4 Dynamische Optimierung

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1 4 Dynamische Optimierung 4. Grundlagen der Variationsrechnung 4.. Problemformulierung Im Gegensatz zu den bisher betrachteten statischen Optimierungsproblemen, bei denen die Optimierungsvariablen x in einem finit-dimensionalen Euklidischen Vektorraum R n definiert sind, wird bei dynamischen Optimierungsaufgaben nach dem Minimum Maximum eines Kostenfunktionals J : X R bezüglich einer reellen vektorwertigen Funktion xt aus einem geeigneten Funktionenraum X gesucht. Typischerweise hat das Kostenfunktional die Form Lagrange Problem der Variationsrechnung J x = oder Bolza Problem der Variationsrechnung l t, x t, ẋ t dt 4. J x = ϕ, x, t, x t + l t, x t, ẋ t dt. 4.2 [ T Dabei ist t die unabhängige Variable zumeist die Zeit, xt = x t... x n t], t0 t t wird häufig als Trajektorie bezeichnet und für festes t wird angenommen, dass gilt xt R n. Im Weiteren bezeichnet ẋt R n die totale Ableitung von xt bezüglich der unabhängigen Variable t, die reellwertige Funktion lt, xt, ẋt : R R n R n R nennt man Lagrangefunktion oder besser Lagrangesche Dichte und ϕ, x, t, xt : R R n R R n R beschreibt die Randkostenfunktion Englisch: terminal costs. Man nennt eine Trajektorie xt zulässig, wenn im Intervall [, t ] sämtliche Beschränkungen eingehalten werden. Die Menge aller zulässigen Trajektorien wird im Weiteren mit X ad bezeichnet. Die einfachste Form solcher Beschränkungen ist, dass beide Endpunkte fixiert sind, d. h. x = x 0 und xt = x bzw. X ad = {x t X : x = x 0, x t = x }. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, dass die Trajektorie zwar an einem festen Endpunkt, x 0 startet aber zum Zeitpunkt t auf einer vorgegebenen Kurve Γ : x = gt, t T zu liegen kommen muss. In diesem Fall ist der optimale Wert der Endzeit t im Intervall t T frei und die zulässige Menge lautet X ad = {x t X : x = x 0, x t = g t }. Andere mögliche Beschränkungen sind so genannte Pfadbeschränkungen Englisch: path constraints oder Beschränkungen der Lagrangeschen Form ψt, xt, ẋt = 0 bzw. ψt, xt, ẋt 0, t I [, t ] 4.3 und isoperimetrische Beschränkungen der Form ψ k t, x t, ẋ t dt = C k, k =,..., m < n. 4.4

2 4. Grundlagen der Variationsrechnung Seite 90 Die bei der Variationsrechnung typischerweise betrachteten Funktionenräume sind die im Intervall [, t ] stetig differenzierbaren Funktionen C [, t ] und die stückweise stetig differenzierbaren Funktionen, im Weiteren als Ĉ [, t ] bezeichnet. Elemente des Funktionenraumes Ĉ [, t ] werden dabei im Folgenden auch als global stetig angenommen. Die Definition des globalen Minimums x eines Kostenfunktionals Jx lässt sich ohne Angabe einer Norm direkt in der Form J x J x, x X ad 4.5 angeben. Die Beschreibung des lokalen Verhaltens in der Umgebung des Punktes x hingegen verlangt die Definition einer Norm. Der Punkt x ist ein lokales Minimum in X ad bezüglich der Norm, wenn gilt γ > 0 so, dass gilt J x J x, x X ad B γ x 4.6 mit B γ x = {x X : x x < γ}. Dadurch, dass in infinit-dimensionalen Vektorräumen die Normen nicht äquivalent sind, kann x zwar bezüglich einer Norm ein lokales Minimum sein, aber bezüglich einer anderen Norm nicht. Für den Funktionenraum C [, t ] sind die gebräuchlichsten Normen in diesem Zusammenhang x t := max t t x t und x t, := max t t x t + max t t ẋ t. 4.7 Wenn xt vektorwertig ist und im Funktionenraum C [, t ] n definiert ist, dann lauten die zugehörigen Normen x t := max t t x t und x t, := max t t x t + max t t ẋ t, 4.8 wobei x t eine Norm im finit-dimensionalen VektorraumR n beschreibt Optimalitätsbedingungen Zur Herleitung der notwendigen Optimalitätsbedingungen benötigt man den Begriff der Variation eines Funktionals. Definition 4. Variation eines Funktionals, Gâteaux Ableitung. Die erste Variation des Funktionals J x am Punkt x X in Richtung ξ X, auch als die Gâteaux Ableitung von J x bezüglich ξ am Punkt x bezeichnet, ist in der Form J x + ηξ J x δj x; ξ := lim = J x + ηξ η 0 η η 4.9 η=0 definiert. Falls δj x; ξ für alle ξ X definiert ist, dann nennt man J x Gâteaux differenzierbar am Punkt x. Offensichtlich muss für die Existenz der Gâteaux Ableitung das Funktional Jx definiert sein und die Ableitung von Jx + ηξ bezüglich η an der Stelle η = 0 existieren.

3 4. Grundlagen der Variationsrechnung Seite 9 Beispiel 4.. Die Gâteaux Ableitung des Funktionals J x = t x 2 t dt, x C [, t ] lautet δj x;ξ = lim 2x t ξ t dt + η ξ 2 t dt = 2 x t ξ t dt 4.0 η 0 für alle ξ C [, t ], weshalb J x an jedem Punkt x C [, t ] Gâteaux differenzierbar ist. Beispiel 4.2. Man betrachte das Funktional J x = 0 x t dt, x C [0, ], welches für jedes x C [0, ] im endlichen Intervall [0, ] einen finiten Wert liefert. Für x 0 t = 0 und ξ 0 t = t lautet die Gâteaux Ableitung 4.9 δj x 0 ;ξ 0 = lim η 0 η 0 = lim η 0 signη x 0 + ηξ 0 dt 0 t dt = 0 x 0 dt = 4.a { 2, η +0 2, η 0. 4.b Dabei erkennt man, dass in Richtung ξ 0 = t an der Stelle x 0 = 0 die Gâteaux Ableitung nicht existiert. Die Gâteaux Ableitung ist eine lineare Operation, weshalb gilt und für jedes reelle α gilt die Beziehung δ J + J 2 x; ξ = δj x; ξ + δj 2 x; ξ 4.2 δj x;αξ = αδj x; ξ. 4.3 Man beachte an dieser Stelle, dass eine Richtung ξ X ad, für die gilt δj x; ξ < 0, eine Abstiegsrichtung des Funktionals J am Punkt x bezeichnet und damit eine Generalisierung der Abstiegsrichtung d vom finit-dimensionalen Fall mit d T f x < 0 der Kostenfunktion fx am Punkt x gemäß Satz 2. beschreibt. Es gilt nun folgender Hilfssatz. Lemma 4. Ausschluss eines Minimums. Wenn J ein Funktional in einem normierten linearen Vektorraum X, beschreibt und an einem Punkt x X eine Richtung ξ X so existiert, dass gilt δj x; ξ < 0, dann kann x kein lokales Minimum sein. Beweisskizze: Gemäß Definition 4. existiert ein γ > 0 so, dass gilt J x + ηξ J x δj x; ξ = lim < η 0 η bzw. J x + ηξ < J x, η 0, γ. 4.5

4 4. Grundlagen der Variationsrechnung Seite 92 Da x + ηξ x = ηξ 0 für η 0, ist zu erwarten, dass unabhängig von der gewählten Norm Punkte x + ηξ in der Umgebung von x zu liegen kommen, weshalb in Richtung ξ am Punkt x das Funktional weiter verkleinert werden kann und damit x kein lokales Minimum beschreibt. Die notwendigen Bedingungen erster Ordnung für ein lokales Minimum eines Funktionals lassen sich nun wie folgt formulieren. Satz 4. Notwendige Bedingungen erster Ordnung. Angenommen x X ad ist ein lokales Minimum des Funktionals J, welches in einer Teilmenge X ad eines normierten linearen Vektorraums X, definiert ist. Dann gilt δj x ; ξ = für alle zulässigen Richtungen ξ an der Stelle x. Man nennt dabei eine Richtung ξ X, ξ 0 an der Stelle x zulässig, wenn gilt a δj x ; ξ existiert und b x + ηξ X ad für alle η ε, ε und hinreichend kleines ε > 0. Bedingung b impliziert, dass x im Inneren von X ad zu liegen kommt. Im nächsten Schritt betrachte man das Lagrange Problem der Variationsrechnung gemäß 4. mit festem Anfangs- und Endpunkt. Satz 4.2 Euler-Lagrange Gleichungen. Gegeben sei das Funktional J x = l t, x t, ẋ t dt 4.7 mit der zulässigen Menge X ad = {x t C [, t ] } n : x t0 = x 0, x t = x und der stetig differenzierbaren Lagrangeschen Dichte l :R R n R n R. Wenn x t ein lokales Minimum von J x auf X ad bezeichnet, dann erfüllt x t die Euler- Lagrange Gleichungen d l t, x t, ẋ t l t, x t, ẋ t = dt ẋ i x i für alle t [, t ] und i =,..., n. Beweis. Da x ein Minimum ist, muss wegen Satz 4. gelten δj x ; ξ = η J x + ηξ = η=0 = η l [ x l t, x t, ẋ t ξ + t, x t + ηξ t, ẋ t + ηξ t dt ẋ l η=0 ] t, x t, ẋ t ξ dt =

5 4. Grundlagen der Variationsrechnung Seite 93 Wegen der stetigen Differenzierbarkeit der Lagrangeschen Dichte l und da ξ C [, t ] n ist der Integrand von 4.9 im Intervall [t0, t ] stetig und daher ist das Funktional J x an allen Punkten x C [, t ] n Gâteaux differenzierbar. Eine nach Satz 4. zulässige Richtung ξ muss die Bedingungen ξ = 0 und ξ t = 0 erfüllen. Führt man für den zweiten Summanden in der zweiten Zeile von 4.9 eine partielle Integration durch, so erhält man x l ξ + ẋ l ξdt = [ x l d ] dt ẋ l [ ξdt + ] t ξ ẋ l }{{} =0 = [ ] T Wählt man nun für ein festes i =,..., n die Richtung ξ = ξ... ξ n C [, t ] n so, dass gilt ξj = 0 für j i und ξ i = ξ i t = 0, dann ergibt sich [ l d ] l ξ i dt = x i dt ẋ i und nach dem Fundamentallemma der Variationsrechnung folgt unmittelbar das Ergebnis 4.8. Lemma 4.2 Fundamentallemma der Variationsrechnung. Angenommen g t ist eine stückweise stetige Funktion auf dem Intervall [, t ] und es gilt g t ξ i t dt = für alle stückweise stetigen Funktionen ξ i t im Intervall [, t ], dann folgt fast überall abgesehen von einer abzählbaren Menge von Punkten g t = 0, t [, t ]. Eine Funktion xt, die die Euler-Lagrange Gleichungen 4.8 erfüllt, wird auch als stationäre Funktion der Lagrangeschen Dichte l bezeichnet. In manchen Literaturstellen werden diese Funktionen auch als extremale Funktionen oder nur Extremale bezeichnet, obwohl es sein kann, dass sie weder ein Minimum noch ein Maximum des Kostenfunktionals beschreiben. Die Lösung der Euler-Lagrange Gleichungen 4.8 kann für Spezialfälle mit Hilfe so genannter erster Integrale formuliert werden: a Die Lagrangesche Dichte hängt nicht von der unabhängigen Variablen t ab, d. h. l = l x, ẋ. Mit der Hamiltonfunktion H = ẋ l ẋ l x, ẋ 4.23 lassen sich die Euler-Lagrange Gleichungen 4.8 wie folgt d dt H = d [ d dt ẋ l ẋ + ẋ l ẍ x l ẋ ẋ l ẍ = dt ] ẋ l x l ẋ 4.24

6 4. Grundlagen der Variationsrechnung Seite 94 anschreiben. Wie man aus 4.24 unmittelbar erkennt, ist die Hamiltonfunktion H entlang von stationären Funktionen konstant und bildet damit eine Invariante des Systems. b Die Lagrangesche Dichte hängt nicht von x ab, d. h. l = l t, ẋ. Dann folgt aus den Euler-Lagrange Gleichungen 4.8, dass ẋ i l, i =,..., n Invarianten des Systems sind, denn es gilt d l = dt ẋ i Aufgabe 4.. Nehmen Sie an, dass l x, ẋ die Lagrangefunktion eines Starrkörpersystems ist Skript Regelungssysteme 2 und x bzw. ẋ die generalisierten Lagekoordinaten und Geschwindigkeiten bezeichnen. Geben Sie eine physikalische Interpretation der Hamiltonfunktion H von 4.23 und der Größen ẋ i l, i =,..., n an. Beispiel 4.3 Galileo s hängende Kette. Galileo formulierte die Frage, welche Form eine an beiden Enden aufgehängte Kette im Schwerefeld der Erde besitzt. Galileo nahm dabei fälschlicherweise an, dass die Kette eine Parabel beschreiben würde. Das Problem wurde um 690 von Johann Bernoulli, Christiaan Huygens und Gottfried Leibniz mit Hilfe der Variationsrechnung gelöst. y A Hängende Kette der Länge L B g Abstand d yx =? 0 x A x B x Abbildung 4.: Galileo s Problem: Bestimmung der Form yx einer hängenden Kette. Betrachtet wird eine Kette der Länge L, deren Enden in den Punkten A und B aufgehängt sind, siehe Abbildung 4.. Aus dem Hamiltonschen Prinzip der Mechanik folgt, dass die potentielle Energie der Kette im statischen Gleichgewicht minimal sein muss. Mit Hilfe der Bogenlänge s und der Beziehung ds = mit = d dx ergibt sich die potentielle Energie zu dx 2 + dy 2 = + y x 2 dx 4.26 L xb V = ρ g y ds = ρ g y + y x 2 dx, x A wobei g die Erdbeschleunigung und ρ die Linienmassendichte bezeichnet. Im Hinblick auf die Minimierung der potentiellen Energie V kann der konstante Faktor ρ g

7 4. Grundlagen der Variationsrechnung Seite 95 vernachlässigt werden, womit sich das Kostenfunktional und die Randbedingungen zu xb Jy = y + y x 2 dx, yx A = y A, yx B = y B 4.28 x A ergeben. Da in der Lagrangeschen Dichte ly, y = y + y x 2 die unabhängige Variable x nicht explizit auftritt, muss gemäß 4.24 die Hamiltonfunktion eine Invariante des Systems sein, d. h. H = y y l y, y ly, y = y y 2 + y 2 y + y 2 = y + y 2 = c 4.29 mit einer Konstanten c. Unter der Annahme c 0 kann die letzte Gleichung in die Form y y 2 = 4.30 gebracht werden. Unter Berücksichtigung von y = Integration als Funktion von y ausgedrückt x = c 2 d dxy wird x zunächst mittels dy = c ln y + y 2 c 2 + c 2, 4.3 y 2 c c 2 wobei c 2 eine Integrationskonstante darstellt. Durch Umformung und Quadrierung, kann y in folgender Form c e x c 2/c y 2 = y 2 c 2, 4.32 y = 2 c e 2x c 2/c + e x c = 2/c 2 c e x c 2/c + e x c 2/c geschrieben werden. Mit coshb = 2 eb + e b ergibt sich die Kettenlinie zu x c2 yx = c cosh Gegebenenfalls kann noch eine dritte Konstante c 3 zu 4.34 addiert werden, um die Kettenlinie für eine in den Punkten A und B aufgehängte Kette durch numerische Lösung der Gleichungen yx A = y A, yx B = y B, xb x A c + y x 2 dx = L 4.35 in Abhängigkeit der Kettenlänge L zu berechnen. Abbildung 4.2 zeigt die Kettenlinie yx mit der Länge L =.5 für verschiedene Aufhängepunkte im Vergleich zu der von Galileo vermuteten Parabel.

8 4. Grundlagen der Variationsrechnung Seite 96.4 Kettenfunktion yx Kettenlinie cosh-funktion Galileo s Vermutung Parabel Position x Abbildung 4.2: Hängende Kette der Länge L =.5 für verschiedene Aufhängepunkte. Analog zum finit-dimensionalen Fall, siehe Satz 2.2, können auch für die Minimierung von Funktionalen notwendige Bedingungen zweiter Ordnung formuliert werden. Satz 4.3 Notwendige Bedingungen zweiter Ordnung - Legendre Bedingung. Angenommen x X ad ist ein lokales Minimum des Funktionals J x = l t, x t, ẋ t dt 4.36 mit der zulässigen Menge X ad = {x t C [, t ] } n : x t0 = x 0, x t = x und der zweifach stetig differenzierbaren Lagrangeschen Dichte l : R R n R n R, dann erfüllt x die Euler-Lagrange Gleichungen 4.8 und die so genannte Legendre Bedingung 2 ẋ 2 l t, x t, ẋ t ist positiv semi-definit 4.37 für alle t [, t ]. Satz 4.2 behandelt das Lagrange Problem der Variationsrechnung 4.. Im nächsten Schritt soll das Bolza Problem der Variationsrechnung 4.2 mit freier Endzeit näher untersucht werden. Satz 4.4 Euler-Lagrange Gleichungen für freie Endzeit. Gegeben sei das Funktional J t, x = ϕ t, x t + l t, x t, ẋ t dt 4.38 mit der zulässigen Menge X ad = {t, x t, T C [, T] } n : x t0 = x 0, der hinreichend großen Zeit T t, der stetig differenzierbaren Lagrangeschen Dichte

9 4. Grundlagen der Variationsrechnung Seite 97 l :R R n R n Rund der stetig differenzierbaren Randkostenfunktion ϕ :R R n R. Wenn t, x t ein lokales Minimum von J x auf X ad bezeichnet, dann erfüllt x t die Euler-Lagrange Gleichungen 4.8 im Intervall [, t ] und es gelten die Anfangsbedingung x = x 0 sowie die Transversalitätsbedingungen [ ẋ l + ] x ϕ = 0 T 4.39a t=t [, x=x l ẋ l ẋ + t ]t=t ϕ = b, x=x Beweis. Wenn man die Endzeit t fixiert, dann folgt aus Satz 4.2 unmittelbar, dass die optimale Lösung x t im Intervall [, t ] die Euler-Lagrange Gleichungen 4.8 erfüllt. Um die optimale Endzeit t zu berechnen, nimmt man an, dass xt in einem hinreichend großen Intervall [, T], T t definiert ist und betrachtet den linearen FunktionenraumR C [, T] n. Die Gâteaux Ableitung 4.9 von Definition 4. wird dann in der Form J t + ητ, x + ηξ J t, x δj t, x; τ, ξ := lim = η 0 η η J t + ητ, x + ηξ η= erweitert und die notwendige Bedingung für ein Minimum 4.6 von Satz 4. ausgewertet. Wendet man nun 4.40 auf 4.38 an, so erhält man η J t + ητ, x + ηξ = = η ϕ t + ητ, x t + ητ + ηξ t + ητ + η = t ϕ τ + x ϕ t x +η }{{} t ξ τ + }{{} x ϕξ ẋ ξ t +ητ + η l t, x + ηξ, ẋ + ηξ [ dt + τ l t +ητ l t, x + ηξ, ẋ + ηξ dt t=t +ητ, x=x +ηξ t, x + ηξ, ẋ + ηξ ] [ = t ϕ τ + [ x ϕ ẋ + ηξ ] τ + x ]t=t ϕξ + τ +ητ, x=x +ηξ [ + ẋ l t, x + ηξ, ẋ + ηξ ] t +ητ ξ t +ητ [ + x l t, x + ηξ, ẋ + ηξ d dt [ l t=t +ητ t, x + ηξ, ẋ + ηξ ] ẋ l t, x + ηξ, ẋ + η ξ ] ξdt. 4.4 t=t +ητ

10 4. Grundlagen der Variationsrechnung Seite 98 Wertet man 4.4 für η = 0 aus, so lautet die notwendige Optimalitätsbedingung δj t, τ; x, ξ = η J t + ητ, x + ηξ η=0 [ = t ϕ τ + ] [ ] [ ] x ϕ ẋτ + ξ + τl + t=t ẋ l ξ,x=x t=t, ẋ l ξ x=x t=, x=x t [ + x l t, x, ẋ d ] dt ẋ l t, x, ẋ ξdt = Da der Anfangswert mit x = x 0 festgelegt ist, muss für eine zulässige Richtung ξ die Bedingung ξ = 0 gelten. Im Weiteren erfüllt die optimale Lösung x t im Intervall [, t ] die Euler-Lagrange Gleichungen 4.8, weshalb sich 4.42 zu [ τ l ẋ l ẋ + [ t ]t=t ϕ +, x ϕ + ] ẋ l ẋ t τ + ξ t = 0 x=x t=t, x=x 4.43 vereinfacht. Wenn die Endzeit t und der Endwert x t frei sind, dann sind τ und ξt unabhängig voneinander frei wählbar, weshalb 4.43 nur dann Null ist, wenn die Transversalitätsbedingungen 4.39 erfüllt sind. Das Ergebnis von Satz 4.4 lässt sich nun wie folgt verallgemeinern. a Wenn die Endzeit fest ist, dann gilt t = t und damit τ = 0, womit automatisch der erste Term von 4.43 verschwindet. Es liegt somit keine Transversalitätsbedingung 4.39b vor. i Wenn für eine Komponente x j t, j {,..., n} von xt gilt, dass der Endwert x j t = x j t = x j fest ist, dann muss für diese Komponente ξ j t = 0 gelten, womit der zugehörige Eintrag im zweiten Term von 4.43 automatisch verschwindet und keine Transversalitätsbedingung für diese Komponente vorliegt. Dieser Fall entspricht dem Ergebnis von Satz 4.2. ii Wenn für eine Komponente x j t, j {,..., n} von xt gilt, dass der Endwert x j t frei ist, dann lautet, wie man aus 4.43 erkennen kann, die Transversalitätsbedingung für diese Komponente [ l + ] ϕ = ẋ j x j t=t, x=x b Wenn die Endzeit frei ist, dann muss die Transversalitätsbedingung 4.39b gelten. [ l ẋ l ẋ + t ϕ ]t=t, x=x =

11 4. Grundlagen der Variationsrechnung Seite 99 i Wenn für eine Komponente x j t, j {,..., n} von xt gilt, dass der Endwert x j t = x j fest ist, dann muss für diese Komponente eine zulässige Richtung τ, ξ j die Bedingung bzw. x j = x j t + ητ + ηξ j t + ητ = η x j = ξ j t + τẋ j t 4.47 η=0 erfüllen. Damit verschwindet der zugehörige Eintrag im zweiten Term von 4.43 und es liegt keine weitere Transversalitätsbedingung für diese Komponente vor. ii Wenn für eine Komponente x j t, j {,..., n} von xt gilt, dass der Endwert x j t frei ist, dann lautet, analog zum Fall aii, die Transversalitätsbedingung für diese Komponente [ l + ] ϕ = ẋ j x j t=t, x=x 4..3 Stückweise stetig differenzierbare Extremale Bei den bisherigen Betrachtungen, siehe im Speziellen Satz 4.2, 4.3 und 4.4, wurde stets angenommen, dass xt im Funktionenraum der im Intervall [, t ] vektorwertigen stetig differenzierbaren Funktionen C [, T] n definiert ist. Im Weiteren soll dies auf den Funktionenraum der stückweise stetig differenzierbaren Funktionen Ĉ [, T] n erweitert werden, wobei zusätzlich die globale Stetigkeit vorausgesetzt wird. Man nennt nun eine reellwertige Funktion xt Ĉ [, t ] stückweise stetig differenzierbar, wenn eine finite Partitionierung = c 0 < c <... < c N+ = t so existiert, dass die Funktion xt in allen Intervallen c k, c k+, k = 0,..., N stetig differenzierbar ist, siehe Abbildung 4.3. Die inneren Punkte c,..., c N werden als Eckpunkte von xt bezeichnet. Für stückweise xt 0 c c 2 c N t t Abbildung 4.3: Beispiel einer Funktion xt Ĉ [, t ]. stetig differenzierbare Funktionen ˆx t Ĉ [, t ] lauten die Normen gemäß 4.7 ˆx t := max ˆx t und ˆx t t t, := max ˆx t + sup d t t ˆx t dt. t N k=0 c k,c k+ 4.49

12 4. Grundlagen der Variationsrechnung Seite 00 Es gilt nun folgender Satz. Satz 4.5 Stückweise stetig vs. stetig differenzierbare Extremale. Angenommen x X ad ist ein lokales Minimum des Funktionals J x = l t, x t, ẋ t dt 4.50 mit der zulässigen Menge X ad = {x t C [, t ] } n : x t0 = x 0, x t = x und der stetig differenzierbaren Lagrangeschen Dichte l : R R n R n R, dann ist x ˆX ad auch ein lokales Minimum des Funktionals 4.50 in der zulässigen Menge ˆX ad = {x t Ĉ [, t ] n : x = x 0, x t = x } bezüglich der gleichen Norm bzw.,. Man kann nun zeigen, dass eine extremale Lösung ˆx t Ĉ [, t ] n im gesamten Intervall [, t ] außer an den Eckpunkten c,..., c N die Euler-Lagrange Gleichungen 4.8 und die Legendre-Bedingung 4.37 erfüllt. Die Transversalitätsbedingungen 4.44, 4.45 und 4.48 bleiben im Falle stückweise stetig differenzierbarer Extremale unverändert. Die Unstetigkeiten von d dtˆx t an den Eckpunkten t = c k, k =,..., N unterliegen nun folgenden Einschränkungen: Satz 4.6 Erste Weierstrass-Erdmann Bedingung. Angenommen ˆx ˆX ad ist ein lokales Minimum des Funktionals J ˆx = mit der zulässigen Menge ˆX ad = l t, ˆx t, ˆx t dt 4.5 {ˆx t Ĉ [, t ] n : ˆx = ˆx 0, ˆx t = ˆx }, wobei die Lagrangesche Dichte l sowie die partiellen Ableitungen ˆx i l und ˆx l stetig i auf [, t ] R n R n sind. Dann gilt für jeden Eckpunkt c, t von ˆx t, dass die Bedingung ˆx l c, ˆx c, ˆx c = ˆx l c, ˆx c, ˆx c erfüllt ist, wobei ˆx c und ˆx c + den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert von ˆx t an der Stelle t = c bezeichnen. Die erste Weierstrass-Erdmann Bedingung besagt also, dass an den Eckpunkten einer lokal extremalen Trajektorie ˆx t Ĉ [, t ] n nur jene Unstetigkeiten von ˆx erlaubt sind, die die Stetigkeit von l erhalten. Im Weiteren kann gezeigt werden, dass an ˆx ˆx l ˆx l gewährleis- den Eckpunkten auch die Stetigkeit der Hamiltonfunktion H = tet ist. Diese letztere Bedingung ist auch unter dem Namen zweite Weierstrass-Erdmann Bedingung bekannt.

13 4. Grundlagen der Variationsrechnung Seite 0 Satz 4.7 Zweite Weierstrass-Erdmann Bedingung. Angenommen ˆx ˆX ad ist ein lokales Minimum des Funktionals J ˆx = mit der zulässigen Menge ˆX ad = l t, ˆx t, ˆx t dt 4.53 {ˆx t Ĉ [, t ] n : ˆx = ˆx 0, ˆx t = ˆx }, wobei die Lagrangesche Dichte l sowie die partiellen Ableitungen ˆx i l und ˆx l stetig i auf [, t ] R n R n sind. Dann gilt für jeden Eckpunkt c, t von ˆx t, dass mit der Hamiltonfunktion H die Bedingung t, ˆx t, ˆx t = ˆx l t, ˆx t, ˆx t ˆx t l t, ˆx t, ˆx t H 4.54 c, ˆx c, ˆx c = H c, ˆx c, ˆx c erfüllt ist, wobei ˆx c und ˆx c + den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert von ˆx t an der Stelle t = c bezeichnen. Beispiel 4.4. Gesucht ist ein lokales Minimum x X ad des Funktionals J x = x 2 t ẋt 2 dt 4.56 in der zulässigen Menge X ad = { x t C [, ] : x = 0, x = }. Da die Lagrangesche Dichte nicht explizit von der Zeit t abhängt, ist die Hamiltonfunktion H = ẋ l ẋ l = 2x 2 ẋ ẋ x 2 ẋ 2 = x 2 ẋ 2 = k 4.57 für alle Zeiten t [, ] konstant mit der Konstanten k und damit eine Invariante des Systems, siehe auch Ersetzt man x 2 t = z t und 2x t ẋ t = ż t in 4.57, dann erhält man und die Lösung von 4.58 errechnet sich zu z t 4ż2 t = k 4.58 z t = t + k k 4.59 mit der Konstanten k 2. Mit x = 0 und x = sowie z t = x 2 t folgen 2 die Konstanten k und k 2 zu k = 3 4 und k2 = 4 und die mögliche stationäre Lösung x t des Kostenfunktionals 4.56 lautet x t = ± t

14 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 02 Die Wurzel liefert nur für t 2 und t < ein reellwertiges Ergebnis, weshalb x t keine stationäre Lösung von 4.56 in der zulässigen Menge X ad = {x t C [, ] : x = 0, x = } darstellt. Im nächsten Schritt soll das Kostenfunktional 4.56 in der zulässigen Menge ˆX ad = {ˆx t Ĉ [, ] : ˆx = 0, ˆx = } minimiert werden. Die Weierstrass- Erdmann Bedingung 4.52 besagt nun, dass an einem Eckpunkt c, gilt 2ˆx 2 c [ ˆx c ] = 2ˆx 2 c + [ ˆx c +] 4.6 bzw. mit ˆx c = ˆx c + = ˆx c folgt [ ˆx 2 c ˆx c + ˆx c ] = Da an einem Eckpunkt t = c gilt ˆx c + ˆx c, muss zur Erfüllung von 4.62 die Bedingung ˆx c = 0 eingehalten werden. Den minimalen Wert des Kostenfunktionals 4.56 von Null erhält man offensichtlich für ˆxt = 0 oder ˆxt = für alle t in [, ]. Da aber ˆx = ist, muss man für ein möglichst großes Intervall c, ] mit ˆxt > 0 die Bedingung ˆxt = erfüllen. Eine Unstetigkeit in der Ableitung der minimierenden Lösung kann nur an einer Stelle auftreten, bei der der Wert der Funktion selbst identisch Null ist. Man kann sich nun einfach davon überzeugen, dass die Funktion { 0 für t 0 ˆx t = 4.63 t für 0 < t das eindeutige globale Minimum des Kostenfunktionals 4.56 in der zulässigen Menge ˆX ad = {ˆx t Ĉ [, ] : ˆx = 0, ˆx = } beschreibt. 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen 4.2. Problemformulierung Die typische Aufgabe, die es zu lösen gilt, besteht darin, für ein dynamisches System beschrieben durch die Differenzialgleichungen ẋ = f t, x t, u t, x = x mit der Zeit t R, dem Zustand x R n und dem Stelleingang u R m eine geeignete Steuertrajektorie ut, t [, t ] so zu finden, dass ein Kostenfunktional der Form siehe auch 4.2 J u = ϕ, x, t, x t + l t, x t, u t dt 4.65 bezüglich ut minimiert wird und dabei gewisse Beschränkungen in xt und ut eingehalten werden. Beim Kostenfunktional unterscheidet man im Allgemeinen zwischen der Bolza-Form

15 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite , der Lagrange-Form und der Mayer-Form J u = l t, x t, u t dt, 4.66 J u = ϕ, x, t, x t Aufgabe 4.2. Zeigen Sie, dass die Lagrange-Form in die Mayer-Form überführt werden kann, indem man einen zusätzlichen Zustand ẋ n+ = l t, x, u, x n+ = einführt und das Kostenfunktional in der Form Ju = x n+ t anschreibt. Zeigen Sie, dass die Mayer-Form in die Lagrange-Form überführt werden kann, indem man einen zusätzlichen Zustand ẋ n+ = 0, x n+ = t ϕ, x, t, x t 4.69 einführt und das Kostenfunktional in der Form J u = t x n+ t dt anschreibt. Zeigen Sie, wie man eine Bolza-Form in die Mayer- oder Lagrange-Form überführt. Bezüglich der möglichen Beschränkungen unterscheidet man zwischen Punktbeschränkungen, beispielsweise Endpunktbeschränkungen der Form Pfadbeschränkungen und isoperimetrischen Beschränkungen ψ t, x t 0, 4.70 ψ t, x t, u t 0, t I [, t ], 4.7 ψ k t, x t, u t dt C k, k =,..., n < n Man beachte, dass Pfadbeschränkungen 4.7, die nur vom Zustand und nicht von der Stellgröße abhängen, wesentlich schwieriger zu handhaben sind Existenz einer optimalen Lösung Im Skript Regelungssysteme 2 Satz 2.3 wurde gezeigt, dass wenn gt, x stückweise stetig in t ist und der Lipschitz-Bedingung g t, x g t, y L x y, 0 < L < 4.73 für alle x, y B γ = {x R n : x x 0 γ} und alle t [, +τ] genügt, dann existiert ein δ > 0 so, dass das Anfangswertproblem ẋ = gt, x, x = x

16 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 04 für t [, + δ] genau eine Lösung besitzt. Dadurch, dass nur stückweise Stetigkeit von gt, x in t gefordert wird, darf man gemäß 4.64 mit gt, x := f t, x t, u t für die Stellgrößen ut auch stückweise stetige Funktionen zulassen, d. h. ut Ĉ[, t ] m. Man nennt nun eine reellwertige Funktion ut Ĉ[, t ] stückweise stetig, wenn eine finite Partitionierung = c 0 < c <... < c N+ = t so existiert, dass die Funktion ut in allen Intervallen c k, c k+, k = 0,..., N stetig ist. Für stückweise stetige Stellgrößen ut sind die zugehörigen Zustandsgrößen von 4.64 stückweise stetig differenzierbar, d. h. xt Ĉ [, t ] n mit den Eckpunkten an den Unstetigkeitsstellen der Stellgrößen. Zur Erinnerung sei angemerkt, dass gemäß Satz 2.4 vom Skript Regelungssysteme 2 die Stetigkeit von g t, x und g x t, x auf der Menge [, + δ] B γ hinreichend dafür sind, dass g t, x die Lipschitz-Bedingung 4.73 lokal erfüllt. Bei den meisten praktischen Anwendungen unterliegen die Stellgrößen gewissen Beschränkungen, d. h. ut U R m. Typische Beschränkungen in diesem Zusammenhang sind sogenannte box constraints der Form u i, i =,..., m Eine stückweise stetige Stellgröße ut im Intervall t t mit ut U für alle t [, t ] bezeichnet man im Weiteren als zulässige Stellgröße. Für das Folgende sei angenommen, dass x t; x 0, u t die Lösung von 4.64 zum Zeitpunkt t für den Anfangswert x = x 0 und die Stellgröße uτ, τ t bezeichnet. Dann nennt man eine zulässige Stellgröße realisierbar, wenn x t; x 0, u t im gesamten Intervall t t definiert ist und sämtliche Beschränkungen einhält. Das Problem bei der Existenz einer Lösung des Optimalsteuerungsproblems besteht häufig darin, dass die Menge der realisierbaren Lösungen nicht kompakt ist. Es könnte nämlich passieren, dass die Lösung von 4.64 innerhalb des Optimierungsintervalls [, t ] nach Unendlich strebt und somit das Kostenfunktional unendlich wird. Dieses Phänomen ist auch unter dem Namen finite escape time bekannt. Um dies zu verhindern, fordert man oft a priori, dass die Lösungen des dynamischen Systems 4.64 beschränkt sind, also dass gilt x t; x 0, u t α, t 4.76 für ein finites α > 0. Man beachte, dass bezüglich x affine Systeme der Form ẋ = At, ux + b t, u, x = x diese Eigenschaft erfüllen und in endlicher Zeit nicht nach Unendlich streben können. Wenn das Optimierungsintervall selbst unendlich ist, dann ist die Menge der realisierbaren Stellgrößen unbeschränkt und nicht kompakt, weshalb stets ein kompaktes finites Zeitintervall [, T] mit hinreichend großem T > t gewählt werden sollte. Dies wird anhand des nachfolgenden Beispiels näher erläutert. Beispiel 4.5. Gegeben ist eine Punktmasse m, die über eine Kraft u t mi u t für alle t im Optimierungsintervall [, t ] beschleunigt wird. Die Aufgabe besteht nun darin, die Stellgröße u t so zu bestimmen, dass ausgehend von der Anfangsposition x = x 0 die Masse nach der Zeit t = t die Position x t = x

17 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 05 erreicht und dabei das Kostenfunktional J u = u 2 t dt 4.78 minimiert. Man erkennt unmittelbar, dass für x > x 0 die Stellgröße u t 0 nicht realisierbar ist und somit für jede realisierbare Stellgröße J u > 0 gelten muss. Betrachtet man nun die Folge der realisierbaren konstanten Stellgrößen u k t = k, k für alle t, so erhält man als Lösung des Differentialgleichungssystems das Ergebnis ẋ k = v k, x k = x a m v k = u k, v k = b x k t = x 0 + 2mk t 2 v k t = mk t. 4.80a 4.80b Die Zeit t, nach der der Zustand x k t = x erreicht wird, errechnet sich direkt aus 4.80a zu t,k = + 2mk x x Damit erhält man für u k t = k im Optimierungsintervall [, t,k ] den Wert des Kostenfunktionals zu t,k 2m J u k = k 2 dt = x k 3 x für k und damit t,k. Man erkennt also, dass gilt inf J u k = 0, d. h. das Problem hat kein Minimum. Damit die Existenz einer optimalen Steuerung auch tatsächlich gewährleistet ist, müssen weitere Einschränkungen der zulässigen Steuerungen vorgenommen werden. Zwei Möglichkeiten sollen im Folgenden kurz aufgezeigt werden. Einerseits besteht die Möglichkeit, zu fordern, dass die Stellgröße der zusätzlichen Lipschitz-Bedingung u t u s L u t s, 0 < L u <, s, t [, t ] 4.83 genügt und andererseits kann die Klasse der zulässigen Stellgrößen auf die stückweise konstanten Stellgrößen mit maximal r Unstetigkeitsstellen eingeschränkt werden Variationsformulierung Im Folgenden werden die notwendigen Bedingungen erster Ordnung für ein Optimalsteuerungsproblem mit fester Endzeit und freiem Endwert formuliert und hergeleitet.

18 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 06 Satz 4.8 Steuerungsproblem: Endzeit fest/endwert frei. Gesucht ist die Stellgröße u C [, t ] m so, dass das Kostenfunktional Lagrange-Form J u = unter der Gleichungsbeschränkung dynamisches System l t, x t, u t dt 4.84 ẋ = f t, x t, u t, x = x für feste Zeiten < t minimiert wird. Dabei wird angenommen, dass l und f stetig in t, x, u und stetig differenzierbar bezüglich x und u für alle t, x, u [, t ] R n R m sind. Wenn u t C [, t ] m die optimale Lösung des Optimierungsproblems bezeichnet und x t C [, t ] n die zugehörige Lösung des Anfangswertproblems 4.85 ist, dann existiert ein λ t C [, t ] n so, dass gilt ẋ = f t, x t, u t, x = x a T T λ = x l t, x t, u t x f t, x t, u t λ t, λ t = 0 0 = T T u l t, x t, u t + u f t, x t, u t λ t 4.86b 4.86c für t t. Die Gleichungen 4.86 werden als die Euler-Lagrange Gleichungen des Optimalsteuerungsproblems und λ t als der adjungierte Zustand oder der Kozustand bezeichnet. Beweis. Man betrachte dazu die einparametrische Familie der zulässigen Stellgrößen v t; η = u t + ηξ u t mit ξ u t C [, t ] m und dem skalaren Parameter η. Aufgrund der Stetigkeits- und Differenzierbarkeitsannahmen für f existiert ein η > 0 so, dass die zu v t zugehörige Lösung y t; η des Anfangswertproblems 4.85 für alle t [, t ] eindeutig und bezüglich η differenzierbar ist. Für η = 0 gilt offensichtlich y t; 0 = x t, t t. Das Kostenfunktional für v t; η lautet = J v t; η = l t, y t; η, v t; η + λ T t f t, y t; η, v t; η ẏ dt l t, y t; η, v t; η + λ T y t; η + λ T t f t, y t; η, v t; η dt λ T t y 4.87 für jedes λ t C [, t ] n. Gemäß Satz 4. lautet die notwendige Bedingung für ein Minimum δj u ; ξ u = J v t; η η = η=0

19 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 07 bzw. mit 0 = x l t, x, u ξ y + λ T t ξ y + λ T t u l t, x, u ξ u +λ T t x f t, x, u ξ y dt+ u f t, x, u ξ u dt λ T t ξ y t +λ T ξ y ξ y t = 4.89 η y t; Da die Auswirkung der Variation von u t auf die Lösung in Form von ξ y t schwierig zu berechnen ist, wählt man λ t = λ t so, dass gilt T T λ = x f t, x t, u t λ t x l t, x t, u t. 4.9 Für y t; η gilt näherungsweise y t; η y t; 0 }{{} x t + η y t; 0 η 4.92 }{{} ξ yt und mit x = y ; 0 = x 0 folgt ξ y = 0. Der Punkt x t hingegen ist frei, weshalb in 4.89 die Bedingung λ t = 0 gelten muss. Die adjungierte Differentialgleichung 4.9 mit der Endbedingung λ t = 0 ist linear und aufgrund der Differenzierbarkeitsannahmen für l und f existiert die Lösung λ t und ist im Intervall [, t ] eindeutig. Damit verbleibt in 4.89 der Ausdruck ξu T [ T ] T u l t, x t, u t + u f t, x t, u t λ t dt = 0, 4.93 welcher aufgrund des Fundamentallemmas der Variationsrechnung Lemma 4.2 die Bedingung T T u l t, x t, u t + u f t, x t, u t λ t = für alle t [, t ] impliziert. Wie man aus 4.86 erkennen kann, setzen sich die notwendigen Optimalitätsbedingungen für das Optimalsteuerungsproblem 4.84 und 4.85 aus 2n Differentialgleichungen in x und λ und m algebraischen Gleichungen zusammen. Da für die Differentialgleichung in x der Wert zum Anfangszeitpunkt t = und für die Differentialgleichung in λ der Wert zum Endzeitpunkt t = t gegeben ist, spricht man in diesem Zusammenhang auch

20 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 08 von einem Zweipunktrandwertproblem. Analog zu den Lagrange-Multiplikatoren von Abschnitt 3..2 lässt sich der adjungierte Zustand λt in der Form interpretieren, dass λ der Sensitivität des Kostenfunktionals 4.84 bezüglich einer Änderung des Anfangswertes x 0 entspricht. Die Euler-Lagrange Gleichungen 4.86 lassen sich mit Hilfe der Hamiltonfunktion auch in der Form H t, x, u, λ = l t, x, u + λ T t f t, x, u 4.95 T ẋ = λ H t, x t, u t, λ t, x = x a T λ = x H t, x t, u t, λ t, λ t = b T 0 = u H t, x t, u t, λ t 4.96c für t t anschreiben. Die letzte Bedingung 4.96c zeigt, dass u offensichtlich ein stationärer Punkt der Hamiltonfunktion H sein muss. Leitet man die Hamiltonfunktion entlang der optimalen Lösung x t, u t, λ t nach der Zeit ab, so erhält man d dt H = t H+ x H ẋ + u H u + λ H λ = t H T λ f+ẋ T λ = t H. }{{} = Wenn weder f noch l explizit von der Zeit t abhängen, dann ist die Hamiltonfunktion H offensichtlich eine Invariante des Zweipunktrandwertproblems Im Weiteren muss analog zu Satz 4.3 für ein Minimum des Kostenfunktionals J die notwendige Bedingung zweiter Ordnung Legendre-Clebsch Bedingung 2 u 2 H t, x t, u t, λ t ist positiv semi-definit 4.98 für alle Zeiten t t gelten. In Satz 4.8 wurde angenommen, dass die optimale Stellgröße u stetig ist, d. h. u t C [, t ] m. Für manche Beispiele findet man keine Lösung der Euler-Lagrange Gleichungen 4.86 in der Klasse der stetigen Stellgrößen. Aus diesem Grund sucht man Extremale in der erweiterten Klasse der stückweise stetigen Stellgrößen Ĉ [, t ] m. Wie bereits im Abschnitt diskutiert, sind für stückweise stetige Stellgrößen ut die zugehörigen Zustandsgrößen xt von 4.85 stückweise stetig differenzierbar, d. h. xt Ĉ [, t ] n mit den Eckpunkten an den Unstetigkeitsstellen der Stellgrößen. Bezeichnet man mit û t Ĉ[, t ] m die optimale Stellgröße und mit ˆx t und ˆλ t den zugehörigen Zustand und den adjungierten Zustand des Optimalsteuerungsproblems 4.84, 4.85, dann

21 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 09 gelten für jeden Eckpunkt c, t die Bedingungen H c, ˆx c, û c, ˆλ c ˆx c = ˆx c + ˆλ c = ˆλ c + = H c +, ˆx c, û c +, ˆλ c 4.99a 4.99b, 4.99c wobei c bzw. c + den jeweiligen links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert angeben. Man beachte, dass 4.99b und 4.99c der ersten und zweiten Weierstrass-Erdmann Bedingung von Abschnitt 4..3 entsprechen. Im Folgenden werden die notwendigen Bedingungen erster Ordnung für ein Optimalsteuerungsproblem mit freier Endzeit und allgemeinen Endbeschränkungen formuliert und hergeleitet. Satz 4.9 Steuerungsproblem: Endzeit frei/endbeschränkung. Gesucht ist die Stellgröße u C [, t ] m so, dass das Kostenfunktional Bolza-Form unter den Gleichungsbeschränkungen J u = ϕ t, x t + l t, x t, u t dt 4.00 ẋ f t, x t, u t = 0, x = x 0 4.0a G k u, t = ψ k t, x t = 0, k =,..., p 4.0b mit fester Anfangszeit und freier Endzeit t T minimiert wird. Dabei wird angenommen, dass l und f stetig in t, x und u und stetig differenzierbar bezüglich x und u für alle t, x, u [, T] R n R m sind sowie die Funktionen ϕ und ψ k, k =,..., p stetig und stetig differenzierbar bezüglich t und x für alle t, x [, T] R n sind. Weiters sei u, t C [, t ] m [, T die optimale Lösung des Optimierungsproblems und x C [, T] n die zugehörige Lösung des Anfangswertproblems 4.0a. Darüber hinaus wird angenommen, dass für p unabhängige zulässige Richtungen ξ k, τ k C [, t ] m [, T, k =,..., p die folgende Regularitätsbedingung δg u, t ; ξ, τ δg u, t ; ξ p, τ p det δg p u, t ; ξ, τ δg p u, t ; ξ p, τ p

22 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 0 gilt. Dann existiert ein λ C [, t ] n und ein µ R p so, dass die Beziehungen T ẋ = λ H t, x t, u t, λ t, x = x a T T λ = x H t, x t, u t, λ t, λ t = Φ t x, x t, µ 0 = u H T t, x t, u t, λ t für t t mit den Transversalitätsbedingungen 4.03b 4.03c ψ t, x t = a Φ t t, x t, µ + H t, x t, u t, λ t = 0, 4.04b und der Hamiltonfunktion H = l+λ T f sowie Φ = ϕ+µ T ψ, ψ T = [ψ ψ 2... ] ψ p erfüllt sind. Beweis. Man betrachte dazu wiederum die einparametrische Familie der zulässigen Stellgrößen v t; η = u t + ηξ u t mit ξ u C [, t ] m und dem skalaren Parameter η. Aufgrund der Stetigkeits- und Differenzierbarkeitsannahmen für f existiert ein η > 0 so, dass die zu v t zugehörige Lösung y t; η des Anfangswertproblems 4.0a für alle t [, T] eindeutig und bezüglich η differenzierbar ist. Für η = 0 gilt offensichtlich v t; 0 = u t, t t, und y t; 0 = x t, t T. Da der Anfangswert x = x 0 fest ist, muss die Beziehung y ; η = x 0 sowie η y ; 0 = ξ y = 0, siehe auch 4.90, gelten. Das um die Gleichungsbeschränkungen 4.0b erweiterte Kostenfunktional 4.00 für v t; η und der Endzeit t = t + ητ lautet dann J t v t; η, t = l t, y t; η, v t; η + λ T t f t, y t; η, v t; η ẏ dt + ϕ t, y t ; η + µ T ψ t, y t ; η t = l t, y t; η, v t; η + λ T t f t, y t; η, v t; η + λ T t y t; η dt λ T t y t ; η + λ T y ; η + ϕ t, y t ; η + µ T ψ t, y t ; η Gemäß Satz 4. berechnet sich die notwendige Bedingung für ein Minimum aus δ J u, t ; ξ u, τ = η J v t; η, t = η=0

23 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite zu t 0 = x l t + λ T t t, x, u ξ y + u l t, x, u ξ u + λ T t x f t, x, u ξ y dt u f t, x, u ξ u + λ T t ξ y dt + l t, y t ; 0, v t ; 0 τ + λ T t f t, y t ; 0, v t ; 0 τ + λ T t y t ; 0 τ λ T t ξ y t + λ T ξ y λ T t y t ; 0 τ λ T t ẏ t ; 0 τ + ϕ t x, y t ; 0 ξ y t + ϕ t t, y t ; 0 τ + ϕ t x, y t ; 0 ẏ t ; 0 τ + µ T ψ t x, y t ; 0 ξ y t + µ T ψ t t, y t ; 0 τ + µ T ψ t x, y t ; 0 ẏ t ; 0 τ und mit y t ; 0 = x t, v t ; 0 = u t folgt 0 = t { t 4.07 } x l t, x, u + λ T t x f t, x, u + λ T t ξ y dt { } u l t, x, u + λ T t u f t, x, u ξ u dt+ { ϕ + µ T } ψ t x x, x t λ T t ξ y t + ẋ t τ { ϕ + µ T } ψ t t t, x t + l + λ T f t, x t, u t τ Da die Auswirkung der Variation von u t auf die Lösung in Form von ξ y t schwierig zu berechnen ist, wählt man λ t so, dass die erste Zeile in 4.08 identisch verschwindet, d. h. T T λ = x f t, x t, u t λ t x l t, x t, u t 4.09 mit der zugehörigen Endwertbedingung so, dass die dritte Zeile in 4.08 zu Null wird, also λ t = ϕ + µ T T ψ t x x, x t. 4.0 Die Transversalitätsbedingung 4.04b folgt unmittelbar aus der letzten Zeile von 4.08 und die Extremalbedingung für die Hamiltonfunktion in 4.03 ergibt sich wiederum direkt aufgrund des Fundamentallemmas der Variationsrechnung angewandt auf die zweite Zeile von 4.08.

24 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 2 Für eine Zusammenfassung der Ergebnisse von Satz 4.9 werden in weiterer Folge nur so genannte partielle Endbedingungen der Form ψ j = x k t x k, j =,..., p 4. mit x k = konst. als fixem Endwert der Komponente x k von x betrachtet. Für diesen vereinfachenden Spezialfall kann die Endbedingung für λ t von 4.03b ersetzt werden und unter Berücksichtigung von 4.08 gilt Folgendes: a Wenn die Endzeit fest ist, dann gilt t = t und damit τ = 0, womit automatisch der zugehörige Eintrag in der vierten Zeile von 4.08 verschwindet. Es liegt somit keine Transversalitätsbedingung gemäß 4.04b vor. i Wenn für eine Komponente x k von x gilt, dass der Endwert fest ist, dann gilt y k t ; η = x k t = x k t = x k. Daraus folgt ξ y,k t = 0 womit automatisch der zugehörige Eintrag in der dritten Zeile von 4.08 verschwindet. Damit liegt für diese Komponente keine Endbedingung für den zugehörigen adjungierten Zustand λ k t vor. ii Wenn für eine Komponente x k von x gilt, dass der Endwert frei ist, dann muss, wie man aus der dritten Zeile von 4.08 erkennen kann, die Komponente des zugehörigen adjungierten Zustands λ k t folgende Endbedingung λ k t = ϕ t x, x t 4.2,k erfüllen. b Wenn die Endzeit frei ist, dann muss die Transversalitätsbedingung t Φ t, x t, µ +H t, x t, u t, λ t = 0, H = l+λ T f 4.3 gelten. In Abhängigkeit davon, ob der Endwert einer Komponente x k von x fest oder frei ist, können die Unterpunkte i und ii vom Fall a auch direkt hier angewandt werden. Wenn in Satz 4.9 die Gleichungsbeschränkungen 4.0b durch Ungleichungsbeschränkungen der Form G k u, t = ψ k t, x t 0, k =,..., p 4.4 ersetzt werden, so ändert sich lediglich 4.04a zu ψ k t, x t 0 4.5a µ 0 4.5b µ T ψ t, x t = c

25 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 3 Aufgabe 4.3. Gesucht ist eine Lösung des Optimierungsproblems min u Zeigen Sie, dass die Lösung durch x t = e 2 a 0 2 u2 + a 2 x2 dt, a > 0 4.6a u.b.v. ẋ = u, x0 =, x = b e at e a2 t, u t = a e 2 a e at + e a2 t 4.7 gegeben ist und interpretieren Sie die Ergebnisse in Abbildung 4.4, die für verschiedene Parameterwerte a dargestellt sind Zustand x Stellgröße u a = a = 0 adj. Zustand λ 0 a = Zeit t Zeit t Abbildung 4.4: Optimale Trajektorien in Aufgabe Zeit t Aufgabe 4.4. Gesucht ist eine Lösung des Optimierungsproblems min u a 2 x u2 dt, a 0 4.8a u.b.v. ẋ = x 2, x 0 =, x = 0 4.8b ẋ 2 = u, x 2 0 = c Zeigen Sie, dass sich für den freien Endzustand x 2 = 6/4+a in Abhängigkeit des Parameters a 0 ergibt und dass die optimale Lösung durch x t = 2 + a 32 + a 4 + a t3 a + 4 t2 +, u 2 + a 62 + a t = t 4 + a a + 4 gegeben ist. Interpretieren Sie die Ergebnisse in Abbildung Beispiel 4.6. Betrachtet wird eine Punktmasse der Masse m in der x, y-ebene, auf die eine konstante Kraft F = ma wirkt. Die Stellgröße u des Problems ist der Winkel zwischen der Schubrichtung und der x-achse, siehe Abbildung 4.6. Ziel ist es, die Punktmasse in minimaler Zeit [ = 0, t ] zu einem fest vorgegebenen Zielpunkt x, ȳ zu steuern. Unter der Annahme, dass außer dem Schub keine weiteren Kräfte

26 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 4 Zustand x Stellgröße u a = a = 0 a = 00 adj. Zustand λ Zeit t Zeit t Abbildung 4.5: Optimale Trajektorien in Aufgabe Zeit t auftreten, kann das Optimalsteuerungsproblem wie folgt formuliert werden min u t 4.20a u.b.v. ẋ = v, x0 = x 0, xt = x 4.20b v = a cosu, v0 = v c ẏ = w, y0 = y 0, yt = ȳ 4.20d ẇ = a sinu, w0 = w e Man beachte, dass der Endzustand nur für die Position x, y aber nicht für die Geschwindigkeiten v, w vorgegeben ist. y a m u v w Trajektorie x Abbildung 4.6: Bewegung einer Punktmasse der Masse m in der x, y-ebene. Die beiden fest vorgegebenen Endwerte für x und y können als Gleichungsbeschränkungen gemäß 4.0b in der Form ψ t, xt = xt x, ψ 2 t, xt = yt ȳ 4.2

27 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 5 formuliert werden. Die Hamiltonfunktion H und die Funktion Φ gemäß Satz 4.9 lauten dann für das vorliegende Optimierungsproblem Hx, u, λ = λ x v + λ v a cosu + λ y w + λ w a sinu 4.22a Φt, xt, µ = ϕ + µ x ψ + µ y ψ 2 = t + µ x xt x + µ y yt ȳ 4.22b [ ] T, [ ] T mit x = x v y w den adjungierten Zuständen λ = λ x λ v λ y λ w und [ ] T. den konstanten Lagrange-Multiplikatoren µ = µ x µ y Die Randbedingungen für den adjungierten Zustand errechnen sich gemäß 4.03 zu λ x t = λ y t = Φ t x, x t, µ = µ x, λ v t = Φ t v, x t, µ = a Φ t y, x t, µ = µ y, λ w t = Φ t w, x t, µ = 0 ] T mit xt [xt = vt yt wt = x = lautet das adjungierte System woraus direkt 4.23b [ x v y w ] T und damit H λ x = x, u, λ = 0, λ x xt =µ x 4.24a H λ v = x, u, λ = λ x, λ v vt = b H λ y = x, u, λ = 0, λ y yt =µ y 4.24c H λ w = x, u, λ = λ y, λ w wt = 0, 4.24d λ x = µ x, λ v = µ xt t, λ y = µ y, λ w = µ yt t 4.25 folgt. Des Weiteren muss die Hamiltonfunktion H gemäß 4.03 extremal sein, weshalb die folgende Bedingung H x, u, λ = λ u va sinu + λ wa cosu = 0, 4.26

28 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 6 erfüllt sein muss und u sich in der Form tanu = λ w λ v u = arctan 4.25 = µ yt t µ xt t = µ y µ = konst. x µ y mit π 2 < u < π 2 µ x 4.27 berechnen lässt. Die optimale Steuerung u ist also auf dem gesamten Zeitintervall [, t ] konstant und die zugehörigen optimalen Zustandstrajektorien x t können durch Lösen der Differentialgleichungen 4.20 und Einsetzen der Anfangsbedingungen in der Form x t = g x µ x, µ y, t = x 0 + v 0 t + 2 a cosu t 2, cosu = v t = g v µ x, µ y, t = v 0 + a cosu t y t = g y µ x, µ y, t = y 0 + w 0 t + 2 a sinu t 2, sinu = w t = g w µ x, µ y, t = w 0 + a sinu t. + µ y/µ x a 4.28b µ y µ x + µ y/µ x c 4.28d bestimmt werden. Dabei wurden die trigonometrischen Beziehungen sinarctanb = b + b 2, cosarctanb = + b verwendet. Da die Endzeit t frei ist, muss zusätzlich die Transversalitätsbedingung 4.04 gelten, wobei sich die Hamiltonfunktion 4.22a aufgrund der Endbedingungen λ vt = λ wt = 0 entsprechend vereinfacht 0 = Φ t t, x t, µ + H x t, u t, λ t 4.30a = + µ x g v µ x, µ y, t + µ y g w µ x, µ y, t. 4.30b Mit Hilfe der zwei Gleichungsbeschränkungen 4.2 und der Transversalitätsbedingung 4.30 lässt sich ein Gleichungssystem für die verbleibenden drei Unbekannten µ x, µ y und t in der Form g x µ x, µ y, t x g y µ x, µ y, t ȳ = µ x g v µ x, µ y, t + µ y g w µ x, µ y, t formulieren, welches auf numerischem Wege gelöst werden kann. Eine geeignete Matlab Funktion zur Lösung von nichtlinearen Gleichungen ist mit dem Befehl

29 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 7 fsolve aus der Optimization Toolbox gegeben. Die Funktion fsolve verwendet standardmäßig die Methode der Vertrauensbereiche siehe Abschnitt 2.4, um ein Gleichungssystem in Residuenform Fx = 0 als Minimierungsproblem in x zu lösen. Als Beispiel ist in Abbildung 4.7 der Matlab Code dargestellt, wie fsolve zur Lösung von 4.3 verwendet werden kann. Der gewünschte Endpunkt x, ȳ wird beim Aufruf der Funktion particlex,y übergeben, wobei angenommen wird, dass die Punktmasse am Punkt x 0, y 0 = 0, 0 mit der Geschwindigkeit v 0, w 0 = 0, in vertikale Richtung startet. Abbildung 4.8 stellt die optimalen Bahnen x t, y t der Punktmasse in der x, y-ebene für verschiedene Endpunkte x, ȳ dar. Die Pfeile zeigen die konstante Richtung u = arctanµ y/µ x der angreifenden Kraft ma an. function [t,x,y,p] = punktmassex,y % % x,y: gewünschter Endpunkt % t,x,y: Trajektorien der Punktmasse % p: Parameterstruktur p.a = ; p.x0=0; p.v0=0; p.y0=0; p.w0=; p.x=x; p.y=y; % Parameter % Anfangsbedingungen % Endbedingungen Übergabe aus Funktionsaufruf opt = optimset Display, iter ; % Optionen X0 = [-,0,]; % Startwert Xopt = fsolve@eqns,x0,opt,p; % Numerische Lösung mit fsolve p.mux=xopt; p.muy=xopt2; p.t=xopt3; % Lösung t = linspace0,p.t,00; % Trajektorien x = xfctp.mux,p.muy,t,p; y = yfctp.mux,p.muy,t,p; % function res = eqnsx,p % Gleichungen in Residuenform mux=x; muy=x2; t=x3; res = [ xfctmux,muy,t,p - p.x; yfctmux,muy,t,p - p.y; mux*vfctmux,muy,t,p + muy*wfctmux,muy,t,p + ]; % function x = xfctmux,muy,t,p % Funktionen für x und v cosu = /sqrt+muy/mux^2; x = p.x0 + p.v0*t + p.a/2*cosu*t.^2; % t.^2 steht für komponentenweise Auswertung function v = vfctmux,muy,t,p cosu = /sqrt+muy/mux^2; v = p.v0 + p.a*cosu*t; % function y = yfctmux,muy,t,p % Funktionen für y und w sinu = muy/mux*sqrt+muy/mux^2; y = p.y0 + p.w0*t + p.a/2*sinu*t.^2; % t.^2 steht für komponentenweise Auswertung function w = wfctmux,muy,t,p sinu = muy/mux*sqrt+muy/mux^2; w = p.w0 + p.a*sinu*t; Abbildung 4.7: Matlab Code für das Punktmasse Problem unter Verwendung von fsolve. Aufgabe 4.5. Gegeben ist ein lineares zeitvariantes Mehrgrößensystem der Form ẋ = A t x + B t u, x = x

30 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite y x 0, y x Abbildung 4.8: Zeitoptimale Steuerung einer Punktmasse zu verschiedenen Endpunkten. mit dem Zustand x R n und dem Stelleingang u R m. Zeigen Sie, dass das zeitvariante Zustandsregelgesetz u t = R t B T t S t x t 4.33 mit S t als Lösung der Matrix-Riccati-Differentialgleichung Ṡ = SA A T S + SBR B T S Q, S t = S, t t 4.34 das Kostenfunktional J u = 2 x T t Q t x t + u T t R t u t dt + 2 xt t S x t 4.35 mit der für alle Zeiten t t positiv definiten Matrix R t, der für alle Zeiten t t positiv semidefiniten Matrix Q t und der positiv semidefiniten Matrix S minimiert. Dieses Problem ist auch unter dem Namen LQR Linear Quadratic Regulator Problem bekannt, vergleiche dazu auch Kapitel 3 im Skript Regelungssysteme Minimumsprinzip von Pontryagin Für das Weitere betrachte man im ersten Schritt die Minimierung des Kostenfunktionals J u = l x t, u t dt 4.36

31 4.2 Entwurf von Optimalsteuerungen Seite 9 mit der freien Endzeit t und einem festen Endzustand x t = x unter der Gleichungsbeschränkung des dynamischen Systems ẋ = f x t, u t, x = x für die zulässigen Stellgrößen m { m } u ĈU [, T] := u Ĉ [t0, T] : u t U, t0 t t 4.38 mit einer hinreichend großen Zeit T t und der nichtleeren Menge der Stellgrößenbeschränkungen U. Man kann nun das Optimierungsproblem ] 4.36, 4.37 durch Erweiterung des Zustandsvektors in der Form x T = [x T x n+ mit x n+ t := t l x τ, u τ dτ 4.39 wie folgt umformulieren: Gesucht wird eine zulässige Stellgröße u t ĈU [, T] m und eine Endzeit t so, dass die Lösung des erweiterten Systems [ ] [ ] [ ] ẋ f x, u x0 =, x = ẋ n+ l x, u 0 }{{}}{{} x f x,u 4.40 [ ] beim Punkt x T t = x T x n+ t terminiert und dabei x n+ t möglichst klein gemacht wird. Abbildung 4.9 veranschaulicht diesen Sachverhalt. x n+ Realisierbare Trajektorie Optimale Trajektorie xt x,2 x 0, 0 x t J u x 2 x, x x, 0 J u Abbildung 4.9: Zum Minimumsprinzip von Pontryagin. Die Linie durch den Punkt x, 0 parallel zur x n+ -Achse beschreibt alle Punkte einer Familie von Trajektorien xt des erweiterten Systems 4.40, die die Bedingung