würde eine Reduktion der Kapazität um = 100 h ebenfalls eine Änderung des

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1 Aufgabe 4.: Sensitivitätsanalyse (a) 60 c 30 Deckungsbeitrag: (30 db 60) (b) 20 3 c C 0 3 Das heißt, die Restkapazität kann bis zu 20 3 Erträge bringen, bzw. bis zu 0 3 Kosten verursachen, ohne die Lösung zu beeinflussen. (c) b A 20 Zielfunktionswert steigt bei Kapazitätserhöhung auf 20 um 800 auf (d) Kapazität C kann man um 20 verringern, ohne den Zielfunktionswert zu verändern. (e) Produkt 2 würde bei einer Deckungsbeitragserhöhung um 20, d.h. bei einem Deckungsbeitrag von 0 ins Programm aufgenommen. Aufgabe 4.2: Sensitivitätsanalyse (a) Die Variable x 2 ist sowohl in der Ausgangs- als auch in der Optimallösung Nichtbasisvariable. Damit das Produkt 2 hergestellt würde, müßte sein Deckungsbeitrag von 780,- /ME um mindestens 20,- /ME gesteigert werden. Bei gegebener Konstellation würde dagegen die Zwangsfertigung des Produktes 2 den Gewinn um 20,- /ME reduzieren. Dabei würden vom Rohstoff R weitere 0 ME verbraucht und die Produktionsmengen der Produkte und 3 um 2 bzw. 4 5 ME vermindert werden. (b) x R ist sowohl in der Ausgangs- als auch in der Optimallösung Basisvariable. Von den insgesamt zur Verfügung stehenden.300 ME des Rohstoffs R werden in der Optimallösung 00 ME nicht verbraucht. Die entsprechende Nebenbedingung ist also nicht restriktiv und könnte aus dem Tableau gestrichen werden. (c) Bei Erhöhung der knappen Kapazität der Maschine M (x M = 0) um eine Stunde würden die Produktionsmengen der beiden Produkte und 3 um 0 bzw. 25 ansteigen. Gleichzeitig würden vom Rohstoff R weitere 4 ME verbraucht. Der Gewinn würde um 0,- höher ausfallen. 00 (d) Die Kapazität der Maschine M könnte um = 25 h erhöht werden, ehe sich eine 4 qualitative Änderung der Optimallösung ergäbe. Bei dieser Kapazitätssteigerung würde der augenblicklich nicht knappe Rohstoff R gerade voll verbraucht werden. Umgekehrt 0 würde eine Reduktion der Kapazität um = 00 h ebenfalls eine Änderung des ( ) Produktionsprogramms ergeben. Nun würde das Produkt nicht mehr produziert werden (Fall.2). (e) Diese Frage schließt an die Frage 2 an. Da in der Optimallösung 00 ME des Rohstoffs R nicht verbraucht werden, könnte die verfügbare Menge des Rohstoffs um 00 ME von.300 auf.200 ME gesenkt werden, ohne dass sich eine Änderung des gewinnmaximalen Produktionsprogramms ergäbe (Fall. Untergrenze). 0 (f) Die verfügbare Menge des Rohstoffs T müsste um mindestens = 500 ME ( 50) erhöht werden, damit sich eine qualitative Änderung des Produktionsprogramms ergäbe. In diesem Falle würde das Produkt nicht mehr produziert werden. Dies ist damit zu erklären, dass das Produkt mit einem negativen Deckungsbeitrag bisher nur deshalb produziert wurde, weil es mit jeder ME zu einer Vergrößerung der verfügbaren Menge des Rohstoffs T um 0 ME und damit indirekt über das Produkt 3 zu einer Gewinnsteigerung beitrug. Da aber ab einer Erhöhung der verfügbaren Menge des 0

2 Rohstoffs T um mehr als 500 ME dieser nicht mehr knapp ist, braucht dann auch das Produkt nicht mehr gefertigt zu werden. Vielmehr würde dann ausschließlich das Produkt 3 mit 60 ME gefertigt werden. Dabei würde die Kapazität der Maschine M voll genutzt werden (Fall.2 Obergrenze). (g) Eine Senkung des Verkaufspreises von Produkt 3 bei gleichbleibenden direkten Kosten bewirkt eine Reduzierung des Deckungsbeitrages. Da der Deckungsbeitrag im Ausgangs- Tableau jedoch mit umgekehrten Vorzeichen eingetragen ist, ist dies gleichbedeutend mit einer Erhöhung des dort eingetragenen negativen Wertes. Es wird also nach der formalen Obergrenze des Zielfunktionswertes von.250 im Ausgangstableau gefragt (Fall 2.2 Obergrenze). Bei Anwendung der entsprechenden Rechenregel erhält man die Obergrenze von.225 bzw. den Änderungsbetrag von 25,- /ME. Folglich könnte der Verkaufspreis von 2.000,- auf.975,- /ME gesenkt werden, ehe sich eine qualitative Änderung des Produktionsprogramms ergäbe. Bei einer weiteren Reduzierung würde das Produkt 2 anstelle des Produktes 3 gefertigt werden. (h) Das Produkt 2 wird in der Optimallösung nicht gefertigt. Die Grenzkosten betragen 20,- /ME. Ab einer Senkung der direkten Kosten um diesen Betrag, also von 720,- auf 700,- /ME, was einer Erhöhung des Deckungsbeitrages von 780,- auf 800,- /ME entspricht, würde das Produkt 2 somit hergestellt werden. Bei dieser Kostensenkung würden von den Produkten, 2 und 3 dann 5, 0 bzw. 36 ME gefertigt werden (Fall 2. Untergrenze). (i) Es ist nach der Unter- und Obergrenze des Zielfunktionskoeffizienten des Schlupfes (xr) des Rohstoffs R gefragt (Fall 2.3). Bei Anwendung der entsprechenden Rechenregeln erhält man die Intervallgrenzen 2,5 cr 2.Ökonomisch ließen sich die negativen Grenzkosten von 2,5 /ME als Mehrerlös für den Verkauf einer ME vom Rohstoff R anstelle ihrer Verarbeitung zu den drei Produkten erklären. Umgekehrt könnten die positiven Grenzkosten um 2 /ME als Lagerkostenfaktor für nicht verarbeitete Mengen dieses Rohstoffes angesehen werden. (j) Eine derartige Frage nach der Preisobergrenze kann im allgemeinen nur mit Hilfe der parametrischen Planungsrechnung beantwortet werden. Im vorligenden Fall erkennt man jedoch, daß die Untergrenze des negativen Deckungsbeitrages.250 des Produktes 3 gleich ist. Das bedeutet, daß selbst dann keine Änderung in der Optimallösung eintritt, wenn der Preis des Produktes 3 auf + gesetzt wird. Das Produkt kann somit nicht über die Erhöhung des Verkaufspreises von Produkt 3 aus dem optimalen Produktionsprogramm verdrängt werden (Fall 2.2 Untergrenze). Aufgabe 4.3: Sensitivitätsanalyse Max x x 2 x 3 RS Max x 3 y 3 y RS z z 2/3 /3 4/3 90 y y 2 5/3-5/3 /3 5 y x /3 2/3 -/3 8 y x 2 4/3 -/3 2/3 8 Tab. 3.: Ausgangslösung Tab. 3.2: Optimallösung

3 Optimaltableau und Quotienten Max x3 y3 y RS Quotienten aus Rechter Seite und Spalte von: z x3 y3 y y x x Quotienten aus y Zielfunktion x und Zeile von: x2 2 2 Protokoll zur Sensibilitätsanalyse Ausgangslösung Optimallösung Sensibilitätsanalyse Var Rechte Seite Rechte Seite Rechte Seite Untergrenze Obergrenze Untergrenze Obergrenze y (y2) 08 (x) - - y (x) 57 (y2) - - x (y2) 4 3 (y2) x (y),5 (y3) x (y3) 5 2 (x3) y (y3) 5 (y3) 2 5 (x3) Aufgabe 4.4: LP-Interpretation (a) Die Variable x ist sowohl im Ausgangs- als auch im Optimaltableau Nichtbasisvariable. Damit das Produkt hergestellt würde (x Basisvariable), müsste sein Deckungsbeitrag von 6,- /ME um mindestens 7,- /ME erhöht werden. Würde man unter den gegebenen Umständen das Produkt fertigen, so würde sich der gesamte Deckungsbeitrag um 7,- /ME verringern. In diesem Fall würden von Produkt 3 ME mehr, vom Produkt ME weniger gefertigt, die Restkapazität der Abteilung B würde um 3 2 Stunden abnehmen. Würde in der Abteilung C die Restkapazität um Stunde erhöht (der Abteilung C steht somit eine Stunde weniger zur Verfügung), so würde sich der gesamte Deckungsbeitrag um 4,- verringern, da 2 ME des Produkts 3 mehr, ME des Produkts 2 weniger gefertigt würde. Ähnliche Überlegungen gelten für die Abteilung A.

4 40 (b) Die Kapazität der Abteilung A könnte um = 280 Stunden erhöht werden, ehe 2 sich eine qualitative Änderung der Optimallösung ergibt. Bei einer weiteren Erhöhung würde das Produkt 2 nicht mehr gefertigt. Andererseits könnte die Kapazität der Abteilung A um 0 = 20 Stunden gesenkt werden, ehe das Produkt 3 nicht mehr produziert würde. 2 0 Für die Abteilung C kann die Kapazität um = 20 Stunden erhöht (Produkt 3 2 wird nicht mehr gefertigt) bzw. um 40 = 40 Stunden gesenkt werden (Produkt 2 wird nicht mehr gefertigt). (c) Würde beispielsweise die Kapazität der Abteilung A um mehr als 280 Stunden auf über 600 Stunden erhöht, so würde die Kapazität der Abteilung C den einzigen Engpass darstellen. Da in dieser Abteilung für die Herstellung der Produkte 2 und 3 jeweils 2 Stunden/ME benötigt werden, wird ausschließlich das Produkt 3 gefertigt, da es den höchsten Deckungsbeitrag einbringt. (d) xb ist sowohl im Ausgangs- als auch im Optimaltableau Basisvariable. Von den insgesamt zur Verfügung stehenden 420 Stunden werden 260 nicht benötigt, die Kapazität könnte somit bis auf 60 Stunden gesenkt werden. Unter den vorliegenden Umständen ist die Kapazitätsrestriktion der Abteilung B überflüssig und könnte deshalb entfallen. (e) Die Deckungsbeiträge stehen im Ausgangstableau mit umgekehrten Vorzeichen. Eine Senkung des Dec??kungsbeitrages ist somit gleichbedeutend mit einer Erhöhung des dort eingetragenen negativen Wertes. Letztlich werden also die formalen Obergrenzen der Zielfunktionskoeffizienten 0 und 2 gesucht. Entsprechend den Rechenregeln des Falls 2.2 (Obergrenze) kann der Deckungsbeitrag des Produkts 2 um 2,80 auf 7,20 /ME gesenkt werden (bei einer weiteren Verringerung würde Produkt statt 2 hergestellt), der Deckungsbeitrag des Produkts 3 kann um 2,- auf 0,- /ME reduziert werden (bei einer weiteren Senkung würde dann nur noch das Produkt 2 hergestellt). (f) Es ist nach der Unter- und Obergrenze des Zielfunktionskoeffizienten des Schlupfes (xb) der Kapazität der Abteilung 3 gefragt. Bei der Anwendung der entsprechenden Rechenregeln erhält man die Intervallgrenzen 2 c(xb) 4 3. Ökonomisch ließen sich die negativen Grenzdeckungsbeiträge von 2 /Stunde als Erlös für den Verkauf von Kapazität an andere Betriebe interpretieren. Entsprechend ließe sich der Grenzdeckungsbeitrag von 4 3 als Kosten für jede nicht genutzte Einheit der Anlage B verstehen.

5 Aufgabe 4.5: Sensitivitätsanalyse - RS und ZF Max ya yc x3 RS ya yc z b i */a ij * x yb (o) (u) x (u) 2 yd (o) x 60 (u) 0 (o) 60 yb 0 (u) 0 3 (o) 60 x (u) 5 (o) yd (o) 5 (u) 30 Tab. 5.: Sensitivitätsanalyse (Rechnung) (a) SA der Rechten Seite x p b i δ u Var. RS b i δ o x q x2 8 ya 0 yb yb 6 yb 9 - yb 7 yc yd yd 6 yd 7 - Tab. 5.2: Sensitivitäsanalyse der RS (b) SA der Zielfunktion x v d j + δ u Var. d j d j +δ o x w ya -40 x yc yc -7 x x 3 x3-80 x ya -0 yb yc yc -5 yd 0 - Tab. 5.3: Sensitivitäsanalyse der ZF