Lineare Optimierung. Dr. Bommhardt. Das Vervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nicht kommerziellen Zwecken ist gestattet.

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1 Lineare Optimierung Dr. Bommhardt. Das ervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nicht kommerziellen Zwecken ist gestattet. 1 Gleichungen und Ungleichungen n der Wirtschaft sind häufig Entscheidungen unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen zu treffen: Aufteilung der vorhandenen Mittel auf konkurrierende erwendungszwecke, Erzielenwollen eines Nutzenmaimums, Erreichen eines vorgegebenen Ziels mit minimalem Mitteleinsatz. Gesucht werden dabei ein Maimum (z. B. an Gewinn) oder ein Minimum (an erlust). Bei Problemen der linearen Optimierung (auch: lineare Programmierung, lineare Planungsrechnung) sind sowohl die so genannte Zielfunktion als auch alle ihre Nebenbedingungen linear; d. h., lineare (Un-)Gleichungen. 1.) Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge für folgende Ungleichungen! a) L = b) ¾ 2 /3 1½ + 1 /12 L = c) ¾ 1½ 1½ ¼ L = d) L = e) ½ + ½ 1½ ¼ L = a) b) ¾ 2 /3 1½ + 1 /12 c) ¾ 1½ 1½ ¼ d) e) ½ + ½ 1½ ¼ Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 1

2 2.) Welche natürlichen Zahlen i erfüllen jeweils die folgenden Ungleichungen? a) ¼ + 2¾ 12½ 2½ L = b) 3 (½ ¾) 2 (1½ 3¾) L = c) ¾ (2 ½) ¼ (½ + 4½) L = d) 4 (2¾ + ½) ( 2½ + 2¾) L = e) ¾ (2 ½) ¼ (½ + 4½) L = a) ¼ + 2¾ 12½ 2½ b) 3 (½ ¾) 2 (1½ - 3¾) c) ¾ (2 ½) ¼ (½ + 4½) d) 4 (2¾ + ½) ( 2½ + 2¾) e) ¾ (2 ½) ¼ (½ + 4½) Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 2

3 3.) Bestimmen Sie jeweils die gemeinsame Lösungsmenge! a) 1½ 2½ 3¼ + 4¾ und 5 + 3¾ ½ 2¼ L = b) 2 (3 5½) 4 (2 + ) und 2¼ + ¾ 5½ 3¾ L = c) 8 (2 ¼) 3 (7 8) und 2 + 2½ 5½ L = d) ¾ 4½ ½ 2 und 2¾ 1 1¼ 10 L = e) 1½ und 1 ¼ 2½ L = a) 1½ 2½ 3¼ + 4¾ und 5 + 3¾ ½ 2¼ b) 2 (3-5½) 4 (2 + ) und 2¼ + ¾ 5½ -3¾ c) -8(2 ¼) 3 (7-8) und 2 + 2½ 5½ d) ¾ 4½ ½ 2 und 2¾ 1 1¼ 10 e) 1½ und 1 ¼ 2½ Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 3

4 4.) Bestimmen Sie die gemeinsame Lösungsmenge für folgende Ungleichungen! 1½ /3 2 5.) Bestimmen Sie die gemeinsame Lösungsmenge für folgende Ungleichungen! 5 /2 7 3² / Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 4

5 .) Bestimmen Sie die gemeinsame Lösungsmenge für folgende Ungleichungen! Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 5

6 7.) Bestimmen Sie die gemeinsame Lösungsmenge für folgende Ungleichungen! 1½ ( 4 2½) ½ ( + 4) ¼ (4 + 48) 2 ( + 1) ( + 2) 4 (¼ + 3) ½ (8 30) 4 ( 1¼ + 4) 1½ ( 4 2½) 4 ( + 2) ½ ( + 4) 4 (¼ + 3) ¼ (4 + 48) ½ (8 30) 2 ( + 1) 4 ( 1¼ + 4) Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite

7 8.) Stellen Sie den gemeinsamen Lösungsbereich grafisch dar! 2 - ½ ½ / ) Stellen Sie den 2 gemeinsamen Lösungsbereich grafisch dar! 2, , , , ) Stellen Sie den gemeinsamen Lösungsbereich grafisch dar! ½ Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 7

8 11.) Stellen Sie den 2 gemeinsamen Lösungsbereich 2 grafisch dar! ) Stellen Sie den gemeinsamen Lösungsbereich grafisch dar! , / ) Stellen Sie den 2 gemeinsamen Lösungsbereich grafisch dar! , Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 8

9 14.) Ein Betrieb besitzt drei Maschinen M1, M2 und M3, auf denen in einem dreistufigen Produktionsprozess die Produkte 1 und 2 in den Mengen 1 und 2 alternativ hergestellt werden können. Jedes Produkt muss alle drei Maschinen hintereinander in der Reihenfolge M1, M2 und M3 durchlaufen. Der Gewinn bei Produkt 1 beträgt 50 DM/Stück, bei Produkt DM/Stück. Die Kapazität jeder Maschine ist auf 40 Stunden pro Woche (= Minuten/ Woche) beschränkt. Die Bearbeitungszeiten der Produkte auf den Maschinen ergeben sich aus folgender Tabelle: Maschine beanspruchte Kapazität in Minuten für die Produktion eines Stückes von ma. Kapazität Produkt 1 Produkt 2 in Minuten/Woche M M M Welche Stückzahlen 1 und 2 der Produkte 1 bzw. 2 müssen 1 = 2 2 produziert werden, um einen maimalen Gewinn zu erreichen? 2 = 4 2 Das mathematische Modell umfasst immer: 1.) Zielfunktion: gibt an, welche Größe maimiert/minimiert wird. Z(1,2) = Ma. 2 = - 0,5 1 2.) Nebenbedingungen (Restriktionen): begrenzen die ariablen auf einen bestimmten Bereich , , ) Nichtnegativitätsbedingungen: besagen, dass die ariablen keine negativen Werte annehmen Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 9

10 Errechnen des Gewinnmaimums: Schnittpunkt der Geraden und - 0, = - 0, , , = 10 : 0, = 22, = , ,75 22, , ,8 2 = 42 Ermitteln des Gewinns: Z (1, 2) = Ma. = = = Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 10

11 15.) Zur Produktion von zwei Gütern A und B werden drei Stoffe in bestimmten Mengen benötigt. Die erkaufspreise der Güter betragen,00 DM (für A) und 8,00 DM (für B). Stoffe benötigte Mengen in kg pro Stück verfügbarer orrat A B an Stoffen in kg Gesucht ist das umsatzmaimale Produktionsprogramm! 1 = 5 2 = 7 Zielfunktion: Z = Ma. Nebenbedingungen: , Nichtnegativ.-bed.: Errechnen des Gewinnmaimums: Schnittpunkt der Geraden und - 0, = = = 10 : 2 1 = = 7 Ermitteln des Gewinns: Z (1, 2) = Ma. = = = 8 Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 11

12 1.) Lösen Sie grafisch folgende Optimierungsaufgaben! a) Z1 = Maimum b) Z2 = Maimum , Errechnen des Maimums: Schnittpunkt der Geraden und 8-1 = = = 7 Ermitteln des Gewinns: Z (1, 2) = Ma. = = 29 Z (1, 2) = Ma. = = 8 Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 12

13 17.) Ein Stahlwerk erhielt einen Auftrag für die Herstellung von Guss-Stahl. Es benötigt bestimmte Mengen von drei Metallen, die in deutschem und schwedischem Eisenerz enthalten sind. Die Zusammensetzung von deutschem und schwedischem Erz ergibt sich aus folgender Tabelle: Metalle Metallgehalt je 10 Tonnen Eisenerz deutsch schwedisch Metall 1 2 t 1 t Metall 2 t 5 t Metall 3 1 t 2 t Der jeweilige Rest zu den 10 t ist unbrauchbares Gestein. Der Bezugspreis für deutsches Eisenerz beträgt 70 DM je Tonne, der für schwedisches Erz 100 DM je Tonne. Laut Lieferungsbedingungen der Erzgruben können immer nur 10 t bzw. ein ielfaches davon bestellt werden. Für den Auftrag werden mindestens benötigt: Metall 1 70 t Metall t Metall 3 80 t Es können auch mehr Tonnen von den einzelnen Metallen für den Guss-Stahl verwendet werden, aber nicht weniger. Wieviel Tonnen von deutschem deutsches Erz in t und schwedischem Erz schwedisches Erz in t müssen eingekauft werden, um die Beschaffungskosten an Erzen für den erhaltenen Auftrag zu minimieren. Zielfunktion: Z = 700 D S Min. 10 t deutsches Erz kosten 700 DM, 10 t schwedisches Erz kosten DM. Nebenbedingungen: 2 D + 1 S 70 S 70-2 D D + 5 S 300 S 0-1,2 D 1 D + 2 S 80 S 40-0,5 D Selbstverständlich kann auch mehr als die Mindestmenge an D (deutsches Erz) oder/und S (schwedisches Erz) für die Herstellung von Guss-Stahl verwendet werden. Deshalb gilt das Relationszeichen. Nichtnegativ.-bed.: D S 0 0 Die einzukaufenden Mengen dürfen natürlich nicht negativ sein! Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 13

14 S D Errechnen des Kostenminimums: Schnittpunkt der Geraden und 0-1,2 D = 40-0,5 D D = D + 12 D = 7 D : 7 D = 28, S 0-1,2 28,571 S 0-34,285 S = 25,715 Ermitteln der Kosten: Z (D, S) = 700 D S Min. = = = Proberechnung: Metallgehalt je 10 Tonnen Eisenerz benötigte Metalle deutsch schwedisch Mindestmenge Metall 1 2 t t 27 = Metall 2 t t 27 = Metall 3 1 t t 27 = Das Kostenminimum wird erreicht, wenn 290 t deutsches Erz und 20 t schwedisches Erz gekauft werden. Benötigt werden zwar nur knapp 28 t deutsches Erz und knapp 258 t schwedisches Erz, aber laut Lieferungsbedingungen müssen jeweils volle 10 t Erz gekauft werden. Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 14

15 18.) Eine kleine Mopedfabrik baut und verkauft die beiden Typen Mofa und Lofa. Während die Produktionskosten für ein Mofa DM betragen, belaufen sie sich bei der Lofa nur auf DM pro Stück. nsgesamt können pro Tag nicht mehr als DM für die Produktion ausgegeben werden. Für die Fertigung der Mofa rechnet die Arbeitsvorbereitung mit einer Arbeitszeit von 30 Stunden, für die der Lofa setzt sie hingegen 0 Stunden an. Pro Tag stehen maimal 480 Arbeitsstunden zur erfügung. om Mofa sollen pro Tag maimal 3 Stück gefertigt werden. Marktanalysen zeigen, dass pro Tag mindestens 4 Lofa und unbegrenzt Mofa abgesetzt werden können. Der erkaufspreis der Lofa liegt bei DM, der der Mofa bei DM pro Stück. Wieviel Mofa und Lofa sollen täglich produziert werden, Mofa 3 um das Umsatzmaimum zu erreichen? Lofa 5 Wie groß ist dieser maimale Umsatz? DM Zielfunktion: Z = M L Ma. Nebenbedingungen: Produktionskosten M L L 10-5 /3 M Arbeitsstunden 30 M + 0 L 480 L 8 - ½ M ma. Produktion M 3 M 3 Mindestverkauf L 4 L 4 Nichtnegat.-bed.: / M, L 0 L M Errechnen des Gewinnmaimums: Schnittpunkt der Geraden und M = 3 L = 10-5 /3 M L = 10-5 = 5 Ermitteln des Gewinns: Z (M, L) = M L Ma. = = Unterrichtshilfe zur linearen Optimierung, Seite 15