Optimierung I, SS 2008

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Optimierung I, SS 2008"

Klemens Hofmeister
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Aufgabe. ca. 4 Punkte Technische Universität München Zentrum Mathematik Prof. Dr. P. Gritzmann, Dipl.-Math. M. Ritter, Dipl.-Inf. Dipl.-Math. S. Borgwardt Optimierung I, SS 2008 Übungsblatt Um gegen die letzte Preiserhöhung der Mensa zu protestieren, beschließen die Mitarbeiter der hiesigen Chemie-Fakultät, ihren eigenen breiartigen Nahrungsersatz herzustellen und den Studenten als Konkurrenzprodukt anzubieten. Zum Mischen des Nahrungsersatzes stehen den Chemikern einige Grundbreiarten zur Verfügung. Logischerweise, so wird geschlossen, ergeben sich die Eigenschaften des resultierenden Breis aus denen seiner prozentual gewichteten Bestandteile. Zur Auswahl stehen: Breisorte Qualität Kosten pro Mahlzeit grüner Kaktus 4.5 Wüstenrose 9 Sonnenaufgang Atomei 0. Gemessen auf der von den Chemikern benutzten Skala (von bis 0) besitzen die Gerichte der Mensa eine Qualität von 5. Sie wissen, dass die Herstellung einer Mensa-Mahlzeit 2 Euro kostet. Die Chemiker wollen ihren Nahrungsersatz möglichst billig produzieren, dabei aber eine mindestens so hohe Qualität wie die Mensa erreichen. a) Formulieren Sie das Problem als lineares Optimierungsproblem. b) Erraten Sie eine optimale Mischung des Nahrungsersatzes. Erklären Sie informell, warum Ihre erratene Mischung optimal ist. Lösung zu Aufgabe. a) Sei x = (x,..., x 4 ) T der Vektor der prozentualen Anteile der Breisorten (in der Reihenfolge der Tabelle) in der Mischung. Dann sieht das lineare Optimierungsproblem wie

2 folgt aus: min.5x + x 2 + x + 0.x 4 4x + 9x 2 + x + x 4 5 x + x 2 + x + x 4 = x, x 2, x, x 4 0 b) Eine optimale Mischung ergibt sich aus 50% Wüstenrose und 50% Atomei. Damit liegen die Kosten für eine Mahlzeit bei, 55 Euro. Wüstenrose ist der einzige Brei, der eine Qualität > 5 hat und muss dementsprechend in der Mischung sein. Um den Preis zu minimieren, wird Atomei der Mi- schung hinzugefügt, und zwar kann man maximal so viel Atomei hineinmischen, wie man Wüstenrose hat, ohne unter eine Qualität von 5 zu rutschen. Ein Mischen von Wüstenrose mit grüner Kaktus erlaubt zwar, auf 4 Einheiten grüner Kaktus nur eine Einheit Wüstenrose zu benutzen, ergibt aber so Kosten von.8 Euro pro Mahlzeit. Beim Mischen von Wüstenrose mit Sonnenaufgang landet man bei einem optimalen Verhältnis von : 2 bei ca., 67 Euro pro Mahlzeit. Aufgabe.2 ca. 6 Punkte Für die Produktion der Produkte P und P 2 benötigt ein Unternehmen eine Maschine, die in jedem Monat 50 Stunden zur Verfügung steht. Eine Einheit von P kann in einer Stunde auf der Maschine gefertigt werden, für eine Einheit von P 2 werden hingegen Stunden benötigt. Die Produktionskosten liegen bei 4 Euro für P und 44 Euro für P 2. Auf dem Absatzmarkt lassen sich dafür Stückpreise von 8 Euro bzw. 49 Euro erzielen, wobei von P maximal 00 und von P 2 maximal 40 Stück abgesetzt werden können. P und P 2 können nur in ganzen Einheiten hergestellt werden. a) Welche Kombinationen von P und P 2 lassen sich produzieren? Stellen Sie alle zulässigen Kombinationen durch ein Ungleichungssystem dar und skizzieren Sie den zulässigen Bereich. b) Geben Sie Zielfunktionen für eine Gewinn- bzw. Umsatzmaximierung an. Bestimmen Sie (mit Begründung) die jeweiligen Optima. Lösung zu Aufgabe.2 a) Sei p bzw. p 2 die Anzahl der produzierten Einheiten von P bzw. P 2. Dann sieht der 2

3 zulässige Bereich von p und p 2 wie folgt aus: p + p 2 50 p, p 2 N 0 p 00 p 2 40 Die ersten beiden Zeilen allein beschreiben die Kombinationen, die die Maschine produzieren kann. Optional kann man die letzten beiden Ungleichungen hinzunehmen, um Produktionskombinationen, die nicht vollständig absetzbar sind, nicht zu erlauben. Zur Skizze: Auf der x-achse tragen wir p an, auf der y-achse p 2. Die Ungleichung p +p 2 50 bildet eine Gerade. Von den Punkten unterhalb der Geraden sind nur die zulässig, deren Koordinaten jeweils N 0 sind. Optional begrenzen auch die letzten beiden Ungleichungen durch eine vertikale bzw. horizontale Gerade den Zulässigkeitsbereich. b) Die einzige direkte Korrelation zwischen p und p 2 besteht in der gemeinsamen Belegung der Maschine. Eine Einheit P bringt 8 4 = 4 Euro Gewinn und benötigt eine Stunde Maschinenzeit, im Vergleich zu = 5 Euro Gewinn für Stunden Arbeit bei P 2. Pro Stunde Maschinenzeit bringt P also 4 Euro, P 2 dagegen nur 5 / Euro. Im kontinuierlichen Fall produzieren wir daher die maximale Anzahl von 00 Stück P, und können dann noch p 2 = 50 / wählen; der Gesamtgewinn beträgt / 5 = 48 / Euro. Da aber nur ganze Einheiten produziert werden können, ist obige Lösung nicht möglich. Wenn wir weiterhin 00 Stück P produzieren, könnten noch 6 Stück P 2 hergestellt werden, allerdings ist die Maschine dann 2 Stunden lang nicht ausgelastet; der Gewinn beträgt 480 Euro. Wählen wir dagegen p = 99, so können wir p 2 = 7 setzen, und erreichen so den maximalen Gewinn von = 48 Euro. Wenn wir den Umsatz maximieren wollen, müssen wir nur die Verkaufspreise betrachten. Dabei ist festzustellen, dass eine Produktion von P 2 mehr Umsatz pro Stunde liefert als eine Produktion von P. Wir produzieren also maximal viele Einheiten von P 2, nämlich p 2 = 40 und können dann noch p = 0 setzen. Der Gesamtumsatz ist damit = = 2200 Euro. Aufgabe. ca. 6 Punkte

4 Gegeben sei folgendes System von Ungleichungen: x + y 4 () x + 2 y 5 2 (2) 2 x + y () x 0 (4) y 2 (5) Sei P die Menge aller (x, y) R 2, die alle Ungleichungen erfüllen. a) Stellen Sie P grafisch dar. Gibt es überhaupt zulässige Punkte? Enthält das Ungleichungssystem redundante Ungleichungen, d.h. kann man Ungleichungen weglassen, ohne den zulässigen Bereich des Systems zu verändern? b) Wir suchen nun einen Punkt (x, y ) P, für den die Zielfunktion x + y ein Maximum annimmt. Bestimmen Sie grafisch eine mögliche Optimallösung. c) Bestimmen Sie analytisch die exakten Koordinaten des in b) gefundenen Punktes. Zeigen Sie die Optimalität Ihrer Lösung, indem Sie eine geeignete obere Schranke für die Zielfunktion aus dem Ungleichungssystem herleiten. Lösung zu Aufgabe. a) Grafik: P ist nichtleer, () ist redundant. x+y <= 4 0.5x+y <= x+y = c x >= 0 y >= 0.5 x+0.5y <= 2.5 4

5 b) Grafik: Hyperebene x + y = c verschieben, bis man den Zulässigkeitsbereich nur noch in einem Punkt berührt. c) Ungleichungen (2) und () schneiden sich im Optimalpunkt, daher gilt: x + 2 y = 5 2 x = y 2 (5 2 2 y) + y = 4 y = 7 4 y = 7 2 x + 7 = x = 4 Die Optimalität des Punktes ( 4 /, 7 /) erhält man durch duales Aufaddieren der Nebenbedingungen: x + 2 y x + y 2 x + 2 y 2 x + y 5

Ähnliche Dokumente

Übungsbeispiel 1: Quadratische Modellierung

Übungsbeispiel 1: Quadratische Modellierung Ein Uhrenhersteller möchte den Preis für sein neues Modell festlegen und führt dazu eine Marktanalyse durch. Das Ergebnis lautet: Bei einem Preis von 60 ist