Ausgewählte Kapitel der Didaktik der Mathematik FUNKTIONEN

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1 Maryna Hauch Zur Präsentation Johannes Löchert vom Ausgewählte Kapitel der Didaktik der Mathematik FUNKTIONEN 1

2 Gliederung 1. Funktionen mit Derive Seite Definition Seite Direkte Eingabe Seite Eingabe über das Menü Seite Explizite und implizite Funktionen Seite D Grafik Fenster Seite Wertetabellen von Funktionen Seite Lineare Funktionen Seite Quadratische Funktionen Seite Polynomfunktionen Seite Rationale Funktionen Seite Wurzelfunktionen Seite Trigonometrische Funktionen Seite Quellen Seite 19 Anhang: Lösungen zu den einzelnen Aufgaben als Derive-Dateien 2

3 1. Funktionen mit Derive 1.1 Definition Zunächst seien hier drei verschiedene Definitionen zum Funktionsbegriff gegeben: I Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y einer Zielmenge Z zu. (Wikipedia) II Eine Funktion ist eine eindeutige Abbildung zweier Mengen, d.h. eine gewisse Menge von geordneten Paaren [x;y] mit der Eigenschaft, dass jedem x genau ein y zugeordnet ist. (Kleine Enzyklopädie Mathematik; VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1974, S. 126) III Mengentheoretische Definition: Eine Relation f zwischen X und Y heißt Funktion, wenn gilt: (i) Zu jedem x (ii) Aus (x,y) X gibt es ein y Y mit (x,y) f f und (x,z) f folgt stets y = z. (Rechtseindeutigkeit) (Repetitorium der linearen Algebra Teil 1, Dr. Detlef Wille, 4. Auflage, Binomi Verlag) 1.2 Direkte Eingabe Eingabe der Funktion mit Hilfe ':=' Die Bezeichnung der Funktion hängt von den Einstellungen von DERIVE ab (ob mehrbuchstabige Namen erlaubt sind), ist ansonsten frei. Die Berechnung der Funktionswerte erfolgt einfach durch Einsetzen in die Funktion: 3

4 1.3 Eingabe über das Menü - SCHREIBEN - FUNKTION DEFINIEREN (Oder Tastenkombination STRG + ALT + f) Dann: 1.4 Explizite und implizite Funktionen Definition: Eine implizit definierte Funktion (kurz implizite Funktion) ist eine Funktion, die nicht in der einfachen Zuordnungsvorschrift y = f(x) gegeben, sondern deren Funktionswerte implizit durch eine Gleichung F(x,y) = 0 definiert sind. (Wikipedia) 4

5 Im folgenden Beispiel, sowie in allen anderen Übungen und Beispielen, sind die vorkommenden Variablen stets Elemente der reelle Zahlen, sofern nichts anderes angegeben wird. Dazu ein Beispiel: Kreis in der Ebene mit Radius 1: Umstellen der Gleichung: F(x,y) = x² + y² 1 = 0 nach y, um explizite Funktion zu erhalten (mit Derive). Die Derive-Dateien zu diesem Beispiel befinden sich im Anhang. Bemerkenswert ist, dass der Kreis an sich keine zugehörige Funktionsgleichung haben kann, da sonst einem Argument zwei Funktionswerte zugeordnet würden (was auch anschaulich im Graphen sichtbar wird). Man muss also zwei Funktionsgleichungen verbinden D Grafik-Fenster Funktionsgraphen: - einen Ausdruck im Algebrafenster markieren, dann FENSTER - NEUES 2D-GRAPHIK-FENSTER bzw. Button ( ) ein neues 2D-Graphikfenster. Graphik (2D)-Fenster: Übung: f(x) = 2x 2 4x +2 5

6 Symbol für 2D-Plot im Graphikfenster bzw. Shortcut: F4 Löschen von Graphen: über das Menü: BEARBEITEN - GRAPH LÖSCHEN bzw. über die ENTF-Taste bzw. Anklicken des Löschen-Symbols in der Symbolleiste. Bildausschnitt Skalierung: über das Menü: EINSTELLEN -... (Koordinatensystem, Kreuz-Position, Zeichenbereich und Verzerrungsverhältnis) an. Veränderung des Maßstabs der Achsen - einzeln oder simultan Bewegung des Koordinatenmittelpunkts des dargestellten Fensters (Kreuz als Mittelpunkt / Ursprung als Mittelpunkt) Genaue Eingabe des Zeichenbereichs (Plot Region) durch Einstellen der Bildschirmränder oder mit Hilfe der Maus Einstellen des Verzerrungsverhältnisses (Aspect Ratio) 6

7 Übung: Stelle den Graphen der Funktion f: f(x) = - 4x x + 9 so ein, dass der Zeichenbereich für x: und für y: angezeigt wird. Die Unterteilung soll für x bei 1er-Schritten liegen, für y in 10er- Schritten. Lösung - Grafik2D: Menü - Einstellen - Zeichenbereich - Minimum/Maximum 7

8 Trace Spurmodus: Mit der Taste F3 gelangt man in den Trace-Modus (= Spur oder Verfolge-Modus). Die Schrittweite der Bewegung kann mit der STRG-Taste vergrößert werden. Beschriftungen Annotationen: Mit EINFÜGEN - ANNOTATION bzw. F12 können Beschriftungen hinzugefügt werden Unter EXTRAS - NEUE GRAPHEN ANNOTIEREN kann man einstellen, ob beim Plot automatisch der Funktionsterm dazugefügt werden soll. Auch ein eigener Button steht dafür zur Verfügung: Übung: Stelle die Betragsfunktion y = 3x 2-5 graphisch dar und beschrifte (beispielsweise mit Fuktionsgraph ) den Graphen anschließend! Hinweis: ABS(x) = absoluter Wert des reellen x als eingebaute Funktion Lösung: 8

9 Grafik 2D Einstellungen: Über das Menü EXTRAS - ANZEIGE bzw. F11 können 'Feinheiten' der Grafik eingestellt werden. Einstellung der Achsen Anzeige des Grafik-Kreuzes Einstellung eines Gitters zur leichteren Koordination 9

10 Anzeige von Punkten Durchgezogen erlaubt die Verbindung von Punktmatrizen und damit die Anzeige von Polygonen. Farbeinstellungen Es gibt hier auch die Möglichkeit, ein Hintergrundbild in DERIVE zu laden - beispielsweise für die genauere Betrachtung von Regressionsmodellen. Koordinatensystem Mit Hilfe des Menübefehls EINSTELLEN - KOORDINATENSYSTEM kann man zwischen kartesischem Koordinatensystem und Polarkoordinaten wechseln. 10

11 Grafik 2D - Einbetten in das Algebrafenster: Variante 1 - statisch Übung: abs(3x^2-5) 1. Funktionsterm eingeben 2. 2D-Plot 3. günstigen Zeichenbereich festlegen 4. im 2D-Fenster BEARBEITEN - FENSTER KOPIEREN (STRG + C). Für Ausschnitte kann auch der Befehl MARKIEREN UND KOPIEREN verwendet werden. 5. im Algebra-Fenster BEARBEITEN - EINFÜGEN (STRG + V) 11

12 Variante 2 - dynamisch abs(3x^2-5) 1. Funktionsterm eingeben 2. 2D-Plot 3. günstigen Zeichenbereich einstellen 4. DATEI - EINBETTEN 5. Wechsel in das Algebra-Fenster Ein Doppelklick auf das eingebettete Objekt aktiviert wiederum den 2D-Zeichenbereich Algebra Fenster & 2D Grafik - Fenster : Um zwischen den beiden Fenster zu wechseln, verwendet man die üblichen Techniken. Diese lassen sich mit dem Befehl Fenster>Vertikal anordnen nebeneinander stellen. Mit dem Befehl Fenster>Horisontal anordnen lassen sich dann verschiede Fenster untereinander stellen. 12

13 1.6 Wertetabellen von Funktionen I. Mit Hilfe von VECTOR-Befehl: VECTOR(f(x), x, untere Intervallgrenze, obere Intervallgrenze, Schrittweite) Übung: Erzeuge die Funktionswerte von f(x):= x 2 -x-1 im Intervall [-2,3] mit Schrittweite 0,5. Lösung: II. Mit Hilfe von TABLE-Befehl: TABLE(f(x), x, untere Intervallgrenze, obere Intervallgrenze, Schrittweite) Übung: 1) Erzeuge für die Funktion f(x):= x 2 -x-1 eine Wertetabelle für x = Lösung: 13

14 2) Ergänze nun mit Hilfe des ADJOIN-Befehls (ADJOIN ([1. Spalte, 2. Spalte], Tabellenname)) die Wertetabelle um die Beschriftung der Spalten mit x und f(x). Lösung: 2. Lineare Funktionen Affin lineare Funktionen haben die allgemeine Form: f(x) = mx + n Übungen: Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 3x 2. 2a) Berechne die Achsenschnittpunkte des Graphen von f. 2b) Berechne f(2) und f(55555). 2c) Erstelle eine Wertetabelle für f(x) für x = -4, -3,..., 3, 4. 2d) Sei g mit g(x) = -11x gegeben. Gib den Schnittpunkt der Graphen von g und f an. Löse das Problem erst graphisch und dann rechnerisch. 14

15 3. Quadratische Funktionen allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c mit a 0 Übung: 3a) Stelle die Graphen der Funktionen ax 2 für a von -2 bis 2 in Schrittweite 0,5 in einem Koordinatensystem dar. Beschrifte die verschiedenen Graphen. 3b) Stelle die Graphen der Funktionen x n für n von 0 bis 2 in Schrittweite 0,5 in einem Koordinatensystem dar. Beschrifte die verschiedenen Graphen. 3c) Stelle die Graphen der Funktionen x n für n von -3 bis 0,5 in Schrittweite 0,5 in einem Koordinatensystem dar. Beschrifte die verschiedenen Graphen. Definition: 4. Polynomfunktionen Eine Polynomfunktion ist eine Funktion der Gestalt: n a i x i = a n x n a n 1 x n 1... a 2 x 2 a 1 x a 0 i=0 Dabei können die a i und die x reelle oder auch komplexe Werte annehmen. Übungen: n Gegeben sei die Polynomfunktion P(x) = a i x i mit reellen a i und x; und natürlichen n und i. i=0 4a) Sei a i := n i + 1 und n = 5. Gib die ausführliche Polynomschreibweise(ohne Summenzeichen) an und berechne P(2). 4b) Sei nun a i := i - n - 1 und n = 3. Gib alle reellen Nullstellen an Zu beachten bei dieser Aufgabe ist, dass der Index in Derive lediglich der Notation dient, leider aber nicht geeignet ist, um damit zu rechnen. 15

16 5. Rationale Funktionen allgemeine Form: f(x) = a z x z a z 1 x z 1... a 1 x a 0 b n x n b n 1 x n 1... b 1 x b 0 Übung: Stelle die Graphen der Funktion f(x) = a x Koordinatensystem dar! für a = 1, 2, 3 in Schrittweite 1 in einem Übungen: 6. Wurzelfunktionen 6a) Prüfe, für welche reellen x die Funktion f(x) = 3 x reelle Funktionswerte besitzt. Stellen f graphisch dar. 6b) Wann besitzt eine Funktion f eine Umkehrfunktion f -1? 6c) Wann existiert die Umkehrfunktion f -1 für f(x) = x 2? Gib zunächst die Bedingungen für f so an, dass eine Umkehrfunktion von f existiert, und gib dann die konkrete Umkehrfunktion f -1 an. Zeichne die Graphen. Derive kennt den Befehl INVERSE(f(x)), mit dem man die Umkehrfunktion sofort erhält. Alternativ kann man mit dem Sub-Befehl die Variablen x und y vertauschen und anschließend nach y umstellen (siehe Übungslösung im Anhang). 16

17 7. Trigonometrische Funktionen 7.1 Bogen- und Gradmaß Über den Menübefehl EXTRAS - EINSTELLUNGEN - VEREINFACHEN - WINKEL kann zwischen Bogenmaß (RADIAN) und Gradmaß (DEGREE) umgestellt werden. Voreingestellt ist Radian. Durch die Eingabe 90 (mit Gradzeichen) wird automatisch signalisiert, dass in Grad gerechnet werden soll. 7.2 Trigonometrische Umformungen DERIVE beherrscht die Vereinfachungsregeln für trigonometrische Terme. Über Extras Einstellungen kann ausgewählt werden, in welche Richtung DERIVE die Vereinfachung vornehmen soll. Je nachdem, welche Richtung gewählt wird (EXPAND oder COLLECT), werden trigonometrische Terme weiter aufgespalten oder zusammengefasst. Weiterhin kann noch die Feineinstellung getroffen werden, ob vorzugsweise Richtung SINUS-Termen oder COSINUS-Termen vereinfacht werden soll. Befehle zur manuellen Eingabe: Trigonometry := Expand Trigonometry := Collect 17

18 Übungen: 7a) Entwickle den folgenden trigonometrischen Term cos x cos 2x, es soll ein Term der Form a n cos x n a n 1 cos x n 1... a 1 cos x a 0 entstehen. 7b) Entwickle den Term cos 2b c (einmal Richtung SINUS, einmal Richtung COSINUS) 7c) Definiere mit Hilfe des Kosinussatzes eine Funktion, die bei Eingabe der Seiten eines Dreiecks den Winkel zwischen den ersten beiden eingegebenen Seiten ausgibt. 18

19 8. Quellen Koepf, Wolfram; Ben-Israel, A.; Gilbert, B.: Mathematik mit DERIVE. Vieweg, 1993 Koepf, Wolfram: DERIVE für den Mathematikunterricht. Braunschweig, Vieweg, 1996 Kutzler, B.: Einführung in DERIVE für WINDOWS. Hagenberg, 1997 Kleine Enzyklopädie Mathematik; VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1974, S (am 01.November 2008, 17 Uhr) (am 01. November 2008, 16 Uhr) 19