Übungsblatt 6 Musterlösung

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1 MSE SS7 Übungsblatt 6 Musterlösung Lösung Methode der Charakteristiken) a) Hier ist c = x, d =. Also sind die Gleichungen für die Charakteristiken durch ẋt) = xt), żt) =, mit Anfangsbedingungen x) = x, z) = u x ) gegeben. Damit gilt zunächst: Die zweite Gleichung liefert: xt) = x e t. żt) = zt) = t+c. Die Anfangsbedingung ist erfüllt, falls u x ) = z), d.h C = u x ). Für die Lösung u gilt also: uxt),t) = zt) = t+u x ), wobei x durch x = xt) = x e t als Funktion von x und t bestimmt wird: ux,t) = t+u xe t ). b) i) Die Charakteristiken sind die Lösung des Problems { ẋt) = x) = x. ) D.h., die Charakteristiken sind durch xt) = t+x gegeben. Also stellt das Plot die Charakteristiken dar. ii) Das erste System ) wird durch xt) = t+x gelöst. Das zweite System { żt) = zt) z) = u x ). wird durch zt) = e t u x ) gelöst. Die Lösung erfüllt uxt),t) = zt), d.h. uxt),t) = e t u x ). Für eine explizite Darstellung der Lösung suchen wir für x den Ort x so, dass x = x e t, d.h. x = x t. Damit ergibt sich ux,t) = u x t)e t = sinx t)e t

2 Lösung Explizite finite Differenzen für hyperbolische Gleichungen) a) function h = num_fluxu_j, u_jp, a, lambda, method) 3 % berechnet den numerischen Fluss h_{j+/} fuer ein 4 % explizites FD-Verfahren angewandt auf die lineare 5 % Transportgleichung u_t + a u_x = 6 % 7 % Eingabe: u_j, u_jp: Naeherungswerte u_j, u_{j+} 8 % a: Koeffizient der DGL 9 % lambda: dt / dx % method: Methode fuer die Flussberechnung % : zentrierte Euler % : Lax-Friedrichs 3 % : Lax-Wendroff 4 % 3: Upwind 5 % Rueckgabe: h: numerischer Fluss 6 7 switch method 8 case 9 h =.5*a*u_jp + u_j); case h =.5*a*u_jp + u_j) - /lambda*u_jp - u_j)); case 3 h =.5*a*u_jp + u_j) - lambda*a^*u_jp - u_j)); 4 case 3 5 h =.5*a*u_jp + u_j) - absa)*u_jp - u_j)); 6 otherwise 7 disp Bitte Methode zwischen und 3 waehlen! ); 8 h=; 9 end b) function u = fdm_explicitx, t, u_, u_a, u_b, a, method) 3 % berechnet die Loesung der linearen Transportgleichung 4 % u_t + a u_x = mittels des expliziten Finiten 5 % Differenzen-Verfahrens num_flux_method mit 6 % method in {upwind, laxfriedrichs, laxwendroff} 7 % 8 % Eingabe: x: Vektor mit aequidistanten Ortspunkten 9 % t: Vektor mit aequidistanten Zeitpunkten % u_: Vektor mit Anfangswerten % u_a: Vektor mit Werten an linkem Rand % u_b: Vektor mit Werten an rechtem Rand 3 % a: Koeffizient der DGL 4 % method: bestimmt das FD-Verfahren -3) 5 % Rueckgabe: u: Matrix mit Loesungswerten 6

3 7 % Anzahl der Orts- und Zeitschritte 8 nx = lengthx); 9 nt = lengtht); % Orts- und Zeitschrittweite dx = x) - x); dt = t) - t); 3 lambda = dt/dx; 4 % Initialisierung der Loesung 5 u = zerosnx, nt); 6 % Anfangsbedingungen 7 u:, ) = u_x); 8 % Randbedingungen 9 u, :) = u_at); 3 unx, :) = u_bt); 3 3 % Schleife ueber Zeitschritte 33 for n = :nt- 34 % Durchfuehrung des FD-Verfahrens 35 u:end-,n+) = u:end-,n) lambda*num_fluxu:end-, n), u3:end, n), a, lambda, method) num_fluxu:end-, n), u:end-, n), a, lambda, method)); 38 end c) function u = initialx); 3 u = zeroslengthx), ); 4 5 % unstetige Anfangsbedingung 6 %idx = findabsx) <.4); 7 %uidx) =.; 8 9 % erste Anfangsbedingung %idx = findabsx) <.); %uidx) = sin*pi.*xidx)); 3 % zweite Anfangsbedingung 4 idx = findabsx) <.4); 5 uidx) = sin5*pi.*xidx)); 3

4 Euler Lax-Friedrichs Lax-Wendroff Upwind Euler Lax-Friedrichs Lax-Wendroff Upwind Lösung Kühlungsprozesse) a) Laut mathematischer Literatur z.b. H. Schulz: Physik mit Bleistift) besitzt der zweidimensionale Laplaceoperator in Polarkoordinaten die folgende Darstellung: T = r T ) + T r r ϕ. 4

5 Hinweis: Diese Darstellung lässt sich auch über eine längere Rechnung, durch mehrmalige Anwendung der Kettenregel beweisen. b) Aus T r,ϕ) const, r fest folgt: T ϕ =, damit ergibt sich die folgende PDGL: T t α r r T ) =. Das D Problem auf der Kreisscheibe B R ) reduziert sich also auf ein D Problem,R) bzgl. der radialen Komponente r. Am rechten Rand des Intervalls,R), d.h. r = R, schreiben wir den Wert T = T k vor. Am linken Rand, d.h. r =, ist es nicht zulässig einen festen Wert vorzuschreiben. Hier müssen wir eine homogene T Neumannrand-Bedingung, d.h. =, vorschreiben um einen freien Fluss über diesen Rand zu ermöglichen. Als Anfangsbedingung wählen wir Tr,) T b. c) Die Funktion pdepe löst laut der MATLAB Dokumentation PDGL der Form: c x,t,u, u ) u x t = x m x m f x,t,u, u )) +s x,t,u, u ). x x x Für unser Problem, wählen wir m = und ersetzen x durch r, sowie u durch T. Desweiteren wählen wir s und f ) r,t,t, T = T. Die Funktion c ist durch gegeben. Randbedingungen müssen mit geeigneten Funktionen p und q wie folgt α formuliert werden: pr,t,t)+qr,t)f r,t,t, T ) =. Für r = wählen wir p and q, für r = R wählen wir p = T k T and q. Die Implementierung mit graphischer Ausgabe findet man in Aufgabe.m. Wir lesen aus den Graphiken ab, dass das Bauteil ab t = 5s =.39h auf ungefähr T = 5 Grad abgekühlt ist. Temperatur T 5 5 t r.5. 5

6 Temperatur T 5 4 t..5 r 6