Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra

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1 Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra

2 Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II Herausgegeben von Prof. Dr. Friedhelm Padberg, Universität Bielefeld, und Prof. Dr. Andreas Büchter, Universität Duisburg-Essen Bisher erschienene Bände (Auswahl): Didaktik der Mathematik P. Bardy: Mathematisch begabte Grundschulkinder Diagnostik und Förderung (P) C. Benz/A. Peter-Koop/M. Grüßing: Frühe mathematische Bildung (P) M. Franke: Didaktik der Geometrie (P) M. Franke/S. Ruwisch: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule (P) K. Hasemann/H. Gasteiger: Anfangsunterricht Mathematik (P) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe (P) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe, Band 2 (P) F. Käpnick: Mathematiklernen in der Grundschule (P) G. Krauthausen: Digitale Medien im Mathematikunterricht der Grundschule (P) G. Krauthausen/P. Scherer: Einführung in die Mathematikdidaktik (P) G. Krummheuer/M. Fetzer: Der Alltag im Mathematikunterricht (P) F. Padberg/C. Benz: Didaktik der Arithmetik (P) P. Scherer/E. Moser Opitz: Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe (P) A.-S. Steinweg: Algebra in der Grundschule (P) G. Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht (P/S) R. Danckwerts/D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten (S) G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe (S) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Sekundarstufe I (S) F. Padberg: Didaktik der Bruchrechnung (S) H.-J. Vollrath/H.-G. Weigand: Algebra in der Sekundarstufe (S) H.-J. Vollrath/J. Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (S) H.-G. Weigand/T. Weth: Computer im Mathematikunterricht (S) H.-G. Weigand et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S) Mathematik F. Padberg/A. Büchter: Einführung Mathematik Primarstufe Arithmetik (P) F. Padberg/A. Büchter: Vertiefung Mathematik Primarstufe Arithmetik/Zahlentheorie ( P) K. Appell/J. Appell: Mengen Zahlen Zahlbereiche (P/S) A. Filler: Elementare Lineare Algebra (P/S) S. Krauter/C. Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie (P/S) H. Kütting/M. Sauer: Elementare Stochastik (P/S) T. Leuders: Erlebnis Arithmetik (P/S) F. Padberg: Elementare Zahlentheorie (P/S) F. Padberg/R. Danckwerts/M. Stein: Zahlbereiche (P/S) A. Büchter/H.-W. Henn: Elementare Analysis (S) G. Wittmann: Elementare Funktionen und ihre Anwendungen (S) B. Schuppar/H. Humenberger: Elementare Numerik für die Sekundarstufe (S) P: Schwerpunkt Primarstufe S: Schwerpunkt Sekundarstufe Weitere Bände in Vorbereitung

3 Hans-Wolfgang Henn Andreas Filler Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra Algebraisch verstehen Geometrisch veranschaulichen und anwenden

4 Prof. Dr. Hans-Wolfgang Henn Böhl-Iggelheim, Deutschland Prof. Dr. Andreas Filler Institut für Mathematik, Abt. Didaktik der Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fak. Berlin, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Planung und Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch, Bettina Saglio Redaktion: Alexander Reischert, Redaktion ALUAN Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

5 Vorwort Liebe Leserin, lieber Leser, herzlich willkommen zu unserer Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra, einem Buch, das aus didaktischer Perspektive die Geometrie in der gymnasialen Oberstufe betrachtet. Wir diskutieren und bewerten verschiedene Zugänge zu den Grundbegriffen der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra. Wie in diesem Buch aufgezeigt wird, kann die reichhaltige Geometrie des Raumes mit ihren vielen Phänomenen mit relativ wenig Kalkül und vor allem mit viel Gewinn für die Lernenden in der Sekundarstufe II unterrichtet werden. Es ist zu bedauern, dass in manchen aktuellen Lehrplänen die Oberstufengeometrie bei Geraden und Ebenen endet. Ein Spezifikum des Geometrieunterrichts der Sekundarstufe I ist die Untersuchung konvexer Figuren der Ebene wie Kreise, Dreiecke und Vierecke. In der Sekundarstufe II sollte die natürliche Erweiterung auf konvexe Gebilde des Raumes erfolgen. Folglich sollte die Geometrie des uns umgebenden Raumes ein Schwerpunkt des gesamten Mathematikunterrichts beider Sekundarstufen sein, der in der Sekundarstufe II durch die mächtigen Methoden der Analytischen Geometrie unterstützt wird. Wo möglich, gehen wir von der Mathematisierung realer Probleme aus. Dies kann oft Begriffe und Zusammenhänge, also den Theorieaufbau, motivieren; viele Definitionen und Sätze sind dann zum Zeitpunkt ihrer Formulierung anschaulich bereits klar. Das Buch soll helfen, einen horizontal und vertikal vernetzten Geometrieunterricht zu planen und zu gestalten. Dabei bedeutet horizontal, dass geometrische und nichtgeometrische Teile der Mathematik in der Schule vernetzt werden. Ein Beispiel hierfür sind die geometrischen Abbildungen, die sich dem modernen Funktionsbegriff unterordnen lassen. Vertikal bedeutet ein bewusstes Aufgreifen und Weiterführen der Geometrie der Sekundarstufe I bis hin zum Aufbau von Grundvorstellungen in der Sekundarstufe II, die später die semantische Grundlage des axiomatisch-deduktiven Aufbaus der universitären Linearen Algebra bilden können. Dementsprechend knüpfen wir immer wieder an Ihren Vorerfahrungen aus den Anfängervorlesungen zur Linearen Algebra an und zeigen die wesentlichen Unterschiede zwischen dem in der Schule sinnvollen und dem an der Universität üblichen Zugang. V

6 VI Vorwort Für das Leben lernen, nicht für die Schule ist eine Forderung, die oft verlangt und selten erreicht wird. In der Schule wird das Bild mitgestaltet, das die jungen Leute als mündige Bürger und als zukünftige Entscheidungsträger mit ins Leben nach der Schule nehmen. Dieses Bild sollte die Schönheit und die Funktionalität der Mathematik enthalten und sich nicht auf die Beherrschung syntaktischer Rechenverfahren beschränken. Gerade in der Schule sollte die Mathematik als ein harmonisches Ganzes erscheinen, das mehr ist als ein Agglomerat von Einzeldisziplinen und Rechenverfahren. Wesentlich ist, dass Schülerinnen und Schülern ein stimmiges Bild der Mathematik vermittelt wird. Der wesentliche Einflussfaktor hierfür sind Sie, die Lehrerinnen und Lehrer, die unsere Jugendlichen ausbilden. Großen Wert legen wir auf den Einbezug neuer Medien. Der Computer kann eine Hilfe beim Rechnen, etwa beim Lösen von Gleichungen, aber vor allem auch bei Simulationen, geometrischen Konstruktionen und für dynamische Visualisierungen sein. Alle in diesem Buch besprochenen und zur Herstellung von Abbildungen verwendeten Computer-Files sind auf der unten genannten Homepage dieses Buchs verfügbar. Die von uns zitierten Internetadressen haben wir noch einmal im Dezember 2014 überprüft; wir können natürlich nicht gewährleisten, dass sie nach diesem Zeitpunkt noch unverändert zugänglich sind. Wir werden uns bemühen, eventuelle Änderungen auf der Internetseite zu diesem Buch bekannt zu geben. Trotz aller Mühen und Anstrengungen beim Korrekturlesen kommt es wohl bei jedem Buch (zumindest in der Erstauflage) vor, dass der Fehlerteufel den sorgfältig arbeitenden Autoren ins Handwerk pfuscht. Daher werden auch in diesem Buch vermutlich einige kleinere Rechtschreib- oder Grammatikfehler stecken, und auch Rechenfehler sind nicht auszuschließen. Umso mehr freuen wir uns über jeden sachdienlichen Hinweis, aber natürlich auch über Kritik, Lob, Kommentare, Anregungen usw., die Sie uns per (über die unten angegebene Internetseite) zukommen lassen können. Wir bemühen uns, jede Mail umgehend zu beantworten. Sollte es einmal ein paar Tage länger dauern, so ruhen wir uns gerade vom Schreiben eines Buches aus... in jedem Fall bearbeiten wir aber jede Mail. Sollte uns an irgendeiner Stelle der Fehlerteufel einen ganz großen Streich gespielt haben, so werden wir eine Korrekturanmerkung auf der Internetseite zu diesem Buch unter veröffentlichen. Dort finden Sie auch vertiefende Betrachtungen, Computerdateien und weitere Ergänzungen, auf die in unserem Buch immer wieder hingewiesen wird. Unser besonderer Dank gilt den Reihenherausgebern Herrn Prof. Dr. Friedhelm Padberg (Bielefeld) und Herrn Prof. Dr. Andreas Büchter (Duisburg-Essen) sowie dem Verlag für die Aufnahme unseres Titels und die hervorragende Betreuung. In tiefer Schuld stehen wir bei unseren Familien, die einmal mehr monatelang zwei ungeduldige Autoren geduldig ertragen haben. Dezember 2014 Andreas Filler und Hans-Wolfgang Henn

7 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung: Analytische Geometrie/Lineare Algebra und Allgemeinbildung Schwerpunkte der Weiterentwicklung des Unterrichts Grundvorstellungen und fundamentale Ideen Lineare Gleichungssysteme Algebra in der Schule Variablen Gleichungen LGS in der Schule ein Überblick Überblick über die Sekundarstufe I Überblick über die Sekundarstufe II LGS in der Sekundarstufe I Lineare Gleichungen mit 2 Variablen und lineare Funktionen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Lösungsvariablen LGS in der Sekundarstufe II Überblick LGS mit zwei und drei Lösungsvariablen Äquivalenzumformungen Matrixschreibweise für LGS und Gauß scher Algorithmus Verallgemeinerung des Gauß-Algorithmus und Struktur der Lösungsmenge Der Gauß-Algorithmus für LGS mit beliebig vielen Variablen Strukturelle Überlegungen zu Lösungsmengen von LGS Lösen linearer Gleichungssysteme mit dem Computer Computereinsatz in der Schule Software für den Unterricht Lösen von LGS mit GeoGebra und Maxima Probleme mit dem Computer Beispiele aus dem Unterricht Zahlenmauern VII

8 VIII Inhaltsverzeichnis Bestimmung der Koeffizienten ganzrationaler Funktionen aus gegebenen Wertepaaren Aufgaben aus der Unterhaltungsmathematik Zerlegung eines Rechtecks die ICM-Briefmarke Widerstandsnetze Mischungsprobleme Der Vektorbegriff Wege der Einführung des Vektorbegriffs Überblick Vektoren in geometrischen und physikalischen Kontexten Verschiebungen Geschwindigkeiten und Kräfte Pfeilklassen Umsetzung des Pfeilklassenkonzepts in Schulbüchern Nutzung von Vektoren für Beweise geometrischer Sätze Didaktische Schwierigkeiten mit Vektoren und Punkten; Sinn und Unsinn des Konstrukts Ortsvektor Vektoren in arithmetischen Kontexten Stücklisten Farbmischung in der elektronischen Bildwiedergabe n-tupel als eigenständiges Vektormodell Beziehungen zwischen n-tupeln und Pfeilklassen Die Stellung von Vektoren als n-tupel im Unterricht Der Vektorbegriff als verallgemeinernder Strukturbegriff; Vektorräume Der Begriff des Vektorraumes Rechengesetze als Gemeinsamkeiten verschiedener Vektormodelle Weitere Beispiele für Vektorräume Linearkombinationen von Vektoren; Basen und Koordinaten Ein anschaulicher Zugang zu Basisvektoren Exaktifizierung des Begriffs Linearkombination ; Berechnung von Koeffizienten Anwendung von Linearkombinationen in der Geometrie Vektorrechnung und -darstellung mithilfe des Computers Analytische Geometrie Grundlegende Bemerkungen zur Analytischen Geometrie Was sind Punkte und Geraden? Parameterdarstellungen ein erster Überblick Analytische Geometrie in historischem Kontext Geometrie in der Sekundarstufe II Kalkül versus Semantik Lineare Algebra versus Analytische Geometrie

9 Inhaltsverzeichnis IX Raumgeometrie Affine Eigenschaften des Anschauungsraumes Vorbemerkungen Punkte, Geraden und Strecken Teilverhältnisse Ebenen Vektorgeometrische Beweise von Sätzen der affinen Geometrie Affine Geometrie und Zufallsfraktale Das Skalarprodukt Zur Einführung des Skalarprodukts Metrische Geometrie Sichtweisen in Schule und Universität Ein geometrisch orientierter Weg zum Skalarprodukt Ein arithmetischer Zugang zum Skalarprodukt Erste Anwendungen des Skalarprodukts Weitere Produkte von Vektoren: Vektor- und Spatprodukt Metrische Geometrie von Geraden und Ebenen Orthonormalbasen Normalenformen für Ebenen Abstand eines Punktes von einer Ebene Abstände bei Geraden Schnittwinkel von Geraden und Ebenen Kreise und Kugeln Kreis- und Kugelgleichung Schnitte von Geraden, Kreisen und Kugeln Tangenten und Tangentialebenen Schnitte von Kugeln und Ebenen Schnitte zweier Kugeln Kugeln in Kunst und Architektur Analytische Behandlung von Konstruktionsaufgaben Abituraufgaben in der Analytischen Geometrie Problematische Abituraufgaben Das Oktaeder des Grauens Syntax versus Semantik Flugsicherheit Verhungerte Raubvögel Vertiefungen und Anwendungen der Analytischen Geometrie Erstellen von 3D-Computergraphiken mittels Koordinatengeometrie Koordinatenbeschreibung von 3D-Computergraphiken Schneemannbau als Einstieg in die räumliche Koordinatengeometrie und die 3D-Computergraphik Analytische Geometrie als Grundlage der 3D-Computergraphik

10 X Inhaltsverzeichnis Das Reflexionsgesetz im Raum Lokale Beleuchtungsmodelle Kantenglättung durch Normaleninterpolation Dynamische Aspekte von Parameterdarstellungen; Computeranimationen Sichtweisen auf Parameterdarstellungen Erstellung von Animationen durch Parameterdarstellungen Animationen auf Kreisen und daraus abgeleiteten Kurven Kameraanimationen in der 3D-Computergraphik Parameterdarstellungen von Flächen Kegelschnitte Parabeln als geometrische Örter Ellipsen als geometrische Örter Hyperbeln durch Variation der Ellipsen-Ortseigenschaft Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln als Kegelschnitte Quadratische Formen Brennpunkteigenschaften der Kegelschnitte; Anwendungen Sattelflächen als Vernetzung von Analysis und Geometrie Zwei Problemkreise aus der Sekundarstufe I Geraden und Parabeln führen zu Sattelflächen Punkte mit gleichem Abstand zu zwei Geraden Weiteres zu Sattelflächen Bézierkurven Elementargeometrische Behandlung von Bézierkurven Analytische Beschreibung von Bézierkurven Bézierflächen Matrizen und affine Abbildungen Ein arithmetischer Zugang zu Matrizen über mehrstufige Prozesse Einführungsbeispiel: Materialverflechtung Matrizenmultiplikation Definition und Rechenregeln Populationsmatrizen Affine Abbildungen in der Sekundarstufe II Stellung linearer und affiner Abbildungen in der Schule Geradentreue und nicht geradentreue Abbildungen in der S I Koordinatenbeschreibungen geometrischer Abbildungen Definition und Eigenschaften affiner Abbildungen Matrixdarstellung affiner Abbildungen Affine Abbildungen im Raum; Projektionen Veranschaulichung durch Matrizen gegebener affiner Abbildungen mithilfe des Computers Verkettung affiner Abbildungen und Matrizenprodukt

11 Inhaltsverzeichnis XI 6.3 Weitere Überlegungen zu affinen Abbildungen Fixpunkte affiner Abbildungen Klassifikation und Normalformen ebener Affinitäten Ähnlichkeits- und Kongruenzabbildungen in der Ebene Affine Abbildungen und Zufallsfraktale Ausblick Literatur Sachverzeichnis