Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung

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1 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Seminarvortrag Ulrich Weinbach Matr. Nr Abbildung 1: Sternspuren des nördl. Sternenhimmels - Gornergrat, Schweiz Seite 1 von 16

2 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach Inhalt 1 EINLEITUNG KOORDINATENSYSTEME DAS STELLARE FUNDAMENTALSYSTEM α, δ SYSTEM (ICRS) DAS ERDFESTE Φ, Λ SYSTEM (ITRS) DAS LOKALE ZENITSYSTEM Z, A SYSTEM (BEOBACHTUNGSSYSTEM) ZEITSYSTEME DIE KOORDINATEN DER FIXSTERNE DER FUNDAMENTALKATALOG DIE SCHEINBAREN STERNÖRTER APPARENT PLACES OF THE STARS DIE SCHEINBARE BEWEGUNG DER FIXSTERNE AUFGRUND DER ERDROTATION REFRAKTION IN DER ERDATMOSPHÄRE ASTRONOM. JAHRBÜCHER UND INTERPOLATION VON STERNPOSITIONEN INSTRUMENTARIUM BEOBACHTUNGSVERFAHREN HERLEITUNG DER BEOBACHTUNGSGLEICHUNG FÜR ZENITDISTANZMESSUNGEN BEOBACHTUNGSGLEICHUNG FÜR MERIDIANZENITDISTANZEN LINEARISIERTE BEOBACHTUNGSGLEICHUNG FÜR ZENITDISTANZEN LITERATURVERZEICHNIS Seite 2 von 16

3 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach 1 Einleitung Als Astronomische Ortsbestimmung bezeichnete man Jahrhunderte lang die Bestimmung der Position von Punkten auf der Erde durch Richtungsbeobachtungen zu Fixsternen. Tatsächlich ist jedoch der Begriff Ortsbestimmung in diesem Zusammenhang irreführend. Als Ort eines Punktes auf der Erde bezeichnet man zweckmäßigerweise seine dreidimensionale Position in einem erdfesten kartesischen Koordinatensystem. Diese Definition hat den Vorteil, dass sie erstens geometrisch anschaulich und eindeutige ist und zweitens die euklidische Geometrie gilt. Der Ort eines Punktes kann zum Beispiel durch Angabe seiner geographischen Koordinaten ϕ und λ bezogen auf die mathematische Figur eines Rotationsellipsoides beschrieben werden. Um diese ellipsoidischen Koordinaten aus Astronomischen Beobachtungen zu bestimmen müsste man sein Beobachtungssystem an der Ellipsoidnormalen im Beobachtungspunkt ausrichten. Die Richtung der Ellipsoidnormalen als rein mathematisch definierte Größe kann jedoch in der Örtlichkeit nicht realisiert werden. Stattdessen orientiert man sich bei Messungen auf der Erdoberfläche grundsätzlich an der Richtung des Erdschwerevektors, der so genannten Lotrichtung, die in jedem Beobachtungspunkt z.b. durch ein Fadenlot oder eine Libelle sichtbar gemacht werden kann. In diesem Sinne bestimmt man bei der Astronomischen Ortsbestimmung also keinen Ort sondern die Richtung des Erdschwerevektors im Beobachtungspunkt ausgedrückt durch die astronomische Breite Φ und die astronomische Länge Λ (Mühlig, 196). Bis in den 196er Jahre die ersten Erdsatelliten gestartet wurden, waren astronomische Beobachtungen die einzige Methode um Positionen in einem globalen Koordinatensystem zu bestimmen. Die Verfahren waren aber grundsätzlich in ihrer Genauigkeit begrenzt. Dies hat vor allem zwei Gründe. Erstens beziehen sich die Messungen auf die Lotrichtung und nicht auf die gewünschte Ellipsoidnormale, wobei die Differenz zwischen diesen beiden Richtungen, die Lotabweichung bis zu 3 Bogensekunden betragen kann (. Ignoriert man den Unterschied zwischen der Richtung der Ellipsoidnormalen und der Lotrichtung so ergibt sich bei einer Abweichung von zum Beispiel 1 zwischen Lotrichtung und Ellipsoidnormale ein Fehler von circa 3 m für die Position auf der Erdoberfläche. Zweitens waren die Messungen, aufgrund von Refraktion und der Unvollkommenheit der Beobachtungsinstrumente, nie genauer als,1 Bogensekunden (nur in Ausnahmefällen astronomische Observatorien - wurden höhere Genauigkeiten erreicht). Dies entspricht jedoch auf der Erde einer theoretischen Positionsgenauigkeit von ungefähr 3 m. Erst in den vergangenen 5 Jahren ist es durch die Einführung von Satellitenverfahren in der Geodäsie, insbesondere das GPS System, möglich geworden die ellipsoidischen geographischen Koordinaten ϕ und λ mit cm Genauigkeit direkt zu messen. Damit wurde eine der Hauptaufgaben der Astronomischen Geodäsie überflüssig, zu deren Lösung sie aus den vorgenannten Gründen jedoch immer nur bedingt geeignet war. Heute beschränkt sich die Aufgabe der geodätischen Astronomie auf die Bestimmung der Lotabweichungskomponenten ξ = Φ ϕ und η = cos Φ(Λ λ). Die gewonnen Werte werden neben Gravimetermessungen für die Modellierung des Erdschwerefeldes, die so genannte Geoidbestimmung, genutzt. Zwar kommt der Entwicklung hochgenauer Geoidmodelle gerade durch die Verbreitung von GPS eine wichtige Rolle zu, allerdings ist auch in diesem Zusammenhang, aufgrund des verhältnismäßig großen Messaufwandes, ein Rückgang der astronomischen Verfahren zugunsten flächenhafter Gravimetermessungen festzustellen. Die Hinweise auf die praktische Durchführung der Astronomischen Beobachtungen beziehen sich größtenteils auf den Stand der Technik in den 196er Jahren. Zu dieser Zeit waren Seite 3 von 16

4 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach astronomische Beobachtungen noch ein unentbehrliches Hilfsmittel in der Geodäsie und die Technik für die damaligen Verhältnisse entsprechend ausgereift. Seit der Einführung der Satellitenverfahren hat die geodätische Astronomie stetig an Bedeutung verloren und spielt heute so gut wie keine Rolle mehr. Von wenigen Ausnahmen abgesehen, (Entwicklung von Zenitkammern, CCD Theodolite u.ä.) hat daher auch kaum noch Fortschritt in Technik und Auswerteverfahren stattgefunden (Schödlbauer 2). 2 Koordinatensysteme Bevor wir speziell auf einzelne Beobachtungsverfahren eingehen, sollen zunächst einige wichtige Koordinatensysteme skizziert werden: 2.1. Das stellare Fundamentalsystem α, δ System (ICRS) In diesem am Frühlingspunkt (= Schnittpunkt der Ekliptikebene mit dem Erdäquator) und der Rotationsachse der Erde ausgerichteten System werden die Koordinaten der Fixsterne, Rektazension α und Deklination δ, angegeben (Abb. 2). Seit 1998 wird statt des bisherigen auf der Beobachtung von Fixsternen beruhenden stellaren Systems das so genannte Quasarsystem verwendet, das jedoch mit dem stellaren System konsistent gehalten wird. Das Quasarsystem stützt sich auf die Beobachtung von sehr weit entfernt liegenden Radioquellen für die bislang keine Eigenbewegung gemessen werden konnte. Dadurch stellt es die beste Annäherung an ein Inertialsystem dar und dient heute zur Festlegung des ICRF (International Celestial Reference Frame) (Torge 23) Das erdfeste Φ, Λ System (ITRS) Abbildung 2: Die Koordinaten α,δ der Fixsterne Neben dem raumfesten stellaren System wird für die Beschreibung der Lotrichtung ein erdfestes Bezugsystem benötigt. Ein solches System entspricht prinzipiell dem astronomischen Fundamentalsystem mit dem Unterschied das der Meridian von Greenwich Seite 4 von 16

5 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach als Bezugsrichtung für die Astronomische Länge Λ festgehalten wird (Schödlbauer 2). Die Rotation zwischen dem erdfesten und dem astronomischen System in der Äquatorebene, kann durch den Winkel GAST (Greenwich Apparent Siderial Time) beschrieben werden (Abbildung 2). Auf Grund der Unregelmäßigkeit der Erdrotation ist jedoch auch die momentane Lage der Drehachse zu modellieren. In der Praxis müssen deshalb beim Übergang vom ICRS in das ITRS die so genannten Erdorientierungsparameter berücksichtigt werden. Nach Torge (23) gilt für die vollständige Beschreibung der Transformation vom ICRS ins ITRS die folgende Gleichung X( ITRS ) R 2( xp ) R1( yp ) R 3( GAST ) N( t) P( t) X( ICRS ) = (2.1) t X (ICRS) X (ITRS) N P R 3 (GAST) R 2 ( xp )R 1 ( yp ) Zeitpunkt der Beobachtung dreidimensionale Position im ICRS dreidimensionale Position im ITRS Nutationsmatrix Präzessionsmatrix Erdrotationsmatrix, abhängig von GAST Polbewegungsmatrix Gewöhnlich werden die Unregelmäßigkeiten der Erdbewegung infolge von Präzession und Nutation schon bei der Berechnung der scheinbaren Örter der Gestirne berücksichtigt. Der Bezug zum vereinbarten Pol des ITRS oder auch CIO (Conventional International Origin) wird erst ganz zum Schluss durchgeführt, dass heißt Messungen und Auswertung beziehen sich ausschließlich auf den Momentanpol zum Beobachtungszeitpunkt. Es gilt also zunächst Λ = α - GAST. (2.2) HNP Himmelsnordpol Frühlingspunkt P Beobachtungspunkt τ Stundenwinkel des Sterns Λ astronomische Länge GAST Greenw. Appar. Siderial Time α Rektazension Abbildung 3: Zusammenhang zwischen stellarem und erdfestem Bezugssystem Als Abwandlung des erdfesten Φ,Λ System ist noch das Stundenwinkelsystem von Bedeutung. In diesem System wird die Richtung zu einem Stern durch den Stundenwinkel t angegeben. Dieser Winkel wird in der Äquatorebene rechtsläufig vom Ortsmeridian des Beobachtungspunktes zum Stern gemessen (Abbildung 2). Es gilt τ = GAST + Λ α. (2.3) Seite 5 von 16

6 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach 2.3. Das lokale Zenitsystem z, A System (Beobachtungssystem) Das an der Zenitrichtung ausgerichtete lokale Beobachtungssystem (Abb.4) wird praktisch durch das Beobachtungsinstrument (z.b. Theodolit) realisiert. Im Gegensatz zum globalen erdfesten System handelt es sich um ein linkshändiges Koordinatensystem, bei dem die e 1 Achse nach Norden, orientiert ist. Die Transformation in das Stundenwinkelsystem (δ,τ ) wird in Abschnitt 7 hergeleitet. Dabei wird die lokale Zenitbasis gedanklich in den Ursprung des stellaren Systems verschoben. Dies ist erlaubt, da sich die Richtungen zu den sehr weit entfernten Fixsternen nicht bzw. nicht messbar ändern. Die Transformation kann dann einfach durch eine Rotation und zwei Spiegelungen beschrieben werden. Abbildung 4: Das lokale Zenitsystem im Beobachtungspunkt 3 Zeitsysteme Wie aus dem vorhergehenden Abschnitt leicht ersichtlich ist, haben wir es bei der Beobachtung von extraterrestrischen Zielen von der Erde aus mit zwei sich gegeneinander bewegenden Koordinatensystemen zu tun. Das heißt die Transformation zwischen den Systemen ist zeitlich variant. Um die Beobachtungen und die Koordinaten der Fixsterne gemeinsam in Bezug zusetzen, ist es daher unbedingt notwendig geeignete Zeitsysteme zu verwenden mit deren Hilfe der Zeitpunkt der Messung in das jeweils andere System transformiert werden kann. Heute sind zu diesem Zweck vor Allem 2 Zeitsysteme von Bedeutung: UTC (Universal Time Coordinated) und UT1 (auch Weltzeit). Eine typische, bei der Astronomischen Ortsbestimmung anfallende, Aufgabe ist die Umrechnung des Beobachtungszeitpunktes gemessen in UTC in die momentane Sternzeit Greenwich GAST. GAST beschreibt die momentane Ausrichtung des erdfesten Systems Φ, Λ zum raumfesten System α, δ. Astronomische Messungen werden heute in der Regel in UTC durchgeführt, da dieses Zeitsystem durch Zeitzeichensender weltweit sehr präzise realisiert werden kann. Die UTC orientiert sich an der künstlich erzeugten, äußerst gleichförmigen Seite 6 von 16

7 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach Atomzeit TAI, die jedoch gänzlich unabhängig von der, für die Astronomie wichtigen, Erdrotation erzeugt wird. Um trotzdem von UTC auf den momentanen Rotationsstatus der Erde UT1 schließen zu können, bedient man sich daher dem Differenzwert DUT1 der in regelmäßigen Abständen vom IERS mit hoher Genauigkeit bestimmt und veröffentlicht wird. Der Übergang von GMST (Greenwich Mean Siderial Time) auf GAST erfolgt schließlich durch Berücksichtigung der Korrekturen aus einem Nutationsmodell. Die Berechnung von GAST aus UTC erfordert demnach die folgenden Schritte: 1. Umrechnung von UTC in UT1 (mit Hilfe des Erdorientierungsparameters DUT1) UT1 = UTC + DUT1 (3.1) DUT1 vom IERS zur Verfügung gestellt (früher BIH) 2. Übergang von UT1 auf GMST (durch festen funktionalen Zusammenhang) GMST = T T T + UT1 (3.2) M 1 mit =.5 + ( 2) S T J D + D 1+ / J,M,D,S seit J2. ( ) m m= Berechnung von GAST aus GMST (Berücksichtigung der Nutationskorrektur n) GAST = GMST + n (3.3) mit n = Ψ cosε +.264''sin Ω +.63' 'sin 2Ω wobei Ψ = Nutation in Länge, ε = Schiefe der Ekliptik und Ω = mittl. Länge des Mondbahnknotens 4 Die Koordinaten der Fixsterne Der Fundamentalkatalog Um aus der Beobachtung von Fixsternen die Lotrichtung im Beobachtungspunkt ableiten zu können, müssen natürlich die Koordinaten der Sterne zum Beobachtungszeitpunkt bekannt bzw. berechenbar sein. Praktisch geht man dabei so vor, dass man zunächst die Koordinaten der Fixsterne im quasiraumfesten Stellaren System bestimmt und dann die kinematischen Beziehungen zwischen dem quasiraumfesten und dem Erdfesten System ableitet. Der Begriff quasiraumfestes Bezugssystem soll andeuten, dass sich die Koordinaten der Fixsterne aufgrund ihrer Eigenbewegung verändern, also streng genommen kein Inertialsystem definieren. Man behilft sich daher damit, dass man die Sternpositionen zu einem bestimmten Zeitpunkt, der so genannten Fundamentalepoche, festhält. Die zugehörigen Koordinaten α und δ sind im zugehörigen Fundamentalkatalog zusammengefasst. Der wichtigste und modernste ist der Fundamentalkatalog FK6. Er beinhaltet Sterne mit einer Genauigkeit von ca.,1. Der FK6 weißt gegenüber seinem Vorgänger dem FK5 (Abb.5) eine deutlich verbesserte Genauigkeit auf. Dies hängt vor allem damit zusammen, dass bei der Berechnung die Beobachtungen des Astrometriesatelliten Hipparcos (High Precision Parallax Collecting Satellite) berücksichtigt wurden. Da mit Hilfe dieses Satelliten Messungen außerhalb der Seite 7 von 16

8 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach Erdatmosphäre durchgeführt wurden, konnten die Richtungen zu den Fixstern mit bisher unerreichter Genauigkeit (ca.,3 ) gemessen werden. Abbildung 3 zeigt einen Ausschnitt aus dem FK5 mit der Fundamentalepoche J2 (= h Ortszeit Greenwich) mit dem Polarstern (αumi) in der dritten Zeile. Abbildung 5: Auszug aus dem FK5 5 Die scheinbaren Sternörter Apparent places of the stars Wie bereits festgestellt, besteht eine wichtige Besonderheit astronomischer Messungen darin, dass sich der Beobachter in einem bewegten Bezugsystem befindet. Zudem sind auch die Fixsterne dauernd in Bewegung. Aufgrund ihrer großen Entfernung ist diese Bewegung für einen Beobachter auf der Erde zwar kaum feststellbar (der schnellste derzeit bekannte Fixstern ist, mit v = 1.36 /J, Barnards Stern im Sternbild Ophiuchus), aus langjährigen astronomischen Beobachtungen wurden jedoch die Geschwindigkeiten µ und µ in Richtung von Rektazension bzw. Deklination für alle Fundamentalsterne bestimmt und in den Fundamentalkatalog mit aufgenommen. Auf diese Weise kann die Sternposition mit Hilfe der Differenz zwischen Beobachtungszeitpunkt T und Fundamentalepoche T jederzeit um den Einfluss der Eigenbewegung korrigiert werden. Die Eigenbewegung der Fixsterne ist auf diese Weise mit ausreichender Genauigkeit modelliert. Es verbleiben die folgenden die Messung der Richtungen zu einem Stern beeinflussenden Effekte: - Rotation der Erde um ihre Achse - Umlauf der Erde um die Sonne - Präzession und Nutation - Polbewegung - Abberation des Lichts durch die Erdrotation - Relativistische Lichtablenkung - Atmosphärische Refraktion Alle diese Effekte haben einen signifikanten Einfluss auf die beobachtbaren scheinbaren Örter der Gestirne, können aber im Rahmen dieser Darstellung nicht behandelt werden. Wir beschränken uns daher auf zwei der wichtigsten Effekte, nämlich die Erdrotation und die Refraktion in der Atmosphäre. Seite 8 von 16

9 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach 5.1 Die scheinbare Bewegung der Fixsterne aufgrund der Erdrotation Einem Beobachter auf der Erde scheint es als würden sich die Sterne am Himmel über ihm auf konzentrischen Bahnen um den Himmelspol bewegen. Abbildung 6 zeigt eine so genannte Sternspurenphotographie. Bei solchen Aufnahmen wird ein Foto des Sternenhimmels für mehrere Stunden belichtet und so die Bewegung der Sterne auf den Film gebannt. Das gemeinsame Zentrum der kreisförmige Sternbahnen ist der Himmelspol (in diesem Bild der südliche), das heißt die Richtung der Rotationsachse der Erde. Abbildung 6: Sternspuren des südl. Sternhimmels - Namibia Tatsächlich hängt die scheinbare Bewegung der Fixsterne natürlich mit der Drehung der Erde und damit des Beobachtungsortes zusammen. Die Folgende Skizze (Abb.7) verdeutlicht die Situation eines Beobachters auf der Erdoberfläche. Abbildung 7: Die lokale Horizontalebene des Beobachters und die scheinbare Bahn der Gestirne Die Kenntnis der scheinbaren täglichen Bewegung der Gestirne ist insbesondere auch für die Planung des Beobachtungsprogramms, z.b. die Sternauswahl von großer Bedeutung (Sigl 1978). Seite 9 von 16

10 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach 5.2 Refraktion in der Erdatmosphäre Der Einfluss der Refraktion auf die scheinbaren Örter der Sterne ist die Hauptursache für die begrenzte Genauigkeit der astronomischen Beobachtungen. Die Ablenkung der Lichtstrahlen erreicht für flache Zielungen (z 9 ) ungefähr 1/2 zum Lot hin. Als anschauliches Beispiel für Richtung und Größe des Einfluss betrachte man die untergehende Sonne. Ein Beobachter auf dem Ozean kann die Sonne (d 1/2 ) noch vollständig sehen obwohl sie geometrisch schon hinter dem Horizont verschwunden seien müsste (Schödlbauer 2). In Richtung des Zenits nimmt die Refraktion naturgemäß ab, hat aber immer noch einen maßgeblichen Einfluss auf die beobachtete Sternposition. Durch Refraktionsmodelle sowie geeignete Messanordnung kann man zwar einen Großteil des Fehlers beseitigen, die Genauigkeit bleibt aber grundsätzlich beschränkt. 5.3 Astronom. Jahrbücher und Interpolation von Sternpositionen Da die Berechnung der scheinbaren Orte zu den Gestirnen sehr aufwendige und fehleranfällige Berechnungen erfordert, wurde dies in den seltensten Fällen vom jeweiligen Beobachter selbst durchgeführt. Stattdessen übertrug man diese Aufgaben entsprechenden Organisationen. Diese veröffentlichen ihre, für ein Jahr im Voraus berechneten, Ergebnisse in Astronomischen Jahrbüchern. Das bekannteste und genaueste dieser Jahrbücher bezogen auf die Sterne des Fundamentalkataloges ist das APFS (Apparent Places of the Fundamental Stars). Das APFS (Abb.8) beinhaltet die scheinbaren Orte aller Fundamentalsterne in einem Intervall von 1 Tagen, für Sterne nahe dem Himmelspol sogar täglich. Aus diesen Angaben kann nach verschiedenen Algorithmen (weit verbreitet ist das Verfahren nach Bessel) die Sternposition interpoliert werden. 6 Instrumentarium Abbildung 8: Auszug aus dem APFS mit einigen 1-Tages-Sterne Das bei der Astronomischen Ortsbestimmung am häufigsten verwendete Instrument, zur Messung von Zenit- und Horizontalwinkeln, ist ein Theodolit höchster Genauigkeitsklasse, häufig auch als Universalinstrument bezeichnet. Zu den bekanntesten Modellen gehörten das Wild T4 Universalinstrument (Abbildung 2) und das Kern DKM3-A. Seite 1 von 16

11 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach Abbildung 9: Wild T4 Universalinstrument für Astronomisch-geodätische Beobachtungen Daneben gab es für einige Beobachtungsverfahren speziell entwickelte Instrumente. Zu den ebenfalls sehr weit verbreiteten Geräten gehören die so genannten Prismenastrolabien. Abbildung 3 zeigt ein solches Gerät, das aus einem automatischen Nivellier (Zeiss Ni2) und einem Prismenvorsatz besteht. Das Prisma lenkt den Zielstrahl um einen festen Winkel ab, so dass sich ein fest vorgegebener Zenitwinkel ergibt. Abbildung 1: Zeiss Ni2 mit Astrolabvorsatz Für die Zeitmessung wurden anfangs einfache Stoppuhren und später zunehmend aufwendigere elektronische Zeitregistrierungssysteme verwendet. Eine häufig verwendete Einrichtung war das unpersönliche Mikrometer, bei dem ein verschiebbares Fadenkreuz, über einen gewissen Zeitraum, die Verfolgung eines Sterns ermöglicht. Währenddessen wird bei bestimmten Stellungen des Mikrometers über elektrische Kontakte eine Zeitmessung ausgelöst. Um eine der Breitenbestimmung vergleichbare Genauigkeit von wenigen Seite 11 von 16

12 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach Zehntelbogensekunden auch in der Astronomischen Länge zu erreichen, muss die Zeit auf ca..4 s (UTC) genau gemessen werden. Dies war für einen menschlichen Beobachter nicht zu leisten. Vor allem deshalb war die Längenbestimmung früher deutlich schlechter (Faktor 15) als die Breitenbestimmung. 7 Beobachtungsverfahren Aufgrund der scheinbaren Bewegung der Ziele in der Astronomischen Geodäsie ergeben sich einige Besonderheiten im Bezug auf die Beobachtungstechniken. Da neben den eingestellten Richtungen auch der Zeitpunkt der Beobachtung gemessen werden muss, ist es in der Regel nicht möglich Zenitwinkel und Horizontalkreis gleichzeitig präzise einzustellen. Stattdessen geht man häufig so vor, dass man entweder nur Horizontal- oder nur Zenitwinkel misst. Dazu stellt man das Fernrohr so ein, dass der Horizontal bzw. Vertikalfaden die scheinbare Bahn des gewählten Sterns schneidet und misst den Zeitpunkt zu dem der Stern den entsprechenden Faden passiert ( Durchgang des Sterns ). Zur Genauigkeitssteigerung wurden hierbei häufig Strichkreuzplatten mit mehreren parallelen Fäden benutzt und die Ablesungen gemittelt. Ein weiteres Problem, das durch die Bewegung der Sterne entsteht, ist, dass es im Allgemeinen nicht möglich ist die Instrumentenfehler durch Messung in beiden Lagen zu eliminieren. Dies ist äußerst ungünstig, da bei Astronomischen Beobachtungen sehr steile Visuren auftreten, die entsprechend stark verfälscht werden. Durch geschickte Beobachtungsverfahren kann dieses Problem aber zum Teil umgangen werden. Abbildung 11: Blick durch das Beobachtungsfernrohr auf den Sternenhimmel (Fernrohrvergrößerung 1-fach) Auf Grundlage dieser Einschränkungen wurde in der geodätischen Astronomie eine Vielzahl von Beobachtungsverfahren entwickelt. Als Beispiel sei hier die Bestimmung von Astronomischer Breite Φ und Länge Λ aus Zenitdistanzen bei bekannter Beobachtungszeit t (UTC) vorgestellt. Seite 12 von 16

13 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach 7.1 Herleitung der Beobachtungsgleichung für Zenitdistanzmessungen Die Richtung von einem Beobachtungsort auf der Erde zu einem Stern kann in zwei Koordinatensystemen beschrieben werden (Schödlbauer, 2). 1. Durch Zenitdistanz z und Azimut A in der lokalen Zenitbasis (Beobachtungssystem). r e S sin z cos A = z A sin sin cos z T ri [ e ] Z (7.1) 2. Durch Deklination δ und den Stundenwinkel τ im stellaren System. cosδ r e S = cosδ sinτ e sinδ T ri [ ] H Die beiden Basen stehen in folgender Beziehung: mit τ = GAST + Λ α (7.2) sin Φ cosφ r i ri ri [ e ] Z = S R(9 Φ) S [ e ] H = 1 [ e ] H cosφ sin Φ (7.3) Somit ergibt sich der Vektor der Sternkoordinaten in der lokalen Zenitbasis r e S sin z cos A = z A sin sin cos z T sin Φ cosδ + cosφ sinδ ri ri [ e ] Z = cosδ sinτ [ e ] Z cosφ cosδ + sin Φ sinδ T (7.4) und daraus durch Vergleich der Komponenten die 3 Gleichungen sin z cos A = sin Φ cosδ + cos Φ sin δ (7.5) sin z sin A = cosδ sinτ (7.6) cos z = cosφ cosδ + sin Φ sinδ (7.7). Insbesondere die letzte Gleichung (3) ist als Beobachtungsgleichung für Zenitdistanzen von zentraler Bedeutung. Sie stellt die Verbindung her, zwischen der an einem Ort gemessenen Zenitdistanz zu einem Stern und der Astronomischen Breite φ und Länge Λ bzw. τ (GAST, Λ, α) des Beobachtungsortes. Seite 13 von 16

14 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach 7.2 Beobachtungsgleichung für Meridianzenitdistanzen Bei näherer Betrachtung von Gleichung (3) cos z = cosφ cosδ + sin Φ sinδ (7.8) stellt man fest, dass sich für τ = eine Vereinfachung der Beobachtungsgleichung ergibt. Mit Hilfe des Additionstheorems (Bronstein S. 8) erhält man daraus Was bedeutet τ = praktisch? Es gilt cos z = cosφ cosδ + sin Φ sinδ (7.9) cos( α β ) = cosα cos β + sinα sin β (7.1) cos z = cos( Φ δ ) also z = Φ δ oder z = δ Φ. (7.11) τ = GAST + Λ α = GAST + Λ = α Das bedeutet, die Bedingung τ = ist dann erfüllt wenn sich der beobachtete Stern in der Meridianebene des Beobachtungsortes befindet (Abb.2). 7.3 Linearisierte Beobachtungsgleichung für Zenitdistanzen Die weiter oben hergeleitete Beobachtungsgleichung für Zenitdistanzen cos z = cosφ cosδ + sin Φ sinδ (7.12) ist offenbar hin höchstem Maße nicht linear. Bei näherungsweise bekannter astronomischer Länge Λ und Breite Φ ist jedoch eine Linearisierung der Beobachtungsgleichungen möglich. Dazu berechnet man mit Hilfe des Beobachtungszeitpunktes Näherungen für die beobachtete Zenitdistanzen z und das Azimute a. Anschließend entwickelt man die Terme der Beobachtungsgleichung auf beiden Seiten nach Taylor bis zum linearen Term und subtrahiert die aus den Näherungswerten berechnete Zenitdistanz z mit Man erhält cos z = cosφ cosδ + sin Φ sinδ. (7.13) sin z dz = ( cosδ sin Φ + sinδ cosφ ) dφ cosφ cosδ sinτ dτ (7.14) wegen τ = GAST + Λ α gilt dτ = dλ und damit cosδ sin Φ sinδ cos Φ cos Φ cosδ sinτ z z = dz = dφ + sin z sin z dλ. (7.15) Seite 14 von 16

15 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach Mit Hilfe der Formeln sin z sin a = cosδ sinτ (7.16) und sin z cos a = sinδ cos Φ sin Φ cosδ (7.17) erhalten wir schließlich die vereinfachten Beobachtungsgleichungen ( z + v ) z = dz + v = cos a dφ cosφ sin a dλ. (7.18) z Darin bedeutet a das aus den Näherungswerten berechnete Azimut. dz tan sinτ tanδ cosφ a = (7.19) sin Φ Gleichung (7.18) stellt einen einfachen linearisierten funktionalen Zusammenhang zwischen Beobachtungen und Unbekannten her und kann somit als Grundlage für die Auswertung beliebig vieler Zenitdistanzen in einer Ausgleichung verwendet werden. In der Praxis ist natürlich darauf zu achten, dass ein geeignetes Modell zur Berücksichtigung der atmosphärischen Refraktion angesetzt wird. Eine Herleitung der Formeln (7.16) und (7.17) aus dem Sinus- bzw. dem Sinuskosinussatz der sphärischen Trigonometrie ist bei Sigl (1978) zu finden. Seite 15 von 16

16 Erdmessung III SS6 Astronomisch-geodätische Ortsbestimmung Ulrich Weinbach 8 Literaturverzeichnis Böhme, J., et al, 1987 Astronomische Navigation, Transpress VEB Verlag für Verkehrswesen, Berlin Hirt, C., 24 Entwicklung und Erprobung eines digitalen Zenitkamerasystems für die hochpräzise Lotabweichungsbestimmung Dissertation, Universität Hannover, Fachrichtung Vermessungswesen Nr. 253 Kaniuth, K. u. Stuber K., 1978 Die Astrogeodätischen Lotabweichungsbestimmungen der Abteilung I des Dt. Geodät. Forschungsinstituts auf den Punkten des DHDN in den Jahren , Deutsche Geodätische Kommission, Reihe B: Angewandte Geodäsie, Heft Nr. 229 Lelgemann, D., Vorlesungsmitschriften der LVen Erdmessung 1+3 Mühlig, F., 196 Grundlagen und Beobachtungsverfahren der Astronomisch geodätischen Ortsbestimmung, Herbert Wichmann Verlag, Berlin Schödlbauer, A., 2 Geodätische Astronomie Grundlagen und Konzepte, Walter de Gruyter Berlin, New York Sigl, R., 1978 Geodätische Astronomie, Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe Wikipedia Seite 16 von 16