Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen

Transkript

1 Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen Gabriele Kern-Isberner LS 1 Information Engineering TU Dortmund Wintersemester 2015/16 WS 2015/16 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 1 / 267

2 Kapitel 4 4. Wahrscheinlichkeiten & Co Probabilistik und Informationstheorie G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

3 Entropie Mittlerer Informationsgehalt einer Verteilung P : H(P ) = ω Ω P (ω) log P (ω) Entropie einer Verteilung P (misst den Grad der mittleren Unbestimmtheit von P ) Der Begriff Entropie stammt aus der Thermodynamik, wurde von Shannon später als fundamentales Maß für die Unordnung (= fehlende Struktur) in einem System gedeutet und damit als Maß für die Informativität (= Strukturiertheit) erkannt. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

4 Eigenschaften der Entropie Sei P 0 die Gleichverteilung über Ω, d. h. P 0 (ω) = 1 n für ω Ω, wobei Ω = n; dann gilt: H(P 0 ) = log 2 n; ( Beweis : H(P 0 ) = H( 1 n,..., 1 n ) = n i=1 1 n log 1 n = ( n) 1 ( log n) n = log n ) Für jede beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung P über Ω gilt H(P ) H(P 0 ), d.h. die Entropie der Gleichverteilung ist maximal. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

5 Entropie von Aussagevariablen 1/5 Sei A eine Aussagenvariable mit den Werten {a (1),..., a (n) }. Die Entropie von A wird definiert als H(A) = n i=1 P (a(i) ) log P (a (i) ) H(A) mittlere Unsicherheit darüber, welchen Wert A annehmen wird. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

6 Entropie von Aussagevariablen 2/5 Bedingte Entropie von A bzgl. B (mit Werten {..., b (j),...}): H(A B) = i,j P (b(j) )P (a (i) b (j) ) log P (a (i) b (j) ) = j P (b(j) ) i P (a(i) b (j) ) log P (a (i) b (j) ) = j P (b(j) )H(P (A b (j) )) erwartete Unbestimmtheit von A nach der Beobachtung von B. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

7 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 1/7 Zwei Urnen enthalten Kugeln: Urne 1: 4 weiße 3 rote 1 schwarze Kugel(n) Urne 2: 6 weiße 2 rote 0 schwarze G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

8 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 1/7 Zwei Urnen enthalten Kugeln: Urne 1: 4 weiße 3 rote 1 schwarze Kugel(n) Urne 2: 6 weiße 2 rote 0 schwarze Kugel(n) Variablenbeschreibung Werte Variable A: Urne 1, 2 Variable B: Farbe weiss (1), rot (2), schwarz (3) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

9 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 1/7 Zwei Urnen enthalten Kugeln: Urne 1: 4 weiße 3 rote 1 schwarze Kugel(n) Urne 2: 6 weiße 2 rote 0 schwarze Kugel(n) Variablenbeschreibung Werte Variable A: Urne 1, 2 Variable B: Farbe weiss (1), rot (2), schwarz (3) Die Verteilung P beschreibe die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Ziehe Kugel der Farbe b aus Urne mit Nummer a G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

10 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 2/7 Der Agent zieht mit gleicher Wahrscheinlichkeit Kugeln aus Urne 1 oder 2: P (A = 1) = P (A = 2) = 0.5 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

11 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 2/7 Der Agent zieht mit gleicher Wahrscheinlichkeit Kugeln aus Urne 1 oder 2: P (A = 1) = P (A = 2) = 0.5 Die bedingten Verteilungen von B gegeben A sind wie folgt: ( 1 P (B A = 1) = 2, 3 8, 1 ) 8 ( 3 P (B A = 2) = 4, 1 ) 4, 0 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

12 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 3/7 Mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit ergeben sich damit folgende Wahrscheinlichkeiten für die Ausprägungen von B: P (B = 1) = P (B = 1 A = 1)P (A = 1) +P (B = 1 A = 2)P (A = 2) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

13 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 3/7 Mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit ergeben sich damit folgende Wahrscheinlichkeiten für die Ausprägungen von B: P (B = 1) = P (B = 1 A = 1)P (A = 1) +P (B = 1 A = 2)P (A = 2) = = 5 8 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

14 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 3/7 Mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit ergeben sich damit folgende Wahrscheinlichkeiten für die Ausprägungen von B: P (B = 1) = P (B = 1 A = 1)P (A = 1) P (B = 2) = P (B = 1 A = 2)P (A = 2) = = 5 8 P (B = 3) = 1 16 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

15 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 4/7 Mit dem Satz von Bayes erhält man dann für die bedingten Verteilungen von A gegeben B: P (A = 1 B = 1) = P (B = 1 A = 1) P (A=1) P (B=1) = 2 5 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

16 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 4/7 Mit dem Satz von Bayes erhält man dann für die bedingten Verteilungen von A gegeben B: P (A = 1 B = 1) = P (B = 1 A = 1) P (A=1) P (B=1) = 2 5 also P (A B = 1) = ( 2 5, 3 ) 5 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

17 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 4/7 Mit dem Satz von Bayes erhält man dann für die bedingten Verteilungen von A gegeben B: P (A = 1 B = 1) = P (B = 1 A = 1) P (A=1) P (B=1) = 2 5 also ( 2 P (A B = 1) = 5, 3 ) 5 ( 3 P (A B = 2) = 5, 2 ) 5 P (A B = 3) = (1, 0) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

18 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 5/7 Für die Entropien von A und B ergibt sich ( 1 H(A) = 2 log 2 = ( 1) = log 2 ) 1 2 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

19 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 5/7 Für die Entropien von A und B ergibt sich ( 1 H(A) = 2 log 2 = ( 1) = log 2 H(B) = ( 5 8 log log 2 = = ) log 2 ) 1 16 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

20 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 6/7 Die bedingte Entropie von A bzgl. B berechnet sich zu H(A B) = 5 ( 2 8 H 5, 3 ) + 5 ( H 5, 2 ) + 1 H(1, 0) 5 16 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

21 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 6/7 Die bedingte Entropie von A bzgl. B berechnet sich zu H(A B) = 5 ( 2 8 H 5, 3 ) + 5 ( H 5, 2 ) + 1 H(1, 0) 5 16 = 15 ( 2 16 H 5, 3 ) = erwartete Unbestimmtheit von Urne nach der Beobachtung von Farbe G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

22 Entropie von Aussagevariablen 3/5 Verbundentropie von A und B = Entropie der gemeinsamen Verteilung von A und B: H(A, B) = i,j P (a(i) b (j) ) log P (a (i) b (j) ) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

23 Entropie von Aussagevariablen 4/5 Zwischen Verbundentropie und bedingter Entropie besteht der folgende Zusammenhang: H(A, B) = H(B) + H(A B) = H(A) + H(B A) Information ist grundsätzlich additiv! (wobei Abhängigkeiten berücksichtigt werden müssen) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

24 Entropie von Aussagevariablen 4/5 Zwischen Verbundentropie und bedingter Entropie besteht der folgende Zusammenhang: H(A, B) = H(B) + H(A B) = H(A) + H(B A) Information ist grundsätzlich additiv! (wobei Abhängigkeiten berücksichtigt werden müssen) Sind A und B unabhängig, so gilt H(A, B) = H(A) + H(B) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

25 Notizen G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

26 Entropie von Aussagevariablen 5/5 Maß für den Informationsfluss zwischen A und B: Inf (A B) = H(A) H(A B) = i,j P (a (i) b (j) ) log P (a (i) b (j) ) P (a (i) )P (b (j) ) gegenseitige Information (mutual information) von A und B G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

27 Entropie von Aussagevariablen 5/5 Maß für den Informationsfluss zwischen A und B: Inf (A B) = H(A) H(A B) = i,j P (a (i) b (j) ) log P (a (i) b (j) ) P (a (i) )P (b (j) ) gegenseitige Information (mutual information) von A und B Inf (A B) ist symmetrisch in A und B; G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

28 Entropie von Aussagevariablen 5/5 Maß für den Informationsfluss zwischen A und B: Inf (A B) = H(A) H(A B) = i,j P (a (i) b (j) ) log P (a (i) b (j) ) P (a (i) )P (b (j) ) gegenseitige Information (mutual information) von A und B Inf (A B) ist symmetrisch in A und B; Wenn A und B unabhängig sind, so ist Inf (A B) = 0 in diesem Fall liefert keine der beiden Variablen irgendwelche Information über die andere. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

29 Entropie von Aussagevariablen Beispiel 7/7 In dem obigen Urne-Kugeln-Beispiel beträgt die Information, die B (= Farbe) und A (= Urne) füreinander bereithalten, Inf (A B) = H(A) H(A B) = = 0.09 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

30 Der MaxEnt-Ansatz (ME) Gegeben: Probabilistische Wissensbasis R = {(B 1 A 1 )[x 1 ],..., (B n A n )[x n ]}; Gesucht: Diejenige Verteilung P, die nur das Wissen in R und seine probabilistischen Konsequenzen darstellt und sonst keine Information hinzufügt. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

31 Der MaxEnt-Ansatz (ME) Gegeben: Probabilistische Wissensbasis R = {(B 1 A 1 )[x 1 ],..., (B n A n )[x n ]}; Gesucht: Diejenige Verteilung P, die nur das Wissen in R und seine probabilistischen Konsequenzen darstellt und sonst keine Information hinzufügt. Prinzip der maximalen Entropie Maximiere Unbestimmtheit (d.h. Entropie), gegeben Information R = {(B 1 A 1 )[x 1 ],..., (B n A n )[x n ]} arg max P =R H(P ) = ω P (ω) log 2 P (ω) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

32 Der MaxEnt-Ansatz (ME) Gegeben: Probabilistische Wissensbasis R = {(B 1 A 1 )[x 1 ],..., (B n A n )[x n ]}; Gesucht: Diejenige Verteilung P, die nur das Wissen in R und seine probabilistischen Konsequenzen darstellt und sonst keine Information hinzufügt. Prinzip der maximalen Entropie Maximiere Unbestimmtheit (d.h. Entropie), gegeben Information R = {(B 1 A 1 )[x 1 ],..., (B n A n )[x n ]} arg max P =R H(P ) = ω P (ω) log 2 P (ω) ist eindeutig lösbar mit Lösung P = ME(R). G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

33 ME-Beispiel Grippe 1/2 Die Zusammenhänge zwischen G = Grippe, K = Kranksein und S = KopfSchmerzen könnten in der folgenden Weise beschrieben sein: R = {(k g)[1], (s g)[0.9], (k s)[0.8]} G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

34 ME-Beispiel Grippe 2/2 K G S P = ME(R) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

35 ME-Beispiel Grippe 2/2 K G S P = ME(R) P (k g) 0.57 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

36 ME-Beispiel Grippe 2/2 K G S P = ME(R) P (k g) 0.57 P (k gs) 0.64 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

37 Das ME-System SPIRIT Experte/Benutzer spezifiziert eine Menge probabilistischer Regeln (verfügbares Wissen, im Allgemeinen unvollständig!) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

38 Das ME-System SPIRIT Experte/Benutzer spezifiziert eine Menge probabilistischer Regeln (verfügbares Wissen, im Allgemeinen unvollständig!) ein probabilistisches Netzwerk (sog. LEG-Netzwerk) wird automatisch aufgebaut; G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

39 Das ME-System SPIRIT Experte/Benutzer spezifiziert eine Menge probabilistischer Regeln (verfügbares Wissen, im Allgemeinen unvollständig!) ein probabilistisches Netzwerk (sog. LEG-Netzwerk) wird automatisch aufgebaut; Wahrscheinlichkeiten werden in informationstheoretisch-optimaler Weise (d.h. auf der Basis des ME-Prinzips) aufgebaut; G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

40 Das ME-System SPIRIT Experte/Benutzer spezifiziert eine Menge probabilistischer Regeln (verfügbares Wissen, im Allgemeinen unvollständig!) ein probabilistisches Netzwerk (sog. LEG-Netzwerk) wird automatisch aufgebaut; Wahrscheinlichkeiten werden in informationstheoretisch-optimaler Weise (d.h. auf der Basis des ME-Prinzips) aufgebaut; LEG-Netzwerk (Cliquen zusammen mit lokalen Randverteilungen) wird als Wissensbasis zur Wissenspropagation und zur Beantwortung von Anfragen genutzt. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

41 Das ME-System SPIRIT Experte/Benutzer spezifiziert eine Menge probabilistischer Regeln (verfügbares Wissen, im Allgemeinen unvollständig!) ein probabilistisches Netzwerk (sog. LEG-Netzwerk) wird automatisch aufgebaut; Wahrscheinlichkeiten werden in informationstheoretisch-optimaler Weise (d.h. auf der Basis des ME-Prinzips) aufgebaut; LEG-Netzwerk (Cliquen zusammen mit lokalen Randverteilungen) wird als Wissensbasis zur Wissenspropagation und zur Beantwortung von Anfragen genutzt. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

42 ME-Wissenspropagation in SPIRIT SPIRIT erzeugt aus der Menge R einen Hypergraphen; zu diesem Zweck werden alle Variablen, die in einer Regel in R vorkommen, durch eine Hyperkante verbunden. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

43 ME-Wissenspropagation in SPIRIT SPIRIT erzeugt aus der Menge R einen Hypergraphen; zu diesem Zweck werden alle Variablen, die in einer Regel in R vorkommen, durch eine Hyperkante verbunden. Der entstandene Hypergraph wird dann durch einen Hyperbaum V, C überdeckt. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

44 ME-Wissenspropagation in SPIRIT SPIRIT erzeugt aus der Menge R einen Hypergraphen; zu diesem Zweck werden alle Variablen, die in einer Regel in R vorkommen, durch eine Hyperkante verbunden. Der entstandene Hypergraph wird dann durch einen Hyperbaum V, C überdeckt. Der zugehörige Verbindungsbaum mit der Knotenmenge C und der Separatorenmenge S stellt schließlich die passende Struktur für Repräsentation und Propagation dar; es gilt nämlich P (ω) = C C P (C) S S P (Potentialdarstellung) (S) Hyperkanten gemeinsam mit ihren Randverteilungen werden auch als LEG (= local event groups) bezeichnet. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

45 Hypergraphen V (endliche) Menge von Knoten E = {E 1,..., E m }, E i V, 1 i m (endliche) Menge nichtleerer Teilmengen von V mit V = Dann heißt H = V, E Hypergraph und die Elemente von E werden als Hyperkanten bezeichnet. m i=1 E i G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

46 Hypergraphen V (endliche) Menge von Knoten E = {E 1,..., E m }, E i V, 1 i m (endliche) Menge nichtleerer Teilmengen von V mit V = Dann heißt H = V, E Hypergraph und die Elemente von E werden als Hyperkanten bezeichnet. Ein Hypergraph H = V, E heißt Hyperbaum, wenn es eine (lineare) Anordnung seiner Hyperkanten gibt, die die RIP besitzt. m i=1 E i G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

47 SPIRIT Beispiel 1/2 Die Menge der Regeln R über den Variablen A, B, C, D, E sei die folgende: R : (C E) [0.8] (A B C) [0.1] (C E) [0.4] (B D E) [0.9] (D E) [0.7] (B D E) [0.2] G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

48 SPIRIT Beispiel 1/2 Die Menge der Regeln R über den Variablen A, B, C, D, E sei die folgende: R : (C E) [0.8] (A B C) [0.1] (C E) [0.4] (B D E) [0.9] (D E) [0.7] (B D E) [0.2] Der zugehörige Hypergraph: A B C D E G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

49 SPIRIT Beispiel 2/2 Ein überdeckender Hyperbaum dazu ist H = {{A, B, C}, {B, C, E}, {B, D, E}} A B C D E Separatoren S 1 = {B, C}, S 2 = {B, E} P (A, B, C, D, E) = P (A, B, C) P (B, C, E) P (B, D, E) P (B, C) P (B, E) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

50 Projekt SPIRIT: Suchterkrankungen Überblick Abhängigkeiten zwischen Suchtverhalten und psychischen Erkrankungen ca. 500 Fälle 17 (mehrwertige) Variable, darunter Alkohol- und Drogenabhängigkeiten Neurosen, Psychosen, Depressionen G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

51 Projekt SPIRIT: Suchterkrankungen Überblick Abhängigkeiten zwischen Suchtverhalten und psychischen Erkrankungen ca. 500 Fälle 17 (mehrwertige) Variable, darunter Alkohol- und Drogenabhängigkeiten Neurosen, Psychosen, Depressionen Wissensbasis: ca. 40 probabilistische Regeln Wissensrepräsentation, Wissensverarbeitung und Visualisierung mit der System-Shell SPIRIT G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

52 Projekt SPIRIT: Suchterkrankungen Wissensbasis Beispiele für Regeleingaben: Regel Wahrscheinlichkeit Alkohol Opioide 0.10 Opioide Alkohol 0.10 jung Opioide 0.60 jung Alkohol 0.70 Alkohol Sucht Folge 0.27 Sucht Folge Alkohol 0.78 Depression Alkohol 0.63 Suizid Opioide 0.41 Suizid Depression 0.40 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

53 Projekt SPIRIT: Suchterkrankungen ME-Inferenzen Anfrage Wahrscheinlichkeit Alkohol Kokain Opioide 0.90 Alkohol Kokain Cannabis 0.91 Alkohol Depression 0.61 jung Alkohol 0.31 jung Opioide 0.31 jung Opioide Alkohol 0.05 jung Opioide Alkohol 0.70 jung Opioide Alkohol 0.22 jung Alkohol Opioide 0.10 jung Alkohol Opioide 0.82 jung Alkohol Opioide 0.10 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

54 Probabilistische Konsequenz-Operation In Analogie zur klassischen Logik wird die probabilistische Konsequenz-Operation Cn prob : 2 (L L)prob 2 (L L)prob definiert durch Cn prob (R) = {φ (L L) prob P = φ for all P Mod(R)} G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

55 Probabilistische Konsequenz-Operation In Analogie zur klassischen Logik wird die probabilistische Konsequenz-Operation Cn prob : 2 (L L)prob 2 (L L)prob definiert durch Cn prob (R) = {φ (L L) prob P = φ for all P Mod(R)} Cn prob erfüllt Inklusion/Reflexivität: R Cn prob (R); G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

56 Probabilistische Konsequenz-Operation In Analogie zur klassischen Logik wird die probabilistische Konsequenz-Operation Cn prob : 2 (L L)prob 2 (L L)prob definiert durch Cn prob (R) = {φ (L L) prob P = φ for all P Mod(R)} Cn prob erfüllt Inklusion/Reflexivität: R Cn prob (R); Schnitt: R S Cn prob (R) impliziert Cn prob (S) Cn prob (R); G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

57 Probabilistische Konsequenz-Operation In Analogie zur klassischen Logik wird die probabilistische Konsequenz-Operation Cn prob : 2 (L L)prob 2 (L L)prob definiert durch Cn prob (R) = {φ (L L) prob P = φ for all P Mod(R)} Cn prob erfüllt Inklusion/Reflexivität: R Cn prob (R); Schnitt: R S Cn prob (R) impliziert Cn prob (S) Cn prob (R); Monotonie: R S impliziert Cn prob (R) Cn prob (S) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

58 Notizen G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

59 ME-Inferenz Wir realisieren nun eine probabilistische (optimierte) Auswahl-Inferenz mit Hilfe von ME: C ME (R) = {φ (L L) prob ME(R) = φ} d.h. aus einer probabilistischen Regelbasis werden alle (bedingten) probabilistischen Formeln abgeleitet, die in der zugehörigen ME-Verteilung erfüllt sind. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

60 ME-Inferenz Beispiel Im Grippebeispiel ist R = {(k g)[1], (s g)[0.9], (k s)[0.8]} G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

61 ME-Inferenz Beispiel Im Grippebeispiel ist R = {(k g)[1], (s g)[0.9], (k s)[0.8]} Es gilt ME(R) = (k g)[0.57] ME(R) = (k gs)[0.64] G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

62 ME-Inferenz Beispiel Im Grippebeispiel ist R = {(k g)[1], (s g)[0.9], (k s)[0.8]} Es gilt ME(R) = (k g)[0.57] ME(R) = (k gs)[0.64] also bzw. (k g)[0.57], (k gs)[0.64] C ME (R) R ME (k g)[0.57], (k gs)[0.64] G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

63 Nichtmonotonie der ME-Inferenz C ME ist ein nichtmonotoner Inferenzoperator, da sich bei Vergrößerung der Wissensbasis die Ableitungen (erheblich) verändern können. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

64 Nichtmonotonie der ME-Inferenz C ME ist ein nichtmonotoner Inferenzoperator, da sich bei Vergrößerung der Wissensbasis die Ableitungen (erheblich) verändern können. Beispiel [Grippe, Forts.]: Für R = {(k g)[1], (s g)[0.9], (k s)[0.8]} G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

65 Nichtmonotonie der ME-Inferenz C ME ist ein nichtmonotoner Inferenzoperator, da sich bei Vergrößerung der Wissensbasis die Ableitungen (erheblich) verändern können. Beispiel [Grippe, Forts.]: Für R = {(k g)[1], (s g)[0.9], (k s)[0.8]}gilt die ME-Ableitung R ME (k gs)[0.64]; G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

66 Nichtmonotonie der ME-Inferenz C ME ist ein nichtmonotoner Inferenzoperator, da sich bei Vergrößerung der Wissensbasis die Ableitungen (erheblich) verändern können. Beispiel [Grippe, Forts.]: Für R = {(k g)[1], (s g)[0.9], (k s)[0.8]}gilt die ME-Ableitung Bei Erweiterung von R zu gilt (natürlich) R ME (k gs)[0.64]; R = R {(k gs)[0.7]} R ME (k gs)[0.7] G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

67 Eigenschaften der ME-Inferenz Der ME-Inferenzoperator C ME erfüllt die folgenden Eigenschaften: Inklusion/Reflexivität: R C ME (R). G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

68 Eigenschaften der ME-Inferenz Der ME-Inferenzoperator C ME erfüllt die folgenden Eigenschaften: Inklusion/Reflexivität: R C ME (R). Kumulativität, d.h. Schnitt und vorsichtige Monotonie: R S C ME (R) impliziert C ME (R) = C ME (S) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

69 Notizen G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

70 Anwendungsgebiete probabilistischer Methoden Medizinische und technische Diagnose G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

71 Anwendungsgebiete probabilistischer Methoden Medizinische und technische Diagnose Genetik (Klassifikation von Proteinen) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

72 Anwendungsgebiete probabilistischer Methoden Medizinische und technische Diagnose Genetik (Klassifikation von Proteinen) Spracherkennung G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

73 Anwendungsgebiete probabilistischer Methoden Medizinische und technische Diagnose Genetik (Klassifikation von Proteinen) Spracherkennung Bonitätsüberprüfungen G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

74 Anwendungsgebiete probabilistischer Methoden Medizinische und technische Diagnose Genetik (Klassifikation von Proteinen) Spracherkennung Bonitätsüberprüfungen Kriminalistik G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

75 Anwendungsgebiete probabilistischer Methoden Medizinische und technische Diagnose Genetik (Klassifikation von Proteinen) Spracherkennung Bonitätsüberprüfungen Kriminalistik Kundenprofile beim (E-)Commerce... G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

76 Das ixdhl-beispiel Intelligente Postzustellung Roboter ixdhl soll im Unternehmen Giggle Post personengenau zustellen. Dazu hat er einen Plan des Firmengeländes und eine Zuordnung von Personen zu ihrem (primären) Arbeitsraum. Er weiß aber darüberhinaus, dass die Mitarbeiter sich zur Frühstückszeit gerne in der Cafeteria und zur Mittagszeit gerne in der Mensa aufhalten. Bei schönem Wetter kann es außerdem vorkommen, dass sich die Mitarbeiter in den Pausen oder sogar zu Arbeitsmeetings in einem Patio in der Mitte des Firmengeländes aufhalten (die Chefetage legt Wert auf Work-Life-Balance), wobei solche Outdoor-Arbeitsmeetings allerdings nur von einem höherrangigen Mitarbeiter (mindestens Abteilungsleiter) initiiert werden dürfen und von diesem auch begleitet werden müssen. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

77 Roboter ixdhl 3 c Katharina Diekmann 2013 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267 3

78 Beispiel: ASP-iXDHL 1/2 Eine Modellierung dieses Wissens mit Hilfe von ASP könnte z.b. so aussehen: P ixdhl : PausenZ eit F ruehstuecksz eit. P ausenz eit M ittagsz eit. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

79 Beispiel: ASP-iXDHL 1/2 Eine Modellierung dieses Wissens mit Hilfe von ASP könnte z.b. so aussehen: P ixdhl : PausenZ eit F ruehstuecksz eit. P ausenz eit M ittagsz eit. H ome(x) HRaum(x, y), Aufenthalt(x, y). Aufenthalt(x, y) H ome(x), HRaum(x, y). A(x, z) A(x, y), z y. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

80 Beispiel: ASP-iXDHL 1/2 Eine Modellierung dieses Wissens mit Hilfe von ASP könnte z.b. so aussehen: P ixdhl : PausenZ eit F ruehstuecksz eit. P ausenz eit M ittagsz eit. H ome(x) HRaum(x, y), Aufenthalt(x, y). Aufenthalt(x, y) H ome(x), HRaum(x, y). A(x, z) A(x, y), z y. Abt(holger, buchhaltung). Abt(karsten, it). Leitet(silke, it). Home(silke). HR(karsten, r202). HR(holger, r123). SchoenesW etter. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

81 Beispiel: ASP-iXDHL 2/2 A(x, y) HR(x, y), not P Z, not A(x, y). G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

82 Beispiel: ASP-iXDHL 2/2 A(x, y) HR(x, y), not P Z, not A(x, y). A(x, cafe) F Z, not A(x, cafe). A(x, mensa) M Z, not A(x, mensa). G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

83 Beispiel: ASP-iXDHL 2/2 A(x, y) HR(x, y), not P Z, not A(x, y). A(x, cafe) F Z, not A(x, cafe). A(x, mensa) M Z, not A(x, mensa). A(x, patio) SW, Abt(x, y), L(z, y), not H(x), not H(z), not A(z, patio), not P Z. A(z, patio) SW, Abt(x, y), L(z, y), not H(x), not H(z), not A(x, patio), not P Z. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

84 Beispiel: ixdhl in der Probabilistik Mit den bisherigen Mitteln: Modellierung nur im Rahmen der Aussagenlogik möglich. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

85 Beispiel: ixdhl in der Probabilistik Mit den bisherigen Mitteln: Modellierung nur im Rahmen der Aussagenlogik möglich. Wir wählen die folgenden Aussagen (mit den jeweiligen Ausprägungen): Aufenthalt Mitarbeiter A mit = {home, patio, mensa, cafeteria} Schoenes Wetter SW = {ja, nein} Jahreszeit JZ = {sommer, herbst, winter, f ruehling} Pausenzeit P Z = {F Z, MZ, Keine} Aufenthalt Abt.leiter A leit = {patio, patio} G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

86 Beispiel: Bayes-Netz SW JZ s h w f ja nein JZ JZ s 0.25 h 0.25 w 0.25 f 0.25 PZ FZ 0.06 MZ 0.12 K 0.82 PZ SW A leit A leit SW ja nein p p A mit A mit PZ SW A leit = 36 Wahrscheinlichkeiten G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

87 Beispiel: MaxEnt Wir legen die folgende probabilistische Wissensbasis an: KB prob ixdhl : (A mit = m P Z = MZ) [0.8] (A mit = c P Z = F Z) [0.6] (A mit = c P Z = MZ P Z = K) [0.2] (A mit = p SW = ja) [0.1] (A leit = p A mit = p) [0.9] (A leit = p SW = ja) [0.2] (A mit = h P Z = K) [0.7] (SW = ja JZ = s) [0.8] (SW = ja JZ = h) [0.5] (SW = ja JZ = w) [0.1] (SW = ja JZ = f) [0.6] G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

88 Beispiel: MaxEnt Wir legen die folgende probabilistische Wissensbasis an: KB prob ixdhl : (A mit = m P Z = MZ) [0.8] (A mit = c P Z = F Z) [0.6] (A mit = c P Z = MZ P Z = K) [0.2] (A mit = p SW = ja) [0.1] (A leit = p A mit = p) [0.9] (A leit = p SW = ja) [0.2] (A mit = h P Z = K) [0.7] (SW = ja JZ = s) [0.8] (SW = ja JZ = h) [0.5] (SW = ja JZ = w) [0.1] (SW = ja JZ = f) [0.6] Anfrage: ME(KB prob ixdhl ) = (A mit = c P Z = F Z SW = ja) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

89 Beispiel: MaxEnt Wir legen die folgende probabilistische Wissensbasis an: KB prob ixdhl : (A mit = m P Z = MZ) [0.8] (A mit = c P Z = F Z) [0.6] (A mit = c P Z = MZ P Z = K) [0.2] (A mit = p SW = ja) [0.1] (A leit = p A mit = p) [0.9] (A leit = p SW = ja) [0.2] (A mit = h P Z = K) [0.7] (SW = ja JZ = s) [0.8] (SW = ja JZ = h) [0.5] (SW = ja JZ = w) [0.1] (SW = ja JZ = f) [0.6] Anfrage: ME(KB prob ixdhl ) = (A mit = c P Z = F Z SW = ja) [ ] G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

90 Dempster-Shafer-Theorie Übersicht Kapitel Wahrscheinlichkeiten und probabilistische Netzwerke 4.2 Dempster-Shafer/Evidenz-Theorie 4.3 Fuzzy-Logik G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

91 Kapitel 4 Dempster-Shafer-Theorie 4. Wahrscheinlichkeiten & Co. 4.2 Dempster-Shafer/Evidenz-Theorie G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

92 Dempster-Shafer-Theorie Übersicht Kapitel 4.2 Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

93 Dempster-Shafer-Theorie Übersicht Kapitel 4.2 Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten Grundbegriffe: Basismaß, Glaubens- und Plausibilitätsfunktionen G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

94 Dempster-Shafer-Theorie Übersicht Kapitel 4.2 Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten Grundbegriffe: Basismaß, Glaubens- und Plausibilitätsfunktionen Grundmethodik: Kombinationsregel G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

95 Dempster-Shafer-Theorie Übersicht Kapitel 4.2 Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten Grundbegriffe: Basismaß, Glaubens- und Plausibilitätsfunktionen Grundmethodik: Kombinationsregel Beispiele G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

96 Dempster-Shafer-Theorie Das PPM-Paradoxon Probabilistik eignet sich gut zur Darstellung von Unsicherheit, aber nicht unbedingt zur Darstellung von Unwissenheit! G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

97 Dempster-Shafer-Theorie Das PPM-Paradoxon Probabilistik eignet sich gut zur Darstellung von Unsicherheit, aber nicht unbedingt zur Darstellung von Unwissenheit! Die Peter, Paul & Mary-Story Peter, Paul und Mary sind Profikiller, einer von ihnen hat Mr Jones ermordet; Inspektor Smith ist bisher noch vollkommen ratlos wer von den dreien war es? G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

98 Dempster-Shafer-Theorie Das PPM-Paradoxon Probabilistik eignet sich gut zur Darstellung von Unsicherheit, aber nicht unbedingt zur Darstellung von Unwissenheit! Die Peter, Paul & Mary-Story Peter, Paul und Mary sind Profikiller, einer von ihnen hat Mr Jones ermordet; Inspektor Smith ist bisher noch vollkommen ratlos wer von den dreien war es? P (Mary) = 1 3 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

99 Dempster-Shafer-Theorie Das PPM-Paradoxon Probabilistik eignet sich gut zur Darstellung von Unsicherheit, aber nicht unbedingt zur Darstellung von Unwissenheit! Die Peter, Paul & Mary-Story Peter, Paul und Mary sind Profikiller, einer von ihnen hat Mr Jones ermordet; Inspektor Smith ist bisher noch vollkommen ratlos wer von den dreien war es? P (Mary) = 1 3 war es ein Mann oder eine Frau? G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

100 Dempster-Shafer-Theorie Das PPM-Paradoxon Probabilistik eignet sich gut zur Darstellung von Unsicherheit, aber nicht unbedingt zur Darstellung von Unwissenheit! Die Peter, Paul & Mary-Story Peter, Paul und Mary sind Profikiller, einer von ihnen hat Mr Jones ermordet; Inspektor Smith ist bisher noch vollkommen ratlos wer von den dreien war es? P (Mary) = 1 3 war es ein Mann oder eine Frau? P (Mary) = 1 2 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

101 Dempster-Shafer-Theorie Das PPM-Paradoxon Probabilistik eignet sich gut zur Darstellung von Unsicherheit, aber nicht unbedingt zur Darstellung von Unwissenheit! Die Peter, Paul & Mary-Story Peter, Paul und Mary sind Profikiller, einer von ihnen hat Mr Jones ermordet; Inspektor Smith ist bisher noch vollkommen ratlos wer von den dreien war es? P (Mary) = 1 3 war es ein Mann oder eine Frau? P (Mary) = 1 2 Bei der Verwendung von Wahrscheinlichkeiten geht auch immer Wissen über die Grundgesamtheit betrachteter Merkmale mit ein! G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

102 Dempster-Shafer-Theorie Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten 1/4 Eine Funktion F : 2 Ω [0, 1] heißt (normalisierte) Kapazität, wenn gilt: Normalisierung: F (Ω) = 1; Monotonie: Für alle A, B Ω, A B, gilt: F (A) F (B). G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

103 Dempster-Shafer-Theorie Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten 1/4 Eine Funktion F : 2 Ω [0, 1] heißt (normalisierte) Kapazität, wenn gilt: Normalisierung: F (Ω) = 1; Monotonie: Für alle A, B Ω, A B, gilt: F (A) F (B). Wahrscheinlichkeitsfunktionen sind auch Kapazitäten, nicht jedoch umgekehrt: Kapazitäten sind i.allg. nicht additiv. Insbesondere ist bei einer Kapazität im Allgemeinen F (A) 1 F (A) (wobei A das Komplement von A bezeichnet). G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

104 Dempster-Shafer-Theorie Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten 2/4 Seien F, G : 2 Ω [0, 1] Kapazitäten. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

105 Dempster-Shafer-Theorie Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten 2/4 Seien F, G : 2 Ω [0, 1] Kapazitäten. F und G heißen dual zueinander, wenn für jedes A Ω gilt F (A) = 1 G(A) und G(A) = 1 F (A) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

106 Dempster-Shafer-Theorie Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten 2/4 Seien F, G : 2 Ω [0, 1] Kapazitäten. F und G heißen dual zueinander, wenn für jedes A Ω gilt F (A) = 1 G(A) und G(A) = 1 F (A) Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist offensichtlich dual zu sich selbst. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

107 Dempster-Shafer-Theorie Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten 3/4 Um Unwissenheit über Wahrscheinlichkeiten auszudrücken, legt man sich nicht auf eine Wahrscheinlichkeitsfunktion fest, sondern betrachtet Mengen von Wahrscheinlichkeitsfunktionen. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

108 Dempster-Shafer-Theorie Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten 3/4 Um Unwissenheit über Wahrscheinlichkeiten auszudrücken, legt man sich nicht auf eine Wahrscheinlichkeitsfunktion fest, sondern betrachtet Mengen von Wahrscheinlichkeitsfunktionen. Dabei legen untere und obere Wahrscheinlichkeitsschranken den Spielraum möglicher Wahrscheinlichkeiten fest: Sei Π eine nichtleere Menge von Wahrscheinlichkeitsfunktionen über derselben Menge Ω. Für jede Menge A Ω sind untere Wahrscheinlichkeitsschranke Π u und obere Wahrscheinlichkeitsschranke Π o wie folgt definiert: Π u (A) = inf{p (A) P Π} Π o (A) = sup{p (A) P Π} G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

109 Dempster-Shafer-Theorie PPM-Beispiel (Forts.) Inspektor Smith hat in der Mordsache Jones ermittelt und Mary (mit einer Täterwahrscheinlichkeit von mindestens 0.5) und Paul (mit einer Täterwahrscheinlichkeit von mindestens 0.4) als Hauptverdächtige ausgemacht. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

110 Dempster-Shafer-Theorie PPM-Beispiel (Forts.) Inspektor Smith hat in der Mordsache Jones ermittelt und Mary (mit einer Täterwahrscheinlichkeit von mindestens 0.5) und Paul (mit einer Täterwahrscheinlichkeit von mindestens 0.4) als Hauptverdächtige ausgemacht. Die gesuchte Wahrscheinlichkeitsfunktion ist also eine aus der Menge Π = {P P (Mary) 0.5, P (Paul) 0.4} G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

111 Dempster-Shafer-Theorie PPM-Beispiel (Forts.) Inspektor Smith hat in der Mordsache Jones ermittelt und Mary (mit einer Täterwahrscheinlichkeit von mindestens 0.5) und Paul (mit einer Täterwahrscheinlichkeit von mindestens 0.4) als Hauptverdächtige ausgemacht. Die gesuchte Wahrscheinlichkeitsfunktion ist also eine aus der Menge Π = {P P (Mary) 0.5, P (Paul) 0.4} Als untere und obere Wahrscheinlichkeitsschranken ergeben sich dann Π u (Mary) = 0.5 Π o (Mary) = 0.6 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

112 Dempster-Shafer-Theorie PPM-Beispiel (Forts.) Inspektor Smith hat in der Mordsache Jones ermittelt und Mary (mit einer Täterwahrscheinlichkeit von mindestens 0.5) und Paul (mit einer Täterwahrscheinlichkeit von mindestens 0.4) als Hauptverdächtige ausgemacht. Die gesuchte Wahrscheinlichkeitsfunktion ist also eine aus der Menge Π = {P P (Mary) 0.5, P (Paul) 0.4} Als untere und obere Wahrscheinlichkeitsschranken ergeben sich dann Π u (Mary) = 0.5 Π o (Mary) = 0.6 Π u (Paul) = 0.4 Π o (Paul) = 0.5 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

113 Dempster-Shafer-Theorie PPM-Beispiel (Forts.) Inspektor Smith hat in der Mordsache Jones ermittelt und Mary (mit einer Täterwahrscheinlichkeit von mindestens 0.5) und Paul (mit einer Täterwahrscheinlichkeit von mindestens 0.4) als Hauptverdächtige ausgemacht. Die gesuchte Wahrscheinlichkeitsfunktion ist also eine aus der Menge Π = {P P (Mary) 0.5, P (Paul) 0.4} Als untere und obere Wahrscheinlichkeitsschranken ergeben sich dann Π u (Mary) = 0.5 Π o (Mary) = 0.6 Π u (Paul) = 0.4 Π o (Paul) = 0.5 Π u (Peter) = 0.0 Π o (Peter) = 0.1 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

114 Dempster-Shafer-Theorie Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten 4/4 Ist Π eine nichtleere Menge von Wahrscheinlichkeitsfunktionen, so sind die zugehörigen unteren und oberen Wahrscheinlichkeitsschranken, Π u und Π o, zueinander duale Kapazitäten. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

115 Dempster-Shafer-Theorie Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten 4/4 Ist Π eine nichtleere Menge von Wahrscheinlichkeitsfunktionen, so sind die zugehörigen unteren und oberen Wahrscheinlichkeitsschranken, Π u und Π o, zueinander duale Kapazitäten. Untere und obere Wahrscheinlichkeitsschranken lieferten die Grundidee für die Dempster-Shafer-Theorie: Glaubens-Funktionen 2 Ω [0, 1] ( untere Wahrscheinlichkeitsfunktionen) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267

116 Dempster-Shafer-Theorie Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeiten 4/4 Ist Π eine nichtleere Menge von Wahrscheinlichkeitsfunktionen, so sind die zugehörigen unteren und oberen Wahrscheinlichkeitsschranken, Π u und Π o, zueinander duale Kapazitäten. Untere und obere Wahrscheinlichkeitsschranken lieferten die Grundidee für die Dempster-Shafer-Theorie: Glaubens-Funktionen 2 Ω [0, 1] ( untere Wahrscheinlichkeitsfunktionen) Plausibilitäts-Funktionen 2 Ω [0, 1] ( obere Wahrscheinlichkeitsfunktionen) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/ / 267