Arbeiten mit dem grafikfähigen Taschenrechner Casio CFX-9850 GB PLUS

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1 Arbeiten mit dem grafikfähigen Taschenrechner Casio CFX-9850 GB PLUS Bearbeiten Sie die im Anhang befindlichen Arbeitspläne zu unten aufgeführten Themen. Es ist eine Auswahl erforderlich, da die Zeit nicht zur Bearbeitung aller Themen reichen kann.. Rechnen mit Brüchen. Schaubilder und Display- Einstellungen. Ablesen und Berechnen von Werten im Graphik-Modus 4. Bildausschnitte vergrößern 5. Die Schaubilder abschnittsweise definierter Funktionen 6. Einige Schaubilder einer Schar zeichnen 7. Funktionen mit Absolutbetrag 8. Flächeninhalte berechnen bzw. überprüfen 9. Rechnen mit dem Newtonschen Näherungsverfahren 0. Lineare Gleichungssysteme lösen. Mit Matrizen rechnen [] Literaturhinweise: Lergenmüller,Schmidt: Der Grafikrechner Casio CFX-9850 G; Materialien für die Sekundarstufe I, Stuttgart 998, ISBN Lergenmüller,Schmidt: Der Grafikrechner Casio CFX-9850 G; Materialien für die Sekundarstufe II, Stuttgart 999, ISBN Weber (Hrsg.): Grafikrechner ABC, Anleitungsheft Sekundarstufe I, Berlin 998, ISBN Weber (Hrsg.): Grafikrechner ABC, Anleitungsheft Sekundarstufe I/II, Berlin 998, ISBN Casio: Praktische Anwendungsbeispiele zur Schulmathematik mit Graphikrechnern, Norderstedt 00 Casio: Mathematik mit Graphiktaschenrechnern, Norderstedt 00 Casio: Unterrichtsmaterialien zum Graphikrechner CFX-9850G / CFX-9850GB Plus, Norderstedt 00 [] Internet-Adressen: (dort weiter mit Fächer: Mathe und Casio Club) Seite von 7

2 : Rechnen mit Brüchen Für das Rechnen mit Brüchen, insbesondere im Rechen Menü (RUN) sind zwei Tasten des Rechners sehr wichtig: die a b/c Taste, auch Bruchrechentaste genannt die F D Taste, auch Umwandlungstaste genannt. Brüche können in der Form Ganzzahl _ Zähler _ Nenner mit der Taste a b eingegeben c werden. Die Gesamtzahl aller dafür zu verwendenden Stellen darf höchstens 0 betragen. a b : Anzeige als Ganzzahl und Bruch (d.h. als gemischter Bruch) c d/c (Drücken der Tasten Shift a b/c): Anzeige als Bruch Beispiel: wird eingegeben : a b a b 4. 4 c c Die Taste F D wandelt (nachdem EXE gedrückt wurde) den Bruch in eine Dezimalzahl um (im Beispiel,75). Diese Taste wandelt auch eine eingegebene Dezimalzahl (unter bestimmten Voraussetzungen) in einen Bruch um. SHIFT a b c, also d 7 c wandelt die Zahl in einen Bruch ohne Ganzzahl um (im Beispiel ). 4 Eine gemischte Rechnung aus Brüchen und Dezimalzahlen wird in einem Ergebnis als Dezimalzahl ausgewiesen; kann jedoch unter bestimmten Voraussetzungen mit F D in einen Bruch umgewandelt werden. Aufgabe : Unter welchen Voraussetzungen wandelt der Taschenrechner eine Dezimalzahl in einen Bruch um? Probieren Sie verschiedene Zahlen aus! Tipp: Die Beschränkung ist in obiger Info bereits enthalten. Aufgabe : Geben Sie folgende Zahlen bzw. Berechnungen in Ihren Taschenrechner ein und wandeln Sie wie gefordert um. Unechter Bruch Dezimalzahl 456 a) = b) = c) + = d),5 + = 5 Seite von 7

3 : Schaubilder und Display-Einstellungen Im GRAPH MENU werden die Funktionsterme eingegeben. Zunächst beschränken wir uns auf Schaubilder von Funktionen der Form y = ( TYPE oder F, dann F ) und auf Geraden parallel zur y-achse x = c ( TYPE oder F, dann F4 ). Der Rechner gibt eine Auswahl von Display-Einstellungen oder die Einstellung "von Hand" für genau die gewünschten Werte vor. Mit SHIFT F (als V-Window) lassen sich diese Werte einstellen. Hier die Beschreibung der drei festgelegten Einstellungsvarianten: INIT ( F ) : TRIG ( F ) STD ( F ) Probieren Sie die unterschiedlichen Einstellungen an den Aufgaben aus! Seite von 7

4 Aufgabe : Erstellen Sie die Graphen folgender Funktionen in allen drei vorgegebenen Fenster- Einstellungen und beobachten Sie die Veränderungen. f(x) = x x g(x) = x 7 5 h (x) = sin x + k: x = 4 Anmerkung: Achten Sie darauf, dass beim Zeichnen trigonometrischer Funktionen die Winkelangabe auf Radian eingestellt ist. Sie können dies im SETUP ( SHIFT MENU ) überprüfen: ANGLE : RAD (zu erhalten mit F) Aufgabe : Erstellen Sie für alle Schaubilder aus Aufgabe die optimalen Fenster-Einstellungen! f(x) = x x g(x) = x 7 5 h (x) = sin x + X Start X - Ende Schrittweite Y Start Y Ende Schrittweite k: x = 4 Aufgabe : Drei Personen haben dieselbe Funktion, nämlich y = -x + 4x, gezeichnet und folgende Schaubilder erhalten. Woher kommen die Unterschiede! Lesen Sie die Fenstereinstellungen aus den Zeichnungen ab! Seite 4 von 7

5 : Ablesen und Berechnen von Werten im Graphik-Modus Diese Infos beziehen sich auf die Möglichkeiten, die der Rechner bei Anzeige eines Schaubilds durch den TRACE-Modus (SHIFT F ) und den Graphik-Lösungs-Modus G-Solve (SHIFT F5 ) bietet. Der TRACE-Modus eignet sich zum Ablesen von Koordinaten auf einem Schaubild. Nach Druck von SHIFT F werden die x- und y-werte angezeigt, beginnend am linken Bildrand; angezeigt durch ein Kreuz auf dem Schaubild. Durch die Pfeil rechts - und Pfeil links Tasten kann man das Kreuz an die gewünschte Stelle bewegen. Wird mehr als ein Schaubild gezeichnet, so bewirkt die Pfeil-nach-oben-Taste den Wechsel zwischen den Schaubildern. Der G-Solv-Modus( SHIFT F5 ) bietet die Berechnung folgender Daten: - Nullstellen (Root) - Maximum (Max) - Minimum (Min) - Schnittpunkt mit der y-achse (Y-Icpt) - Schnittpunkte zweier Graphen (Isct) - y-koordinate für eine gegebene x-koordinate (Y-Cal) - x-koordinate für eine gegebene y-koordinate (X-Cal) - Integral für einen gegebenen Bereich (s. Arbeitsplan 8). Druck auf F6: Probieren Sie diese Möglichkeiten anhand der folgenden Aufgabe aus. Aufgabe: Geben Sie die Funktionsgleichungen die Schaubilder. y x = + 4x und y = x + x ein und erstellen Sie a) Stellen Sie das Display günstig ein (s. Arbeitsplan ). b) Lesen Sie mit Hilfe des TRACE-Modus die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Schaubilder, sowie der Schnittpunkte der Schaubilder mit den Achsen ab. c) Berechnen Sie die in b) gewünschten Daten mit dem G-Solve- Modus. d) Berechnen Sie mit dem G-Solve-Modus alle x-werte für den y-wert,75. Tipp: ist der erste x-wert gefunden, so bringt die Pfeil-nach-rechts-Taste weitere Werte. Seite 5 von 7

6 4: Bildausschnitte vergößern Diese Infos beziehen sich auf die Möglichkeiten, die der Rechner bei Anzeige eines Schaubilds durch den ZOOM-Modus (SHIFT F ) bietet. Hier wird allerdings nur auf die Möglichkeit einen Bildlausschnitt auszuschneiden ( mit BOX, also F ) eingegangen. Mit dem ZOOM-Modus und der BOX wird ein auf dem Display festgelegter Ausschnitt vergößert. Die Vorgehensweise umfasst folgende Schritte: Im Graphik-Fenster auf dem Zoom-Modus schalten: SHIFT F Dort BOX wählen: F Es erscheint ungefähr in der Bildmitte ein Kreuz. Das Kreuz mit den Pfeil-Tasten an eine Ecke des gewünschten Bildausschnitts bewegen. Mit dem Druck auf die EXE Taste wird diese fixiert. Danach wird wiederum mit den Pfeiltasten die zweite Ecke bestimmt und mit EXE fixiert. Bestimmen Sie dann die dritte (und damit auch vierte ) Ecke auf dieselbe Weise. Ein Druck auf EXE zeigt genau das ausgewählte Rechteck im Display an: Mit der TRACE-Funktion (s. Arbeitsplan ) kann nun der Schnittpunkt um ein Vielfaches genauer abgelesen werden. Diese Möglichkeit ist vor allem dann sehr nützlich, wenn die eingestellte Genauigkeit des Rechners (z.b. bei Berührungen) genaue Werte oder Darstellungen nur unzureichend zulässt. Seite 6 von 7

7 Aufgabe : Geben Sie die Funktionsgleichungen die Schaubilder. y x = + 4x und y = x + x ein und erstellen Sie a) Stellen Sie das Display günstig ein (s. Arbeitsplan ). b) Schneiden Sie mit Hilfe des ZOOM-BOX-Modus ein geeignetes Rechteck um den linken der beiden Schnittpunkte aus und lesen Sie mit dem TRACE-Modus die Koordinaten des Schnittpunkts ab. c) Verfahren Sie genau gleich, um die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts abzulesen. d) Verfahren Sie genau gleich, um die Nullstelle der Funktion mit der Gleichung y = x + x abzulesen. Aufgabe : Lesen Sie die Koordinaten des Berührpunkts der Schaubilder der Funktionen g und h mit 5 folgenden Gleichungen ab: g(x) = x 4x + 4x und h(x) = x + x. 6 Benützen Sie dazu die Vergrößerung mittels des Box-Modus. Seite 7 von 7

8 5: Schaubilder abschnittsweise definierter Funktionen Im GRAPH-MENU können abschnittweise Funktionen nur durch die Eingabe ihrer Teilfunktionen und der Angabe des zugehörigen Definitionsbereiches eingegeben werden. Der Definitionsbereich wird hinter den Funktionsterm mit, [a;b] eingegeben. Beispiel: x x 0 f(x) = wird wie folgt eingegeben: x + 4 x < 0 und ergibt folgendes Schaubild Aufgabe: Zeichnen Sie die Schaubilder folgender Funktionen: a) x f (x) = x für für x x > b) f (x) sin x = cos x für für π x < 4 π x 4 c) x x f (x) = x + 5 für für x = x Seite 8 von 7

9 6: Einige Schaubilder einer Schar zeichnen Im GRAPH-MENU können einige ausgewählte Schaubilder einer Kurvenschar durch die Eingabe der gewünschten Parameterwerte gezeichnet werden. Der Term der Funktionsschar wird mit allgemeinem Parameter (für diesen kann nicht der Buchstabe t verwendet werden) und anschließenden Parameterwerten in [ ] nach dem Funktionsterm eingegeben. Beispiel: f(x) = x ax x + wird wie folgt eingegeben: und ergibt folgendes Schaubild Aufgabe : Geben Sie obige Funktionsschar ein und erweitern Sie die Werte für den Parameter A um 0,,! Erstellen Sie das zugehörige Schaubild. Aufgabe : Wählen Sie für die folgenden Funktionsscharen einige Parameterwerte und zeichnen Sie die zugehörigen Schaubilder: k + a) f (x) = x kx k x, k > 0 x t b) f t( x) = + t x c) f t (x) = t sin x t + x π für x 6 π für x > 6 f a (x) = x + e a > 0 ax d) ( ) Seite 9 von 7

10 7: Funktionen mit Absolutbetrag In verschiedenen Menüs des Taschenrechners kann auf den Absolutbetrag zurückgegriffen werden, am häufigsten wohl im RUN-MENU, TABLE-MENU und GRAPH-MENU. Im RUN-MENU erhält man den Absolutbetrag durch Druck auf die Tasten OPTN F6 F4 F (gleichbedeutend mit OPTN < NUM ABS ) und kann alles, was in dem Absolutbetrag gehört in Klammern dahinter eingeben. Im GRAPH-MENU und im TABLE-MENU muss die Tastenfolge OPTN F5 F (gleichbedeutend mit OPTN NUM ABS) lauten. Beispiel: f (x) = x + wird im GRAH-MENU wie folgt eingegeben: OPTN F5 F ( x ) + Dies ergibt im Taschenrechner folgendes Bild: und folgendes Schaubild Aufgabe: Erstellen Sie für folgende Funktionen die zugehörigen Schaubilder! a) f ( x) = sin x b) x f ( x) = x c) f ( x) = x d) f (x) = x Seite 0 von 7

11 8: Integrale berechnen bzw. Flächenberechnungen überprüfen Im GRAPH-MENU und mit Hilfe des G-Solve-Modus ( erste Anwendungen s. Arbeitsplan ) sowie im RUN-MENU können bestimmte Integrale berechnet werden. Im GRAPH-MENU durch Druck auf die Tasten SHIFT F5 F6 F (gleichbedeutend mit G- Solve > dx ). IM RUN-MENU durch Druck auf die Tasten OPTN F4 F4 (gleichbedeutend mit OPTN CALC dx ). Beispiel zur Berechnung des Integrals im GRAPH-Modus: Dieses Beispiel zeigt, dass tatsächlich Integrale berechnet werden. Zeichnen Sie die erste Winkelhalbierende im Bereich von x. Durch Druck auf SHIFT F5 F6 F erhalten Sie ein Kreuz im ihrem Schaubild am linken Rand. EXE markiert die linke Grenze des Integrals und zeichnet dort eine Senkrechte: Mit der Pfeil-nach-rechts-Taste bewegen Sie das Kreuz bis zur rechten Grenze des gewünchten Integrals (in diesem Fall x = ). Ein weiterer Druck auf EXE markiert die rechte Grenze und berechnet das eingegebene Integral. Seite von 7

12 Beispiel zur Berechnung des Integrals im RUN-Modus: Hier kann nach der Gauß-Kronrod-Regel oder der Simpson-Regel gerechnet werden. Dies wird mit im Setup (SHIFT MENU) bei Integration mit F (Gauss) oder F (Simpson) eingestellt. Die Eingabe des Integrals erfolgt mit OPTN F4 F4 (gleichbedeutend mit OPTN CALC dx. nach dem Schema: dx ( f(x), a, b, tol) nach der Gauß-Kronrod-Regel mit den Daten a: Startwert b: Endwert tol: Toleranz beziehungsweise nach dem Schema dx ( f(x), a, b, n) nach der Simpson-Regel mit den Daten a: Startwert b: Endwert n: Anzahl von Divisionen (n ist eine Ganzzahl von bis 9) Als konkretes Beispiel nun Toleranz 0 4 ; dann nach der Simpson-Regel mit n = 6 : 5 (x + x + 4)dx, zunächst nach der Gauss-Kronrod-Regel mit Aufgabe : Berechnen Sie die folgenden Integrale sowohl im GRAPH-Modus als auch im RUN-Modus: a) ( x x + )dx b) 6 4 ( x)e 4 0 x+ Aufgabe : Berechnen Sie die Fläche zwischen der x-achse und dem Schaubild von f. a) f (x) = x + x + x b) f (x) = x x 4 8 Aufgabe : Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Schaubildern von f und g! dx 0 a) f (x) = x + x + und 6 + b) f (x) = x x und g (x) = g(x) 9 x = x Seite von 7

13 9: Berechnungen mit dem Newtonschen Näherungsverfahren Der grafikfähige Taschenrechner bietet mehrere Möglichkeiten, das Newtonsche Näherungsverfahren effektiv umzusetzen. Dies gilt selbstverständlich nur dann, wenn die Zwischenwerte des Newtonschen Näherungsverfahrens explizit gewünscht werden. Ist dies nicht der Fall, so löst man die Gleichung sicherlich über die Berechnungen im Graphik-Bildschirm oder im Gleichungslöser. Hier werden nur auf die Möglichkeiten im RUN-MENU eingegangen, da diese Schülern erfahrungsgemäß leichter fallen. Auf die Umsetzung im Rekursions-Menu wird deshalb verzichtet. Zunächst kann mit einer Wertetabelle oder einer Zeichnung ein ungefährer Wert abgelesen werden. Der daraufhin ausgewählte Startwert wird im RUN-Menu z.b. der Variablen X zugewiesen (x 0 X). Der Term zur Bestimmung von x wird ebenfalls mit der Variablen X eingegeben und f(x) wiederum x zugewiesen ( x x ). f (x) Damit ist das Einsetzen des Startwerts in den "Newton-Term" und die Berechnung des nächsten Näherungswerts bestimmt. Durch die erneute Zuweisung des neuen Wertes zur Variablen X, ist eine Rekursion definiert, die durch erneute Ausführung (Druck auf EXE )den jeweils nächsten Wert berechnet. Beispiel: Es soll die Nullstelle der Funktion f(x) = x x berechnet werden. Hier die Eingabe im RUN-Menu unter Verwendung des Startwert und die Berechnung der ersten Werte: Durch weitere Ausführungen erhält man: also die genäherte Nullstelle x,47. Die Zuweisung zu einer Variablen kann man sich ersparen, wenn man die Antwort-Taste Ans benutzt, die das jeweils letzte berechnete Ergebnis wiedergibt. Dasselbe Beispiel würde wie folgt in den Rechner eingegeben werden: Aufgabe: Berechnen Sie die Nullstellen folgenden Funktionen: a) f(x) = x + x + 4x 6 b) f(x) = x + x c) f(x) = x 4x 4 Seite von 7

14 0: Lineare Gleichungssysteme lösen Der grafikfähige Taschenrechner bietet im Gleichungslösungs-Menü EQUA die Möglichkeit, lineare Gleichungssysteme von n Gleichungen mit n Variablen ( n 6 ) zu lösen, unter der Voraussetzung, dass sie eindeutig lösbar sind. Benutzen Sie das Menu EQUA: Neben Polynomgleichungen vom Grad oder ( F ) und dem allgemeinen Gleichungslöser ( F ) können eben mit F lineare Gleichungssysteme der oben beschriebenen Form eingegeben und gelöst werden. Auf die Frage nach der Anzahl der Unbekannten ( und damit auch der Anzahl der Gleichungen) geben Sie mit F für das folgende Beispiel Unbekannte ein: Die Eingabe erfolgt je Zahl mit EXE und erfolgt zeilenweise: Ein Druck auf SOLV ( F ) zeigt den Lösungsvektor an: Die Grenzen sind erreicht, wenn ein LGS mehrdeutig lösbar oder unlösbar ist. Das hier gezeigte erste Beispiel ist unlösbar, das zweite ist mehrdeutig lösbar und der Rechner zeigt in beiden Fällen die Meldung Ma ERROR! Hier hilft der Rechner nur mit einer zeilenweisen Umformung der erweiterten Matrix weiter, dies wird n Arbeitsplan beschrieben. Aufgabe: Seite 4 von 7

15 Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme wie oben beschrieben: a) = 5 x 7 5 r b) = x r c) = x ,5 r Seite 5 von 7

16 : Mit Matrizen rechnen Der grafikfähige Taschenrechner bietet für die Schulmathematik zwei häufige Anwendungen im Gebiet des Rechnens mit Matrizen: - Matrizen eingeben und mit diesen Matrizen zu rechnen (z.b. zwei Matrizen miteinander multiplizieren oder von einer Matrix die Inverse berechnen ) - Zeilenumformungen von Matrizen, die dazu benutzt werden können erweitere Matrizen auf eine obere Dreiecksform zu bringen, um beurteilen zu können, ob die dazu gehörenden Linearen Gleichungssysteme unlösbar, mehrdeutig lösbar oder auch eindeutig lösbar sind. Das letztere ist nur dann auf diese Art und Weise notwendig, wenn das Format nicht dem im Equa-Menu vorgegebenen entspricht. Beispiel zum Rechnen mit Matrizen: Benutzen Sie das Menu MAT, um Matrizen einzugeben. Sie erhalten folgendes Bild, in das sie das Format der Matrix eingeben. In diesem Beispel: EXE EXE Sie erhalten eine entsprechende Schablone, in die sie die Werte eintragen: Mit EXIT gelangen Sie zurück zur Eingabe des Formates. Die Matrix B soll eine (,)-Matrix sein. Nach abgeschlossener Eingabe wechseln Sie zum Rechnen mit diesen Matrizen ins Rechenmenü RUN. Dort erhalten sie mit OPTN F die Möglichkeiten für Matrizen. Hier wird nur die Angabe der Matrix beschrieben: F bringt Mat auf den Bildschirm, also wird die Berechnung wie folgt eingegeben: EXE bringt das Ergebnis: AC/ON löscht den Bildschirm. Die Berechnung der inversen Matrix erfolgt über wiederum bringt EXE das Ergebnis: Beispiel zur zeilenweisen Umformung in die Form einer oberen Dreiecksmatrix: Seite 6 von 7

17 Geben Sie zunächst die folgende (,4)-Matrix Gleichungssystems) ein. (quasi als erweiterte Matrix eines linearen Mit dem grafikfähigen Taschenrechner lässt sich das Gaußsche Eliminationsverfahren insofern simulieren, als man unter F ( R OP) folgende Operationen zur Verfügung hat. Swap (F): Vertauschen zweier Zeilen XRw (F): Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl XRw+ (F): Addition des Skalarprodukts der spezifizierten Zeile zu einer anderen Zeile Rw+ (F4): Addition der spezifizierten Zeile zu einer anderen Zeile Die Funktionen Swap, XRw, Rw+ sind einfach auszuprobieren. Für die Umformung mit XRw+ wird nun ein Beispiel Schritt für Schritt beschrieben: Die erste Zeile wird mit multipliziert und zur zweiten addiert. F bringt folgende Fenster; in der zweitletzten Zeile können Sie die Eingaben (jeweils mit EXE abgeschlossen) und ihre Bedeutungen ablesen. Dieses Verfahren wird nun für die Multiplikation der ersten Zeile mit 5 und der Addition zur dritten Zeile mit folgenden Eingaben erneut ausgeführt: F für k: -5 für m: für n: Da nun beide Zeilen multipliziert werden müssen, kann man nicht mit XRw+ operieren. Also wird zunächst die Zeile mit 5 multipliziert: F für k: -5 für m: Nun also kann das 4fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile addiert werden. F für k: 4 für m: für n: Aufgaben: Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme aus Arbeitsplan 0 wie oben beschrieben. Seite 7 von 7