Dynamische Systeme in der Kosmologie

Transkript

1 4. Theoretiker-Workshop der jungen Deutschen Physikalischen Gesellschaft auf dem Dürerhof in Waldkappel-Gehau Vortrag am 05. Januar 2013

2 1. In der Kosmologie macht man als Ansatz für ein Universum, dass die Raumzeit (L, h, o) gegeben ist durch L = I M mit einem offenen Intervall I R und einer 3-Mannigfaltigkeit M. Weiter ist die Lorentz-Metrik h gegeben durch h = dt 2 + g(t), wobei t Koordinate für I ist und g : I Met(M) eine Kurve von Riemannschen Metriken auf M.

3 Genauer bedeutet das für TL (t,p) = TIt TM p = R TMp : für ξ, η TM p. h (t,p) ( t, t ) = 1, h (t,p)(, ξ) = 0, t h (t,p) (ξ, η) = g p (t)(ξ, η), Die Zeitorientierung wird durch X = t gegeben.

4 Soll das Kosmologiemodell homogen und isotrop sein (d.h. überall gleich aussehen und auch in jede Richtung gleich aussehen), so kommt man darauf, dass M = S 3, E 3 oder H 3 (Sphäre, euklidischer oder hyperbolischer Raum) ist. Ist g 0 die sphärische, euklidische bzw. hyperbolische Metrik (mit ihren Schnittkrümmungen +1, 0 bzw. 1 überall), so erhält man die so genannten Friedmann-Modelle durch h = dt 2 + f (t)g 0, wobei f : I R + nur noch eine positive Funktion ist. Die Einsteinsche Feldgleichung wird dann zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung für f.

5 2. Definition. Eine Liegruppe G ist eine (glatte) Mannigfaltigkeit, auf der auch noch eine Gruppenstruktur : G G G gegeben ist, die glatt ist. Beispiele. (a) Die allgemeine lineare Gruppe GL n (R) (b) Abgeschlossene Untergruppen davon, z.b. O n (R), U n (C), SL n (R) Auf einer Liegruppe hat man die Linkstranslationen L g : G G, h g h (für jedes g G). Dies sind Diffeomorphismen, denn L g 1 ist Inverses.

6 Definition. (a) Ein Vektorfeld X X(G) heißt linksinvariant, wenn für alle g G gilt: (L g ) (X) = X, d.h. X Lg(h) = (DL g ) h (X g ), h G. (b) Eine Riemannsche Metrik γ auf G heißt linksinvariant, wenn für alle g G gilt: L g(γ) = γ, d.h. γ h (ξ, η) = γ Lg(h)((DL g ) h (ξ), (DL g ) h (η)), für alle h G und ξ, η TG h.

7 Kommentar. (a) Sei g := TG e der Tangentialraum an das neutrale Element e G. Dann ist ein linksinvariantes Vektorfeld X auf G eindeutig bestimmt durch seinen Wert in e G, denn für beliebiges g G ist ja X g = (DL g ) e (X e ). g erbt deshalb via g = {X X(G) : X ist linksinvariant} X(G) eine Liealgebrastruktur: g ist eine Liealgebra der Dimension n = dimg. (b) Ebenso ist eine linksinvariante Metrik γ durch ihren Wert in e eindeutig bestimmt, γ e : g g R. [Abb. 19]

8 3. Lässt man die Isotropiebedingung der Kosmologiemodelle fallen und behält nur noch die Homogenität, so stößt man auf den Ansatz L = I G, wo G eine 3-dimensionale Liegruppe ist. Weiter ist h = dt 2 + g(t), mit einer Kurve linksinvarianter Metriken g : I Met(G) auf G, also als Kurve in dem endlich-dimensionalen aufgefasst werden kann. Pos(g) = {s : g g : s ist Skalarprodukt}

9 Die Zeitorientierung ist wieder durch das Vektorfeld / t gegeben. Die Einsteinsche Feldgleichung wird deshalb als eine gewöhnliche DGL 2. Ordnung für g erwartet bzw. als DGL 1. Ordnung auf dem Phasenraum P := Pos(g) Sym(g) mit Sym(g) := {s : g g R : s ist bilinear und symmetrisch}. Sei deshalb nun (L, h, o) mit h = dt 2 + g(t) eine solche Bianchi-Raumzeit. Wir notieren dann zunächst mit Ric(t) die Ricci-Krümmung der Riemannschen 3-Mannigfaltigkeit (G, g(t)) sowie mit S(t) ihre Skalarkrümmung.

10 Sei weiter κ(t) die 2. FF der Hyperfläcche {t} G L, κ: I Sym(g), und κ (t) der zugehörige Weingarten-Operator. Mit κ 2 bezeichnen wir die symmetrische Bilinearform auf g, die durch κ 2 (ξ, η) = g(κ (ξ), κ (η)), ξ, η g gegeben ist. Schließlich sei H : I R die mittlere Krümmung von {t} G L. Satz. Dann erfüllt die Raumzeit (L, h, o) die Vakuumgleichung Ein(h) = 0 genau dann, wenn gilt: (a) 0 = S + H 2 κ 2 (b) 0 = div(κ) (c) ġ = 2κ (d) κ = Ric + Hκ 2κ 2

11 Kommentar. (i) Beachte, dass die rechten Seiten im Satz Funktionen nur von g und κ, also Funktionen auf dem Phasenraum P sind. (ii) (c) und (d) zusammen werden als ein System gewöhnlicher Dgl. n auf dem Phasenraum P aufgefasst. (iii) Die Bedingungen (a) und (b) werden als Zwangsbedingungen interpretiert. Sie sind unter dem Fluss von (c) und (d) (genannt der Einstein-Fluss) invariant. (iv) Zu jedem (g 0, κ 0 ) P (mit (a) und (b)) gibt es deshalb eine maximale Lösungskurve (g, κ): (t, t + ) P von (c) und (d) mit (g, κ)(0) = (g 0, κ 0 ). (v) Falls t [, 0) endlich ist, t >, so nennt man t die Anfangssingularität von (L, h, o) (und ähnlich t + die Endsingularität, falls t + (0, ] endlich ist).

12 4. Aus (d) ergibt sich durch Spurbildung die Evolutionsgleichung für die mittlere Krümmung H : (t, t + ) R zu und weil H = spur g (κ) ist, folgt: Ḣ = κ 2, κ H2. Sei nun H : ( 3 H 0, ) R die maximale Lösung von Ḣ = 1 3 H2 mit Anfang H(0) = H 0 := H(0) und es sei H 0 < 0. Dann ist H(t) = 3 t 3 H 0. [Abb. 1]

13 Wegen Ḣ 1 3 H2 folgt für H : (t, t + ) R: H(t) H(t), t (t, 0] ( 3 H 0, ), insbesondere muss t 3 H 0 sein. [Abb. 1] Satz. Ist (g 0, κ 0 ) eine Anfangsbedingung mit H 0 = spur g0 (κ 0 ) < 0, so existiert eine Anfangssingularität t < 0 und es gilt: t 3 H 0.

14 H 0 ist die so genannte Hubble-Konstante. Wegen der gegenwärtigen Expansion des Universums, gemessen durch die Rotverschiebung charakteristischer Spektra, ist H 0 < 0. Die genaue Messung von H 0 und der Satz liefern daher die Abschätzung für das Alter des Universums von t < Milliarden Jahre. Vorbereitung. (a) Für fast alle Bianchi-Gruppen G und linksinvarianten Metriken g auf G ist zudem die Skalarkrümmung S nicht-positiv, S 0. Aus (a) ergibt sich deshalb auch die Ungleichung Ḣ = κ 2 = H 2 + S H 2.

15 (b) Wie im Satz kann man daher den Vergleich mit der Lösung H von Ḣ = H 2 mit H(0) = H 0 antreten und erhält: H(t) H(t) = 1 t 1 H 0, für t < t 0. (c) Man kann schließlich auch zeigen (siehe [Rendall 94] oder [Konstantis 12]), dass die Lösung des Einstein-Flusses nicht stirbt, so lange die mittlere Krümmung H beschränkt bleibt, also: sup H(t) < t < t 0. t 0 <t 0 Es folgt:

16 Satz. Ist (g 0, κ 0 ) eine Anfangsbedingung mit H 0 < 0 und ist S(t) 0, für alle t < t < 0, so gilt für die Anfangssingularität t (, 0): t 1 H 0. [Abb. 2] Damit ist das Alter des Universums (auch bei fast allen Bianchi-Raumzeiten) in das Zeitintervall 1 [ H 0, 3 H 0 ] eingegrenzt (ca Milliarden Jahre).

17 Vorbereitung. (a) Ist g eine linksinvariante Metrik auf G, so sei (e 1, e 2, e 3 ) ON-Basis von g (bzgl. g) und (λ 1, λ 2, λ 3 ) die duale Basis von g. Es heißt dann die Volumenform von (G, g). ω := λ 1 λ 2 λ 3 Λ 3 g (b) Ist K G ein Kompaktum, so ist das Volumen vol g (K) gegeben durch vol g (K) = ω. K

18 (c) Die Evolutionsgleichung für die Volumenform auf G ist Es folgt, dass ω = Hω. t ω(t) = ω(t 0 )exp( H(s)ds) t 0 ist. (d) Sei nun o.e. nach einer Zeitverschiebung t = 0 sowie b(t 0 ) := 1 + t 0 H 0 für t 0 > 0. Es ist dann wegen Ḣ H 2 (bei S 0) auch für alle t t 0 :

19 1 H(t) t b(t 0 ). Für t 0 0 ergibt sich für alle t > 0: H(t) 1 t und deshalb t1 t H(s)ds ln(t 1 ) + ln(t) = ln( t t 1 ). Satz. Sei (L, h, o) eine Bianchi-Raumzeit mit Hubble-Konstante H 0 < 0 (zu irgendeinem Zeitpunkt) und Anfangssingularität t >. Es gebe ein t 1 > t, so dass S(t) 0 ist, für alle t < t t 1. Dann gilt für die Volumenform ω: ω(t) 0 für t t.

20 Beweis. Es ist t ω(t) = ω(t 1 )exp( H(s)ds) t 1 t1 = ω(t 1 )exp( H(s)ds) ω(t 1 ) t 0. t t 1 Literatur. (a) P. Konstantis: Three-Dimensional Homogeneous Spaces and their Application in General Relativity. Dissertation am Mathematischen Institut der Universität Tübingen, November 2012 (b) K. Radermacher: Singularities in cosmological Bianchi class A models. Diplomarbeit am Mathematischen Institut der Universität Tübingen, Mai 2012