ÜBUNGSSKRIPTUM zur VO Lineare Modelle

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1 ÜBUNGSSKRIPTUM zur VO Lineare Modelle [Letztes Update: 20. Jänner 2010] I. Momente von Stichproben und Zufallsvariablen Verwenden Sie für die Lösung der folgenden Aufgaben das Handout Moments and Sample Moments. 1. a) Für die Stichprobenkovarianz s x,y von x 1,..., x n und y 1,..., y n gilt, dass ** s x,y = 1 n x i (y i y) = 1 n (x i x)y i = 1 n x i y i x y. b) Für α > 0 und β > 0 bezeichnet αx die Stichprobe αx 1,..., αx n, und βy die Stichprobe βy 1,..., βy n. Zeigen Sie, dass dann s αx,βy = αβs x,y gilt. Für die Stichprobenkorrelation hingegen gilt für α > 0, β > 0, s x,x > 0, und s y,y > 0, dass r αx,βy = r x,y. c) Wieso ist, falls s x,x > 0 und s y,y > 0, 1 r x,y 1? Hinweis: Verwenden Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für Vektoren im R n. 2. Es seien X und Y Zufallsvariable mit E(X) = µ X, E(Y ) = µ Y. ** a) Für die Kovarianz σ X,Y von X und Y gilt: σ X,Y = E(X(Y µ Y )) = E((X µ X )Y ) = E(XY ) µ X µ Y. b) Für α > 0 und β > 0 ist σ αx,βy = αβσ X,Y. Für die Korrelation hingegen gilt: ist σ X,X > 0 und σ Y,Y α > 0, β > 0 ρ αx,βy = ρ X,Y. > 0, so ist für c) Wieso ist 1 ρ X,Y 1, falls σ X,X > 0 und σ Y,Y > 0? Hinweis: Verwenden Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für Zufallsvariablen. 1

2 3. a) Sind X 1,..., X n unkorreliert mit E(X 1 ) = = E(X n ) = 0, so ist ** ( n ) 2 E X i = E(Xi 2 ). b) Sind X 1,..., X n unkorreliert und α i, β i R für i = 1,..., n, so ist ( n ) Cov α i X i, β i X i = α i β i Var(X i ). A. Es sei X 1,..., X n i.i.d. mit Erwartungswert µ := E[X i ] und Varianz σ 2 := ** Var[X i ] = E[(X i µ) 2 ]. Zeigen Sie, dass σ 2 = 1 n 1 (X i X) 2 ein unverzerrter Schätzer für σ 2 ist, wobei X = 1 n n X i das arithmetische Mittel bezeichnet. B. Es sei (X i, Y i ) ein Sample aus einer bivariaten Verteilung mit Kovarianz σ X,Y := * E[(X i E[X i ])(Y i E[Y i ])]. Unter der Annahme, dass µ Y zeige man, dass ˆσ X,Y = 1 n ein unverzerrter Schätzer für σ X,Y ist. X i (Y i µ Y ) := E[Y i ] bekannt ist, 2

3 II. Lineare Ein- und Zweivariablen-Modelle In den folgenden 5 Beispielen sei das Modell y i = a + bx i + u i mit den Standardannahmen gegeben; siehe Handouts Regression Model and Assumptions und Statistical Properties of OLS-Estimators. 4. a) Weshalb wird n (y i a bx i ) 2 durch die KQ-Schätzer â und ˆb minimiert? ** b) Warum sind diese Schätzer im gegebenen Modell unverzerrt? * 5. Welche Beziehungen gelten zwischen ESS, TSS und RSS? Warum gelten diese ** Beziehungen? 6. Es seien z i = c + dx i. Zeigen Sie s z,û = 0. * 7. Es sei ˆβ der Kleinstquadrate-Schätzer für den unbekannten Parameter β. Weiters ** sei x 1 x n und β = (y n y 1 )/(x n x 1 ). Beweisen Sie, dass Var[ β] > Var[ ˆβ], wenn σ 2 > 0 und x (x 1 + x n )/2. Verwenden Sie dazu die Formeln Var[ β] = 2σ 2 (x n x 1 ) 2 und Var[ ˆβ] = σ 2 n (x i x) Gauß-Markov-Theorem für den Intercept. Es sei y i = a + bx i + u i das ** einfache lineare Regressionsmodell unter den Annahmen 1 5 mit σ 2 > 0; a und b sind unbekannte reelle Parameter. Für jeden linearen, unverzerrten Schätzer a von a gilt Var[a ] Var[â], wobei man Gleichheit nur im Fall a = â hat. Beweisen Sie diese Aussagen. 9. Gegeben seien die folgenden Daten * x : y : a) Berechnen Sie die KQ-Schätzer â und ˆb für das Modell y i = a + bx i + u i. b) Veranschaulichen Sie die Einpassung der Regressionsgeraden in den Punktschwarm durch eine Zeichnung. c) Ermitteln und interpretieren Sie die Stichprobenkorrelation r x,y. 3

4 Zur geometrischen Interpretation des KQ-Schätzers. Betrachten Sie in den folgenden Beispielen das Modell y i = a + bx i + u i für i = 1,..., n in Vektorenschreibweise: für y = (y 1,..., y n ), i = (1,..., 1), x = (x 1,..., x n ), und u = (u 1,..., u n ) ist y = ai + bx + u. Die mit Hilfe der KQ-Schätzer berechneten Werte ŷ 1,..., ŷ n, sowie die Residuen û 1,..., û n lassen sich entsprechend als Vektoren schreiben: ŷ = (ŷ 1,..., ŷ n ), und û = (û 1,..., û n ) = y ŷ. 10. Gegeben seien die Daten * x : y : zu dem Modell y i = a + bx i + u i mit i = 1, 2, 3. a) Fertigen Sie im R 3 eine Zeichnung der Punkte i = (1, 1, 1), x = (0, 1, 2), y = (0, 1, 1), und des durch die KQ-Schätzer berechneten Punktes ŷ = (ŷ 1, ŷ 2, ŷ 3 ) an. b) Berechnen Sie die Winkel zwischen x und y ŷ, sowie zwischen i und y ŷ. 11. Es sei {v 1,..., v k } R n ein sogenanntes Orthonormalsystem, d.h. { v iv 1 i = j, j = 0 sonst. Sei weiters E der von diesen Vektoren aufgespannte lineare Teilraum von R n, also E := {λ 1 v λ k v k : λ 1,..., λ k R} und p ein beliebiger Vektor im R n. a) Finden Sie jenen Vektor ˆp E, der minimalen Abstand zu p hat. ** b) Zeigen Sie, dass * p ˆp v 1,..., v k. Das bedeutet zusammen mit 11a), dass man p orthogonal zerlegt hat in ˆp E und p ˆp E, wobei E definiert ist als die Menge jener Vektoren im R n, die orthogonal auf alle Vektoren aus E stehen, also E = {x R n : x v = 0 für alle v E}, Der Teilraum E R n heißt orthogonales Komplement zu E. c) Zeigen Sie, dass die obige orthogonale Zerlegung ** p = ˆp + (p ˆp) im folgenden Sinne eindeutig ist: Sei p = q + r, q E, r E eine weitere orthogonale Zerlegung, dann gilt bereits, dass q = ˆp und r = p ˆp. 4

5 Hinweis: Berechnen Sie zunächst p v für v E, einmal für p = ˆp+(p ˆp) und einmal mit p = q + r. Beachten Sie dann, dass v v = 0 stets v = 0 impliziert. 12. Zu dem Modell y = ai + bx + u mit i = (1,..., 1) seien x = (x 1,..., x n ) und ** die Daten y = (y 1,..., y n ) gegeben. a) Zeigen Sie, dass der durch die KQ-Schätzer â und ˆb gegebene Punkt ŷ = (ŷ 1,..., ŷ n ) in der von x und i aufgespannten Ebene liegt. b) Zeigen Sie, dass der Vektor y ŷ orthogonal zu i und x ist. 13. Wie lassen sich Formeln wie û = 1 n i û = 0, s x,û = 0, sŷ,û = 0, oder T SS = ** ESS + RSS geometrisch interpretieren? Hinweis: Die Formel T SS = ESS + RSS folgt aus dem Satz von Pythagoras. Beachten Sie dabei, dass û orthogonal auf i steht. In den folgenden Aufgaben sei das homogene, d.h. Intercept ist α = 0, Modell y i = bx i + u i gegeben. Weiters gelte E(u i ) = 0, E(u 2 i ) = σ2, E(u i u j ) = 0, und x i nicht zufällig, i = 1,..., n. 14. a) Für welchen Wert b ist n (y i bx i ) 2 minimal? Wann ist dieses Minimum * eindeutig? b) Nehmen Sie an, das obige Minimum sei wohldefiniert. Zeigen Sie, dass der ** Schätzer b im gegebenen Modell unverzerrt ist und bestimmen Sie dessen Varianz. c) Für i = 1,..., n sei ỹ i = bx i und ũ i = y i ỹ i. Zeigen Sie, dass in diesem Modell die Beziehung (y i y) 2 = im allgemeinen nicht erfüllt ist. (ỹ i ỹ) 2 + (ũ i ũ) 2 Hinweis: Es seien Daten (x 1, y 1 ) = (1, 1), (x 2, y 2 ) = (0, 1) gegeben. Berechnen Sie zunächst b, ỹ und ũ. 15. a) Formulieren Sie das Gauß-Markov Theorem für den KQ-Schätzer b des ho- * mogenen Modells aus Beispiel 14. b) Beweisen Sie das Gauß-Markov Theorem aus 15a). ** Hinweis: Übertragen Sie die Schritte im Beweis für das inhomogene Modell. 16. Betrachten Sie im homogenen Modell y i = bx i +u i unter den Standardannahmen ** die Schätzer b = xy/xx und ˆb = (xy x y)/(xx x x). 5

6 a) Sind diese Schätzer linear? b) Sind diese Schätzer unverzerrt? c) Welche Aussagen können Sie über die Varianzen der Schätzer b und ˆb mit Hilfe des Gauß-Markov Theorems treffen, ohne die Varianzen tatsächlich auszurechnen? d) Berechnen Sie die Varianzen der Schätzer b und ˆb. e) Welcher der Schätzer b und ˆb ist der beste lineare unverzerrte Schätzer für b im Modell y i = bx i + u i unter den Standardannahmen und ohne Zusatzinformation? 17. Betrachten Sie im inhomogenen Modell y i = a + bx i + u i unter den Standardan- ** nahmen die Schätzer b = xy/xx und ˆb = (xy x y)/(xx x x). a) Sind diese Schätzer linear? b) Berechnen Sie den Bias von b und ˆb. c) Berechnen Sie die Varianzen der Schätzer b und ˆb. 18. Sei b wie in Aufgabe 14. Weiters seien die Daten gegeben. x : y : a) Berechnen Sie b, ũ i = y i bx i, sowie 10 ũi. b) Berechnen Sie zu den Daten und unter der Annahme, dass y i = a + bx i + u i ist, die KQ-Schätzer â und ˆb, sowie û i und 10 ûi. c) Vergleichen Sie die Werte von 10 ũi und 10 ûi. Vergleichen Sie die Werte von 10 ũ2 i und 10 û2 i. Für die folgende Aufgabe benötigen Sie Informationen aus den Handouts zu den Themen Distribution Theory in the Linear Regression Model und Estimation of the Error Variance. 19. In order to investigate the feasability of starting a Sunday edition for a large metropolitan newspaper, information was obtained from a sample of 34 newspapers concerning their daily and Sunday circulations (in thousands) (Source: Gale Directory of Publications, 1994). The data can be retrieved from a) Construct a scatter plot of Sunday circulation versus daily circulation. Does the plot suggest a linear relationship between daily and Sunday circulation? Do you think this is a plausible relationship? 6

7 b) Fit a regression line predicting Sunday circulation from daily circulation. c) Obtain the 95% confidence intervals for a and b. d) Is there a significant relationship between Sunday circulation and daily circulation? Justify your answer by a statistical test. Indicate what hypothesis you are testing and your conclusion. e) What proportion of the variability in Sunday circulation is accounted for by daily circulation? f) The particular newspaper that is considering a Sunday circulation has a daily circulation of Provide an interval estimate (based on 95% level ) for the true average Sunday circulation of newspapers with daily circulation of g) Provide an interval estimate (based on 95% level ) for the true average Sunday circulation of newspapers with daily circulation of Do you think it is likely to be accurate? To perform the statistical tests and to construct the confidence intervals, assume that the data follows a linear regression model under the standard assumptions with independent and identically normal distributed errors. 7

8 III. Wiederholung lineare Algebra 20. Gegeben seien die Matrizen * A = ( ), B = a) Berechnen Sie JA, JB, und J = b) AJ und BJ. Wie kann man in den Punkten a) und b) die Multiplikation mit J interpretieren? c) Berechnen Sie auch AB und schreiben Sie jede Zeile (Spalte) dieser Matrix als Linearkombination der Zeilen von B (Spalten von A). 21. Seien A und B wie in Beispiel 20. a) Berechnen Sie (AB), B A, b) (AC) und C A für C = Es sei A eine n m und B eine m k Matrix. Zeigen Sie, dass dann ** (AB) = B A gilt. 23. Es sei W eine zufällige n m und B eine nicht-zufällige m k Matrix. Zeigen * Sie, dass E[W B] = E[W ]B gilt. 24. Es sei Z eine n m Matrix und α ein m 1-Vektor. Berechnen Sie den Gradienten ** F (α) der Funktion F : R m R, F (α) = α Z Zα. Zeigen Sie weiters, dass F (α) = 2Z Zα gilt. 25. Beschreiben Sie die Begriffe positiv definit, nichtnegativ definit, negativ definit, und indefinit. Teilen Sie dazu die Menge aller n n Matrizen in geeignete Klassen ein (Venn-Diagramm). 26. Gegeben sei die Matrix A = ( ). 8

9 a) Zeigen Sie sowohl mit Hilfe der Hauptminoren als auch mit Hilfe der Eigenwerte, dass die Matrix A positiv definit ist. b) Bestimmen Sie Eigenvektoren der Länge 1 zu den Eigenwerten der Matrix A. c) Überprüfen Sie anhand dieses Beispiels die allgemeine Regel, dass die zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix gehörende Eigenvektoren stets paarweise orthogonal sind. d) Zeigen Sie allgemein, dass zu verschiedenen Eigenwerten λ 1 λ 2 einer symmetrischen Matrix A gehörende Eigenvektoren v 1, v 2 stets paarweise orthogonal sind. 27. Zeigen Sie, dass für eine positiv definite n n Matrix B jedes Diagonalelement b ii positiv ist. Hinweis: Drücken Sie b ii in der Form x Bx für geeignetes x R n aus. 28. a) Seien A und B zwei n n-matrizen. Zeigen Sie, dass tr(a + B) = tr(a) + tr(b) tr(λa) = λ tr(a) b) Sei A eine n m- und B eine m n-matrix. Zeigen Sie, dass tr(ab) = tr(ba). 29. Zeigen Sie, dass es unmöglich ist, zwei Matrizen A und B zu finden, sodass * AB BA = I gilt. Hinweis: Verwenden Sie Beispiel Es seien A = und B = Überzeugen Sie sich, dass det(ab) = det(a) det(b) gilt. Verwenden Sie in den nächsten 3 Aufgaben u.a. folgendes Resultat. Jede symmetrische n n Matrix Ω besitzt n paarweise orthogonale Eigenvektoren u 1,..., u n. Normiert man diese n Vektoren und fasst sie zu einer Matrix U = [u 1 u n ] zusammen, so gilt: U U = I, U = U 1, und Ω = U diag(λ 1,..., λ n ) U, wobei u i Eigenvektor zum Eigenwert λ i ist und diag(λ 1,..., λ n ) eine Diagonalmatrix mit Eintragungen λ i in der Hauptdiagonale bezeichnet. 31. Zeigen Sie die folgenden Aussagen: 9

10 a) Ist eine symmetrische Matrix Ω idempotent, so können Ihre Eigenwerte nur ** die Werte 0 oder 1 annehmen. Hinweis: Wegen der Einleitung gibt es zu jeder symmetrischen n n Matrix Ω eine invertierbare Matrix U, so dass U ΩU eine Diagonalmatrix ist. Zeigen Sie zunächst, dass für eine idempotente Matrix Ω auch U ΩU idempotent ist. b) Für jede symmetrische, idempotente Matrix Ω gilt spur(ω) = rang(ω). ** Hinweis: Führen Sie folgende Rechnung fort. spur(ω) = spur(i n Ω) = spur(uu Ω) =... Beachten Sie dann, dass die Spur und der Rang für Diagonalmatrizen, deren Diagonalelemente nur 0 oder 1 sind, übereinstimmen. c) Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme von b) den Rang der Matrix ** M = I X(X X) 1 X wobei X eine n k Matrix mit rang(x) = k ist. 32. Wurzel einer nicht-negativ definiten Matrix. Zeigen Sie, dass zu jeder symmetrischen und nicht-negativ definiten Matrix Ω eine Matrix R existiert, sodass Ω = RR gilt. Ist Ω symmetrisch und positiv definit, so ist auch R positiv definit. Hinweis: Wegen der Einleitung gilt Ω = UΛU. Zeigen Sie zunächst, dass sich Λ in der Form Λ = QQ schreiben lässt. 10

11 IV. Das allgemeine Modell in Matrixschreibweise 33. a) Formulieren Sie das einfache Regressionsmodell y i = a+bx i +u i, i = 1,..., n ** in Matrix-Schreibweise y = Xβ+u. Überprüfen Sie, ob die Standardannahmen des allgemeinen Modells unter den Standardannahmen des einfachen Modells erfüllt sind. b) Bestimmen Sie die Formeln für die KQ-Schätzer für a und b aus der Formel ** ˆβ = (X X) 1 X y. Weshalb ist X X invertierbar? Zeigen Sie insbesondere, dass sich die KQ-Schätzer allein durch die Stichprobenmittel x und y, sowie durch die Stichprobenvarianzen und -kovarianzen s x,x, s y,y und s x,y ausdrücken lassen. Die Vektorkomponenten ˆβ 1, ˆβ 2 stimmen also mit den Schätzern â, ˆb aus Aufgabe 4 überein. 34. Zeigen Sie, daß der KQ-Schätzer ˆβ für β im linearen Modell Y = Xβ + u die ** a) Bedingung 1. Ordnung, b) Bedingung 2. Ordnung für ein Minimum von Y Xβ erfüllt. Zeigen Sie hier auch, dass X X genau dann positiv definit ist, wenn rang(x) = k gilt. Leiten Sie in a) und b) jeweils die gesuchten Bedingungen her. 35. Prüfen Sie folgende Eigenschaften des KQ-Schätzers ˆβ für β im linearen Modell * Y = Xβ + u, wobei β R k, und X eine n k Matrix von vollem Spaltenrang sei. X û = 0, Ŷ û = 0, Wo verwendet man, dass X Rang k hat? ˆβ = β + (X X) 1 X u. 36. Betrachten Sie das lineare Modell Y = Xβ + u, wobei β R k, und X eine n k ** Matrix von vollem Spaltenrang sei. a) Zeigen Sie, dass die Matrix M = I n X(X X) 1 X folgende Eigenschaften hat. MX = 0, M = M, M 2 = M, b) Zeigen Sie, dass sich der Residuenvektor û als û = Mu darstellen lässt. Bemerkung: gilt. Aus Aufgabe 31c) wissen wir, dass rang(m) = spur(m) = n k 11

12 37. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz-Kovarianz Matrix des KQ-Schätzers ˆβ im linearen Modell Y = Xβ + u unter den Standardannahmen. Erklären Sie, wo diese Annahmen verwendet werden. 38. Bestimmen Sie den Erwartungswert der Varianzschätzers ˆσ 2 = 1 n k im linearen Modell Y = Xβ + u unter den Standardannahmen. 39. Betrachten Sie das Modell t=1 û 2 t y t = β 1 x t,1 + β 2 x t,2 + β 3 x t,3 + β 4 x t,4 + u t unter den Standardannahmen mit n = 10. Die Daten finden Sie unter a) Berechnen Sie den KQ-Schätzer ˆβ für β = (β 1, β 2, β 3, β 4 ). b) Berechnen Sie den Schätzer ˆσ 2 für die Varianz der u t. Berechnen Sie weiters die Matrix ˆσ 2 (X X) 1 als Schätzer für die Varianz-Kovarianz Matrix des KQ-Schätzers, also für σ 2 (X X) 1. c) Berechnen Sie R 2. d) Berechnen Sie den Prognosewert ŷ f zu x f,1 = 1, x f,2 = 0.5, x f,3 = 0.7 und x f,4 = Zeigen Sie im Modell Y = Xβ + u die Beziehung (y t ȳ) 2 = (ŷ t ŷ) 2 + t=1 t=1 t=1 unter der Annahme, dass X den Spaltenvektor (1,..., 1) enthält. û 2 t 12

13 V. Normalverteilung und Lineare Transformationen 41. Sei Z N(0, I 2 ) bivariat normalverteilt, und sei A ein 1 2 Zeilenvektor, A (0, 0). Geben Sie die Verteilung von AZ an. Besitzt AZ eine Dichte? Was erhält man speziell für A = (1, 0)? 42. Sei Z N(0, I 2 ) bivariat normalverteilt, und sei A eine 2 2 Matrix mit vollem Rang. Geben Sie die Verteilung und (durch Einsetzen in die Formel) auch die Dichte von AZ an, und zwar für a) ( A = ), b) ( A = a 11 a 12 a 21 a 22 ). 43. Zeigen Sie, dass jede Varianz-Kovarianz Matrix symmetrisch und nichtnegativ definit ist. 44. Sei Z eine auf R n normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 (der ** Null-Vektor) und Varianz-Kovarianz Matrix Σ, also Z N(0, Σ). Zeigen Sie: Ist Σ regulär, so existiert eine reguläre n n Matrix S, sodass S 1 Z N(0, I n ). Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe Es sei Z = (Z 1, Z 2 ) ein bivariat normalverteilter Zufallsvektor mit Erwartungs- ** wert (µ 1, µ 2 ) und VC-Matrix Σ. Zeigen Sie, dass, sofern Z 1 und Z 2 unkorreliert sind, diese auch unabhängig sind. 46. Gegeben sei folgende reellwertige Funktion auf R 2 : { 1 f(x, y) = π exp{ x2 +y 2 2 } falls x > 0, y > 0 oder x < 0, y < 0 0 sonst Zeigen Sie folgende Aussagen. a) Die Funktion f(x, y) ist eine Dichte auf R 2, d.h. f(x, y) ist nicht-negativ, ** und f(x, y) dxdy = 1. Verwenden Sie dazu 1 2π exp s2 2 ds = 1. b) Ist W = (W x, W y ) eine bivariate Zufallsvariable mit der Dichte f(x, y), so ** sind W x und W y normalverteilt. c) Ist W = (W x, W y ) eine bivariate Zufallsvariable mit der (oben definierten) ** Dichte f(x, y), so sind W x und W y unkorreliert aber nicht unabhängig. 13

14 VI. Statistische Hypothesen 47. Betrachten Sie das Modell Y = Xβ + u mit β R k und Stichprobengrösse n unter den Standardannahmen. Es sei ˆβ der KQ-Schätzer aus diesem Modell und es sei β der restringierte KQ-Schätzer unter der Restriktion Rβ = r. Dabei sei R eine q k Matrix vom Rang q, und r ein q 1 Vektor. Entsprechend sei û = Y X ˆβ der Vektor der unrestringierten Residuen und RSS deren Quadratsumme, sowie u = Y Xβ der Vektor der restringierten Residuen und RSS deren Quadratsumme. Zeigen Sie: a) u = û + X(ˆβ β ). b) u u = û û + (ˆβ β ) X X(ˆβ β ). c) Die F -Statistik zum Testen der Hypothese H 0 : Rβ = r lässt sich schreiben als F = RSS RSS RSS n k. q 48. Die Einfuhr von Ceylontee in die USA wird durch folgende Gleichung modelliert. wobei log Q = β 0 + β 1 log P C + β 2 log P I + β 3 log P B + β 4 log Y + u, Q die Importe von Ceylontee in die USA, P C den Preis von Ceylontee, P I den Preis von Indischem Tee, P B den Preis von Brasilianischem Kaffee, und Y das verfügbare Einkommen bezeichnen. Aus n = 22 Beobachtungen ergaben sich folgende KQ-Schätzer: Unter der Hypothese H 0 : β 1 = 1, β 2 = 0 ergeben sich die restringierten Schätzer β 0 = (0.820), β 3 = (0.155), und β 4 = (0.165), wobei die Zahlen in Klammer die geschätzten Standardabweichungen angeben. Die Residuenquadratsumme im restringierten Modell beträgt RSS = Die unrestringierten Schätzer sind ˆβ 0 = (2.000), ˆβ 1 = (0.987), ˆβ 2 = (0.690), ˆβ 3 = (0.134), und ˆβ 4 = (0.370). Die Residuenquadratsumme im unrestringierten Modell beträgt RSS = Testen Sie die Hypothese H 0 gegen die Alternative H 1 : β 1 1 oder β 2 0 auf dem Signifikanzniveau α = 0.05 und diskutieren Sie die ökonomische Implikation des Ergebnisses. 14

15 49. In der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Y = γa α K β ist von Interesse, ob α+ β > 1 ist ( zunehmende Skalenerträge ). Nach einer logarithmischen Transformation gelangen wir zu einer linearen Funktion log Y = log γ +α log A+β log K. Mit Hilfe von Querschnitts- oder Zeitreihendaten können nun α und β geschätzt werden und anschließend die Linearkombination α + β. Erhält man ˆα + ˆβ > 1, so ist das nicht unbedingt ein Indiz dafür, dass wirklich α + β > 1 ist. Vielmehr muss ˆα + ˆβ signifikant größer als 1 sein. Das aber kann nur geprüft werden, wenn die Varianz von ˆα + ˆβ bekannt ist. Man berechne die Varianz von ˆα + ˆβ und entwickle daraus einen Test für die Hypothese H 0 : α + β = 1 gegen die Alternative H A : α + β > 1, unter der Annahme, dass die Messwerte log Y mit iid N(0, σ 2 )-verteilten Fehlern behaftet sind. 50. Gegeben seien die folgenden Zweivariablenmodelle (1) Y t = α 1 + β 1 x t + u t t = 1,..., n 1 (2) Y t = α 2 + β 2 x t + u t t = n 1 +1,..., n 1 +n 2 =: n. a) Zeigen Sie, dass sich (1) und (2) zu dem Modell Y = Xδ + u mit δ = (α 1, β 1, α 2, β 2 ) und geeigneter Matrix X zusammenfassen lassen. Geben Sie die Matrix X in Abhängigkeit von X 1 und X 2 an. b) Zeigen Sie, dass sich (1) und (2) unter der Restriktion α 1 = α 2 und β 1 = β 2 zu dem Modell Y = Zθ + u mit θ = (α, β) und Z = [X 1 X 2 ] zusammenfassen lassen. Geben Sie jeweils die Größen für Y, Z und u an. 51. Es sei ˆβ = (ˆβ 1, ˆβ 2) der KQ-Schätzer aus dem allgemeinen Regressionsmodell Y = X 1 β 1 +X 2 β 2 +u (*) unter den Standardannahmen. Sei ˆδ 1 der KQ-Schätzer der Regression von Y auf X 1. a) Zeigen Sie, dass folgende Beziehung gilt: ˆδ 1 = ˆβ 1 + (X 1X 1 ) 1 X 1X 2 ˆβ2. b) Berechnen Sie den Bias von ˆδ 1 für β 1 im Modell(*). Unter welchen Umständen ist ˆδ 1 unverzerrt für β 1? 15