Typ-1 Sprachen. Die Beispielgrammatik für die Sprache. L = {a n b n c n n 1} hat die folgende Regelmenge:

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1 Typ-1 Sprachen Die Beispielgrammatik für die Sprache hat die folgende Regelmenge: L = {a n b n c n n 1} P = { (S, asbc), (S, abc), (CB, BC), (ab, ab), (bb, bb), (bc, bc), (cc, cc)} die offensichtlich nichtverkürzend ist. Also ist L eine Sprache vom Typ-1 und natürlich auch vom Typ-0. Es gibt aber auch Sprachen vom Typ-0, die nicht vom Typ-1 sind. Ein bekanntes Beispiel hierfür ist die Menge H, das sogenannte Halteproblem, daswirspäternochkennenlernenwerden. Einheit 3 Folie 3.1

2 Typ-2 und Typ-3 Sprachen In Einheit 1 haben wir mehrere Beispiele für Typ-2 Grammatiken angegeben: Die Grammatik für die korrekt geklammerten arithmetischen Ausdrücke, die Grammatik für die Palindrome gerader Länge, sowie die Grammatik für die Sprache {a n b n n 1}. Also sind alle diese Sprachen Typ-2 Sprachen. Und damit sind sie alle auch Typ-1 Sprachen und ebenso Typ-0 Sprachen. Allerdings sind alle diese Sprachen nicht Typ-3. Das können wir im Moment aber noch nicht nachweisen Beweise folgen später... Eine typische Typ-3 Sprache ist L = {(ab) n n 1}. Typ-3 Grammatik für diese Sprache: G =({S, B}, {a, b}, P, S) mit P = {(S, ab), (B, b), (B, bs)}. Was wissen wir über G =({S}, {a, b}, P, S) mit P = {(S, abs), (S, ab)}? Einheit 3 Folie 3.2

3 Testfragen Gibt es Grammatiken, die Typ-2 sind, aber nicht Typ-1? Gibt es Sprachen, die Typ-2 sind, aber nicht Typ-1? Gibt es Grammatiken, die Typ-1 sind, aber nicht Typ-2? Gibt es Sprachen, die Typ-1 sind, aber nicht Typ-2? Ist die folgende Grammatik Typ-0, Typ-1, Typ-2, Typ-3? G =({S, A}, {a}, P, S) mit P = {(S, SAA), (S, AA), (AA, aa)} Was ist die zugehörige Sprache? Ist diese Sprache Typ-0, Typ-1, Typ-2, Typ-3? Wie sieht eine optimale Grammatik für diese Sprache aus? Einheit 3 Folie 3.3

4 Die Situation, die durch die Chomsky-Hierarchie auf Sprachebene entsteht, wollen wir alle Sprachen graphisch darstellen: Beachte: Mathematisch gesehen ist nur ein sehr kleiner Teil aller Sprachen durch Grammatiken zu definieren! Merkbild Typ-0 Sprachen entscheidbare Sprachen Typ-1 Sprachen Typ-2 Sprachen Was die entscheidbaren Sprachen sind, werden wir in der nächsten Einheit sehen. Typ-3 Sprachen Einheit 3 Folie 3.4

5 Was ist ein Beweis? Schema: Einschub: Beweisen Ein Beweis ist eine Abfolge von Schritten, die jeweils durch logische Schlussfolgerungen gebildet werden. Unter den gegebenen Voraussetzungen soll dabei eine Aussage A gezeigt werden. Dabei muss jeder einzelne Schritt nachvollziehbar oder mit einer bekannten Aussage begründet sein. Nach Voraussetzung gilt Schritt: Dann gilt Schritt: Dann gilt Also gilt die Aussage A. Einheit 3 Folie 3.5 usw.

6 Beispielschema Implikation Wenn die Implikation A ) B gezeigt werden soll, beginnt man so: Wenn A gilt, dann gilt...; daraus folgt...; usw. also gilt auch B. Als Beispiel für die Anwendung betrachten wir folgende Definition: Def.: Eine Zahl n ist gerade, wenn eine natürliche Zahl k existiert, so dass n = 2 k gilt. Eine Zahl n heißt durch 4 teilbar, falls es eine natürliche Zahl k gibt, so dass n = 4 k gilt. Behauptung: Jede durch 4 teilbare natürliche Zahl ist gerade. Beweis: Sei n eine durch 4 teilbare natürliche Zahl. Dann existiert eine natürliche Zahl ` mit n = 4 `. Setze k = 2 `. Dann ist k eine natürliche Zahl und es gilt n = 4` = 2 2` = 2 k. Also ist nach unserer Definition n eine gerade Zahl. Einheit 3 Folie 3.6

7 Alternatives Beweisschema für A =) B Statt mit der Aussage A zu beginnen und daraus schrittweise die Aussage B herzuleiten, kann man auch die Implikation B =) A zeigen. (Was bedeutet hier B bzw. A?) Wie können wir begründen, dass A =) B und B =) A die selbe Bedeutung haben? Die Aussage A =) B ist immer richtig, außer wenn A wahr und B falsch ist. Vergewissern Sie sich, dass das stimmt... Die Aussage B =) A ist immer richtig, außer wenn B wahr und A falsch ist. Vergewissern Sie sich, dass auch das stimmt... Aber B ist wahr genau dann, wenn B falsch ist und A ist falsch genau dann, wenn A wahr ist. Also sind die beiden roten Zeilen tatsächlich gleichwertig! Einheit 3 Folie 3.7