STERNFREUNDE-SEMINAR, WIENER PLANETARIUM / Mucke

Transkript

1 STERNFREUNDE-SEMINAR, WIENER PLANETARIUM. 198 / Mucke Referat: Bahnbestimmung nach dem Prinzip von GAUSS, Methode von VEITHEN - MERTON Problem Aus der beobachteten scheinbaren Bahn ist die räumliche Bahn des Himmelskörpers unter Zugrundelegung eines bestimmten Bewegungsmodells zu bestimmen. Dieses Bewegungsmodell wird hier folgendermaßen charakterisiert: Die Bahn des Himmelskörpers ist eine Kegelschnittslinie, in deren (einem) Brennpunkt die Sonne steht die Bewegung erfolgt nach dem Newton'schen Gravitationsgesetz. Die Ableitung der geometrischen und physikalischen Kenngrößen der Raumbahn, der Bahnelemente, erfolgt über die heliozentrischen Koordinaten des Himmelskörpers. Deren Berechnung geschieht durch zweckmäßige Variation der numerischen Werte der Verhältnisse der Dreiecksflächen mit Hilfe des Verhältnisses Sektor zu Dreieck. Sind die geometrischen und dynamischen Bahnbedingungen erfüllt, so gilt das Problem als gelöst. Störungen also unberücksichtigt! Lösung 1. Reduktion der Beobachtungen Es sind mindestens drei Positionen samt zugehörigen Terminen erforderlich Die Ausgangsdaten seien sphärische Koordinaten α i, δ i (i = 1 3)) bezogen auf ein mittleres mittleres Normalaquinoktium (1950.0) oder auf den Jahresanfang. Es sind an die beobachteten Örter also Präzessions- und Aberrationskorrekturen (siehe Sternfreundeseminare 1976 und 1977) anzubringen. 1.. Die drei Termine seien in Ephemeridenzeit (ET) ausgedrückt. ET= UT + Δt? 1.3. Lichtzeit Die Lichtzeit Δti (in mittleren Tagen) = Δi wird im Verbesserungsverfahren mit der Kenntnis der genäherten geozentrischen Distanzen Δi (in AE) angebracht Tägliche Parallaxe Der parallaktische Effekt wird dadurch eliminiert, daß man die geozentrischen Sonnenkoordinaten (X', Y', Z') aufs Topozentrum korrigiert. X = ρ 0 π sin 1" cos φ cos θ X = X + ΔX Y = ρ 0 π sin 1" cos φ sin θ Y = Y + ΔY (1) Z = ρ 0 π sin 1" sin φ Z = Z + ΔZ Seite 1 von 9

2 ρ 0 Geozentrische Mittelpunktsabstand des Beobachtungsortes π Äquatoreal-Horizontalparallaxe der Sonne (8,8") ρ 0 = cos φ. Die Methode von VEITHEN - MERTON.1. Grundlagen Sind α i, δ i (i = 1,,3) die reduzierten Beobachtungen und X i, Y i, Z i die auf dasselbe Äquinoktium bezogenen rechtwinkeligen Sonnenkoordinaten, so erhält man die Komponenten des Richtungsvektors mittels der Beziehungen a i = cos δ i cos α i b i = cos δ i sin α i () c i = sin δ i sowie die Distanzen Erde-Sonne aus R i = X i + Y i + Z i (3) Aus der Gleichung R i cos θ i = (a i X i + b i Y i + c i Z i ) (4) ergibt sich θ i als der äußere Winkel an der Erde im Dreieck Sonne-Erde-Planet... Die erste Näherung Mittels der drei Beobachtungstermine werden die Zwischenzeiten τ i wie folgt berechnet τ 1 = k(t 3 t ) τ = k(t 3 t 1 ) τ 3 = k(t t 1 ) (5) k = Für die Verhältnisse der doppelten Dreiecksflächen n1, n3 (Sonne-Erde-Planet) lassen sich folgende Reihenentwicklungen in den τi und r aufstellen. n 1 = τ τ τ 6 τ τ 1τ n r 3 = τ τ τ 6 τ τ 1τ r Setzt man nun n 1 0 = τ 1 τ, n 3 0 = τ 3 τ und (6) v 1 = 1 6 τ 1τ 3 (1 + n 1 0 ) v 3 = 1 6 τ 1τ 3 (1 + n 3 0 ) (7) Seite von 9

3 so mangelt es noch an der Kenntnis des mittleren Radiusvektors r zur Ermittlung von genäherten Werten für n 1, n 3. Zur Bestimmung von r sowie der geozentrischen Distanz des Planeten gestalten sich die beiden notwendigen Gleichungen wie folgt. a) = k 1 r 3 wobei gilt (8) k = d 1n 1 0 d + d 3 n 3 0 D l = d 1v 1 + d 3 v 3 D d i = X i (b 1 c 3 b 3 c 1 ) Y i (a 1 c 3 a 3 c 1 ) + Z i (a 1 b 3 a 3 b 1 ) D = a 1 (b c 3 b 3 c ) a (b 1 c 3 b 3 c 1 ) + a 3 (b 1 c b c 1 ) b) Die geometrische Bedingung im Dreieck Sonne-Erde-Planet r = R + R cos θ + (9) stellt die. Gleichung in den Unbekannten r, dar. Gleichung (8) eingesetzt in (9) ergibt eine Gleichung 8.Grades in r, genannt die.3. Lagrange'sche Schlüsselgleichung (10) r 8 (R + R cos θ k + k )r 6 + (R cos θ l + kl)r 3 l = 0 Diese Gleichung wird am besten mit Hilfe eines programmierbaren Taschenrechners gelöst; sie besitzt 4 reelle Wurzeln. Davon ist eine Lösung negativ und somit, da r als Entfernung immer positiv sein muß, unbrauchbar. Es verbleiben 3 Lösungen von denen eine, r=1, die Erdbahnlösung darstellt. Ist r=1 die mittlere Lösung, so läßt sich die Entscheidung treffen: Ist θ > π so ist r > R (dies ist bei den kleinen Planeten im allgemeinen der Fall), ist θ < π so gilt meist r < R. Sind beide nicht trivialen Lösungen größer oder kleiner als 1, so kann erst durch eine weitere Beobachtung, die dann durch die unzutreffenden Bahnelemente nicht dargestellt wird, die wahre Lösung ermittelt werden. Seite 3 von 9

4 Mit den bekannten Größen r, ergeben sich: n i = n i 0 + v i r 3 (i = 1,3) (11) und die restlichen geozentrischen Distanzen 1, 3 aus den Gleichungen a 1 n a 3 n 3 3 = a + n 1 X 1 X + n 3 X 3 (1) c 1 n c 3 n 3 3 = c + n 1 Z 1 Z + n 3 Z 3 wobei die rechten Seiten bekann sind. r i = R i + R i cos θ i i + i (i = 1,3) (13) Zuletzt folgen die ersten Näherungswerte für die rechtwinkeligen heliozentrischen Koordinaten der Planetenörter. x i = a i i X i y i = b i i Y i (i = 1,,3) (14) z i = c i i Z i 3. Das Verbesserungsverfahren 3.1. Terminverbesserung Unter Berücksichtigung der Lichtzeit ergeben sich die verbesserten Termine t 1 v, t v, t 3 v in mittleren Tagen zu t i v = t i A i A = (i = 1,,3) und die damit verbundenen Größen τ 1 = k(t v 3 t v ) τ = k(t v 3 t v 1 ) τ 3 = k(t v t v 1 ) sowie n 0 1 = τ 1 0 τ0 n 0 3 = τ 0 3 τ0 3.. Das Verhältnis Sektor / Dreieck y i Die Größen y i geben das Verhältnis der in der Zwischenzeit τ i aufgespannten Sektorfläche zur zugehörigen Dreiecksfläche. Mittels der Hilfsgrößen κ i und h i (i = 1,,3) κ 1 = r r 3 + x x 3 + y y 3 + z z 3 κ 1 = r 1 r 3 + x 1 x 3 + y 1 y 3 + z 1 z 3 (15) κ 1 = r 1 r + x 1 x + y 1 y + z 1 z Seite 4 von 9

5 h 1 = τ 1 κ 1 (Bκ 1 + r + r 3 ) B = 3 (16) Für h bzw h 3 sind die Indizes zyklisch zu vertauschen. - ergeben sich die y i zu y i = h i h i h i Aus dem zweiten Kepler schen Gesetz folgt Hansen sche Kettenbruch (17) n 1 = n 1 0 y y 1 n 3 = n 3 0 y y 3 Stimmen die so erhaltenen Werte n 1, n 3 mit den aus Gleichung (11) erhaltenen überein, so kann man sofort mit der Ableitung der Elemente beginnen. Ist dies nicht der Fall, ist das Formelsystem (8) bis (19) mit den Werten n 1 0, n 3 0 und (18) v 1 = n 0 1 ( y 3 1) r y 1 erneut durchzurechnen. v 3 = n 0 3 ( y 3 1) r (19) y 3 4. Die Ableitung der Bahnelemente Man berechnet zunächst die Hilfsgrößen σ = x 1x + y 1 y + z 1 z r 1 x 0 = x 3 σx 1 y 0 = y 3 σy 1 r 0 = x 0 + y 0 + z 0 (0) z 0 = z 3 σz 1 Die wahren Anomalien ν 1, ν 3 sowie der Parameter p und die Exzentrizität e folgen aus sin(ν 3 ν 1 ) = r0 r 3 cos(ν 3 ν 1 ) = σr 1 r 3 p = r 1r 0 y q τ 1 = p 1 = e cos ν 1 r 1 q 3 = p 1 (1) 1 r 3 e sin ν 1 = q 1 cos(ν 3 ν 1 ) q 3 sin(ν 3 ν 1 ) ν 3 = ν 1 + (ν 3 ν 1 ) Seite 5 von 9

6 Mit diesen Größen erhält man sofort die große Halbachse a, sowie die beiden exzentrischen Anomalien E i a = p (1 e)(1+e) tan 1 E i = 1 e 1+e tan 1 υ i (i = 1,3) () Die mittleren Anomalien M i folgen aus der Keplergleichung, die tägliche Bewegung µ aus der Zwischenzeit. M i = E i e ( 180 π ) sin E i (i = 1,3) μ = M 3 M 1 t 3 v t 1 v (3) Die Berechnung der Bahnneigung i, des Perihelarguments ω und der Länge des aufsteigenden Knotens Ω erfolgt zielführend über die Hilfsgrößen P x, P y, P z, Q x, Q y, Q z. cos v 1 P x = x 1 x 0 sin v 1 sin v 1 r 1 r 0 Q x = x 1 x 0 cos v 1 r 1 r 0 P y = y 1 cos v 1 r 1 y 0 sin v 1 r 0 Q y = y 1 sin v 1 r 1 y 0 cos v 1 r 0 (4) cos v 1 P z = z 1 z 0 sin v 1 sin v 1 r 1 r 0 Q z = z 1 z 0 cos v 1 r 1 r 0 sin i sin ω = P z cos ε P y sin ε sin i cos ω = Q z cos ε Q y sin ε (5) cos Ω = P x cos ω Q x sin ω Ekliptikschiefe ε = o 5. Anhang (Ephemeridenrechnung) Die Berechnung einer Ephemeride mittels gegebener Bahnelemente kann folgendermaßen geschehen. Gegeben sei: die Größen T 0 (ET), M 0 (Mittlere Anomalie), a, e, i, ω, Ω und µ, sowie die rechtwinkeligen Sonnekoordinaten X, Y, Z bezogen auf das gleiche Äquinoktium. Die Ephemeride gelte für den Zeitpunkt T 1. Es ergibt so M 1 aus der Beziehung M = μ(t 1 T 0 ) + M 0 (6) Aus den Gleichungen () und (3) erhält man E und V, sowie r aus der Gleichung r = a(1 e cos E) (7) Seite 6 von 9

7 Es folgt die Berechnung der Hilfsgrößen F = cos Ω P = sin Ω cos i G = sin Ω cos ε Q = cos Ω cos i cos ε sin i sin ε H = sin Ω sin ε R = cos Ω cos i sin ε + sin i cos ε tan A = F P a = F + P tan B = G Q b = G + Q (8) tan C = H R c = H + R wobei für die Vorzeichen gilt: SIGN (sin A) = SIGN(cos Ω) SIGN (sin B, sin C) = SIGN(sin Ω) Für die rechtwinkeligen heliozentrischen Gestirnskoordinaten gilt sodann x = r a sin(a + ω + V) y = r b sin(b + ω + V) (9) z = r c sin(c + ω + V) In recht einfacher Weise erhält man zuletzt die sphärischen Koordinaten α, δ und die geozentrische Distanz Δ aus tan α = Y+y X+x sin δ = Z+z Δ Δ = (X + x) + (Y + y) + (Z + z) 6. Beispiele Kleinplanet 486 Cremona Beobachtungen: Ing. Erich Meyer, Davidschlag OÖ (30) 1981 ET I März h 54 m 56,73 s II März h 53 m s ,4 III April h 50 m s X Y Z R I II III D = k = τ 1 = τ = τ n 1 = n 1 = v 1 = v 3 = Seite 7 von 9

8 r 1 = = r = = Lösung der Gl. (10) r 3 = = 1.91 n 1 = n 3 = genäherte heliozentrische Koordinaten x 1 = y 1 = z 1 = x = y = z = x 3 = y 3 = z 3 = Verbesserungsverfahren t v 1 = t v = t v 3 = n 0 1 = n 0 1 = y 1 = y = y 3 = n 1 = n 3 = weiterer Iterationsschritt notwendig v 1 = v 3 = n 1 = n 3 = endgültige heliozentrische Koordinaten x 1 = y 1 = z 1 = x = y = z = x 3 = y 3 = z 3 = y 1 = y = y 3 = n 1 = n 3 = Differenz = 0 Elemente p = e = = ⁰ V 1 = ⁰ V 3 = ⁰ a = AE E 1 = ⁰ E 3 = ⁰ M 1 = ⁰ M 3 = ⁰ μ = ⁰ i = ⁰ ω = ⁰ Ω = ⁰ M 0 = ⁰ T 0 = Gegenüberstellung der Bahnelemente aus dem Jahrbuch kleiner Planeten: M 0 mittlere Anomalie zu T ⁰ Seite 8 von 9

9 ω Perihelargument ⁰ (1950.0) Ω Knotenlänge ⁰ (1950.0) i Bahnneigung ⁰ (1950.0) e Num. Exzentritität oo a Halbachse.3539 AE µ Mittl. tägl. Bewegung ⁰ Mit den aus dem Beispiel hervorgegangenen Elementen wurden zwei weitere Beobachtungen nachgerechnet. 1) t = April ET 1981 g = 10 h 50 m 5.7 s b = 10 h 50 m s cos δ = 0.7 s δ g = δ b = δ = 0.1 ) t = Jänner ET 1981 g = 11 h 34 m 6.06 s b = 11 h 34 m 4.77 s cos δ = 0.3 δ g = δ b = δ = 4.7 g gerechnet b beobachtet Der Vergleich zeigt, daß die gewonnenen Elemente (ohne jegliche Störungsrechnung) das Auffinden des Kleinplaneten auch nach Monaten gestatten. Kleinplanet 13 Egeria (s. Referat Ephemeriden Kleiner Planeten ): Berechnung einer Ephemeride nach Kapitel 5 für den Termin t Die benötigten Bahnelemente lauten: T 0 = M 0 = ⁰ X = ω = ⁰ Ω = ⁰ Y = i = ⁰ e = Z = µ = ⁰ a = AE Es ergeben sich die Größen zu M 1 = ⁰ x = α = 0 h 6.1 m E 1 = ⁰ y = δ = -17⁰ 53 V 1 = ⁰ z = Δ = AE r = AE Die zugehörigen Jahrbuchswerte lauten α = 0 h 6.0 m δ = -17⁰ 53 Literatur G.Stracke, Bahnbestimmung d. Planeten u. Kometen 199 J.Meeus, Astronomical Formulae for Calculators 1978 Robert Weber, Reclamg.8, A-10 Wien Seite 9 von 9