Funktionen: Potenzfunktionen, ganzrationale Funktionen, gebrochen-rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen

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1 Funktionen: Potenzfunktionen, ganzrationale Funktionen, gebrochen-rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen Potenzfunktionen 1) Gegeben sind die Potenzfunktionen mit, und. a) Untersuchen Sie Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten auf gemeinsame Eigenschaften (bzgl. Definitionsbereich, Wertebereich, Steigung, Symmetrie, gemeinsame Punkte). b) Untersuchen Sie Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten auf gemeinsame Eigenschaften. Ganzrationale Funktion 2) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 4.Grades berührt im Punkt die x- Achse. Der Punkt ist ein Hochpunkt des Schaubildes. Ein Wendepunkt ist der Punkt a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von. b) Überprüfen Sie das Ergebnis, indem Sie die Punkte und den Funktionsgraphen in einem Koordinatensystem darstellen (Geometrie-Menü). Gebrochen-rationale Funktion 3) Gegeben ist die Funktion mit. Diskutieren und begründen Sie wichtige Eigenschaften der Funktion f. Trigonometrische Funktion 4) Stellen Sie die Sinus-Funktion mit grafisch dar und beschreiben Sie die Veränderung des Graphen bei der Veränderung der Parameter und.

2 LÖSUNGEN Verwendung des Grafik- und Tabellen-Menüs Zu 1a) Die Funktion in den Grafikeditor eingeben, wobei jedoch für der Startwert eingegeben wird. Bei dieser Aufgabe wird also eingegeben. Dann auf die Taste tippen und der Graph wird gezeichnet. Zur vollen Ansicht des Grafikfensters, auf das Fenster klicken und dann auf Resize tippen. Eventuell die Fenstereinstellungen verändern. Dann das Analyse-Menü öffnen und Modif. auswählen. Es erscheint ein Feld, in dem man die Schrittgröße (Änderungsbetrag) des Koeffizienten eingeben kann. Dort wird für diese Aufgabe die Schrittgröße 2 eingestellt. Es erscheint Modif. im Display und die gewählte Grafik wird zur aktiven Grafik (dicke Grafiklinie). Die Funktion der aktiven Grafik wird im Meldungsfeld angezeigt. In der angezeigten Gleichung den zu ändernden Koeffizienten markieren und mit der EXE-Taste auswählen.

3 Mit den Cursortasten bzw. kann der Wert entsprechend des Änderungsbetrages vermindert bzw. erhöht werden. Die zuletzt aktive (dünne Grafiklinie) und die momentan aktive Grafik (dicke Grafiklinie) werden jeweils angezeigt. Gemeinsame Eigenschaften: Definitionsbereich Wertebereich Symmetrie punktsymmetrisch gemeinsame Punkte Steigung Für sowie für fallen sie. Zu 1b) Bei dieser Aufgabe wie bei 1a) beschrieben vorgehen. Als Startwert wird bei dieser Aufgabe -2 gewählt, also. Gemeinsame Eigenschaften: Definitionsbereich Wertebereich Symmetrie achsensymmetrisch gemeinsame Punkte Steigung Sie steigen für, fallen für. Zu 1) Gemeinsame Eigenschaften der Potenzfunktionen mit negativen Exponenten: Die Funktionen sind für nicht definiert. Die größtmögliche Definitionsmenge ist. Die Graphen bestehen aus zwei Teilen. Die Graphen nähern sich den Koordinatenachsen asymptotisch.

4 Zu 2a) Verwendung des Main-Menüs Zur Vereinfachung der Eingabe werden die Funktionen mithilfe des Define-Befehls abgespeichert. Dazu wird die cat-tastatur geöffnet, der Buchstabe D angetippt und Define ausgewählt. Hinter den Define-Befehl wird mithilfe der abc-tastatur die Funktion eingegeben und die EXE-Taste gedrückt. Hierbei ist es wichtig, dass die Multiplikationszeichen zwischen den Variablen gesetzt werden: Dann werden die 1. und 2. Ableitung der Funktion ausgerechnet und auch mithilfe des Define-Befehls abgespeichert. Um die 1. Ableitung zu bilden, wird im Aktion-Menü das Untermenü Berechnung geöffnet und diff ausgewählt. Eingeben des diff-befehls: diff(gleichung, Variable, Ordnung). Wird nur diff(gleichung) eingegeben, so ist die Ordnung =1 und die Variable x. Nun wird der solve-befehl (Aktion-Menü Gleichungs-/Ungleichungs-Untermenü: solve) eingegeben und die Gleichungen mit jeweils eingesetzten Werten für und, und eingegeben. Falls die Ergebnisse in Dezimalschreibweise dargestellt werden, markiert man entweder die eingegebene Funktion und tippt auf die Taste oder ändert Dezimal im unteren Feld in Standard, um sie in Bruchschreibweise umzuwandeln.

5 Die gesuchte Funktionsgleichung ist also:. Zu 2b) Verwendung des Geometrie- und Main-Menüs Zunächst wird zweimal auf die Taste gedrückt, die sich in der oberen Symbolleiste befindet, damit das Koordinatensystem und das Gitternetz angezeigt werden. Dann werden drei Punkte mithilfe der Taste an beliebige Stellen im Koordinatensystem eingefügt. Dann auf die rechte Pfeiltaste in der Symbolleiste klicken, um die Koordinaten der Punkte eingeben zu können. Dadurch erscheint das Messfeld. Nun wird beispielsweise der Punkt A angeklickt und dessen Koordinaten werden im Messfeld angezeigt. Im Messfeld können dann die gewünschten Koordinaten von A eingegeben werden und mit der EXE-Taste oder durch Anklicken des Häkchens gespeichert werden. Um die Markierung des Punktes A zu entfernen, wird auf irgendeine Stelle im Koordinatensystem geklickt. Genauso werden auch die anderen Koordinaten eingegeben.

6 Um die Namen der Punkte zu ändern, wird auf die Pfeiltaste rechts neben der Taste geklickt und ausgewählt. Mithilfe der abc-tastatur werden die gewünschten Namen eingegeben und durch Drücken der EXE-Taste bzw. durch Anklicken des Häkchens geändert. Als nächstes auf die rechte Pfeiltaste in der Symbolleiste klicken, um wieder zur linken Seite der Symbolleiste zu gelangen. Auf die zweite Schaltfläche der Symbolleiste tippen und auswählen. Es öffnet sich ein Feld, in das die Funktion eingegeben werden kann: Der Graph der Funktion wird in das Koordinatensystem eingezeichnet. Durch Verkleinern des angezeigten Bildes mithilfe der Taste ist die Grafik besser zu sehen.

7 Der Graph der berechneten Funktion verläuft durch die vorgegeben Punkte. N scheint ein Nullpunkt, H ein Hochpunkt und W ein Wendepunkt zu sein. Zu 3) Verwendung des Grafik- und Tabellen-Menüs Zunächst wird die Funktion definiert. Dann wird das Grafik- und Tabellen-Menü geöffnet und eingegeben. Durch Antippen der Taste wird der Graph gezeichnet. Durch Klicken auf Resize wird das Grafikfenster voll dargestellt. Dann die Fenstereinstellungen gut zu sehen ist: so ändern, dass der Graph

8 Mithilfe des Befehls Verfolgen im Analyse- Menü kann der Graph mithilfe des Cursors abgefahren werden. Dabei werden der momentane x- und y-wert im unteren Bereich des Grafikfensters angezeigt. Drücken der Taste erzeugt die Werte- tabelle, für die in diesem Feld für die Tabelleneingabe eingestellten Werte. Zur grafischen Ermittlung von Nullstellen, Wendepunkten usw. wird im Analyse-Menü das Untermenü grafische Lösung geöffnet und beispielsweise Nullstelle zur Ermittlung der Nullstellen ausgewählt. Der Cursor ist dann an der ersten Nullstelle angeordnet (kleinste Nullstelle auf der x-achse). Um weitere Nullstellen zu erhalten, die Cursortasten drücken. Falls keine weitere Nullstelle vorhanden ist, wird der Cursor beim Drücken der Cursortasten nicht weiter verschoben. Die zugehörigen Koordinaten werden im unteren Bereich des Grafikfeldes angezeigt. Zur Analyse des Graphen können auch die Tasten verwendet werden. der Symbolleiste Unter Verwendung der für eingegebenen Werte, die im Betrachtungsfenster eingestellt sind, kann eine Übersichtstabelle durch Klicken auf die Taste erstellt werden. Für bestimmte Werte werden die Funktionswerte und die Werte der Ableitungen

9 angezeigt. Der - und -Wert werden in der Tabelle angezeigt, sowie die Extremwerte und Wendepunkte. Nullstellen: Zur Berechnung der Nullstellen wird eingegeben und markiert. Im Interaktiv-Menü das Gleichungs-/Ungleichungs-Untermenü öffnen und den solve-befehl auswählen und die eingegebene Gleichung und die Variable im geöffneten Fenster prüfen. Nullstellen Symmetrie: Wenn der Graph achsensymmetrisch wäre, dann müsste gelten. Wäre der Graph punktsymmetrisch, dann müsste sein. Der Graph ist weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch, da die Gleichungen nur für bestimmte x erfüllt sind.

10 a Ableitungen und Extremwerte: Zur Berechnung der ersten Ableitung eingeben, markieren und im Interaktiv-Menü das Berechnungs- Untermenü öffnen und den diff-befehl auswählen. Die eingegebene Gleichung, die Variable und die Ordnung im geöffneten Fenster prüfen bzw. ändern: a b c d e b c d e f g Speichern der Ableitungsfunktion als : Define-Befehl aus der cat-tastatur auswählen. Die erste Ableitung Null setzen und die x-werte berechnen: markieren, im Interaktiv-Menü das Gleichungs-/Ungleichungs-Untermenü öffnen, den solve-befehl auswählen und die eingegebene Gleichung und die Variable im geöffneten Fenster prüfen. Die berechneten x-werte in Bruchschreibweise umrechnen: Eingabe markieren, dann. Berechnung der Funktionswerte, die zu den berechneten x-werten gehören. Zur Berechnung der zweiten Ableitung: eingeben, markieren und im Interaktiv-Menü das Berechnungs-Untermenü öffnen und den diff-befehl auswählen. In das Eingabefeld bei Ordnung eine 2 zur Berechnung der zweiten Ableitung eingeben. Abspeichern der zweiten Ableitungsfunktion als. h Mithilfe des judge-befehls aus der cat-tastatur wird berechnet, ob größer oder kleiner als Null ist. In der mth-tastatur in der -Tastatur sind die Tasten. Da ist, handelt es sich um ein Maximum:. i Mithilfe des judge-befehls wird berechnet, ob größer oder kleiner als Null ist. Da ist, handelt es sich um ein Minimum:.

11 f g h i j k l m n Wendepunkte: Notwendige Bedingung:. Mithilfe des solve-befehls berechnen. Die dritte Ableitung berechnen. Mithilfe des diff-befehls berechnen, Ordnung: 3. Diese Funktion als definieren. Hinreichende Bedingung:. Mithilfe des judge-befehls wird geprüft, ob diese Bedingung jeweils erfüllt ist. Wendepunkte:,, j k l m n

12 Zeichnen der Ableitungsfunktionen: Zum Zeichnen der Ableitungsfunktionen werden die Funktionen und in den Grafikeditor eingegeben. Zur Unterscheidung der Funktionsgraphen kann durch Anklicken der Linie hinter der jeweiligen Funktion der Grafiklinienstil verändert werden. Grenzwertberechnung: Zur Grenzwertberechnung die 2D-Tastatur öffnen, CALC auswählen und die Taste drücken. Dann die Variable, die Richtung und die Funktion in die Platzhalter eingeben. Der Funktionsgraph besitzt eine waagerechte Asymptote: an.

13 Zum Einzeichnen der Asymptote wird deren Gleichung in den Grafikeditor eingegeben und die Taste gedrückt. Zur Vergrößerung eines Bildausschnitts wird die über den gewünschten Bereich gezogen: Taste verwendet und der Stift wird Bestimmtes Integral: Zur Berechnung eines Integrals wird die Funktion aufgeschrieben, markiert im Interaktiv-Menü wird das Berechnungs-Untermenü geöffnet und ausgewählt. Dann wird im erscheinenden Feld Bestimmtes Integral ausgewählt und die untere und obere Grenze eingegeben. Hier wurde beispielsweise die Fläche über der x-achse von der zweiten Nullstelle aus gewählt:

14 Grafisch wird ein bestimmtes Integral ermittelt, indem im Analyse-Menü das Untermenü Grafische Lösung geöffnet wird und ausgewählt wird. Zur Eingabe der oberen und unteren Grenze beim Ermitteln eines bestimmten Integrals bzw. des Volumens eines Rotationskörpers wird nach Auswahl der Befehle eine 1 gedrückt, so öffnet sich ein Eingabefeld für den oberen und unteren Wert. Eine andere Möglichkeit ist die Grenzen mithilfe der linken bzw. rechten Cursortaste zu verschieben und zum Auswählen EXE drücken. Das Ergebnis wird im unteren Bereich des Grafikfeldes angezeigt. Bestimmtes Integral: Volumen eines Rotationskörpers: Zu 4) Verwendung des Grafik- und Tabellenmenüs Zunächst wird die Funktion in den Grafikeditor eingegeben. Dann wird das Menü geöffnet und Dynam. Grafik ausgewählt. In das Feld, das dadurch geöffnet wird, werden die verwendeten Parameter eingegeben, deren Start-und Endwerte bestimmt und die Schrittgröße festgelegt.

15 Dann wird die Grafik durch Klicken auf die Taste gezeichnet. Im unteren Bereich des Grafikfensters wird Modif. angezeigt. Zudem sind die Variablen und die eingegebenen Startwerte dargestellt. Durch Drücken der im Feld angezeigten Cursortasten wird der Wert von k entsprechend der Einstellungen erhöht bzw. vermindert. Gleiches gilt für A beim Drücken der linken bzw. rechten Cursortaste. Die Variation von hat eine Änderung der Amplitude zur Folge: Die Variation von k zeigt eine Änderung der Frequenz: