Fernuniversität in Hagen

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1 Fernuniversität in Hagen Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Lehrstuhl für Angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung Univ.-Prof. Dr. H. Singer Klausur: Modul Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Termin: Prüfer: , Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine/Univ.-Prof. Dr. H. Singer

2 Hinweise zur Bearbeitung der Klausur: 1. Bitte lesen Sie diese Hinweise vollständig und aufmerksam durch, bevor Sie mit der Bearbeitung beginnen. 2. Die Klausur besteht aus 20 Aufgaben, die in 120 Minuten zu bearbeiten sind. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar mit 16 Seiten, einen LOTSE-Markierungsbogen. erhalten haben. Der LOTSE-Markierungsbogen der Klausur wird maschinell korrigiert. 3. Bevor Sie mit der Bearbeitung der Klausuraufgaben beginnen, füllen Sie bitte den Identifikationsteil des LOTSE-Markierungsbogens aus und tragen Sie Ihren Namen, Ihre Anschrift und Ihre Matrikelnummer ein. Hinweis: Ausschließlich Ihre Markierungen auf dem LOTSE-Markierungsbogen sind für die Bewertung Ihrer Klausur ausschlaggebend (Das Klausurexemplar wird nicht eingesammelt!). Erfahrungen haben gezeigt, dass Sie spätestens 15 Min. vor Abgabe der Klausur mit dem Markieren beginnen sollten. Kontrollieren Sie am besten noch einmal Ihre Markierungen, bevor Sie den Markierungsbogen abgeben. Bedenken Sie auch, dass, wenn Sie keine oder alle Alternativen markieren, die jeweilige Aufgabe mit Null Punkten bewertet wird. 4. Bei jeder Aufgabe ist die maximal erreichbare Anzahl der Punkte angegeben. 5. Insgesamt können Sie Punkte (gleich 100 Prozentpunkte) erreichen. Mit mindestens Punkten haben Sie die Klausur bestanden. 6. Die Klausur besteht aus numerischen und Multiple-Choice-Aufgaben. Beachten Sie bitte, dass bei den Mehrfach-Auswahlaufgaben (x aus 5)v 2 möglicherweise auch mehrere Antworten richtig sein können. Richtige Antworten sind zu markieren, falsche Antworten sind nicht zu markieren. Für die Ergebnisse der numerischen Aufgaben sind auf dem LOTSE- Markierungsbogen entsprechende Felder zum Eintrag vorgesehen. Geben Sie alle Lösungen in Dezimaldarstellung an und verwenden Sie als Dezimalzeichen ein Komma. Nutzen Sie für jedes Komma ein eigenes Kästchen und tragen Sie die Lösung linksbündig ein. 7. Bei Grafiken und Formeln wurde zugunsten der Übersichtlichkeit z. T. auf (streng mathematisch eigentlich notwendige) Beschriftungen

3 und Details verzichtet. So wurden i. d. R. die Achsenbeschriftungen und häufig die Definitionsbereiche weggelassen. Sofern nichts anderes angegeben ist, gelten die üblichen Konventionen. 8. Bei Verzinsung soll es sich für den Klausurteil des Kurses Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra um den Fall von Zinseszinsen handeln. Bei einer einfachen Verzinsung wird dies explizit angegeben. 9. Für beide Klausurteile ist die Verwendung eines Taschenrechners dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der folgenden Modellreihen angehört: - Casio fx86 oder Casio fx87 - Texas Instruments TI 30 X II - Sharp EL 531 Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note nicht ausreichend (5,0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der Modellreihen angehört, können Studierende selbst überprüfen, indem sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt. Eventuelle Vorgängeroder Nachfolgemodelle, die nicht in der oben aufgeführten Liste enthalten sind, sind ebenfalls nicht erlaubt. Als weiteres Hilfsmittel ist für den Statistikteil das Glossar zugelassen. Unterstreichungen, Korrekturhinweise und Post-Its sind erlaubt. Weitere Anmerkungen oder zusätzlich eingeheftete eigene Aufzeichnungen gelten als Täuschungsversuch. Nicht zugelassen sind selbst ausgedruckte oder kopierte Kursmaterialien. 10. Abzugeben ist nur der LOTSE-Markierungsbogen. Das Klausurexemplar wird nicht eingesammelt. Viel Erfolg!

4 Weitere Hinweise Ausfu llen des LOTSE-Markierungsbogens: Wichtig ist, dass Sie beim Markieren der Antworten auf dem LOTSE-Markierungsbogen einen nicht zu du nnen Strich oder ein nicht zu du nnes Kreuz machen und dass Sie darauf achten, dass Ihre Markierungen nicht in Nachbarfelder hineinreichen. Bleiben Sie innerhalb der weißen Fla chen. Die Korrekturen mu ssen eindeutig und klar sein, damit sie anerkannt werden. Schreiben Sie z.b. an den Rand Durchgestrichen=falsch oder 8 A=falsch. Ha ufig werden einzelne Markierungen mehrfach durchgestrichen und dann auch als gelo scht gewertet. Wenn Sie diese Markierung gewertet haben wollen, schreiben Sie das an den Rand, z.b. 18 C=richtig. Ansonsten werden mehrfach durchgestrichene Markierungen als Lo schungen gewertet! In das Antwortfeld fu r numerische Antworten mu ssen Sie die Ziffernfolge in die entsprechenden Felder des LOTSE-Markierungsbogens eintragen. Verwenden Sie als Dezimalzeichen ein Komma! Jedes Komma wird in ein eigenes Ka stchen geschrieben. Bitte fangen Sie linksbu ndig mit der ersten Ziffer an. Damit Ihre Zahlen richtig interpretiert werden, sollen sie schno rkellos geschrieben sein. Bewertung: Ist eine numerische Aufgabe richtig, wird die volle Punktzahl, ansonsten Null Punkte, vergeben. Die Bewertung der Multiple-Choice-Aufgaben erfolgt nach folgendem Prinzip: Die Bewertung der Mehrfach-Auswahlaufgaben wird in folgender Tabelle verdeutlicht.

5 eine richtige Markierung / Nicht-Markierung zwei richtige Markierungen / Nicht-Markierungen drei richtige Markierungen / Nicht-Markierungen vier richtige Markierungen / Nicht-Markierungen fünf richtige Markierungen / Nicht-Markierungen 1 Punkt 10 Punkte 30 Punkte 60 Punkte 100 Punkte Beispiel: Sind A und B richtig und es wurden A, B und C markiert (d.h. 4 richtige Antworten A, B, D, E) gibt es bei einer Mehrfach-Auswahlaufgabe 60 Punkte.

6 Klausur: Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra 1 Aufgaben Aufgabe 1 (x aus 5) 100 Rohpunkte Bestimmen Sie wahre Aussagen: A) (1, 6, 0, 7) T = 86. B) (5, 6, 0) T (6, = 3, 4, 0) T. C) Die 1. Ableitung der Funktionf(x) = (5x 2) 4 lautet: f (x) = 4 (5x 2) 3. D) Die 1. Ableitung der Funktionf(x) = e 0,8x e 2x lautet: f (x) = 2,8e 2,8x. E) Für die Funktionf(x,y) = e x +3x 3 +2xy 2 5xy +2y 4 lautet die ( ) 18x 4y 5 Hesse-MatrixH =. 4y 5 24y 2 +4x Aufgabe 2 (x aus 5) 100 Rohpunkte Bestimmen Sie wahre Aussagen: A) Es gilt B) Es gilt 2xdx = x2 +2adx = 27 mita > 0. C) Eine Stammfunktion zuf(x) = 1 2ax xb+2 mitx 0,a,b > 0,b 3 ist F(x) = 1 4ax xb+3 +c mitc R. D) Eine Stammfunktion zuf(x) = e x ist F(x) = 1 2 ex2 +c mit c R. E) Eine Stammfunktion zuf(x) = 1 1 ist F(x) = +c mit c R. 2x4 6x3

7 Klausur: Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra 2 Aufgaben Aufgabe 3 (x aus 5) Gegeben seien die Vektoren a = Bestimmen Sie wahre Aussagen: 1 /3 1/6 1/12, b = A) Die Vektorenaundcsind linear unabhängig. 5/6 B) Es gilt: c T b = 1,25. C) Die Vektorenaundbsind orthogonal. D) Die Norm des Vektorscbeträgt 1. E) Es gilt: a < b. 1 0,625 0,25 2,c = 100 Rohpunkte 4/3 5 0,5. Aufgabe 4 (x aus 5) 100 Rohpunkte Gegeben sei die Funktion f(x) = (x 3) (x+3) (x 6). Bestimmen Sie wahren Aussagen: A) Die Nullstellen vonf lauten x N1 = 3,x N2 = 3 undx N3 = 6. B) Für x > 6 giltf(x) > 0. C) Die lokalen Optima vonf sind an den Stellen x 01 = 3 und x 02 = 6. D) Der Wendepunkt von f ist an der Stelle x W = 2. E) Für das Krümmungsverhalten der Funktion gilt:f ist für x < 0 konvex.

8 Klausur: Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra 3 Aufgaben Aufgabe 5 (x aus 5) 100 Rohpunkte Gegeben seien die Funktion f eines Polynoms dritten Grades und eine quadratische Funktion g. Der Funktionsgraph zu f ist in untenstehender Darstellung durch eine gestrichelte Linie dargestellt, der Funktionsgraph zu g durch eine durchgezogene Linie. f(a) y g(x) a b c x f(x) g(b) f(c) Bestimmen Sie wahre Aussagen zu den oben dargestellten Funktionen: A) Die Schnittpunkte der beiden Funktionenf und g berechnen sich durch: f(x) g(x) = 0. B) f(a) = f(c). C) f(a) > g(b). D) f (a) = 0 undf (a) = 0. E) g (b) = 0 und G (b) = 0, wobei G eine Stammfunktion vong ist.

9 Klausur: Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra 4 Aufgaben Aufgabe 6 (x aus 5) 100 Rohpunkte Ein Unternehmen stellt verschiedene Endprodukte P 1,P 2,P 3,P 4 her. Dazu werden aus den Rohstoffen R 1,R 2,R 3 die zwei Zwischenprodukte Z 1,Z 2 gefertigt, aus den Zwischenprodukten Z 1,Z 2 werden dann die Endprodukte P 1,P 2,P 3,P 4, hergestellt. Der Bedarf an RohstoffenR 1,R 2,R 3 für die Herstellung jeweils eines Zwischenproduktes ist in Tabelle 1 und der Bedarf an ZwischenproduktenZ 1,Z 2 für die Fertigung jeweils eines Endproduktes ist in Tabelle 2 abzulesen: R 1 R 2 R 3 Z Z Tabelle 1 P 1 P 2 P 3 P 4 Z Z Tabelle 2 Bestimmen Sie wahre Aussagen für die Matrix des Rohstoffbedarfs der Endprodukte: A) = ( ) ( ) T B) = ( ) C) = D) E) ( ) T ) ( = ( ) =

10 Klausur: Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra 5 Aufgaben Aufgabe 41 (numerisch) 100 Rohpunkte Eine Maschine mit einem Anschaffungswert von Euro wird über 12 Jahre geometrisch degressiv abgeschrieben. Die Abschreibung erfolgt jährlich. Im 2. Jahr liegt der Restbuchwert der Maschine bei Euro. Bestimmen Sie den Abschreibungssatz. Geben Sie als Ergebnis den Abschreibungssatz in Prozent und in Dezimalschreibweise an. Hinweis: Zwischenergebnisse und das Ergebnis sind nicht zu runden! Aufgabe 42 (numerisch) 100 Rohpunkte Die Metall GmbH hat den Auftrag ein sehr dünnes Stück Metall auszuschneiden, dessen Form durch die Funktionen y f(x) = 0,6x 2 f(x) 8x+13 und g(x) x g(x) = 4x+13 Skizze begrenzt wird (siehe grau schraffierte Fläche in der Skizze);x,f(x) undg(x) sind in Dezimetern (dm) angegeben. Das ausgeschnitte Stück Metall soll von beiden Seiten, d.h. von der Ober- und der Unterseite, mit einem Speziallack lackiert werden. Der Speziallack kostet 1,15 Euro je dm 2. Wie hoch sind die Kosten des Speziallacks für das Stück Metall? Geben Sie als Ergebnis die Kosten des Speziallacks für das Stück Metall in Dezimalschreibweise an! Hinweis: Zwischenergebnisse und das Ergebnis sind nicht zu runden!

11 Klausur: Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra 6 Aufgaben Aufgabe 43 (numerisch) 100 Rohpunkte Zur Bestimmung des maximalen Gewinns für die Herstellung der beiden Produkte P 1 und P 2, wobei x 1 die herzustellende Menge von P 1 und x 2 die herzustellende Menge von P 2 bezeichnet, sei folgendes lineares Programm gegeben: max 15x 1 + 5x 2 u.d.n. 2x 1 + 2x 2 24 (1) 2x 1 + 4x 2 32 (2) x 2 3 (3) x 1, x 2 0 (NNB) Bestimmen Sie eine optimale Lösung für das obenstehende lineare Programm und geben Sie als Ergebnis den maximalen Gewinn in Dezimalschreibweise an. Aufgabe 44 (numerisch) 100 Rohpunkte ,75x dx Berechnen Sie obenstehendes Integral und geben Sie das Ergebnis in Dezimalschreibweise an. Hinweis: Zwischenergebnisse und das Ergebnis sind nicht zu runden!

12 Grundlagen der Statistik Aufgabe 7 (100 Rohpunkte) Welche der folgenden Aussagen ist richtig? (x aus 5) A Metrische Merkmale unterscheiden sich durch Ihre Größe und werden daher auch als quantitative Merkmale bezeichnet. B Nominalskalierte Merkmale heißen auch quantitative Merkmale. C Eine dichotome Variable kann nur die Ausprägungen Eigenschaft vorhanden bzw. Eigenschaft nicht vorhanden annehmen. D Lebensdauer, Größe und Gewicht sind Beispiele für diskrete Merkmale. E Eine Nominalskala unterscheidet Merkmale nur nach Gleichheit oder Verschiedenheit. Es existiert keine Rangordnung.

13 Grundlagen der Statistik Aufgabe 8 (100 Rohpunkte) Gegeben ist folgende Reihe von Merkmalswerten: Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Der Modalwert beträgt 7. B Es existieren mehrere Modalwerte. C Der Median beträgt 3,5. D Das arithmetische Mittel beträgt 4,9. E Werden alle Beobachtungen mit 2 multipliziert, so verändert sich die empirische Varianz s 2 um den Faktor 0,4.

14 Grundlagen der Statistik Aufgabe 9 (100 Rohpunkte) Welche der folgenden Aussagen zur Korrelation zweier Merkmale X und Y sind richtig? (x aus 5) A Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson wird angewendet, wenn ordinal skalierte Merkmale vorliegen. B Der Korrelationskoeffizient nach Spearman betrachtet einen monotonen Zusammenhang. C Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson nimmt betragsmäßig den Wert 1 nur genau dann an, wenn alle Beobachtungswerte auf einer Geraden liegen. D Ist ein mathematisch korrelativer Zusammenhang zwischen den Merkmalen X und Y nachgewiesen, so besteht auch immer ein direkter kausaler Zusammenhang wischen den Merkmalen. E Ist r 1, so kann kein Zusammenhang vorliegen.

15 Grundlagen der Statistik Aufgabe 10 (100 Rohpunkte) Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) X, Y und Z seien drei unterschiedliche Ereignisse und weiter gelte X Y = Z. Dann gilt immer: A P (X Y ) P (Z) = P (X) + P (Y ) B P (Z) P (Y ) C P (Z) = P (X Y ) P (Y ) D P (Z) = P (X) + P (Y ) P (X Y ) E Keine der Aussagen A - D ist richtig.

16 Grundlagen der Statistik Aufgabe 11 (100 Rohpunkte) Es wird vermutet, dass der Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen X und Y durch eine Funktion der Form ŷ = a+bx+cx 2 erfasst werden kann. Mittels der Methode der Kleinsten Quadrate werden die Parameter a = 0, b = 1, 5 und c = 0, 25 berechnet. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Die Funktion ŷ = 1, 5x + 0, 25x 2 ist keine Regressionsfunktion, da der Parameter a fehlt. B Beim Funktionstyp ŷ = a + bx + cx 2 handelt es sich um eine Exponentialfunktion. C Für x = 2 liefert ŷ einen Prognosewert von 4. D Eine Regressionsfunktion liegt nur vor, wenn c = 0 ist. E Keine der Aussagen A - D ist richtig.

17 Grundlagen der Statistik Aufgabe 12 (100 Rohpunkte) Die Zufallsvariable X besitzt folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: x i P (X = x i ) 1/4 1/4 1/4 1/4 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A E(X) = 1 2 B E(X) = 1 2 C E(X) = 3 2 D Es liegt eine Gleichverteilung vor. E Es liegt eine Binomialverteilung vor mit n = 4 und p = 1/4.

18 Grundlagen der Statistik Aufgabe 13 (100 Rohpunkte) Bei welchen der folgenden Probleme sollte ein einseitiger Test durchgeführt werden? (x aus 5) A Untersuchung über die Zunahme der Luftverschmutzung. B Prüfung der Abweichung eines Kolbendurchmessers von der Norm durch den Hersteller. C Untersuchung der Chancen einer kleinen Partei, die 5%-Hürde zu überwinden. D Untersuchung über die Änderung des Energieverbrauchs der Bevölkerung pro Kopf und Jahr. E Untersuchung über die abfallende Nachfrage eines Gutes.

19 Grundlagen der Statistik Aufgabe 14 (100 Rohpunkte) Für einen neuen Winterreifen wurden zwei verschiedene Profile entwickelt. Es soll untersucht werden, ob sich die Profile in ihrer Bremswirkung auf trockener Fahrbahn unterscheiden. Dazu werden 20 Testfahrzeuge einmal mit der Profilsorte A und das andere Mal mit der Profilsorte B bestückt und jeweils bei der gleichen Geschwindigkeit abgebremst. Nachfolgende Tabelle gibt an, ob die Differenz Bremsweg(A)-Bremsweg(B) positiv oder negativ ausgefallen ist. Fahrzeug Differenz Anhand des Vorzeichentests mit der Prüfgröße Z n ist zum Signifikanzniveau von 10% zu überprüfen, ob die Profile unterschiedliche Bremswege liefern. Z n = n Z i (Anzahl der X i > δ 0 ) i=1 1 falls X i > δ 0 Z i = i = 1,..., n 0 falls X i < δ 0 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Die Testgröße Z n ist B(20; 0.5)-verteilt. B Die kritischen Werte sind c u = 6 und c o = 14. C Die kritischen Werte sind c u = 5 und c o = 13. D Z n = 5 E Die Nullhypothese kann nicht verworfen werden.

20 Grundlagen der Statistik Aufgabe 45 (100 Rohpunkte) Die Brenndauer B von Energiesparlampen hat einen Erwartungswert von µ = 1200 Stunden und eine Varianz von σ 2 = Stunden 2. Eine Lampe besteht aus drei solcher Energiesparlampen, deren Brenndauer B i (i = 1, 2, 3) unabhängig identisch normalverteilt ist wie B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gesamte Brenndauer B 1 +B 2 +B 3 der drei Energiesparlampen zwischen 3200 und 3800 Stunden liegt? (numerisch) P =

21 Grundlagen der Statistik Aufgabe 46 (100 Rohpunkte) Gegeben sei die Verteilungsfunktion F X (x) = 0 x < 2 1 (x 100 2)2 für 2 x < x Bestimmen Sie den Median, d.h. das 50%-Quantil, auf eine Nachkommastelle gerundet. (numerisch) x med =