2 Grundlagen linearer Optimierung 2.1 Beispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung

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1 Grundlagen linearer Optimierung. eispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung Das Unternehmen Optima stellt die Produkte und her, die hervorragenden bsatz finden. Die aktuelle Nachfrage ist so hoch, dass die derzeitige Produktionskapazität nicht ausreicht den edarf zu decken. Daher ist kurzfristig zu entscheiden, wie viel von welchem Produkt im nächsten Monat produziert werden soll. Dazu sind zunächst einige Informationen zu sammeln. Der Erlös für Produkt beträgt 8 Geldeinheiten (GE) pro Mengeneinheit (ME), der für Produkt beträgt 9 GE je ME. Damit wird je ME von Produkt ein höherer Erlös erzielt als je ME von Produkt. Jedoch lässt sich den Daten des Rechnungswesens entnehmen, dass die variablen Kosten für die Produktion von Produkt mit 5 GE/ME niedriger sind als die für Produkt mit 7 GE/ME. Im Unterschied etwa zu Ein- und uszahlungen werden Erlöse und Kosten bewertet, sachziel- und periodenbezogen abgegrenzt ermittelt (z.. Kistner u. Steven, Plinke u. Rese 6, Schweitzer u. Küpper ). Variable Kosten ändern sich bei Variation einer Kosteneinflussgröße, fixe Kosten dagegen nicht. Hier werden die beschäftigungsvariablen Kosten betrachtet, die mit zunehmender Produktionsmenge steigen, beispielsweise Materialkosten. Unter kurzfristigen Wirtschaftlichkeitsgesichtspunkten sollten diejenigen Produkte produziert werden, welche einen positiven Deckungsbeitrag aufweisen. Dieser errechnet sich aus dem Erlös abzüglich der variablen Kosten. Fixe Kosten sind kurzfristig nicht zu beeinflussen, daher hier nicht entscheidungsrelevant und somit nicht zu berücksichtigen. Für Produkt ergibt sich der Deckungsbeitrag mit 8 5=, für Produkt mit 9 7 =. Damit ist kurzfristig die Produktion beider Produkte wirtschaftlich und es sollte so viel wie absetzbar von beiden Produkten produziert werden, falls ausreichende Produktionskapazitäten verfügbar sind. Da Produkt einen höheren Deckungsbeitrag aufweist, ist zu vermuten, dass in einer Knappheitssituation nur Produkt produziert wird. ei Optima hat sich nun gezeigt, dass die Produktionskapazität nicht ausreicht, den edarf zu erfüllen. Daher erfolgt eine eingehende etrachtung der Produktion. Es handelt sich um einen dreistufigen Produktionsprozess, der von beiden Produkten und durchlaufen wird. Die jeweiligen earbeitungsdauern für die verschiedenen Produkte auf den nlagen in Zeiteinheiten (ZE) je ME, also die Produktionskoeffizienten, und die Verfügbarkeit der nlagen der Produktionsstufen bis sind Tabelle. zu entnehmen.. Werners, Grundlagen des Operations Research, DOI.7/ _, Springer-Verlag erlin Heidelberg

2 Grundlagen linearer Optimierung Tabelle.. Produktionskoeffizienten Optima Produktionsstufen Produkt Produkt nlagenverfügbarkeit ZE ZE ZE ufgrund der knappen nlagenkapazitäten sollten nicht nur die Deckungsbeiträge der beiden Produkte berücksichtigt werden, sondern die Deckungsbeiträge relativiert werden um die Inanspruchnahme der knappen Kapazität. Eine nalyse der ersten Produktionsstufe zeigt, dass die nlagenverfügbarkeit ZE beträgt, die Inanspruchnahme der Kapazität durch Produkt ZE/ME, durch Produkt ZE/ME. Der Deckungsbeitrag pro Einheit Kapazitätsbedarf auf Produktionsstufe ergibt sich für Produkt : [GE/ME] : [ZE/ME] =,5 [GE/ZE] Produkt : [GE/ME] : [ZE/ME] = [GE/ZE]. und für Wird ausschließlich Produktionsstufe berücksichtigt, lautet das günstigste Produktionsprogramm: Es sollte nichts von Produkt und so viel wie möglich, also ME, von Produkt produziert werden. Der Gesamtdeckungsbeitrag beträgt damit [ME] [GE/ME] = GE. Der relative Deckungsbeitrag pro Einheit Kapazitätsbedarf der zweiten Produktionsstufe ist für Produkt : [GE/ME] : [ZE/ME] = [GE/ZE] und für Produkt : [GE/ME] : [ZE/ME] = [GE/ZE]. ei der Kapazität der nlage der zweiten Stufe von ZE ist der günstigste Vorschlag unter ausschließlicher erücksichtigung dieser Stufe, ME von Produkt und nichts von Produkt zu produzieren mit einem Gesamtdeckungsbeitrag von 69 GE. Die etrachtung der dritten Produktionsstufe zeigt, der Deckungsbeitrag je in nspruch genommene ZE der nlage beträgt für Produkt : [GE/ME] : [ZE/ME] =,75 [GE/ZE] Produkt : [GE/ME] : [ZE/ME] = [GE/ZE]. und für

3 eispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung 5 Hier sollte nichts von Produkt und ME von Produkt produziert werden, um mit 8 GE den für diese Stufe günstigsten Gesamtdeckungsbeitrag zu erzielen. ei genauer etrachtung zeigt sich, dass die Vorschläge für jeweils eine Produktionsstufe auf den anderen überwiegend nicht durchgeführt werden können, da sie dort unzulässig viel Zeit in nspruch nehmen. Etwa die ME von Produkt aus Stufe beanspruchen auf Stufe 9 ZE, jedoch steht die nlage nur ZE zur Verfügung. Die ME von Produkt auf Stufe benötigen auf Stufe ZE, verfügbar sind nur ZE. Um das optimale Produktionsprogramm zu ermitteln, müssen alle Produktionsstufen gleichzeitig betrachtet werden. Der technische Leiter von Optima ist ohnehin der nsicht, dass ohne Kapazitätserweiterung die bisherige Produktion nicht erhöht werden kann, da mit dem derzeitigen Produktionsprogramm von 9 ME des Produktes und ME des Produktes die nlagenkapazitäten von zwei Produktionsstufen bereits zu % ausgeschöpft sind. Dies zeigt auch die folgende Darstellung der bisherigen nlagenbelegung und Kapazitätsauslastung. Damit stellt aus seiner Sicht dieses Produktionsprogramm, mit dem ein Gesamtdeckungsbeitrag von 5 GE erzielt wird, eine optimale usnutzung der vorhandenen Produktionskapazität dar. Stufe Stufe Stufe bb... Derzeitige nlagenbelegung Optima Der Leiter des Controllings empfiehlt, zunächst eine simultane erücksichtigung aller drei Produktionsstufen mit allen möglichen Produktionsprogrammalternativen durchzuführen und daraus das optimale Produktionsprogramm auszuwählen. Produktionsprogrammalternativen sind alle Kombinationen von Mengen der Produkte und, die mit den verfügbaren nlagekapazitäten produziert werden können. ewertet werden die lternativen mit dem erzielbaren Gesamtdeckungsbeitrag, der möglichst hoch sein sollte. ufgrund der unendlich vielen möglichen lternativen erfolgt ihre Erfassung implizit mittels einer Variablen, deren usprägungen durch Restriktionen beschränkt werden. Ihre ewertung erfolgt durch die Zielfunktion, sodass das folgende Modell die Situation bei Optima mit den kurzfristigen Produktionsprogrammmöglichkeiten erfasst. Einschließlich der Dimension der Koeffizienten lautet die Zielfunktion: max z [GE] = [GE/ME] x [ME] + [GE/ME] x [ME]

4 6 Grundlagen linearer Optimierung uch für die Restriktionen sind die Dimensionen stimmig, z.. gilt für die erste Restriktion: [ZE/ME] x [ME] + [ZE/ME] x [ME] [ZE] Insgesamt sind im folgenden linearen Optimierungsmodell alle nforderungen an das optimale Produktionsprogramm erfasst. Lineares Optimierungsmodell Optima Zunächst werden die Variablen definiert, über deren usprägungen zu entscheiden ist. x : zu produzierende ME von Produkt x : zu produzierende ME von Produkt Die Zielfunktion lautet: Maximiere den Gesamtdeckungsbeitrag max z = x + x Folgende Restriktionen sind zu beachten: Einhaltung der Kapazitätsgrenzen auf allen Produktionsstufen s.d. x + x Produktionsstufe x + x Produktionsstufe x + x Produktionsstufe Eine negative Produktion ist nicht möglich x,x Nichtnegativitätsbedingung Dieses Modell ist in bb.. veranschaulicht. Zulässige Lösung: Jedes Produktionsprogramm, welches mit den vorhandenen Kapazitäten produziert werden kann, ist eine zulässige Lösung. Die Gesamtmenge aller zulässigen Lösungen ist in bb.. schraffiert dargestellt. Optimale Lösung: Dasjenige von allen zulässigen Produktionsprogrammen mit dem höchsten Gesamtdeckungsbeitrag ist die optimale Lösung. Werden Isozielfunktionslinien wie hier mittels unterbrochener Linien dargestellt, geht in diesem eispiel diejenige mit dem höchsten Gesamtdeckungsbeitrag gerade durch die äußerste Ecke rechts oben, die hier mit 7 ME von Produkt und 8 ME von Produkt dem optimalen Produktionsprogramm mit maximalem Gesamtde-

5 eispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung 7 ckungsbeitrag von 7 GE entspricht. Die Produktionsstufen und bilden die Engpässe, in der dritten Produktionsstufe besteht noch freie Kapazität von ZE. uch ohne Erweiterung der Produktionskapazität ist damit eine Erhöhung des Gesamtdeckungsbeitrags gegenüber der bisherigen Produktion möglich. x R R 8 6 R z = x bb... Zulässigkeitsbereich Optima Für dieses nwendungsbeispiel wird im Folgenden schrittweise die Lösung unter Einsatz des Simplexalgorithmus ermittelt, bevor im anschließenden bschnitt der Simplexalgorithmus theoretisch dargestellt wird. ufgrund der mathematischen Struktur kann eine vorhandene optimale Lösung gefunden werden, wenn man sich auf die Ecken des Zulässigkeitsbereichs beschränkt. Der Simplexalgorithmus startet in einer Ecke und geht so lange wie möglich zu benachbarten Ecken mit höherem Zielfunktionswert über. Kann keine Verbesserung mehr erreicht werden, ist eine optimale Lösung ermittelt. ufstellung eines äquivalenten Gleichungssystems Zunächst wird zu dem Restriktionensystem mit -Restriktionen ein äquivalentes Gleichungssystem formuliert, indem die nicht ausgeschöpften Kapazitäten der drei Produktionsstufen jeweils durch eine weitere Variable erfasst werden. Die Variablen x und x des Modells, deren usprägungen gesucht werden, werden als Strukturvariable bezeichnet. Schlupfvariable heißen hingegen diejenigen Variablen, die die nicht ausgeschöpften Kapazitäten der Produktionsstufen aufnehmen.

6 8 Grundlagen linearer Optimierung Produktionsstufe: x + x + s = Das Produktionsprogramm x = 7 und x = 8 beansprucht die Kapazität der dritten Produktionsstufe im Umfang von 6 ZE, damit sind ZE nicht ausgeschöpft und für die Lösung gilt s =. Derartige Schlupfvariable werden für jede Restriktion hinzugefügt. Da die Kapazität zwar unter-, jedoch nicht überschritten werden darf, müssen diese Variablen größer oder gleich null sein, also ebenfalls die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen. Da die nicht ausgeschöpften Kapazitäten den Gesamtdeckungsbeitrag nicht beeinflussen, wird in der Zielfunktion der zugehörige Koeffizient gleich null gesetzt. uf diese Weise erhält man die folgende, zu der vorherigen Darstellung äquivalente Formulierung. Äquivalentes lineares Optimierungsmodell max z = x + x + s + s + s s.d. x + x + s x + x + s x + x + s = = = x, x, s, s, s Statt dieser ausführlichen Darstellung kann auch die folgende Matrixdarstellung gewählt werden. x x max ( ) s s s x x sd.. s = s s x, x, s, s, s Damit sind die zulässigen Produktionsprogramme x, x genau den Lösungen des Gleichungssystems zu entnehmen, die zusätzlich die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen.

7 eispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung 9 Gesucht wird nun die optimale Lösung dieses linearen Gleichungssystems, d. h. diejenige zulässige Lösung, die von allen zulässigen den maximalen Zielfunktionswert aufweist. Dies geschieht unter nwendung des Simplexalgorithmus. Simplexalgorithmus ufgrund der mathematischen Struktur eines derartigen linearen Optimierungsmodells ist bekannt: Wenn eine optimale Lösung existiert, ist mindestens eine Ecke des Zulässigkeitsbereichs optimal. Gibt es mehrere optimale Lösungen, ist mindestens eine davon eine Ecke. Folglich reicht es aus, nur die Ecken des Zulässigkeitsbereichs zu untersuchen, um eine optimale Lösung zu finden. Die Ecken in der Grafik entsprechen gerade den asislösungen des linearen Gleichungssystems, also werden nur asislösungen untersucht. asislösungen sind einer asis zugeordnet und haben die Eigenschaft, dass die Werte der so genannten Nichtbasisvariablen gleich null gesetzt und die zu einer asis gehörenden Variablen dann aus dem Gleichungssystem ermittelt werden. Das Gleichungssystem wird gegebenenfalls jeweils so transformiert, dass die Lösung für die asisvariablen direkt ablesbar ist, wenn Nichtbasisvariable den Wert null annehmen. eispielsweise entsprechen dem Punkt (, ) die asisvariablen x =, s = und s =, die Nichtbasisvariablen sind x = s =. Eine detaillierte Darstellung folgt in Kapitel.. ls usgangsbasis wird die Einheitsmatrix mit den zugehörigen asisvariablen s, s und s gewählt. Die Nichtbasisvariablen x und x werden gleich null gesetzt. Dann gilt etwa, dass für die erste Gleichung x + x + s = s = unmittelbar ablesbar ist. Zur Strukturierung der Vorgehensweise wird eine Tableaudarstellung benutzt. Dort wird die Information bezüglich jeweils einer asis aktualisiert dargestellt. aktuelle asisvariablen mit Zielfunktionskoeffizienten Zielfunktionskoeffizienten Variablen aktuelle Koeffizientenmatrix aktuelle Kriteriumswerte RS aktuelle rechte Seite aktueller Zielfunktionswert ls usgangsbasis wird die Einheitsmatrix I gewählt, deren Inverse wieder I ist. In der ersten Spalte sind die aktuellen asisvariablen mit ihren Zielfunktionskoeffizienten genannt. Werden die Nichtbasisvariablen null gesetzt, sind die

8 Grundlagen linearer Optimierung Werte der asisvariablen in der rechten Spalte ( ) Δ z -Zeile beziehen sich auf die Zielfunktion. Mit ( ) RS ablesbar. Die Werte der multipliziert geben sie die Erhöhung des Zielfunktionswertes an, wenn die zugehörige Variable um eine Einheit erhöht wird. Der rechte Wert in der Δ z -Zeile entspricht dem aktuellen Zielfunktionswert. Dem folgenden Tableau ist ein erstes zulässiges Produktionsprogramm entnehmbar. Die Strukturvariablen sind nicht in asis, haben folglich den Wert null. So wird nichts produziert, die freien Kapazitäten der drei Produktionsstufen sind mit s =, s = und s = ablesbar. Der mit diesem zulässigen Produktionsprogramm erzielbare Deckungsbeitrag ist null. Simplextableau x x s s s RS s s s Δ z - - Nach Multiplikation mit ( ) ist in der Δ z -Zeile ablesbar, welche Verbesserungen des Deckungsbeitrags möglich sind. Wird ausgehend von der vorliegenden Lösung eine zusätzliche Einheit von Produkt produziert, erhöht sich der Deckungsbeitrag um Einheiten, wird eine zusätzliche Einheit von Produkt produziert, steigt der Deckungsbeitrag um Einheiten. Da die Erhöhung des Deckungsbeitrags bei zusätzlicher Produktion von Produkt größer als bei ist, sollte die Produktion von Produkt möglichst weit erhöht werden. Daher wird x neu in die asis aufgenommen, um einen Wert größer als null anzunehmen. ufnahmekriterium Von allen bisherigen Nichtbasisvariablen, die zu einer Erhöhung der Zielfunktion führen, erkennbar am negativen Wert in der Δ z -Zeile, wird jeweils diejenige mit niedrigstem Wert zur ufnahme in die asis ausgewählt. Die zugehörige Spalte im Tableau wird Pivotspalte genannt. Von Produkt wird nun möglichst viel produziert, jedoch sind die Produktionskapazitäten zu berücksichtigen. Wie der Pivotspalte zu entnehmen ist, beansprucht eine Einheit Produkt in der ersten Produktionsstufe ZE. Hier können folglich maximal : = Einheiten produziert werden, dann ist diese Kapazität ausgeschöpft. In der zweiten Produktionsstufe können höchstens : = und in der dritten Produktionsstufe höchstens : = Einheiten von Produkt produziert werden. lso kann x nun höchstens den Wert min {,, } =

9 eispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung annehmen. Dann ist die freie Kapazität der dritten Produktionsstufe auf null gesunken, d. h. s =. Damit wird s aus der asis entfernt und ist im nächsten Tableau Nichtbasisvariable mit Wert null. x wird im nächsten Schritt den Wert annehmen. x x s s s RS Θ s s s min Δ z - - min Eliminationskriterium Diejenige Variable ist aus der asis zu eliminieren, die bei Erhöhung der aufzunehmenden Variablen als erstes auf den Wert null absinkt, also den kleinsten Θ - Wert besitzt. Die zugehörige Zeile im Tableau wird als Pivotzeile bezeichnet. Das Element im Schnittpunkt von Pivotzeile und Pivotspalte ist das Pivotelement. Um die asistransformation durchzuführen, werden erlaubte Transformationen, d. h. dditionen von je zwei Zeilen oder Multiplikationen mit einer reellen Zahl ungleich null, angewandt, sodass die Pivotspalte entsprechende Einheitsspalte mit an der Stelle des Pivotelements wird, die neue asislösung ist wieder der rechten Seite zu entnehmen. Simplextableau x x s s s RS Θ s / - / s 7 / - / 5 / 7 x / / Δ z - 5 / / Das nun vorgeschlagene Produktionsprogramm lautet Einheiten von Produkt und keine Einheit von Produkt. Die dritte Produktionsstufe ist jetzt

10 Grundlagen linearer Optimierung Engpass und es bestehen freie Kapazitäten in der ersten Produktionsstufe in Höhe von und in der zweiten Produktionsstufe in Höhe von, jeweils erkennbar an den Werten der Schlupfvariablen s, s und s. Eine weitere Verbesserung des Zielfunktionswertes ist durch zusätzliche Produktion von Produkt möglich, jedoch muss dazu die Produktion von Produkt reduziert werden, da die Kapazität der dritten Produktionsstufe ausgeschöpft ist. Wenn eine zusätzliche Einheit von Produkt produziert wird, müssen Einheiten von Produkt weniger produziert werden, wie der Pivotspalte zu entnehmen ist. Die Konsequenz auf den Gesamtdeckungsbeitrag beträgt also 5 =, wie auch der Δ z -Zeile zu entnehmen ist. Durch erechnung der Θ -Werte mit : =, : 7 5 = 7 und : = wird das Minimum bei s festgestellt. Daher ist s aus der asis zu eliminieren. Die entsprechenden Tableautransformationen führen zu folgendem Tableau. Simplextableau x x s s s RS Θ x - - s - 7 / / 6 x - / / 9 8 Δ z 5 / - / 5 Das hier vorgeschlagene Produktionsprogramm lautet x = 9 und x = und erzielt einen Gesamtdeckungsbeitrag von 5 GE. Diese Lösung stimmt mit dem gegenwärtigen Produktionsprogramm überein. uch die hiermit auftretenden Kapazitätsauslastungen in den Produktionsstufen und sind durch die Schlupfvariablen s = s = erkennbar. In der Δ z-zeile steht unter s der Wert und zeigt die Möglichkeit einer weiteren Verbesserung des Zielfunktionswertes an. Wird s um Einheit erhöht, muss x ebenfalls um Einheit von auf 5 erhöht, s um Einheiten von 6 auf,5 reduziert und x um Einheit auf 8,5 reduziert werden, damit das Gleichungssystem erfüllt bleibt. Die Konsequenz auf den Gesamtdeckungsbeitrag dieser Erhöhung der Schlupfvariablen s, die keinen direkten Einfluss auf die Zielfunktion hat, ist (Änderung von x ) + (Änderung von x ), bei Einheit folglich ( ) + =, also positiv und genau (-)-mal dem entsprechenden Δ z-wert von s. Daher wird s mit möglichst hohem Wert in die asis aufgenommen. Eine beliebige Erhöhung von s erhöht x entsprechend. x wird folglich nicht negativ und es ist kein Θ -Wert zu bestimmen. Für die übrigen asisvariablen werden die Θ -Werte ermittelt zu 6: = und 9: = 8. us der asis zu eliminieren ist folglich s und die Transformation führt zu folgendem Tableau.

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