Übungsaufgaben zur Kristallographie Serie 8

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Übungsaufgaben zur Kristallographie Serie 8"

Norbert Weber
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Übungsaufgaben zur Kristallographie Serie 8 HS ) Edelgase a) Unter welchen Bedingungen kristallisieren Edelgase? b) Warum kristallisieren Edelgase in Form von dichtesten Kugelpackungen? 2) Dichteste Kugelpackungen Für diese Aufgabe benötigen Sie das Programm VESTA. Sie finden es im Internet unter Laden Sie die Kristallstrukturen dk und dk2 von der Kursseite herunter: a) Bei dk und dk2 handelt es sich um dichteste Kugelpackungen. Welche davon ist hexagonal, und welche kubisch dicht? Woran kann man das einfach erkennen? b) Die Raumgruppensymmetrie für die kubisch dichteste Kugelpackung ist Fm3 m, die für die hexagonal dichteste Kugelpackung P63/mmc. Geben Sie an welche Punktlage (Wyckoff-Position) besetzt werden muss um die entsprechende Kugelpackung aufzubauen. Tipp: Benutzen Sie hierfür die Kopien aus den International Tables und achten Sie auf die Lagesymmetrie und Multiplizität der besetzten Punktlage. c) Welche Form haben die Koordinationspolyeder der beiden Kugelpackungen? (Koordinationszahl und Polyederbezeichnung) Walter Steurer, Thomas Weber, Julia Dshemuchadse, Laboratorium für Kristallographie

2 Übungsaufgaben zur Kristallographie Serie 8 HS d) Es gibt in beiden Kugelpackungen Oktaeder-, Tetraeder- und Dreieckslücken. Visualisieren Sie die einzelnen Lückentypen mit VESTA, indem Sie virtuelle Atome in deren Zentren einfügen und Bindungen zwischen diesen und den Eckatomen der Lückenpolyeder definieren. Bestimmen Sie die relative Häufigkeit (pro Atom und pro Elementarzelle) der jeweiligen Lückentypen für die hexagonal und die kubisch dichteste Kugelpackung. Lesen Sie die unten stehenden Hinweise aufmerksam durch, um den Umgang mit VESTA zu vereinfachen. Tipp : Um nur einen kleinen Teil der Struktur darzustellen und die Lückenpolyeder damit einfacher zu erkennen, benutzen Sie die Boundary -Funktion, um den angezeigten Strukturausschnitt zu verringern. Tipp 2: Die Koordinaten eines Atoms können Sie in VESTA durch Doppelklicken erhalten und unten im Output -Fenster ablesen. Tipp 3: Zur Berechnung der Polyederzentren müssen die Koordinaten der Atome in den Polyeder-Ecken bestimmt und deren arithmetisches Mittel gebildet werden. Tipp : Sie können die Häufigkeit einer Lücke anhand der Zähligkeit der Atomlage des jeweiligen virtuellen Atoms bestimmen. Benutzen Sie hierfür die Kopien aus den International Tables zur Bestimmung der Lagen, zu denen die zuvor von Ihnen berechneten Koordinaten gehören. Tipp 5: Definieren Sie im Lückenzentrum ein virtuelles Atom (über Edit Edit Data Structure parameters... mit New ) mit einer Atomsorte, die noch nicht in der Struktur vorhanden ist, z. B. Wasserstoff / H. Tipp 6: In der hexagonal dichtesten Kugelpackung gibt es jeweils eine Sorte Oktaederund Tetraederlücken, aber drei symmetrisch nicht äquivalente Dreieckslücken. In der kubisch dichtesten Kugelpackung gibt es jeweils nur einen Satz symmetrieäquivalenter Lückentypen. Tipp 7: Um Polyeder darzustellen, definieren Sie Bindungen zwischen dem virtuellen Atom im Zentrum und den Metallatomen in den Ecken, z. B. H Co. Die Reihenfolge ist hierbei entscheidend, da der Polyeder um das erste der beiden angegebenen Atome dargestellt wird (hier H). Tipp 8: Um die Abstände zu bestimmen, die Sie bei dem Erstellen der Bindungen angeben müssen, benutzen Sie die Funktion zur Bestimmung des Abstand zweier Atome in VESTA (linke Seite, das Symbol mit dem Pfeil zwischen zwei Atomen). Tipp 9: Nachdem Sie einen Lückentyp dargestellt haben, speichern Sie eine Version der Struktur ab, schliessen Sie das Programm und öffnen Sie es erneut. Beim Neudefinieren von Bindungen und Polyedern kann es sonst zu Abstürzen oder Fehlfunktionen der Software kommen. Walter Steurer, Thomas Weber, Julia Dshemuchadse, Laboratorium für Kristallographie

3 Fm 3m O 5 h m 3m Cubic No. 225 F /m 3 2/m Patterson symmetry Fm 3 m Origin at centre (m 3m) Asymmetric unit 0 x 2; 0 y ; 0 z ; y min(x, 2 x); z y Vertices 0,0,0 2,0,0,,0,, Symmetry operations (given on page 69) Copyright 2006 International Union of Crystallography 688

4 CONTINUED No. 225 Fm 3m Generators selected (); t(,0,0); t(0,,0); t(0,0,); t(0, 2, 2); t( 2,0, 2); (2); (3); (5); (3); (25) Positions Multiplicity, Wyckoff letter, Site symmetry Coordinates (0,0,0)+ (0, 2, 2)+ ( 2,0, 2)+ ( 2, 2,0)+ Reflection conditions h,k,l permutable General: 92 l () x,y,z (2) x,ȳ,z (3) x,y, z () x,ȳ, z (5) z,x,y (6) z, x,ȳ (7) z, x,y (8) z,x,ȳ (9) y,z,x (0) ȳ,z, x () y, z, x (2) ȳ, z,x (3) y,x, z () ȳ, x, z (5) y, x,z (6) ȳ,x,z (7) x,z,ȳ (8) x,z,y (9) x, z,ȳ (20) x, z,y (2) z,y, x (22) z,ȳ,x (23) z,y,x (2) z,ȳ, x (25) x,ȳ, z (26) x,y, z (27) x,ȳ,z (28) x,y,z (29) z, x,ȳ (30) z,x,y (3) z,x,ȳ (32) z, x,y (33) ȳ, z, x (3) y, z,x (35) ȳ,z,x (36) y,z, x (37) ȳ, x,z (38) y,x,z (39) ȳ,x, z (0) y, x, z () x, z,y (2) x, z,ȳ (3) x,z,y () x,z,ȳ (5) z,ȳ,x (6) z,y, x (7) z,ȳ, x (8) z,y,x hkl : h + k,h + l,k + l = 2n 0kl : k,l = 2n hhl : h + l = 2n h00 : h = 2n Special: as above, plus 96 k..m x,x,z x, x,z x,x, z x, x, z z,x,x z, x, x z, x,x z,x, x x,z,x x,z, x x, z, x x, z,x x,x, z x, x, z x, x,z x,x,z x,z, x x,z,x x, z, x x, z,x z,x, x z, x,x z,x,x z, x, x 96 j m.. 0,y,z 0,ȳ,z 0,y, z 0,ȳ, z z,0,y z,0,ȳ z,0,y z,0,ȳ y,z,0 ȳ,z,0 y, z,0 ȳ, z,0 y,0, z ȳ,0, z y,0,z ȳ,0,z 0,z,ȳ 0,z,y 0, z,ȳ 0, z,y z,y,0 z,ȳ,0 z,y,0 z,ȳ,0 8 i m. m2 2,y,y 2,ȳ,y 2,y,ȳ 2,ȳ,ȳ y, 2,y y, 2,ȳ ȳ, 2,y ȳ, 2,ȳ y,y, 2 ȳ,y, 2 y,ȳ, 2 ȳ,ȳ, 2 8 h m. m2 0,y,y 0,ȳ,y 0,y,ȳ 0,ȳ,ȳ y,0,y y,0,ȳ ȳ,0,y ȳ,0,ȳ y,y,0 ȳ,y,0 y,ȳ,0 ȳ,ȳ,0 8 g 2. mm x,, x, 3,,x,, x, 3,x, 3 3, x, 3 x,, 3 x,, 32 f. 3 m x,x,x x, x,x x,x, x x, x, x x,x, x x, x, x x, x,x x,x,x, 3,x,, x,, x, 3,x hkl : h = 2n 2 e m.m x,0,0 x,0,0 0,x,0 0, x,0 0,0,x 0,0, x 2 d m. mm 0,, 0, 3, 8 c 3m,,,0,,0, 3, 3,0,,0 hkl : h = 2n,, 3 hkl : h = 2n b m 3 m 2, 2, 2 a m 3 m 0,0,0 Symmetry of special projections Along [00] pmm a = 2a b = 2b Origin at 0,0,z Along [] p6mm a = 6(2a b c) Origin at x,x,x b = 6( a + 2b c) Along [0] c2mm a = 2( a + b) b = c Origin at x,x,0 689

5 P6 3 /mmc D 6h 6/mmm Hexagonal No. 9 P 6 3 /m 2/m 2/c Patterson symmetry P6/mmm Origin at centre ( 3m) at 32/mc Asymmetric unit 0 x 2 3; 0 y 2 3; 0 z ; x 2y; y min( x,2x) 2 Vertices 0,0,0 3, 3,0 3, 2 3,0 0,0, 2 3, 3, 3, 2 3, Symmetry operations () (2) 3 + 0,0,z (3) 3 0,0,z () 2(0,0, 2) 0,0,z (5) 6 (0,0, 2) 0,0,z (6) 6 + (0,0, 2) 0,0,z (7) 2 x,x,0 (8) 2 x,0,0 (9) 2 0,y,0 (0) 2 x, x, () 2 x,2x, (2) 2 2x,x, (3) 0,0,0 () 3 + 0,0,z; 0,0,0 (5) 3 0,0,z; 0,0,0 (6) m x,y, (7) 6 0,0,z; 0,0, (8) 6 + 0,0,z; 0,0, (9) m x, x,z (20) m x,2x,z (2) m 2x,x,z (22) c x,x,z (23) c x,0,z (2) c 0,y,z Maximal non-isomorphic subgroups I [2] P 62c (90) ; 2; 3; 7; 8; 9; 6; 7; 8; 22; 23; 2 [2] P 6m2(87) ; 2; 3; 0; ; 2; 6; 7; 8; 9; 20; 2 [2] P6 3 mc(86) ; 2; 3; ; 5; 6; 9; 20; 2; 22; 23; 2 [2] P6 3 22(82) ; 2; 3; ; 5; 6; 7; 8; 9; 0; ; 2 [2] P6 3 /m(p6 3 /m,76) ; 2; 3; ; 5; 6; 3; ; 5; 6; 7; 8 [2] P 3m(6) ; 2; 3; 7; 8; 9; 3; ; 5; 9; 20; 2 [2] P 3c (63) ; 2; 3; 0; ; 2; 3; ; 5; 22; 23; 2 { [3] Pmmc(Cmcm,63) ; ; 7; 0; 3; 6; 9; 22 [3] Pmmc(Cmcm,63) ; ; 8; ; 3; 6; 20; 23 [3] Pmmc(Cmcm,63) ; ; 9; 2; 3; 6; 2; 2 IIa none IIb [3] H 6 3 /mmc(a = 3a,b = 3b)(P6 3 /mcm,93) Maximal isomorphic subgroups of lowest index IIc [3] P6 3 /mmc(c = 3c)(9);[]P6 3 /mmc(a = 2a,b = 2b)(9) Minimal non-isomorphic supergroups I none II [3] H 6 3 /mmc(p6 3 /mcm,93);[2]p6/mmm(c = 2c) (9) Copyright 2006 International Union of Crystallography 600

6 CONTINUED No. 9 P6 3 /mmc Generators selected (); t(, 0, 0); t(0,, 0); t(0, 0, ); (2); (); (7); (3) Positions Multiplicity, Wyckoff letter, Site symmetry Coordinates Reflection conditions General: 2 l () x,y,z (2) ȳ,x y,z (3) x + y, x,z () x,ȳ,z + 2 (5) y, x + y,z + 2 (6) x y,x,z + 2 (7) y,x, z (8) x y,ȳ, z (9) x, x + y, z (0) ȳ, x, z + 2 () x + y,y, z + 2 (2) x,x y, z + 2 (3) x,ȳ, z () y, x + y, z (5) x y,x, z (6) x,y, z + 2 (7) ȳ,x y, z + 2 (8) x + y, x, z + 2 (9) ȳ, x,z (20) x + y,y,z (2) x,x y,z (22) y,x,z + 2 (23) x y,ȳ,z + 2 (2) x, x + y,z + 2 hh2hl : l = 2n 000l : l = 2n Special: as above, plus 2 k. m. x,2x,z 2 x, x,z x, x,z x,2 x,z + 2 2x,x,z + 2 x,x,z + 2 2x,x, z x,2 x, z x,x, z 2 x, x, z + 2 x,2x, z + 2 x, x, z j m.. x,y, ȳ,x y, x + y, x, x,ȳ, 3 y, x + y, 3 x y,x, 3 y,x, 3 x y,ȳ, 3 x, x + y, 3 ȳ, x, x + y,y, x,x y, 2 i. 2. x,0,0 0,x,0 x, x,0 x,0, 2 0, x, 2 x,x, 2 x,0,0 0, x,0 x,x,0 x,0, 2 0,x, 2 x, x, 2 hkil : l = 2n 6 h mm2 x,2x, 2 x, x, x, x, x,2 x, 3 2x,x, 3 x,x, 3 6 g. 2/m. 2,0,0 0, 2,0 2, 2,0 2,0, 2 0, 2, 2 f 3 m. 3, 3,z 2 2 3, 3,z + 2 2, 2, 2 2 3, 3, z 3, 2 3, z + 2 or h k = 3n + or h k = 3n + 2 e 3 m. 0,0,z 0,0,z + 2 0,0, z 0,0, z + 2 } 2 d 6 m 2 3, 3, , 3, hkil 2 c 6 m 2 3, 3, 2 2 3, 3, 3 : l = 2n or h k = 3n + or h k = 3n b 6 m 2 0,0, 0,0, 3 2 a 3 m. 0,0,0 0,0, 2 Symmetry of special projections Along [00] p6mm a = a b = b Origin at 0,0,z (Continued on preceding page) Along [00] p2gm a = 2(a + 2b) b = c Origin at x,0,0 Along [20] p2mm a = 2b b = 2c Origin at x, 2x,0 60

Ähnliche Dokumente

Übungsaufgaben zur Kristallographie Serie 8 LÖSUNG

Übungsaufgaben zur Kristallographie Serie 8 LÖSUNG 1) Edelgase a) Unter welchen Bedingungen kristallisieren Edelgase? Bei tiefen Temperaturen und/oder hohen Drücken. Ausnahme: Helium braucht tiefe Temperaturen und hohen Druck gleichzeitig um zu kristallisieren.