3. Übung Astronomie Positionsbestimmung mit Hilfe des Standlinienverfahrens. Andreas Maus

Transkript

1 3. Übung Astronomie Positionsbestimmung mit Hilfe des Standlinienverfahrens Andreas Maus 23. Juni 1999

2 Aufgabe: Es sind die Koordinaten (Länge λ und Breite φ) des Beobachtungsstandortes durch Messung von Zenitdistanzen zu mindestens fünf Sternen mit Hilfe des Standlinienverfahrens zu rechnerisch und graphisch bestimmen. gegeben: Näherungskoordinatejn für Dresden mit φ 0 = 51 o und λ 0 = 0 h 55 min gemessen: Stern Horizontalwinkel Vertikalwinkel/Zenitdistanzen Zeit (MESZ) Arctur 16 o o :06:07 Betelgeuse 175 o o :33:43 Capella 217 o o :49:23 Procyon 159 o o :08:32 Vega 329 o o :23:22 Polarstern 278 o o :32:30 Datum der Messung: 20. April 1999 Druck p = 999 mbar = mmhg Temperatur: T = 5.5 o C Instrumentennummer: Pfeiler 9 Messwerte: aus dem Jahrbuch entnommen: Stern Rektaszension α Deklination δ Arctur 14 h 15 min 38.3 sec 19 o Capella 5 h 16 min 36.0 sec 45 o Polarstern 2 h 29 min 34.5 sec 89 o Vega 18 h 36 min 55.1 sec 38 o Procyon 7 h 39 min 14.9 sec 5 o Betelgeuse 5 h 55 min 6.5 sec 7 o für den 20. April

3 UT 1 = +0.6 sec ST Green (0 h UT C) = 13 h 50 min 33.3 sec gesucht: Koordinaten des Standpunkte rechnerisch und graphisch bestimmt 2

4 Lösung: Bevor mit der Berechnung oder der graphischen Auswertung begonnen werden kann, müssen die gemessenen Zenitdistanzen z wegen der Refraktion reduziert werden. Der dafür benötigte Korrekturwert berechnet sich nach: z z = r = p 273 ( 60.1 tan(z ) tan 3 (z ) ) T Mit den gegebenen meteorologischen Daten erhält man als wahre Zenitdistanzen z mit: gemessen z Refraktionskorrektion r wahre z 59 o o o o o o o o o o o o o o o o o o Für die gemessenen Zenitdistanzen muß im Instrumentenstandpunkt für einen Stern mit den Koordinaten α und δ gelten: cos(z) = sin(φ) sin(δ) + cos(φ) cos(δ) cos(h) Der Stundenwinkel h ist durch die Sternzeit ST und der Rektaszension α des Sternes gegeben, mit h = ST α und ST = ST Green λ. Dabei ergibt sich die Sternzeit Greenwich ST Green aus: ST Green = UT C + ST Green (0 h UT C) + UT 1 + k Dabei erhält man das Glied k (mit UTC in Stunden) als: ( ) UT C k = sec 24 h UT 1 und ST Green (0 h UT C) sind dem Jahrbuch entnommen worden,so daß nur k berechnet werden muß. Setzt man die gemessenen Zeitwerte ein, so erhält man für ST Green : MESZ UTC k ST Green 21 h 06 min 07 sec 19 h 06 min 07 sec 0 h 3 min sec 8 h 59 min sec 21 h 33 min 43 sec 19 h 33 min 43 sec 0 h 3 min sec 9 h 27 min sec 21 h 49 min 23 sec 19 h 49 min 23 sec 0 h 3 min sec 9 h 43 min sec 22 h 08 min 32 sec 20 h 08 min 32 sec 0 h 3 min sec 10 h 02 min sec 22 h 23 min 22 sec 20 h 23 min 22 sec 0 h 3 min sec 10 h 17 min sec 22 h 32 min 30 sec 20 h 32 min 30 sec 0 h 3 min sec 10 h 26 min sec 3

5 Somit können die gesuchten Stundenwinkel h errechnet werden. Sie erhält man aus der Beziehung: h = ST α = ST Green λ α Da die Länge λ und die Breite φ nicht bekannt sind, geht man von Näherungswerten φ 0 und λ 0 aus, mit φ = φ 0 + φ und λ = λ 0 + λ. Damit ergibt sich die Formel für die Näherungen der Stundenwinkel h 0 zu: h 0 = ST Green λ 0 α Somit erhält man als Näherungswerte der Stundenwinkel: Stern Rektaszension α ST Green Stundenwinkel h 0 Arctur 14 h 15 min 38.3 sec 8 h 59 min sec 19 h 39 min sec Betelgeuse 5 h 55 min 6.5 sec 9 h 27 min sec 4 h 27 min sec Capella 5 h 16 min 36.0 sec 9 h 43 min sec 5 h 21 min sec Procyon 7 h 39 min 14.9 sec 10 h 02 min sec 3 h 18 min sec Vega 18 h 36 min 55.1 sec 10 h 17 min sec 16 h 35 min sec Polarstern 2 h 29 min 34.5 sec 10 h 26 min sec 8 h 51 min sec Mit diesen Werten,lassen sich die Zenitdistanzen z 0 der Sterne für den Ort mit den gegebenen Näherungskoordinaten φ 0, λ 0 berechnen. Sie erhält man analog aus: cos(z 0 ) = sin(φ 0 ) sin(δ) + cos(φ 0 ) cos(δ) cos(h 0 ) Berechnet man diese Werte, so erhält man für die z 0 : Stern Deklination δ Stundenwinkel h 0 Zenitdistanz z 0 Arctur 19 o h 39 min sec 59 o Betelgeuse 7 o h 27 min sec 69 o Capella 45 o h 21 min sec 50 o Procyon 5 o h 18 min sec 61 o Vega 38 o h 35 min sec 71 o Polarstern 89 o h 51 min sec 39 o Desweiteren wird das Azimut A des jeweiligen Sternes benötigt. Dies erhält man aus: tan(a) = sin(h) sin(φ) cos(h) cos(φ) tan(δ) 4

6 Setzt man nun die zuvor gegebenen Werte für die Deklination sowie die errechneten Näherungswerte für h und die Breite φ 0 ein, so erhält man für die Azimute: j Stern Azimut A 1 Arctur 96 o Betelgeuse 256 o Capella 297 o Procyon 239 o Vega 49 o Polarstern 359 o Für die rechnerische Lösung wird aufgrund der Überbestimmung eine Ausgleichung durchgeführt. Als Unbekannte werden, neben den Unterschieden der Breite φ und der Länge λ zwischen dem genäherten und dem wahren Ort, auch der Indexfehler i eingeführt, welcher bei der Messung in nur einer Fernrohrlage nicht eliminiert werden konnte. Die jeweiligen Verbesserungsgleichungen lauten: φ cos(a j ) λ cos(φ 0 ) sin(a j ) + i = z j + v j beziehungsweise als umgeformte Verbesserungsgleichungen: Weiterhin gilt: v j = φ cos(a j ) λ cos(φ 0 ) sin(a j ) + i z j z j = z j0 z j Somit erhält man einfach die Koeffizentenmatrix A aus den partiellen Ableitungen der umgeformten Verbesserungsgleichungen nach den Unbekannten zu: A = cos(a 1 ) cos(φ 0 ) sin(a 1 ) 1 cos(a 2 ) cos(φ 0 ) sin(a 2 ) 1 cos(a 3 ) cos(φ 0 ) sin(a 3 ) 1 cos(a 4 ) cos(φ 0 ) sin(a 4 ) 1 cos(a 5 ) cos(φ 0 ) sin(a 5 ) 1 cos(a 6 ) cos(φ 0 ) sin(a 6 ) 1 5

7 Der Vektor der Beobachtungen l setzt sich zusammen aus: z 1 z 2 l = z 3 z 4 z 5 z 6 Als Gewichtsmatrix P wird die Einheitsmatrix I eingesetzt. Der Vektor der Zuschläge zu den gesuchten Unbekannten x ergeben sich aus der Gleichung: x = ( A T A ) 1 ( A T l ) = N 1 ( A T l ) Die endgültigen Werte der Unbekannten erhält man durch Addition des Lösungsvektors x zu dem Vektor der Näherungswerte x 0 : φ 0 51 o x = x 0 + x mit x 0 = λ 0 = 13 o 45 i 0 0 Setzt man nun die Daten ein (die Elemente von l in rad), so erhält man: und A = l = Die benötigte Normalgleichungsmatrix N erhält man aus: N = A T A =

8 Die Inversion der Normalgleichungsmatrix Q = N 1 liefert: Q = N 1 = Als Zuschläge x zu dem Vektor der Näherungswerte x 0 erhält man: x = 0 o o o Um eine qualitative Beurteilung der Ergebnisse zu ermöglichen werden die mittleren Fehler der Unbekannten berechnet. Zuvor ist jedoch der Vektor der Verbesserungen v zu berechnen. Ihn erhält man aus: v = A x l Durch Einsetzen der Werte erhält man für v: v = Den mittleren Fehler der Unbekannten m δx erhält man aus: C xx = m 2 vt v 0 Q mit m 0 = n u Mit n = 6 Beobachtungen und u = 3 Unbekannten erhält man damit: m 0 = ±0 o und damit als mittleren Fehler der Unbekannten: m Φ = m 0 Qxx (1,1) = ±0 o m Φ = m 0 Qxx (2,2) = ±0 o m Φ = m 0 Qxx (3,3) = ±0 o

9 Zur Kontrolle wird die Ausgleichung verprobt. Ohne Rechenfehler sollte sie folgende Bedingungen erfüllen: Eine Probe hierauf ergibt: sowie: A T v = 0 und v T v = l T A x + l T l A T v = v T v = l T A x + l T l = Beide Proben sind - bis auf Rundungsfehler - erfüllt. Somit erhält man als Ergebnis der rechnerischen Lösung: φ = φ 0 + φ = 50 o ± 0 o λ = λ 0 λ = 13 o ± 0 o = 0 h 54 min sec ± 0 h 0 min 1.17 sec i = i 0 + i = 0 o ±