Burgers Gleichung. Juri Chomé, Olaf Merkert. 2. Dezember J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
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1 Burgers Gleichung Juri Chomé, Olaf Merkert 2. Dezember 2009 J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
2 Gliederung 1 Geschichte 2 Herleitung 3 Charakteristiken 4 Numerische Lösung J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
3 Gliederung 1 Geschichte 2 Herleitung 3 Charakteristiken 4 Numerische Lösung J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
4 Jan Burgers Johannes Martinus Burgers ( ) Physikstudium in Leiden Lernt Lorentz, Bohr, Einstein etc. kennen Professor mit 23 Jahren in Delft Bereich Schiffsbau, elektrische und mechanische Ingenieurwissenschaften Gründet ein Labor für Aero- und Hydrodynamik J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
5 Burgers Gleichung Burgers etabliert sich schnell als weltweiter Experte für Strömungsdynamik Studiert grossteils Turbulenzen, theoretisch und statistisch Hieraus geht u.a. die Burgers Gleichung hervor: Beispiel einer nicht-linearen partiellen Diffglch. J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
6 Burgers Gleichung Die viskose Version lautet: u t (u2 ) x = νu xx Nicht-viskose Form (ν = 0) hängt mit den Euler-Gleichungen zusammen Keine unmittelbare physikalische Anwendung Wird zur Veranschaulichung von Shocks benutzt Unstetigkeiten und nicht-eindeutigkeit der Lösung, trotz glatter Anfangsdaten J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
7 Gliederung 1 Geschichte 2 Herleitung 3 Charakteristiken 4 Numerische Lösung J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
8 Modellierung φ : Y T X Abbildung, X,Y,T R Intervalle x = φ(y,t) Ort eines Teilchens y zur Zeit t Geschwindigkeit t φ(y,t) = φ t (y,t) und Beschleunigung tt φ(y,t) = φ tt (y,t) eines Teilchens y. Keine Überholmanöver : d.h. φ(, t) t T streng monoton. Umkehrfunktionen t: ψ : X T Y y = ψ(x,t) ist das Teilchen an der Stelle x zur Zeit t Definiere u(x,t) = φ t (ψ(x,t),t) die Geschwindigkeit des Teilchens bei x zur Zeit t. J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
9 Ersetze x = φ(y,t): φ t (y,t) = u(φ(y,t),t) φ tt (y,t) = t u(φ(y,t),t) Ersetze y = ψ(x,t): = u x (φ(y,t),t) φ t (y,t) + u t (φ(y,t),t) 1 φ tt (ψ(x,t),t) = u t (x,t) + u x (x,t) φ t (ψ(x,t),t) = u t (x,t) + u x (x,t) u(x,t) Annahme: Keine Wechselwirkung, also keine Beschleunigung zwischen Teilchen: φ tt = 0 J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
10 Hyperbolische Gleichung Das gibt die Burgers Gleichung: u t + u u x = 0 u t + x ( 1 2 u2 ) = 0 Das ist eine hyperbolische Erhaltungsgleichung: u t + x (F(u)) = 0 Testproblem: u t + u u x = 0 u(0,t) = u(2π,t) = 0 u(x,0) = u 0 (x) = sin(x) F(u) = 1 2 u2 in (0,2π) R 0 für alle t für alle x J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
11 Gliederung 1 Geschichte 2 Herleitung 3 Charakteristiken 4 Numerische Lösung J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
12 Allgemeine Idee Man betrachtet eine Schar von Kurven γ : (ξ,η) (x(ξ,η),t(ξ,η),z(ξ,η)) mit ξ z = 0 in den Niveaus einer Lösung u Also u(x(ξ,η),t(ξ,η)) = z(ξ,η) 0 = ξ z(ξ,η) = ξ u(x(ξ,η),t(ξ,η)) und mit der Kettenregel und der DGL für u bekommt man (oft) einfache DGLs für die Kurven J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
13 Anwendung auf Burgers Gleichung... DGL für x,t: 0 = ξ u(x(ξ,η),t(ξ,η)) = u x (x,t) ξ x(ξ,η) + u t (x,t) ξ t(ξ,η) = u x ξ x + u t }{{} u x u ξ t = u x ( ξ x u }{{} z ξ t ξ x = z ξ t = x = z t + α(η) Wähle t = ξ und α(η) = η, also x = z ξ + η durch Anfangsdaten bestimmt. z(ξ,η) = z(0,η) = u(η,0) = u 0 (η) J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25 )
14 Bild 3.0 Charakteristiken t x J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
15 0.5 Bild 0.5 u t x J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
16 Stoß/Schock Lineare Gleichung: Parallele Charakteristiken Nichtlineare Gleichung: Charakteristiken können sich schneiden Bei unserem Beispiel war die Steigung = Funktionswert Wenn sich zwei Charakteristiken schneiden, so hat man eine Unstetigkeit Diese nennt man Schock oder Stoß Der Schock tritt auch bei glatten Anfangswerten auf!! keine klassischen (glatten) Lösungen mehr!! Massenkarambolage J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
17 Gliederung 1 Geschichte 2 Herleitung 3 Charakteristiken 4 Numerische Lösung J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
18 Approximationen Seien u n i die Mittelwerte zur Zeit t n über das Kontrollvolumen K i. Man verwendet ein explizites Euler-Verfahren in der Zeit: 1 K i K i u t dx u n+1 i u n i t Man approximiert den Fluss an den Rändern der Elemente: 1 x f (u)dx 1 ( ) Fi+1/2 F K i K i K i i 1/2 wobei f (u(x i+1/2,t)) F i+1/2 J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
19 Upwind-Verfahren Berücksichtige Richtung des Informationsflusses Mittelwert u n i Mittelwert u n i+1 x i 1/2 K i x i+1/2 K i+1 x i+3/2 Entscheide Richtung mit a i+1/2 = 1 2 (u i+1 + u i ): Falls ai+1/2 > 0, so läuft die Information nach rechts: Setze F i+1/2 = f (u n i ) Falls ai+1/2 0, läuft die Information nach links: Setze F i+1/2 = f (u n i+1 ) Das Verfahren lautet dann mit K i = x: u n+1 i = ui n t ( ) Fi+1/2 F x i 1/2 J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
20 Beispiel Sinus t =0.00 t =0.70 t =1.40 t =2.10 t =2.80 t =3.50 t =4.20 t = u x J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
21 Beispiel 1 J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
22 Beispiel t =0.00 t =0.70 t =1.40 t =2.10 t =2.80 t =3.50 t =4.20 t =4.90 Minus Sinus 0.5 u x J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
23 Beispiel 3 Saegezahn 1.0 t =0.00 t =0.14 t =0.28 t =0.42 t =0.56 t =0.70 t =0.84 t = u x J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
24 Zusammenfassung Burgers Gleichung Beispiel einer nichtlinearen Gleichung Charakteristiken keine klassischen Lösungen Stabile Berechnung mit Upwind-Schema J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
25 Danke für eure Aufmerksamkeit! Noch Fragen? J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
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