Maßzahlen, Verhältniszahlen, Indexzahlen

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1 Kapitel 4 Maßzahlen, Verhältniszahlen, Indexzahlen 4.1 Maßzahlen Ökonomische und andere Sachverhalte werden oft durch Maßzahlen beschrieben. Jede Maßzahl muss dabei ihren Ausgangspunkt von einer sachlichen Fragestellung nehmen, die auf die quantitative Kennzeichnung irgendeines Sachverhaltes zielt. Eine sachliche Aufgabe und die aus ihr erwachsende Fragestellung sind primär; aus ihnen - und nur aus ihnen - sind die Kriterien für ihren Aufbau und die Erzeugung einer Maßzahl zu entwickeln. Forderung: Äquivalenten Sachverhalten sollen gleiche Werte der Maßzahl entsprechen. Dabei wird man oft jene Sachverhalte als äquivalent ansehen, welche gleiche Entscheidungen als Konsequenz nach sich ziehen. Bsp 4.1.1: Daten aus österreichischen Volkzählung von 1951 Haushalte (ohne Anstaltshaushalte) Wohnungen (ohne Notwohnungen) Wohnungsdefizit Diese letzte Zahl ist nur beschränkt aussagefähig; denn es muss berücksichtigt werden, dass leerstehende Wohnungen in Landgemeinden das Wohnungsdefizit in den Städten nicht voll ausgleichen. Bsp 4.1.2: Die Produktion zweier Spinnereien soll verglichen werden. Da Spinnerei A den Schwerpunkt ihrer Produktion bei den niedrigen Nummern (dicke Garne), Spinnerei B bei den höheren Nummern (dünne Garne) hat, ist die Vergleichbarkeit nicht von vorneherein gegeben. Sie kann dadurch erreicht werden, dass man mittels Äquivalenzzahlen auf ein Standardprodukt, z.b. Ne 20, umrechnet: Tabelle 4.1: Ne Äquivalenzzahl Produktion in t Standardprod. in t A B A B Summe x

2 Interpretation der Äquivalenzzahl 0.74: Die Produktion von 1 t Ne 16 ist gleichwertig mit der Produktion von 0.74 t Ne 20. Damit ist der Produktion von 45.t Ne 16 gleichwertig mit der Produktion von t = 33. t Ne Verhältniszahlen Verhältniszahl := Quotient zweier Maßzahlen (evtl. 100) Arten von Verhältniszahlen a) Gliederungszahlen: Eine Reihe von Teilgrößen wird auf eine übergeordnete Größe als gemeinsame Basis bezogen. Beispiele: relative und prozentuale Häufigkeiten, Umsatz Ware A Gesamtumsatz 100 b) Beziehungszahlen: Zwei verschiedenartige, aber in sachlich sinnvoller Beziehung stehende Größen werden zueinander ins Verhältnis gesetzt. Beispiele: Kapitalumschlag := Jahresumsatz durchschnittlich investiertes Kapital Kraftfahrzeugdichte in BW := Zahl der in BW zugelassenen Kraftfahrzeuge Bevölkerungszahl von BW Stromverbrauch Produktion c) Messzahlen: Eine Reihe gleichartiger Größen wird auf dieser Größen (oder auf einen Durchschnitt) als gemeinsame Basis bezogen. Beispiele: Brutto-Sozialprodukt im Jahre... Brutto-Sozialprodukt im (Bezugs-)Jahr Arbeitslosenzahl im Monat... Arbeitslosenzahl im Jahresdurchschnitt 100 Zahl der Arbeiter in der Fertigung Zahl der Angestellten in der Fertigung 100 Bem: Gliederungs- und Messzahlen werden meist in % angegeben Beispiel Jahr Produktion Meßzahl in % Meßzahl in % Wachstumsin t 1991 = = 100 rate in % (Es wurde auf ganze % gerundet) Wachstumsrate(in %) := Differenz zum Vorjahr Wert im Vorjahr

3 Beispiel Die Aussage Der Platz neben dem Fahrer im PKW ist bei einem Unfall am gefährlichsten beruht auf der Berechnung der folgenden Gliederungszahl Prozentuale Häufigkeit der Verkehrsopfer auf dem Platz neben dem Fahrer = Zahl der Verkehrsopfer auf dem Platz neben dem Fahrer Zahl der Verkehrsopfer insgesamt 100 Eine bessere Auskunft über den Unfallrisiko liefert der Vergleich der Beziehungszahlen: Prozentuale Häufigkeit der Verkehrsopfer auf dem Platz i Prozentuale Häufigkeit der Besetzung des Platzes i Beispiel 4.2.3: Illustration zur Verkleinerung des Ausfuhr-Koeffizienten bei der Zusammenfassung von Wirtschaftsgebieten : Situation 1: 2 Staaten mit BSP (= Bruttosozialprod.) von je 100 Einheiten: Abb Ausfuhr-Koeffizient := Ausfuhr BSP 100 = 20(%) bei beiden Staaten Situation 2: Bundesstaat aus den beiden Staaten: Ausfuhr Koeffinzient = Bsp für die Standardisierung von Maß bzw. Verhältniszahlen 100 = 15(%) Wohl- Mtl. Gesamtausgabe Anteil d. Ernährungs- Aufgliederung d. Gesamtausgaben stands- pro Vollperson ausgaben in % nach Wohlstandsstufen in % stufe von... bis unter... Arbeiter Angestellte Arbeiter Angestellte i (in ÖS) (Ei 1/G1 i ) 100 (E2 i /G2 i ) 100 g1 i 100 g2 i unter ab Diese Daten stammen aus einer Konsumerhebung in Wien von 1954/55. Erklärung der Größen in Bsp 4.2.4: 19

4 G 1 i G 2 i := Gesamtausgaben der Arbeiter in Wohlstandsstufe i := Gesamtausgaben der Angestellten in Wohlstandsstufe i g 1 i := Gesamtausgaben der Arbeiter in Wohlstandsstufe i Gesamtausgaben der Arbeiter insgesamt = G1 i 11 G 1 j j=1 g 2 i E 1 i E 2 i := Gesamtausgaben der Angestellten in Wohlstandsstufe i Gesamtausgaben der Angestellten insgesamt := Ernährungsausgaben der Arbeiter in Wohlstandsstufe i = G2 i 12 G 2 j j=1 := Ernährungsausgaben der Angestellten in Wohlstandsstufe i Durchschnittliche Anteile der Ernährungsausgaben: Arbeiter: g 1 Ei 1 i G 1 i = 52.5(%), Angestellte: gi 2 E 2 i G 2 i = 44.6(%). Im letzten Summanden der ersten Summe ist E12 1 /G1 12 nicht erklärt. Trotzdem kann man ihn wegen g12 1 = 0 ebenfalls = 0 setzen. Problem: Wie kann man aus dieser Tabelle bei Arbeitern und Angestellten ein Maß für den unterschiedlichen Anteil der Ernährungsausgabe errechnen, das nicht von der Verschiedenheit der Wohlstandsstruktur abhängt? M.a.W.: Wie hoch wären etwa die durchschnittlichen Anteile der Ernährungsausgaben, wenn bei Arbeitern und Angestellten die gleiche Verteilung auf die einzelnen Ausgabenklassen vorläge? Um ein solche Maß zu bekommen, muss man die unterschiedliche Wohlstandsstruktur künstlich eliminieren: Man fixiert eine bestimmte Wohlstandsstruktur, d.h. man ordnet jeder Ausgabeklasse ein bestimmtes Gewicht g i zu und berechnet damit das gewogene arthrimetische Mittel (vgl. (3.1.3)) aus den Anteilen der Ernährungsausgaben bei den Arbeitern bzw. Angestellten: (4.2.1) 12 g i E 1 i G 1 i bzw. 12 g i E 2 i G 2 i mit g i 0 und 12 g i = 1. Wie sind nun Gewichte g i geeignet zu wählen? (G 1 i,g2 i sind hier keine Gewichte). Eine Möglichkeit ist, für g i die Wohlstandsstruktur der Arbeiter zugrunde zu legen, d.h. g i = gi 1 zu wählen: (4.2.2) g 1 Ei 1 i G 1 i = 52.5(%), gi 1 E 2 i G 2 i = 49.4(%) Dieses besagt: Wenn bei den Angestellten die gleiche Vert. auf die einzelnen Ausgabeklassen vorläge wie bei der Arbeitern, würden sie im Durchschnitt 49.4% für Ernährung ausgeben, während die Arbeiter 52.5% ausgeben. Der Unterschied zwischen Arbeitern und Angestellten ist also zu einem beträchtlichen Teil echt, d.h. nicht bloß auf Unterschiede in der Wohlstandsverteilung zurückzuführen. Eine weitere Möglichkeit wäre, g i = gi 2 zu wählen, also die Wohlstandsstruktur der Angestellten zugrunde zu legen. Dann gibt es aber bei diesem Beispiel Schwierigkeiten mit dem letzten Summanden in der ersten Summe in (4.2.1), weil der nicht erklärte Wert E12 1 /G1 12 mit einem Faktor g 12 0 multipliziert würde. 20

5 4.3 Einführung der verschiedenen Indizes Indizes (=Indexzahlen) charakterisieren den Verlauf mehrerer sachlich zusammengehörender Reihen in einer Zahlenreihe. Allgemeine Bezeichnungen: n: Anzahl der Warenarten q 0,k : Menge der k-ten Warenart im Basisjahr p 0,k : Preis der k-ten Warenart im Basisjahr pro ME q j,k : Menge der k-ten Warenart im j-ten Berichtsjahr p j,k : Preis der k-ten Warenart im j-ten Berichtsjahr pro ME Beispiel 4.3.1: Produktion eines Kleinbetriebes: Warenart Basisjahr 1. Berichtsjahr 2. Berichtsjahr k Menge Preis pro ME Menge Preis pro ME Menge Preis pro ME q 0, k p 0, k q 1, k p 1, k q 2, k p 2, k ME:=Mengeneinheit Wertindex (z.t. = Umsatzindex): (4.3.1) W 0,j := p j,k q j,k 100 p 0,k q 0,k neuer Preis neue Menge alter Preis alte Menge 100) Der Wertindex beschreibt die Änderung des Gesamtwertes (z.b. Umsatz) Preisindex nach Laspeyres: (4.3.2) L P 0,j = p j,k q 0,k 100 p 0,k q 0,k Beschreibung der Preisänderung auf der Basis der alten Mengen Preisindex nach Paasche: (4.3.3) P P 0,j = p j,k q j,k 100 p 0,k q j,k Beschreibung der Preisänderung auf der Basis der neuen Mengen Mengenindex nach Laspeyres: (4.3.4) L Q 0,j = p 0,k q j,k 100 p 0,k q 0,k neuer Preis alte Menge alter Preis alte Menge 100) neuer Preis neue Menge alter Preis neue Menge 100) alter Preis neue Menge alter Preis alte Menge 100) Beschreibung der Produktionsentwicklung auf der Basis der alten Preise 21

6 Mengenindex nach Paasche: (4.3.5) P Q 0,j = p j,k q j,k 100 p j,k q 0,k neuer Preis neue Menge neuer Preis alte Menge 100) Beschreibung der Produktionsentwicklung auf der Basis der neuen Preise Vorteil der Indizes nach Laspeyres: feste Bezugsgrößen Vorteil der Indizes nach Paasche: aktuelle Bezugsgrößen Bem.: Statt Jahren werden häufig andere Zeitabschnitte oder Perioden gewählt wie z.b. Monate. 4.4 Besondere Indexprobleme Formale Eigenschaften I k,l sei einer in 4.3 eingeführten Indizes mit dem Berichtsjahr l bezogen auf das Basisjahr k (statt 0 wie oben). Die folgenden Regeln gelten (soweit sinnvoll) für Messzahlen exakt. Gelten sie auch für Indexzahlen? a) Zeitumkehrprobe: ( I 0,j)( I j,0) = 1? b) Rundprobe: ( I 0,j) = ( I 0,i)( I i,j)? c) Faktorumkehrprobe:( W 0,j) = ( P 0,j)( Q 0,j)? Die Faktorumkehrprobe prüft also, ob die für eine Warenart gültige Beziehung Umsatz = Preis Menge auch auf die entspechenden Indizes zu übertragen ist. Die Zeitumkehr- und Rundprobe gelten für den Wertindex, der eigentlich eine einfache Messzahl ist, exakt. Für die andere Indizes gelten sie i.a. nur näherungsweise. Ebenso gilt die Faktorumkehrprobe exakt, wenn für einen Index eine Laspeyres Formel und für den anderen eine Paasche Formel verwendet wird, sonst i.a. nur näherungsweise Einige Verfahren zur Behandlung von Indexreihen Bsp. für eine Umbasierung: Von 1963 bis 1970 seien Indizes mit dem Basisjahr 1962 berechnet, ab 1971 aber mit dem Basisjahr Um aber eine einheitliche Indexreihe zu bekommen, werden die Indizes auf das Jahr 1962 umbasiert. Dabei berechnet man die Näherung über Rundprobe: (4.4.1) I 1962,1971 I 1962,1971 := ( I 1962,1970)I 1970,1971 I 1962,1972 I 1962,1972 := ( I 1962,1970)I 1970,1972. Einführung einer neuen Warenart: Zu den bisherigen Warenarten kommt von dem Jahr j = 1 ab eine neue Warenart mit den folgenden Daten hinzu: p j,n+1, q j,n+1 mit j 1, q 0,n+1 = 0, p 0,n+1 ist sinnlos. Ohne Schwierigkeiten kann der Mengenindex nach Paasche gebildet werden: 22

7 p j,k q j,k +p j,n+1 q j,n+1 (4.4.2) PQ 0,j = 100 p j,k q 0,k +p j,n+1 q 0,n+1 }{{} =0 Der Mengenindex nach Laspeyres würde die sinnlose Größe p 0,n+1 enthalten. Das Gleiche gilt für den Preisindex nach Paasche. Andererseits berücksichtigt der Preisindex nach Laspeyres wegen q 0,n+1 = 0 die neue Warenart nicht und ist daher ab j = 2 nicht mehr brauchbar. Häufig berechnet man die Indizes nach folgende Formeln: (4.4.3) P 0,j = p 1,k q k 100 für j = 1 p j,k q k +p j,n+1 q n für j = 2,3,... +p 0,n+1 q n+1 mit dem festen Gewichtungsschema q 1,q 2,,q n+1 und dem fiktiven Preis für Warenart (n+1) in dem Jahr j = 0 (4.4.4) p 0,n+1 = p 1,n P 0,1 Diese Formel beruht auf der Annahme, dass die fiktiven Preisentwicklung der Warenart (n + 1) von 0 nach 1 genau gleich der gemeinsamen Preisentwicklung der bisherigen Warenarten 1,,n ist, dass also gilt: p 1,n+1! = p 0,n+1 P0,1 100 Bei der Mengengewichtung erscheint es zweckmäßig, in Anlehnung an die Laspeyres-Formel für q 1,...,q n die bisher verwendeten Gewichte beizubehalten und für q n+1 die Menge der neuen Warenart (n + 1) aus einem Jahr nach Beendigung die Übergangsphase zu übernehmen. Ist j = 0 als Basisjahr gewählt worden und ist die Übergangsphase auf das Jahr j = 1 beschränkt, so ergibt das die folgende Wahl der Mengengewichte. (4.4.5) q k = q 0,k für k = 1,...,n; q n+1 = q 2,n+1 Substitution: Bei Warenart n kommt von Jahr j = 0 zu Jahr j = 1 eine neue Qualität auf den Markt, die die bisher gängige Qualität verdrängt (Bsp.: neues Kfz.-Modell). Dabei sollen folgende Bezeichnungen für die Mengen bzw. Preise verwendet werden: Jahr 0 : n Warenarten mit q 0,k und p 0,k (k = 1,...,n) Jahr 1 : (n 1) Warenarten mit q 1,k und p 1,k (k = 1,...,n 1) Warenart n in der alten Qualität mit q 1,n und p 1,n Warenart n in der neuen Qualität mit ˆq 1,n und ˆp 1,n Jahr j(j 2) : (n 1) Warenarten mit q j,k und p j,k (k = 1,...,n 1) Warenart n in der neuen Qualität mit ˆq j,n und ˆp j,n Die durch die Qualitätsänderung bei n verursachte Preisänderung soll bei der Preisberechnung des Preisindexes eliminiert, also nicht als echte Preisänderung registriert werden. 23

8 (4.4.6) P 0,j = n 1 p 1,k q k +p 1,n q n n für j = 1 +p 0,n q n n 1 p j,k q k +ˆp j,n ˆq n n für j = 2,3,... +ˆp 0,n ˆqn q 1,...,q n bzw. q 1,...,q n 1, ˆq n sind feste Gewichtungsschemata mit q n als Bezugsmenge von Warenart n in der alten und ˆq n in der neuen Qualität, die durch folgenden fiktiven Preis ergänzt werden : (4.4.7) ˆp 0,n := ˆp 1,n p 0,n p 1,n Diese Formel beruht hier auf der Annahme, dass die fiktive Preisentwicklung für die Warenart n bei der neuen Qualität von 0 nach 1 genau gleich der (realen) Preisentwicklung bei der alten Qualität ist, dass also gilt: ˆp 1,n ˆp 0,n! = p 1,n p 0,n Bei der Mengenentwicklung erscheint es wie oben zweckmäßig für q 1,...,q n die bisher verwendeten Gewichte beizubehalten und für ˆq n die Menge von Warenart n in der neuen Qualität aus einem Jahr nach Beendigung der Übergangsphase zu nehmen. Unter der gleichen Voraussetzungen wie oben ergibt das: (4.4.8) q k = q 0,k für k = 1,...,n; ˆq n = ˆq 2,n 4.5 Einige regelmäßig veröffentlichte Indizes a) Preisindex für die Lebenshaltung Eine Berechnungsgrundlage dieses Indexes ist der Warenkorb. Das ist die Bezeichnung für die Zusammenfassung aller Warenarten mit den zugehörigen durchschnittlichen Warenmengen bezogen auf einen Haushalt. Der Durchschnitt wird dabei über eine genau festgelegte Verbrauchgruppe gebildet, z.b. über aller privaten Haushalte oder über alle 2-Personen-Haushalte von Renten- und Sozialhilfeempfängern. Zur Ermittlung der Preise der Waren aus dem Warenkorb muss eine gesonderte statistische Untersuchung durchgeführt werden. b) Index der Großhandelspreise c) Index der industriellen Bruttoproduktion Bei diesem Index werden Mengen mit Bruttoproduktionswerten pro ME (= Mengeneinheit) gewichtet. Bruttoproduktionswert = wirtschaftl. Umsatz + Bestandsveränderungen an Halbfertig- und Fertigerzeugnissen + selbsterstellte Anlagen d) Index der industriellen Nettoproduktion Hier werden Mengen mit Nettoproduktionswerten pro ME gewichtet. 24

9 Nettoproduktionswert = Bruttoproduktionswert Materialverbrauch vergebene Lohnarbeiten bezogene Handelsware Ein noch bessere Maß für die Eigenleistung ist die Wertschöpfung, die aber wegen des wesentlich höheren Erhebungsaufwandes in d) nicht verwendet wird. Wertschöpfung = Nettoproduktionnswert sonst. Vorleistungen Abschreibung indirekte Steuern zuzüglich Subventionen 4.6 Subindizes Im Statistischen Jahrbuch für die BRD werden neben dem allgemeinen Preisindex für die Lebenshaltung Subindizes für einzelne Verbrauchsgruppen veröffentlicht, und zwar (nach einer früheren Systematik) für Ernährung, Getränke und Tabakwaren, Wohnung, Heizung und Beleuchtung, Hausrat, Bekleidung, Reinigung und Körperpflege, Bildung und Unterhaltung, Verkehr. (Für die neue Systematik vgl. neuere Ausgaben des Stat. Jahrbuchs). Mit diesen Subindizes kann die Berechnung des Gesamtindexes etwas vereinfacht werden, wenn man die Anteile der einzelnen Verbrauchsgruppen an den Gesamtausgaben für die Lebenshaltung kennt. Wie das geschieht, soll für die Aufteilung in zwei Verbrauchsgruppen I und II durchgeführt werden, die die Warenarten 1,...,m bzw. (m + 1),...,n enthalten sollen. Mit dieser Aufteilung kann der Gesamtpreisindex P 0,j z.b. für j = 1 in folgender Weise umgerechnet werden, wobei q 1,...,q n feste Bezugsmengen sein sollen P 0,1 = m p 1,k q k + p 1,k q k k=m+1 = m m p 1,k q k + m k=m+1 k=m+1 k=m+1 p 1,k q k Die jeweils zweiten Brüche in den beiden Summanden sind gerade die Preisindizes für die Verbrauchsgruppen I und II, die wir mit P 0,1 bzw. P 0,1 bezeichnen. Sie sind also Subindizes. Die jeweils ersten Brüche lassen sich als die Anteile der Verbrauchsgruppen I und II an den (u. U. fiktiven) Gesamtausgaben deuten. Diese Anteile bezeichnen wir mit g bzw. g. Das ergibt für j = 1 und analog für allgemeine j: (4.6.1) P 0,j = g P 0,j + g P 0,j Wegen der Eigenschaften g,g 0 und g + g = 1 ist (4.6.1) ein gewogenes arithmetisches Mittel (vgl (3.1.3)), mit dem man hier und analog für den Fall von mehr als zwei Verbrauchsgruppen aus den Subindizes und den Ausgabenanteilen den Gesamtindex berechnen kann. Die Berechnung der Subindizes erfolgt z. T. deshalb, weil sie ein gewisses Interesse besitzen, z. T. auch deshalb, weil gewisse Manipulationen (Änderungen im Gewichtungsschema, Substitutionen usw.) durch das Vorhandensein von Subindizes erleichtert werden. Subindizes sind nicht auf die behandelte Anwendung beschränkt, sondern auch auf andere Bereiche anwendbar. 25