Verfahren des Operations Research

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1 Verfahren des Operations Research Blatt 1 (WS 2017/18) wird bearbeitet am Ein Rohstoff kann zu drei Gütern G 1, G 2 und G 3 verarbeitet werden. Man benötigt für G 1 60 kg/stk, für G 2 80 kg/stk und für G kg/stk von dem Rohstoff. An Arbeitszeit sind bei G 1 6 h/stk, bei G 2 10 h/stk und bei G 3 3 h/stk aufzuwenden. Im betrachteten Planungzeitraum stehen Arbeitsstunden und kg Rohstoff zur Verfügung. Aus technischen Gründen (die meistens sehr undurchschaubar sind) muss von G 1 mindestens die doppelte Stückzahl wie von G 2 produziert werden. Es wird erwartet, dass pro hergestelltem Stück bei G 1 C 30., bei G 2 C 50. und bei G 3 C 60. Gewinn erzielt wird. Stellen Sie zur Bestimmung der gewinnmaximierenden Stückzahlen ein lineares Programm auf und lösen Sie es mit Excel. 2. Modellieren Sie das folgende Problem eines Barkeepers: In der Bar werden drei verschiedene Cocktails angeboten: a) Daiquiri (45 ml weißer Rum, 30 ml Cointreau, 25 ml Zitronensaft, 15 ml Zuckersirup, Eis), Preis: C 5.80 b) Kamikaze (30 ml Wodka, 30 ml Cointreau, 25 ml Zitronensaft, 1 Schuß Limonensirup, Eis), Preis: C 4.70 c) Long Island Ice Tea (20 ml Wodka, 20 ml weißer Rum, 20 ml Gin, 20 ml Cointreau, 4 TL Zitronensaft, 4 TL Orangensaft, 1/8 l Cola, 1 Orangenscheibe, Eis), Preis: C 7.00 Der Vorrat des Barkeepers besteht aus 5 l weißem Rum, 6 l Cointreau, 4 l Wodka und 3 l Gin. Die übrigen Zutaten sind ausreichend vorhanden. Welche Cocktails muss der Barkeeper mixen und verkaufen, um möglichst viel Geld einzunehmen? (Hinweis: 1 l = 1000 ml) Formulieren Sie für dieses Problem ein lineares Programm und bestimmen Sie die Optimallösung mit Excel. 3. Zeigen Sie graphisch, dass die lineare Optimierungsaufgabe max 3x 1 + 4x 2 x 1 + x 2 4 x 1 + 2x 2 10 x 1 + 4x 2 4

2 mit x 1, x 2 0 eine optimale Lösung besitzt, obwohl die Menge der zulässigen Lösungen nicht beschränkt ist. 4. Giffen Paradoxon: Herr K. will 40km zurücklegen. Dafür stehen Boot und Zug zur Verfügung, die beliebig kombiniert werden können. Das Boot benötigt 2 Zeiteinheiten pro km und kostet C 5. pro km. Der Zug benötigt nur 1 Zeiteinheit pro km, kostet aber C 10. pro km. Wie schnell kann Herr K. die Strecke absolvieren, wenn er C 300. zur Verfügung hat? Stellen Sie ein lineares Programm auf und lösen Sie es mit Excel. Paradoxon: Der Preis des Bootes wird nun auf C 6. pro km erhöht. Weisen Sie nach, dass die mit dem Boot zurückgelegte Strecke dennoch steigt! 5. Lösen Sie das folgende lineare Programm händisch mit dem Simplexalgorithmus: max 3 4 x 1 + x 2 bzgl. x 1 + 2x 2 10 x 1 + x 2 7 x 2 4 x 1, x Lösen Sie das folgende lineare Programm händisch mit dem Simplexalgorithmus: max 6x 1 + 3x 2 9x x 4 bzgl. x 1 + 2x 2 + 4x 3 x x 1 + 3x 2 x 3 + x 4 72 x 1 + x 3 + x 4 24 x 1, x 2, x 3, x Gegeben sei folgendes (LP1): (LP1) maximiere 3x 1 + x 2 + x 3 bzgl. 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 10 x 1 + 3x 2 x 3 13 x 2 x 3 7 2x 1 + x 3 = 2 ( ) x 1 0, x 2 0

3 a) Schreiben Sie obiges Programm (LP1) als ein lineares Programm (LP2) mit 2 Variablen und 3 Restriktionen an. Hinweis: Verwenden Sie die Gleichung ( ) um eine Variable zu eliminieren. b) Bestimmen Sie graphisch den zulässigen Bereich und die Optimallösung von (LP2). c) Welche Probleme ergeben sich, wenn Sie versuchen die Programme (LP1) bzw. (LP2) mit dem Simplexalgorithmus zu lösen? (keine Rechnung notwendig) 8. Eine Legierung besteht aus Material A und Material B. Die variablen Kosten für die Ausgangsprodukte betragen 3000 bzw C /t (Euro pro Tonne). Von der Legierung müssen mindestens 5 t und können aus Kapazitätsgründen höchstens 10 t hergestellt werden. Von Material A sind zur Zeit nur 5 t verfügbar, von Material B hingegen 7 t. Das Verhältnis von Material A zu Material B darf 7/8 nicht übersteigen. Es stehen 20 Stunden Vorbereitungszeit zur Verfügung, wobei Material A 2.5 Std./t und Material B 1.5 Std./t benötigen. a) Formulieren Sie eine lineares Programm zur Minimierung der Kosten! b) Lösen Sie das LP graphisch und interpretieren Sie die Lösung. c) Welche Restriktionen werden aktiv und was bedeutet das? 9. Die Green Bully AG will einen neuen Softdrink auf den Markt bringen. Das neue Getränk soll aus drei flüssigen Zutaten zusammengemischt werden, wobei die erste Zutat 5 C pro Liter, die zweite Zutat 2 C pro Liter und die dritte Zutat 25 Cent pro Liter kostet. Zutat 1 enthält 3g/l Zucker und 4 Einheiten/l eines streng geheimen Aromastoffes, während die zweite Zutat 7g/l Zucker und 8 Einheiten/l des Aromastoffes und die dritte Zutat 20g/l Zucker und keinen Aromastoff enthält. Aus produktionstechnischen Gründen müssen pro Produktionsvorgang mindestens 100 Liter des Getränks hergestellt werden. Die Marktforschung hat ergeben, dass das Getränk von der Zielgruppe angenommen wird, falls sich die Parameter in folgenden Intervallen bewegen: Das fertige Getränk soll mindestens 3g/l und höchtens 6g/l Zucker enthalten. In einem Liter des Getränks sollen sich mindestens 3 Einheiten des Aromastoffes befinden. Außerdem soll das Getränk zu mindestens 40% aus Zutat 1 bestehen, während Zutat 2 höchstens 50% und Zutat 3 höchstens 30% des neuen Getränks ausmachen darf. Wie soll der neue Softdrink bei minimalen Produktionskosten zusammengemixt werden? Achten Sie auf die exakte Bedeutung der von ihnen verwendeten Variablen.

4 10. Konstruieren Sie ein lineares Programm mit zwei Variablen, bei dem die übliche Spaltenauswahlregel für das Simplexverfahren nicht die kleinstmögliche Anzahl von Iterationen liefert. (Es ist hilfreich mit einer Skizze zu beginnen.) 11. Versuchen Sie eine Methode zu finden, um die zweitbeste zulässige Basislösung eines linearen Programms zu bestimmen. 12. Stellen Sie das folgende lineare Programm in Standardform dar: min 5x 1 3x 2 4x 3 + 7x unter x 1 2x 2 2x 4 8 x 2 + 2x 3 + x 4 6 5x 1 + x 3 = 5 x 2 + 2x 4 4 3x 2 2x 4 = 6 x 1 0 x 2 0 x 3, x 4 R 13. Betrachten Sie das folgende Endtableau eines LP in Normalform mit den Modellvariablen x 1,..., x 4. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ZF a) Welche Variablen sind Basisvariablen und wie lauten die Optimalwerte der Modellvariablen? b) Wie ändert sich der Zielfunktionswert, wenn x 3 um eine Einheit erhöht wird? c) Welche Restriktion(en) können gestrichen werden, ohne dass sich die Optimallösung ändert? d) Die Angabe des LP beginnt mit max 3x 1 2x Aus welchem Bereich können die Koeffizienten von x 1 und x 2 gewählt werden, sodass die optimale Basislösung unverändert bleibt?

5 e) In welchem Bereich kann die Kapazitätsschranke der ersten Restriktion des LP gewählt werden, sodass die optimale Basislösung unverändert bleibt, wenn sie zu Beginn mit 15 festgesetzt war? 14. Wie lautet die Optimallösung der Dual-Variablen für das LP aus Beispiel 13? (Das duale LP muss nicht angegeben werden.) 15. Stellen Sie das duale LP zum linearen Programm aus Beispiel 5. auf. 16. Gegeben ist das folgende LP: (PP) maximiere 4x 1 3x 2 2x 3 + 7x 4 bzgl. x 1 2x 2 + 2x 4 8 x 2 + 2x 3 + x 4 3 5x 1 + x 3 = 3 x 2 + 2x 4 4 x 1 3x 2 + 2x 4 = 6 x 1 0, x 2 0, x 3, x 4 R Stellen Sie das dazugehörige duale LP (DP) auf!