgebung 2.1 Modelldenition Die Umgebung die selbe wie in 1.2. Der Roboter der selbe wie in 1.2, dazu kennt er seine eigene Koordinaten und die des Zielpunktes, und kann sich einen bereits besuchten Punkt merken. 2.2 Bug-Strategie Der Roboter läuft auf den Zielpunkt zu, falls ein Hindernis vorkommt, wird dieses einmal vollständig umkreist, und der zum Ziel am nächsten liegende Punkt 3

4 gemerkt. Danach läuft der Roboter zu diesem Punkt und läuft von diesem aus in Richtung des Zielpunktes. while(!zielpunkterreicht) lauferichtungzielpunkt if(wandkontakt) A:=aktuellePosition B:=aktuellePosition while(aktuelleposition A) rücke aktuelleposition entlang der Wand vor if(aktuelleposition-zielpunkt<b-zielpunkt) B=aktuellePosition gehekürzerenwegzub 2.3 Korrektheit und obere Schranke Satz 2. Dir Bug-Strategie ndet immer einen Weg vom Startpunkt bis zum Ziel, falls ein solcher existiert Beweis. Da D i näher an t liegt als A i, gilt: A i t D i t A i+1 t für i = 1, 2,... Weil die Anzahl der Punkte D i endlich (da es endlich viele Hindernisse gibt) ist, kommt der Roboter nach D m entweder direkt zu t oder ndet ihn nach der Umrundung des letzten Hindernisses. Satz 3. Der Weg den die Bug-Strategie vom Startpunkt s bis zum Ziel t zurückgelegt hat, ist nicht gröÿer als st n i=1 U i A i -Punkte an denen der Roboter auf ein Hinderniss trit, D i - Punkte an denen der Roboter von dem Hinderniss loslassen, U i - die Längen derjenigen Wände, Beweis. Die Länge kann man als die Summe von n i=0 D ia i+1 + aller UmrundungenvonHindernissen(mit D 0 = s A n+1 = t). Da der Roboter ein an denen es Hinderniss einmal vollständig umrundet und dann höhstens nochmal die Hälfte Punkte gibt um D i zu erreichen geht ist diese Summe 3 n 2 i=1 U i. Dass st die obere Schranke die näher an für n i=0 D ia i+1 ist, ist aus folgender Überlegung zu ersehen, jedes Segment t sind als s. D i A i+1 kann man als D i t A i+1 t aufassen, und wenn st nicht die obere Schranke wär wurde gelten: st i=0 n D i t i=1 n + 1 A i t i=1 n + 1 A i t + st i=0 n D i t was nicht möglich ist, da aus A i t D i t A i+1 t für i = 1, 2,... folgt dass i=1 n + 1 A it i=0 n D it ist. 4

5 Abbildung 2: Abbildung 3: 3 Simbad 3d Robot Simulator Simbad is a Java 3d robot simulator for scientic and educationnal purposes. It is mainly dedicated to researchers/programmers who want a simple basis for studying Situated Articial Intelligence, Machine Learning, and more generally AI algorithms, in the context of Autonomous Robotics and Autonomous Agents. It is not intented to provide a real world simulation and is kept voluntarily readable and simple. [6] Literatur [1] Rolf Klein, Algorithmische Geometrie: Grundlagen, Methoden, Anwendungen, examen.press, pp , [2] Michael Dom, Falk Hüner,Rolf Niedermeier Labyrinth und Tiefensuche, hp, Friedrich-Schiller-Universität Jena. [3] Rolf Klein und Tom Kamphans, Roboter im Labyrinth, hp, Uni Bonn. [4] Matthias Jauernig, Ausarbeitung zur Lehrveranstaltung Algorithm Engineering, nig.pdf, Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig (FH), [5] Sebastian Hempel, Bewegungsplanung bei unvollständiger Information, empel.pdf, FU Berlin, [6] Louis Hugues, Nicolas Bredeche, Simbad 3d Robot Simulator, FOSS, 2009 [7] 2002 Institute of Computer Science, Dept. I, University of Bonn entkommen aus einem Labyrinth 5