Optimierung I Sommersemester 2017

Transkript

1 Optimierung I Sommersemester 2017 Dr. Dominique Andres Übungsblatt 6 (Abgabe: 16. Mai 2017) Hausaufgabe 30. Welche der folgenden linearen Programme sind unzulässig, unbeschränkt bzw. haben eine Optimallösung? Begründen Sie Ihre Antwort. unter x 1 + x 2 2 (1) unter x 1 + x 2 2 x 2 1 x 1 0 (4) unter x 1 + x 2 2 x 1 0 (2) min x 1 unter x 1 + x 2 2 (5) unter x 1 + x 2 2 [ = 12 Punkte] (3) min x 1 unter x 1 + x 2 2 x 2 1 (6) Hausaufgabe 31 (Investitionsplanung). Frau Meier möchte bis zu 7500e in Aktien anlegen, so dass die erwartete esamtdividende möglichst hoch ist. Sie kann Aktien von Firma A kaufen, bei denen die erwartete Dividendenrendite 1 Prozent pro Jahr beträgt, und Aktien von Firma B, bei denen die erwartete Dividendenrendite 4 Prozent pro Jahr beträgt. Sie möchte weder in A noch in B mehr als 6000e investieren. Da die Aktie B als Zockeraktie verschrien ist und manchmal plötzliche starke ursrückschläge aufweist und Frau Meier eher sicherheitsbewusst investiert, möchte sie höchstens 2 3 mal soviel in B investieren wie in A. Wieviel sollte Frau Meier in A bzw. in B investieren? Wieviel wirft Ihr Investment (im Erwartungswert) pro Jahr ab? (a) Modellieren Sie das Problem als lineares Programm. (b) Lösen Sie dieses Optimierungsproblem graphisch. [4 + 4 = 8 Punkte] Hausaufgabe 32 (Mischungsproblem). Ein Pharmaziehersteller möchte ein neues Medikament auf den Markt bringen. Das Medikament kann aus vier verschiedenen omponenten (1,2,3,4) zusammengestellt werden. Die omponenten unterscheiden sich im Wirkstoffgehalt, wobei drei Wirkstoffe (W1,W2,W3) 1

2 von Interesse sind. Der Wirkstoffgehalt des Endproduktes muss gemäß gesetzlicher ichtlinien innerhalb gegebener renzwerte liegen, die Sie der folgenden Tabelle entnehmen können (alle Angaben, abgesehen vom Preis, sind in mg/g): Wirkstoffgehalt unterer renzwert oberer renzwert W W W Preis (in e/g) Die zu produzierende Menge des Medikaments beträgt eine Tonne. (a) Modellieren Sie das Problem, eine möglichst kostengünstige Mischung herzustellen, als lineares Programm. (b) Lösen Sie das Problem mit einer Software Ihrer Wahl. [6 + 4 = 10 Punkte] Hausaufgabe 33. egeben sei das lineare Programm max x 1 + x 2 3x 3 unter 3x 1 + 3x 2 + x 3 8 x 1 + x 3 3 2x 1 x 2 + x 3 = 10 x 1 + x 2 6 x 1 0 (P) (a) Transformieren Sie das lineare Programm (P) in ein äquivalentes Programm (N) in Normalform. (b) eben Sie eine Formel dafür an, wie man aus einer gegebenen Optimallösung für (N) eine Optimallösung für (P) gewinnt. (c) eben Sie eine Formel dafür an, wie man aus einer gegebenen Optimallösung für (P) eine Optimallösung für (N) gewinnt. [ = 10 Punkte] Hausaufgabe 34. Sei n N und seien A n n mit ang(a) = n und b, c n. Lösen Sie das Problem [4 Punkte] min c x unter Ax = b x 0. 2

3 Aufgabe 35. eben Sie ein Beispiel eines linearen Programms mit folgenden Eigenschaften an: 1. Der Nullvektor ist zulässig. 2. Es besitzt eine Optimallösung. 3. Der Zulässigkeitsbereich besitzt keine Ecken. Hausaufgabe 36. Betrachten Sie das durch definierte Polyeder P. Bestimmen Sie sämtliche Ecken von P. [6 Punkte] x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 = 2 x 1 x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 1 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Zusatz-Hausaufgabe 37. (Abgabe: 23. Mai 2017) Eine Lackfabrik stellt Spezialfarben für den Schiffbau her. Ihre Produktpalette besteht aus 5 Speziallacken in den Farben schwarz, grau, neongrün, ultramarin und rosa. Die Fabrik möchte auf Lagerbestände verzichten und höchstens so viel produzieren, wie nachgefragt wird. Der folgenden Übersicht können Sie entnehmen, welchen Umsatzerlös (in Euro) aus dem Verkauf von einer Tonne des jeweiligen Endprodukts erzielt wird und wie groß die Nachfrage (in Tonnen) pro Jahr ist. Endprodukt Umsatzerlös (in e/t) Nachfrage (in t/jahr) schwarz grau neongrün ultramarin rosa Zur Herstellung der Lacke benötigt die Firma Farbpigmente in sieben verschiedenen rundfarben. Diese ohstofffarben muss sie komplett bei einem Zulieferer einkaufen, da sie über keinerlei Lagerbestände verfügt. Der Zulieferer kann jedoch die Pigmente nur in begrenzter Menge liefern, da seine eigenen Produktionskapazitäten teilweise noch nicht gemäß der Marktsituation ausgebaut wurden (wegen einer Wirtschaftskrise scheut er derzeit die Investitionen). Es gibt keinen weiteren Zulieferer, bei dem die Firma die Farbpigmente kaufen kann. In der folgenden Tabelle sind die ohstoffkosten der einzelnen Farben (in Euro) angegeben, die die Firma dem Zulieferer für eine Tonne dieser Farbe zahlen muss, sowie die maximal mögliche Liefermenge (in Tonnen) pro Jahr. 3

4 ohstofffarbe osten (in e/t) max. Liefermenge (in t/jahr) weiß violett blau grün gelb orange rot Zur Produktion stehen der Firma 19 verschiedene Mischbatterien M ij zur Verfügung, die jeweils eine bestimmte (Sorte i) der fünf Lacksorten produzieren können (siehe unten). Produkt 1: Lack schwarz weiß violett blau grün gelb orange rot osten apazität M M M M Produkt 2: Lack grau weiß violett blau grün gelb orange rot osten apazität M M M M M Produkt 3: Lack neongrün weiß violett blau grün gelb orange rot osten apazität M M M Produkt 4: Lack ultramarin weiß violett blau grün gelb orange rot osten apazität M M M Produkt 5: Lack rosa weiß violett blau grün gelb orange rot osten apazität M M M M Jede Mischbatterie kann pro Jahr nur eine bestimmte Menge Lack produzieren, diese steht in der letzten Spalte der Tabelle (in Tonnen pro Jahr). Pro Tonne Lack, der von solch einer Batterie produziert wird, entstehen Produktionskosten (in Euro), die der vorletzten Spalte der folgenden Tabelle entnommen werden können. Davor ist in den Zeilen angegeben, wieviel Tonnen der einzelnen Farben von der Mischbatterie zur Produktion von einer Tonne 4

5 des Endprodukts benötigt werden (in Tonnen pro Tonne). (Beachten Sie, dass die Zahlen sich manchmal zu einem Wert größer als 1 aufsummieren, da bei der Produktion Verluste entstehen.) Nehmen Sie an, dass außer ohstoffkosten und Produktionskosten keine weiteren osten entstehen. Vom Manager der Firma werden Sie beauftragt, einen optimalen Produktionsplan zu erstellen, der den ewinn (also Umsatzerlöse minus osten) maximiert. Beim Produktionsplan müssen Sie insbesondere entscheiden, wieviel von welcher Mischbatterie produziert werden soll. (a) Modellieren Sie das Problem als lineares Programm. (b) Lösen Sie dieses Problem mit einer Software Ihrer Wahl. Wie groß ist der ewinn der Firma bei einem optimalen Produktionsplan? [ = 14 Zusatzpunkte] Zusatz-Hausaufgabe 38. (Abgabe: 23. Mai 2017) Ein Tischplattenhersteller stellt aus quadratischen Edelholzbrettern der röße 7 7 m 2 durch Zuschnitt sechs verschiedene Arten von Tischplatten her. Die Modelle sind A Artus önigstafel P Politikertafel F Festtafel undtisch großer Tisch kleiner Tisch Es gibt neun verschiedene Arten ein Edelholzbrett zu zerschneiden. Die Schnittmuster sind unten dargestellt. Muster 1 P Muster 2 Muster 3 5

6 A F F F Muster 4 Muster 5 Muster 6 P Muster 7 P Muster 8 Muster 9 Die Firma verfügt über einen Vorrat an 1800 Edelholzbrettern, der für die Produktion verwendet werden kann. Pro Edelholzbrett, welches nicht in der Produktion verbraucht wird, entstehen Lagerungskosten von 50 Euro. Die Firma möchte von jedem Produkt nur höchstens so viel produzieren, bis die weltweite Nachfrage gedeckt ist. Diese kann der Tabelle unten entnommen werden. Produkt A P F Nachfrage (Stück) Der ewinn aus dem Verkauf einer Tischplatte eines bestimmten Typs ist in der nächsten Tabelle aufgetragen. Produkt A P F ewinn (Euro) Wie oft muss die Firma jedes der Schnittmuster jeweils benutzen, um einen maximalen ewinn zu erzielen? (a) Schreiben Sie das Problem als ganzzahliges lineares Optimierungsproblem der Form max c x unter A 1 x b 1 A 2 x = b 2 x 0 x Z (b) Lösen Sie das Problem approximativ, indem Sie die Bedingung x Z streichen und das so modifizierte Problem mit einer Software Ihrer Wahl lösen und dann die Lösungskoeffizienten auf die nächstkleinere ganze Zahl abrunden. [ = 16 Zusatzpunkte] 6