Fernuniversität in Hagen

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1 Fernuniversität in Hagen Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Lehrstuhl für Angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung Univ.-Prof. Dr. H. Singer Klausur: Modul Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Termin: Prüfer: , Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine/Univ.-Prof. Dr. H. Singer

2 Hinweise zur Bearbeitung der Klausur: 1. Bitte lesen Sie diese Hinweise vollständig und aufmerksam durch, bevor Sie mit der Bearbeitung beginnen. 2. Die Klausur besteht aus 20 Aufgaben, die in 120 Minuten zu bearbeiten sind. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar mit 15 Seiten, einen LOTSE-Markierungsbogen. erhalten haben. Der LOTSE-Markierungsbogen der Klausur wird maschinell korrigiert. 3. Bevor Sie mit der Bearbeitung der Klausuraufgaben beginnen, füllen Sie bitte den Identifikationsteil des LOTSE-Markierungsbogens aus und tragen Sie Ihren Namen, Ihre Anschrift und Ihre Matrikelnummer ein. Hinweis: Ausschließlich Ihre Markierungen auf dem LOTSE-Markierungsbogen sind für die Bewertung Ihrer Klausur ausschlaggebend (Das Klausurexemplar wird nicht eingesammelt!). Erfahrungen haben gezeigt, dass Sie spätestens 15 Min. vor Abgabe der Klausur mit dem Markieren beginnen sollten. Kontrollieren Sie am besten noch einmal Ihre Markierungen, bevor Sie den Markierungsbogen abgeben. Bedenken Sie auch, dass, wenn Sie keine oder alle Alternativen markieren, die jeweilige Aufgabe mit Null Punkten bewertet wird. 4. Bei jeder Aufgabe ist die maximal erreichbare Anzahl der Punkte angegeben. 5. Insgesamt können Sie Punkte (gleich 100 Prozentpunkte) erreichen. Mit mindestens Punkten haben Sie die Klausur bestanden. 6. Die Klausur besteht aus numerischen und Multiple-Choice-Aufgaben. Beachten Sie bitte, dass bei den Mehrfach-Auswahlaufgaben (x aus 5)v 2 möglicherweise auch mehrere Antworten richtig sein können. Richtige Antworten sind zu markieren, falsche Antworten sind nicht zu markieren. Für die Ergebnisse der numerischen Aufgaben sind auf dem LOTSE- Markierungsbogen entsprechende Felder zum Eintrag vorgesehen. Geben Sie alle Lösungen in Dezimaldarstellung an und verwenden Sie als Dezimalzeichen ein Komma. Nutzen Sie für jedes Komma ein eigenes Kästchen und tragen Sie die Lösung linksbündig ein. 7. Bei Grafiken und Formeln wurde zugunsten der Übersichtlichkeit z. T. auf (streng mathematisch eigentlich notwendige) Beschriftungen

3 und Details verzichtet. So wurden i. d. R. die Achsenbeschriftungen und häufig die Definitionsbereiche weggelassen. Sofern nichts anderes angegeben ist, gelten die üblichen Konventionen. 8. Bei Verzinsung soll es sich für den Klausurteil des Kurses Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra um den Fall von Zinseszinsen handeln. Bei einer einfachen Verzinsung wird dies explizit angegeben. 9. Für beide Klausurteile ist die Verwendung eines Taschenrechners dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der folgenden Modellreihen angehört: - Casio fx86 oder Casio fx87 - Texas Instruments TI 30 X II oder - Sharp EL 531 Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note nicht ausreichend (5,0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der Modellreihen angehört, können Studierende selbst überprüfen, indem sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt. Eventuelle Vorgängeroder Nachfolgemodelle, die nicht in der oben aufgeführten Liste enthalten sind, sind ebenfalls nicht erlaubt. Als weiteres Hilfsmittel ist für den Statistikteil das Glossar zugelassen. Unterstreichungen, Korrekturhinweise und Post-Its sind erlaubt. Weitere Anmerkungen oder zusätzlich eingeheftete eigene Aufzeichnungen gelten als Täuschungsversuch. Nicht zugelassen sind selbst ausgedruckte oder kopierte Kursmaterialien. 10. Abzugeben ist nur der LOTSE-Markierungsbogen. Das Klausurexemplar wird nicht eingesammelt. Viel Erfolg!

4 Weitere Hinweise Ausfu llen des LOTSE-Markierungsbogens: Wichtig ist, dass Sie beim Markieren der Antworten auf dem LOTSE-Markierungsbogen einen nicht zu du nnen Strich oder ein nicht zu du nnes Kreuz machen und dass Sie darauf achten, dass Ihre Markierungen nicht in Nachbarfelder hineinreichen. Bleiben Sie innerhalb der weißen Fla chen. Die Korrekturen mu ssen eindeutig und klar sein, damit sie anerkannt werden. Schreiben Sie z.b. an den Rand Durchgestrichen=falsch oder 8 A=falsch. Ha ufig werden einzelne Markierungen mehrfach durchgestrichen und dann auch als gelo scht gewertet. Wenn Sie diese Markierung gewertet haben wollen, schreiben Sie das an den Rand, z.b. 18 C=richtig. Ansonsten werden mehrfach durchgestrichene Markierungen als Lo schungen gewertet! In das Antwortfeld fu r numerische Antworten mu ssen Sie die Ziffernfolge in die entsprechenden Felder des LOTSE-Markierungsbogens eintragen. Verwenden Sie als Dezimalzeichen ein Komma! Jedes Komma wird in ein eigenes Ka stchen geschrieben. Bitte fangen Sie linksbu ndig mit der ersten Ziffer an. Damit Ihre Zahlen richtig interpretiert werden, sollen sie schno rkellos geschrieben sein. Bewertung: Ist eine numerische Aufgabe richtig, wird die volle Punktzahl, ansonsten Null Punkte, vergeben. Die Bewertung der Multiple-Choice-Aufgaben erfolgt nach folgendem Prinzip: Die Bewertung der Mehrfach-Auswahlaufgaben wird in folgender Tabelle verdeutlicht.

5 eine richtige Markierung / Nicht-Markierung zwei richtige Markierungen / Nicht-Markierungen drei richtige Markierungen / Nicht-Markierungen vier richtige Markierungen / Nicht-Markierungen fünf richtige Markierungen / Nicht-Markierungen 1 Punkt 10 Punkte 30 Punkte 60 Punkte 100 Punkte Beispiel: Sind A und B richtig und es wurden A, B und C markiert (d.h. 4 richtige Antworten A, B, D, E) gibt es bei einer Mehrfach-Auswahlaufgabe 60 Punkte.

6 Klausur: Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra 1 Aufgaben Aufgabe 1 (x aus 5) 100 Rohpunkte Bestimmen Sie wahre Aussagen: A) (0, 4, 3) T (5, = 0, 0) T. B) (2, 3, 1) T = 12. C) Die 1. Ableitung der Funktion f(x) = e 3x2 lautet: f (x) = 3x 2 e 6x. D) Die 1. Ableitung der Funktion f(x) = 1 x 2 lautet: f (x) = 2 x 3. E) Für die Funktion f(x,y) = x 4 3x 2 y 3 +4y 2 lautet die ( ) 4x 3 6xy 3 12 Hesse-MatrixH =. 18x 2 y +8 9x 2 y 2 +8y Aufgabe 2 (x aus 5) 100 Rohpunkte Bestimmen Sie wahre Aussagen: A) Es gilt B) Es gilt dx = 372 x ,875x 2 +5xadx = 864 mit a > 0. ( ) 3 C) Eine Stammfunktion zu f(x) = x 5 x2 +5a mit a > 0 ist F(x) = 3 20 x4 +2,5ax 2 +c mit c R. D) Eine Stammfunktion zuf(x) = 5 x istf(x) = 5x +c mit c R. ln5 E) Eine Stammfunktion zuf(x) = x+a mit x 0,a > 0 ist F(x) = 2 3 x3 +ax+c mit c R.

7 Klausur: Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra 2 Aufgaben Aufgabe 3 (x aus 5) 0,25 Gegeben seien die Vektoren a = 0,375,b = Bestimmen Sie wahre Aussagen: A) Die Vektorenaundbsind linear unabhängig. B) Die Vektorenaundcsind orthogonal. C) Es gilt: b T c = 15 /32 9/128 51/ /32 9/64 9/8 5,c = 0, Rohpunkte 17/48 D) Die Norm des Vektors a multipliziert mit dem Skalar beträgt 1. E) Es gilt: a > b. Aufgabe 4 (x aus 5) 100 Rohpunkte Gegeben sei die Funktion f(x) = x2 1 2x 2 1 x+1. Bestimmen Sie wahren Aussagen: A) Die Funktion f besitzt mindestens eine Nullstelle. B) Die Funktion f besitzt keine Nullstelle. C) Die 1. Ableitung der Funktion f lautet: f (x) = 2x ( ) 2 1 (x 2 +1) 2. D) Die Funktion f ist monoton steigend. E) Die Funktion f ist streng konkav.

8 Klausur: Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra 3 Aufgaben Aufgabe 5 (x aus 5) 100 Rohpunkte Gegeben sei die GrenzdeckungsbeitragsfunktionDB einer Deckungsbeitragsfunktion DB eines Polynoms dritten Grades in Abhängigkeit der herzustellenden Menge x (x 0). y DB (b) DB (x) a b c x Bestimmen Sie wahre Aussagen zur oben dargestellten Funktion: A) Sowohl bei einer Herstellungsmenge von x = a als auch bei einer Herstellungsmenge von x = c ergibt sich der gleiche Deckungsbeitrag. B) Bei einer Herstellungsmenge von x = c ist die Tangente zur Deckungsbeitragsfunktion DB an dieser Stelle parallel zurx-achse. C) Der Deckungsbeitrag der Herstellungsmenge steigt im Intervall [a,c]. D) Der maximale Deckungsbeitrag wird bei einer Herstellungsmenge von x = a erzielt. E) Der maximale Deckungsbeitrag wird bei einer Herstellungsmenge von x = b erzielt.

9 Klausur: Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra 4 Aufgaben Aufgabe 6 (x aus 5) 100 Rohpunkte Ein Unternehmen produziert zwei verschiedene Güter Gut 1 und Gut 2 mit jeweils einer Stückzahl von x 1 für Gut 1 und x 2 für Gut 2. Die Preisabsatzfunktion ist für Gut 1 gegeben durch p 1 (x 1 ) = 125 x 1 und für Gut 2 gegeben durch p 2 (x 2 ) = 225 x 2. Betriebstechnisch ist die Produktion durch die Nebenbedingung 4x 1 +3x 2 = 50 beschränkt. Das Unternehmen ist interessiert an einer Maximierung der Erlöse der beiden Güter Gut 1 und Gut 2 : max{e(x 1,x 2 ) 50 4x 1 3x 2 = 0 mit (x 1,x 2 ) R}. Bestimmen Sie wahre Aussagen zu dem in dieser Aufgabe dargestellten Sachverhalt: A) Die zugehörige Erlösfunktion lautet: E(x 1,x 2 ) = 125x x 2. B) Die zugehörige Erlösfunktion lautet: E(x 1,x 2 ) = 125x 1 x x 2 x 2 2. C) Eine Lagrange-Funktion lautet: L(x 1,x 2 ) = 125x x 2. D) Die erste partielle Ableitung einer Lagrange-Funktion nachx 1 lautet: L x1 (x 1,x 2,λ) = 125 2x 1 4 λ = 0. E) Die erste partielle Ableitung einer Lagrange-Funktion nachx 2 lautet: L x2 (x 1,x 2,λ) = λ = 0.

10 Klausur: Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra 5 Aufgaben Aufgabe 41 (numerisch) 100 Rohpunkte Nach wie vielen Jahren werden insgesamt Euro angespart, wenn dafür 799,10 Euro am Ende eines jeden Jahres eingezahlt werden? Der Zins betrage 2,5 % p. a. Geben Sie das Ergebnis (kaufmännisch) gerundet in ganzen Jahren an! Hinweis: Zwischenergebnisse sind nicht zu runden! Aufgabe 42 (numerisch) 100 Rohpunkte Eine Maschine im Wert von Euro wird zu Beginn eines Jahres angeschafft und über eine Nutzungsdauer von 12 Jahren arithmetisch degressiv abgeschrieben. Welcher Betrag ist im letzten Jahr am Ende der Nutzungsdauer abzuschreiben, so dass sich ein Restbuchwert von 0 Euro ergibt? Aufgabe 43 (numerisch) 100 Rohpunkte Bestimmen Sie x! x = Aufgabe 44 (numerisch) 100 Rohpunkte ,25x für x < 12 f(x) dx mit f(x) = 6x 9 für x 12 Berechnen Sie obenstehendes Integral. Hinweis: Zwischenergebnisse und das Ergebnis sind nicht zu runden!

11 Grundlagen der Statistik Aufgabe 7 (100 Rohpunkte) Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Das Merkmal Geschlecht ist ordinal messbar. B Bei dem Merkmal Körpergröße handelt es sich um ein stetiges Merkmal. C Bei dem Merkmal Nationalität handelt es sich um ein nominales Merkmal. D Punkte in einer Klausur und Bücherbestand in einer Bibliothek sind Beispiele für diskrete Merkmale. E Hörerzahl einer Vorlesung und Anzahl der Mitarbeiter eines Betriebes sind stetige Merkmale.

12 Grundlagen der Statistik Aufgabe 8 (100 Rohpunkte) In einer Stichprobe von 8 Beobachtungen 198, 198, 198, 200, 201, 205, 208, 210 ergab sich als Median der Wert 200,5 und als Mittelwert x = 202, 25. Nachträglich wurde festgestellt, dass die Werte 198, 208, 210 aufgrund eines systematischen Fehlers jeweils um 5 Einheiten zu hoch abgelesen wurden. Wie verändern sich durch diese Korrektur Median und Mittelwert? (x aus 5) A Median und Mittelwert verkleinern sich um 1,375. B Median und Mittelwert verkleinern sich um 0,5. C Der Median verkleinert sich um 0,5, der Mittelwert verkleinert sich um 1,5. D Der Median bleibt gleich, der Mittelwert verkleinert sich um 3,125. E Der Median und Mittelwert bleiben gleich.

13 Grundlagen der Statistik Aufgabe 9 (100 Rohpunkte) Für die Merkmale X und Y ŷ = a + bx = 4 6x ermittelt. wurde die empirische Regressionsfunktion Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Der für b berechnete Wert bedeutet, dass der y-wert durchschnittlich um 6 Einheiten sinkt, wenn der x-wert um eine Einheit sinkt. B Der Regressionskoeffizient a gibt geometrisch den Schnittpunkt der Regressionsgeraden mit der Y-Achse an (Achsenabschnitt). C Die obige Regressionsgerade verläuft durch den Punkt ( x, ȳ). D In einer Regressionsgleichung wird X als Regressand, endogene oder erklärte Variable bezeichnet. E Keine der Aussagen A - D ist richtig.

14 Grundlagen der Statistik Aufgabe 10 (100 Rohpunkte) In einer Urne befinden sich 9 rote und 10 gelbe Kugeln. Es werden nacheinander (ohne Zurücklegen) zwei Kugeln gezogen. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Unter der Bedingung, dass beim ersten Zug eine rote Kugel gezogen wurde, beträgt die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug eine gelbe Kugel zu ziehen 0,75 B Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu erhalten beträgt 0,747. C Unter der Bedingung, dass beim ersten Zug eine gelbe Kugel gezogen wurde, beträgt die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug eine gelbe Kugel zu ziehen 0,5. D Unter der Bedingung, dass beim ersten Zug eine gelbe Kugel gezogen wurde, beträgt die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug eine gelbe Kugel zu ziehen 0,9. E Keine der Aussagen A - D ist richtig.

15 Grundlagen der Statistik Aufgabe 11 (100 Rohpunkte) Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Eine erwartungstreue Schätzfunktion heißt effizient, wenn diese eine unendliche Varianz besitzt. B Mit der Effizienz einer Schätzfunktion wird die Forderung der Erwartungstreue und maximaler Varianz gestellt. C Für konsistente Schätzfunktionen gilt, dass mit wachsendem Stichprobenumfang die Varianz der Schätzfunktion anwächst. D Für erwartungstreue Schätzfunktionen ist die Verzerrung größer Null. E Keine der Aussagen A - D ist richtig.

16 Grundlagen der Statistik Aufgabe 12 (100 Rohpunkte) Eine Versicherungsgesellschaft ist daran interessiert, ob das Unfallrisiko an den verschiedenen Wochentagen gleich hoch ist. Im Laufe mehrerer Monate wurde folgende Verteilung der Unfälle nach Wochentagen ermittelt: Wochentag Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Anzahl der Unfälle Zu prüfen ist die Hypothese, das Unfallrisiko ist für alle Wochentage gleich hoch (α = 0, 01). Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Es gilt χ 2 = 6, 56. B Die Hypothese, das Unfallrisiko ist für alle Wochentage gleich hoch, kann verworfen werden. C Die Annahmegrenze beträgt 18,74. D Die Hypothese, das Unfallrisiko ist für alle Wochentage gleich hoch, kann nicht verworfen werden. E Keine der Aussagen A - D ist richtig.

17 Grundlagen der Statistik Aufgabe 13 (100 Rohpunkte) Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Ein Konfidenzintervall wird umso kleiner, je größer α wird. B Die Grenzen eines 99%-Konfidenzintervalls für den Parameter µ sind Realisationen von Zufallsvariablen. C Ein aufgrund einer konkreten Stichprobe berechnetes Konfidenzintervall enthält mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit von (1 α) den wahren - zu schätzenden - Parameter. D Je kleiner der Stichprobenumfang wird, desto kleiner wird das Konfidenzintervall. E Keine der Aussagen A - D ist richtig.

18 Grundlagen der Statistik Aufgabe 14 (100 Rohpunkte) Die Zufallsvariable X besitzt folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: x i P (X = x i ) 0,6 0,1 0,2 0,3 0,1 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A E(X) = 0, 3. B E(X) = 0, 6. C E(X) = 0, 3 D Es liegt eine Gleichverteilung vor. E Keine der Aussagen A - D ist richtig.

19 Grundlagen der Statistik Aufgabe 45 (100 Rohpunkte) Die Kapazität einer Lieferung von Kondensatoren sei normalverteilt mit Erwartungswert µ = 100 pf und einer Standardabweichung von σ = 0, 2 pf. Wie viel Prozent Ausschuss sind zu erwarten, wenn die Kapazität der Kondensatoren um maximal 0.2 pf vom Sollwert 100 pf abweichen darf? (Angabe in Prozent, auf zwei Nachkommastellen gerundet) (numerisch) Ausschuss =

20 Grundlagen der Statistik Aufgabe 46 (100 Rohpunkte) Gegeben sind nachstehende Beobachtungspaare für die Merkmale X und Y : i x i c y i , Berechnet wurde die Regressionsgerade ŷ = 7 0.5x. Bestimmen Sie den fehlenden Wert c in der Tabelle. (numerisch) c =