Holonomiegruppen: Klassifikation, Konstruktion und Anwendungen

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1 Holonomiegruppen: Klassifikation, Konstruktion und Anwendungen Thomas Leistner School of Mathematical Sciences The University of Adelaide 1/17

2 Holonomiegruppe = Gruppe der Parallelverschiebungen entlang geschlossener Kurven Parallelverschiebung im flachen Raum R n Sei γ : [0, 1] R n eine Kurve und X : [0, 1] R n ein Vektorfeld entlang γ. X(t) ist parallel verschoben entlang γ falls Hol = {1}. X := dx dt 0. Parallelverschiebung eines Vektors an jeden Punkt in R 2 ergibt ein Vektorfeld Y, welches konstant ist, D V Y 0, für beliebige Richtungen V, DY = ( ) Yj x i = Jacobimatrix von Y und D V Y = Richtungsableitung in Richtung V. 2/17

3 Parallelverschiebung auf gekrümmten Flächen: Die Schwingungsebene eines Pendels auf der Sphäre ist parallel verschoben entlang des Weges. Sei γ : [0, 1] S eine Kurve auf einer Fläche S (z.b. S = Sphäre) und X : [0, 1] R 3 ein Vektorfeld entlang γ. X ist parallel verschoben entlang γ falls (1) X ist tangential an S: X, γ 0 (2) X variiert nur in Richtung der Normalen an S, d.h. X := dx dt hat keine Projektion auf die Tangentialebene T γ(t) S: X X, γ γ 0 Also: X ist parallel verschoben entlang γ X ist Lösung eines Systems linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen: ( ) X + X, γ γ 0 3/17

4 Parallelverschiebung auf S ist Isomorphismus der Tangentialräume P γ : T γ(0) S T γ(1) S, P γ (X 0 ) = X(1), wobei: X(t) = Lösung von ( ) mit AB X(0) = X 0. Holonomiegruppe von S am Punkt x S: Hol x := {P γ : T x S T x S γ Kurve mit γ(0) = γ(1) = x} Hol x und Hol y sind konjugiert. Hol x SO(2) = Drehgruppe der Tangentialebene an x. Für die Sphäre Hol = SO(2): Achtung: Im Gegensatz zum flachen Fall definiert dies im Allg. kein Vektorfeld auf S, da die Parallelverschiebung vom gewählten Weg abängt. 4/17

5 Verallgemeinerung auf n-dimensionale Flächen: Hol SO(n). Mannigfaltigkeiten M mit (semi-) Riemannscher Metrik g: Parallelverschiebung ist definiert mittels des Levi-Civita-Zusammenhanges Hol(M, g) ist eine Lie-Gruppe mit Lie algebra hol(m, g). Welche Gruppen können als Holonomiegruppen auftreten? Klassifikationsproblem für Holonomiegruppen Holonomiegruppen kodieren geometrische Information über die Riemannsche Mannigfaltigkeit. Zum Beispiel: (kovariant) konstante Vektorfelder { } { } Hol-invariante Vektoren konstante Vektorfelder Y d.h. y R n mit Hol(y) = y d.h. V Y 0 V Das Vektorfeld Y erhält man durch Parallelverschiebung von y. Invarianz von y unabhängig vom gewählten Weg. Dies gilt auch für konstante Schnitte in andere geometrische Vektorbündel, wie z.b. das Spinorbündel. 5/17

6 (Semi-)Riemannsche Produktmannigfaltigkeiten (M, g): (M, g) ist ein kartesisches Produkt M = M 1 M 2 und die Metrik ist eine direkte Summe g = g 1 + g 2 von Metriken auf M 1 and M 2. Zerlegunssatz von De Rham [Math. Helv., 52] Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (die geodätisch vollständig und einfach zusammenhängend ist) ist ein Produkt Riemannscher Mannigfaltigkeiten M = M 1... M k genau dann, wenn Hol = H 1... H k ein Produkt ist und blockdiagonal wirkt: H Hol = H k In diesem Fall ist H i SO(dim M i ) die Holonomie von M i. Beachte: Hol einer Riemannschen Mfkt. wirkt vollständig reduzibel. D.h., Hol irreduzibel Riemannsche Mfkt. ist kein Produkt. Ein analoges Ergebnis gilt für semi-riemannsche Mannigfaltigkeiten [Wu, Illinoins J. Math. 64] 6/17

7 Holonomie und Krümmung [ ] γ(0) X p = d dt P 1 γ (X(γ(t)) t=0. [0,t] Krümmung R von : X, Y T p M, fortgesetzt s.d. [X, Y] = 0 und λ t Parallelogramm aus Flusslinien mit Seiten t. Dann 1 ( ) R(X, Y) p = lim Pλt Id Tp M. t 0 t Also, R(X, Y) p hol p (M, g) X, Y T p M. Theorem (Ambrose & Singer, Trans. AMS 53) Ist M zusammenhängend, dann wird hol p (M, g) aufgespannt durch { P 1 γ R(X, Y) P γ GL(T p M) γ(0) = p und X, Y T γ(1) M } Bianchi-Identität für R = hol p (M, g) ist Berger algebra, d.h. hol = span { R(x, y) R K(hol), x, y R n}, mit K(g) := { R Λ 2 R n g R(x, y)z + R(y, z)x + R(z, x)y = 0 }. 7/17

8 Bergers Liste [Berger, Bull. Soc. Math. France, 55] Die Holonomiegruppe einer (einfach zusammenhängenden) Riemannschen Mannigfaltigkeit, die kein Produkt ist, ist konjugiert zu SO(n) Drehgruppe des R n U(n/2) unitäre Matrizen auf C n/2 = R n SU(n/2) unitäre Matrizen mit Determinante 1 Sp(n/4) Sp(n/4) Sp(1) G 2 SO(7) Spin(7) SO(8) quaternionisch unitäre Matrizen auf H n/4 = R n Produkt von Einheitsquaternionen und Sp(n/4) Ausnahme-Liegruppe universelle Überlagerung von SO(7) mit Spindarst. (oder zu der eines symmetrischen Raumes...) Diesen Gruppen entsprechen bestimmte spezielle geometrische Strukturen, z.b. Hol U(n/2) Mannigfaltigkeit ist komplex ( holomorphe Koordinaten, Kähler Mfkt.). 8/17

9 Beziehungen zur Physik Sei M 1,n 1 eine Raum-Zeit, d.h. Mannigfaltigkeit mit ( + +) Metrik g ij ART: n = 4, Metrik g ij erfüllt die R ij 1 2 Rg ij = T ij Einstein Gleichungen Stringtheorie: n = 10, 11, 12, Einstein Gleichungen + Spinorfeldgleichungen der Form X ψ = F(X) ψ Vereinfachte Versionen: R ij = 0 (Ricci-flach) ψ = 0 (konstanter Spinor) Ansatz: Produktstruktur der Raum-Zeit M 1,n 1 = R 1,3 X k, X k kompakte Riem. Mf., k=6,7,8, mit konstantem Spinor ψ. = Hol(X)ψ = ψ und Hol(X) SU(3), G 2, Spin(7), SU(4). Allgemeiner: M 1,n 1 ist kein Produkt R 1,3 X k. Was sind mögliche Holonomiegruppen n-dim. Raumzeiten? 9/17

10 Spezielle Lorentz-Holonomie Sei (M, g) eine Lorentz-Mannigfaltigkeit, die kein Produkt ist, n 2. Dann gilt: H := Hol 0 p(m, g) ist 1. irreduzibel, d.h. H = SO 0 (1, n) [Berger 55], oder 2. nicht irreduzibel, d.h. H hat invariante Null-Linie L, H Iso SO0 (1,n 1)(L) = ( R + SO(n 2) ) R n 2 a v t a 2 vt Av = 0 A aav 0 0 t a 1 a R, v R n 2, A SO(n 2) 10/17

11 Klassifikation [Bérard-Bergery & Ikemakhen, Proc. Symp. Pure Math. 93 TL, J. Differential Geom., 07] Sei H = Hol 0 (M, g) die Zusammenhangskomponente der Holonomiegruppe einer n-dim. Lorentzschen Mannigfaltigkeit, die kein Produkt ist, und H SO 0 (1, n 1). Dann ist H konjugiert zu G R n 2 or (R G) R n 2, wobei G =Riemannsche Holonomiegruppe ( Bergers Liste), oder (L G ) R n k, wobei G := pr SO(n 2) (H) eine Riemannschen Holonomiegruppe und G = halbeinfacher Teil von G Besitzt die Lorentzmannigfaltigkeit einen parallelen Spinor, dann Hol = G R n 2 wobei G = Produkt von SU(k), Sp(l), G 2 or Spin(7). Alle möglichen Gruppen lassen sich als Holonomiegruppen realisieren [... Galaev 06]. 11/17

12 Paralleles Geradenbündel und screen Bündel Welche geometrischen Strukturen entsprechen diesen Gruppen? Eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit mit Hol (R + G) R n 2 besitzt ein Bündel L von lichtartigen Geraden das invariant unter Parallelverschiebung ist. Damit ist auch L invariant unter Parallelverschiebung und definiert eine Blätterung in lichtartige Hyperflächen. H G R n 2 konstantes, lichtartiges Vektorfeld. Das Vektorbündel L /L M, screen Bündel, besitzt eine parallele G-Struktur [TL, J. Geom. Phys., 2006]. Ist die (M, g) Einstein, dann Hol = G R n 2 (Ric=0) oder Hol = (R G) R n 2, explizite Beschreibung in lokalen Koordinaten [TL & Galaev 08, Class. Quant. Grav. 10] Offen: Welche geometrischen Strukturen entsprechen Hol = (L G) R n k? 12/17

13 Weitere Anwendungen auf Spinorfeldgleichungen Die Holonomieklassifikation hat Konsequenzen für allgemeinere Spinorfeldgleichungen, z.b. die Killing-Spinor-Gleichung: Ein Spinorfeld ϕ heißt Killing-Spinor zur Killing-Zahl λ C falls D X ϕ = λx ϕ. Killing-Spinor auf M = M ist Einstein. M besitzt einen Killing-Spinor mit reeller Killing-Zahl Der metrische Kegel über M besitzt einen konstanten Spinor. Bär-Korrespondenz [Bär, Comm. Math. Phys. 93] Sei M eine geodät. vollst. Riemannsche Spin-Mannigfaltigkeit mit reellem Killing-Spinor. Dann ist M = Sphäre oder M besitzt eine der folgenden Strukturen: Sasaki, 3-Sasaki, 6-dim. fast-kähler, oder fast parallel G 2. 13/17

14 Die Bär Korrespondenz basiert auf Theorem (Gallot, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup., 79) Sei M eine Riemannsche Mfkt. die geodätisch vollständig ist. Ist der Riemannsche Kegel über M ein Produkt, dann ist M ein Raum konstanter Schnittkrümmung 1. Verallgemeinerung auf Mfkt en mit indefiniten Metriken [Alekseevsky, Cortés, Galaev & TL, Crelle 09]: Gallots Theorem, unter der zusätzlichen Voraussetzung: M kompakt. Explizite Beschreibung von M für als verzerrtes Produkt im Fall M nicht kompakt, nicht vollständig und für Lorentzsche Kegel und para-kähler Kegel. Anwendung (in Arbeit): Anwendung auf Spinorfeldgleichungen für indefinite Metriken. 14/17

15 Konstruktion von Mannigfaltigkeiten mit spezieller Holonomie Für Riemannsche Mfkt en: Calabi, Yau, Le Brun, Bryant, Salomon,..., Joyce. Nur wenige Beispiele für indefinite Metriken mit spezieller Holonomie. Methode, die auf indefinite Metriken verallgemeinert werden kann: Hitchin Fluss Halbflache Strukturen Sei M eine 6-dim le Mfkt. Zwei stabile Formen ρ Λ 3 M und ω Λ 2 M mit ω ρ = 0, dρ = 0, d(ω ω) = 0, nennt man halbflache Struktur. ω und ρ definieren eine (nicht-integrable) komplexe Struktur J auf M (Verallgemeinerung von Calabi-Yau Mfkt en). 15/17

16 Hitchin Fluss für halb-flache Strukturen [Hitchin, J. Differential Geom. 00 (M kompakt Riemann), Cortés, Schäfer, Schulte-Hengesbach & TL, Proc. LMS 10] Sei M eine 6-Mfkt. mit halb-flacher Struktur (ρ, ω). Falls eine 1-parametrige Familie stabiler Formen ω t und ρ t existiert, die Hitchins Flussgleichungen t ρ = dω, t (ω ω) = d(j ρ) (H) mit AB en ω 0 = ω und ρ 0 = ρ erfüllt, so ist diese Familie ist halbflach t und definiert eine parallele G ( ) -Struktur auf M [a, b] 2 mittels ϕ = ω dt + ρ. 16/17

17 Cauchy-Kovalevskaya Thm Folgerung Sei M 6 mit halbflacher Struktur (ω 0, ρ 0 ), alle reell analytisch.! maximale Lsg. (ω, ρ) von (H) mit AB (ω 0, ρ 0 ), definiert auf Umgebung Ω R M von {0} M. Insbesondere, parallele G ( ) -Struktur auf Ω. 2 Die Evolution ist natürlich, d.h. Automorphismen der Startstruktur sind Automorphismen der geflossenen Strukturen. Falls M kompakt ist oder ein homogener Raum M = G/K mit G-invariantem (ω 0, ρ 0 ), dann! maximales offenes Intervall I und Lsg. (ω, ρ) von (H) mit AB (ω 0, ρ 0 ) auf I M. Insbesondere, parallele G ( ) -Struktur auf I M. 2 Konstruktion expliziter Metriken mit Hol = G ( ) 2 ausgehend von homogenen half-flachen Strukturen auflösbaren Lie-Gruppen. G ( ) 2 -Metriken sind vollständig, falls I = R. Aber, konformer Wechsel zu vollständigen Metriken. 17/17