Vereinbarungen zur Vereinheitlichung von Sprech- und Schreibweisen im Mathematikunterricht im Sekundarbereich I und II

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1 Vereinbarungen zur Vereinheitlichung von Sprech- und Schreibweisen im Mathematikunterricht im Sekundarbereich I und II Vorbemerkungen: "Will Schulmathematik mehr als ein System aus Rezepten und Regeln sein, darf man sich nicht dem Postulat der Eindeutigkeit und Exaktheit mathematischer Fachsprache in Gestalt der Darbietung verschreiben." 1 In Anlehnung an dieser fachdidaktisch aktuellen Prämisse hat die Fachkonferenz Mathematik folgende Sprech- und Schreibweisen festgelegt. Übergreifend berücksichtigen die Vereinbarungen u. a. folgende Aspekte: Bei zu viel Formalismus könnten die Schülerinnen und Schüler von den eigentlichen mathematischen Sachverhalten abgelenkt werden. Vereinfachungen dürfen nicht zu mathematisch falschen Bezeichnungen führen. Die Vorgaben des Kerncurriculums werden umgesetzt. Die Schreibweisen des eingeführten Buches werden verwendet. Die Verwendung der vereinbarten Schreibweise soll für die Schülerinnen und Schüler nicht im Mittelpunkt ihrer Überlegungen stehen. Über kleine Unkorrektheiten besonders in Klassenarbeiten kann jahrgangsbezogen hinweggesehen werden. Punktabzug muss bei Verstößen gegen Schreib- und Sprechweisen erfolgen, wenn diese aktueller Unterrichtstoff waren. Ansonsten erfolgt Punktabzug nur bei hartnäckigen und wiederholten Verstößen. Zur Fehlervermeidung/-erkennung ist es sinnvoll in der Mittelstufe Grundbefehle, z.b. Intersect, zu verwenden. Das gilt auch für Q1 und Q, führt dort aber nicht zum Punktabzug. Die Vereinbarungen: 1. Äquivalenzzeichen und Implikationspfeile brauchen nicht mehr verwendet werden. Äquivalente Gleichungen werden untereinander geschrieben.. Bei der Lösung quadratischer Gleichungen wird folgende Schreibweise verwendet: Bei p/q-formel: x 1/ = -1 5 x 1 = 4, x = -6 Bei quadr. Ergänzung: (x + 1) = 5 x + 1 = 5 oder x + 1 = -5 bzw. x +1 = 5 v x +1 = -5 Alternativ: x 1/ + 1 = 5 (Falls SuS die Indizes nicht schreiben, kein Punktabzug) x 1 = 4, x = Lineare Gleichungssysteme werden mit dem Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren gelöst. Die Schreibweise ist analog dem Lehrwerk ab Klasse Bei Funktionen muss auf die Unterscheidung der Begriffe Funktionsvorschrift/Funktionsgleichung, Punkt/Koordinaten, Gerade/Geradengleichung geachtet werden. Es wird erwartet, dass wir Lehrkräfte Schreib- und Sprechweisen korrekt anwenden und von den SuS einfordern. Funktionsgraphen können mit G f, der Funktionsgleichung, dem Funktionsterm o.ä. beschriftet werden. Folgende Schreibweisen können (nicht) verwendet werden: Richtig: Die Funktion f mit (der Gleichung) f(x) = x oder die Funktion f: x x 1 Hußmann, Stephan: "Umgangssprache - Fachsprache" S.73 in: "Mathematik Didaktik - Praxishandbuch für die Sekundarstufe I und II", hrsg. v. Timo Leuders, Berlin 003.

2 Richtig: Die Funktion f(x) = x ² ist auch möglich. Richtig: Ich setze die Koordinaten in die Funktionsgleichung ein. Falsch: Ich setze den Punkt in die Funktionsgleichung. Richtig: Der Graph nähert sich der Asymptote mit der Gleichung y = 6. Falsch: Der Graph strebt gegen 6. Richtig: Die Funktionswerte streben gegen 6. Falsch: Der Graph strebt gegen 6. Richtig: Der Flächeninhalt zwischen den Graphen der Funktionen f und g. Richtig: Der Flächeninhalt zwischen den Graphen von f(x) und g(x). 5. In der analytischen Geometrie ist deutlich zwischen Punkt und dessen Ortvektor zu unterscheiden. Beispiel: Richtig: Einsetzen des Ortsvektors des Punktes P für x in die Parametergleichung. Falsch: Einsetzen des Punktes P. Richtig: Gleichsetzen des Geraden- und des Ebenenterms Falsch: Gleichsetzen von Geraden- und Ebene. Noch falscher : E = g, aber E: x = g: x ohne Punktabzug. 6. Die konsequente Unterscheidung von Strecken und Streckenlängen in der Schreibweise erscheint nicht sinnvoll, da die Schülerinnen und Schüler dadurch vom Wesentlichen abgelenkt werden könnten. Im Übrigen unterscheidet auch das eingeführte Buch nicht konsequent zwischen diesen Begriffen. Folgende Schreibweisen sollen benutzt werden: Gerade AB, Strecke AB, aber auch Streckenlänge AB (statt korrekterweise AB ), Strecke a, aber auch Streckenlänge a, Winkel, aber auch Winkelmaß. Beispiel: Strecke AB mit der Länge AB = 5 cm, Strecke c mit der Länge c = 5 cm oder Winkel mit dem Winkelmaß = 50 o. 7. Bei Berechnungen bezeichnen Variable grundsätzlich eine Größe (Maßzahl und Maßeinheit). Beim Einsetzen und Berechnen wird die Maßeinheit nicht geschrieben. Im Antwortsatz ist die Maßeinheit verbindlich anzugeben. Beispiel: Gegeben: Oberfläche eines Würfels O = 7 cm 3. Gesucht: Kantenlänge a. Lösung: O = 6a, a = 1 6 O, a = 1. O 6 (Für O kann auch gleich der Wert 7 eingesetzt werden.) (Gleichungen gemäß Punkt 1. untereinander schreiben.) Wenn eine Variable nur eine Maßzahl bezeichnen soll, muss dies durch eine geeignete Definition klar gemacht werden. Beispiel: Gegeben: Flächeninhalt und Umfang eines Rechtecks A = 00 cm und u = 60 cm. Gesucht: Länge und Breite des Rechtecks. Lösung: Definition der Variablen Länge sei x, Breite sei y. Gleichungssystem (x + y) = 60 xy = 00 Schlusssatz: Das Rechteck ist 10 cm breit und 0 cm lang. 8. Bei Grenzwertberechnungen sollen Schreibweisen wie z.b. 1, 1 o. Ä. nicht verwendet werden 0 (kein Punktabzug). f x x oder ( ), wennn möglich. Dagegen ist z.b. lim f x oder x

3 9. Beim Kürzen von Brüchen darf eine zu dividierende Zahl durchgestrichen und der Quotient darüber bzw. darunter geschrieben werden. Dann muss der Bruch jedoch neu geschrieben werden. Beispiel: = = = Besonders bei Kurvendiskussionen, aber auch sonst, muss zwischen Punkt und Stelle unterschieden werden. Als Name eines Punktes ist nur ein Großbuchstabe (gegebenenfalls mit Index) möglich. Beispiele: Extremstelle ist x = 1. Extrempunkt liegt bei x = 1. T 1 ( 1 ) ist ein Tiefpunkt. H ( 1, -3,4) ist ein Hochpunkt, wenn die Koordinaten gerundet sind. HP( 3 4) HP= (3 4) Die Schreibweisen mit Rundungs- oder Gleichheitszeichen werden bezüglich der Fachsprache angemerkt; es erfolgt kein Punktabzug. 11. Mengensymbole mit Klammern z.b. { Q} sind falsch (ohne Punktabzug). 1. Zur Bezeichnung der Koordinatenachsen sind neben x-achse und y-achse auch 1. Achse und. Achse möglich. Abszisse und Ordinate sowie Rechts- und Hochachse können ebenfalls verwendet werden. 13. Bei Winkelberechnungen aus trigonometrischen Gleichungen ist folgende Schreibweise zu verwenden: sin = 0,8 53,1 o Folgende Schreibweisen sind möglich: = sin -1 (0,8) und: α = arcsin (0,8)) 14. Bereits ab der 5. Klasse sollen die Schülerinnen und Schüler angeleitet werden, sofern es sinnvoll und nötig ist (Textaufgaben) einen begleitenden Text zu schreiben. Fehlender Text ist dem Jahrgang angemessen mit Punktabzug zu belegen. Das Motto sollte sein: Keine Rechnung beginnt mit einer Rechnung, sondern mit einem Text!

4 -Dokumentationen Grundsatz: Der mathematische Ansatz ist aufzuschreiben (falls möglich) Weitere Beispiele sind dem Artikel: Was der so alles kann zu entnehmen (zu finden im Ordner im Lehrerzimmer oder auf der Homepage). Beispiel Flächenberechnung: Es reicht nicht: Berechnet mit, nd CALC 7: Davor muss stehen: A 3 f x dx f x dx Es ist nicht sinnvoll, die zur Lösung verwendeten -Menüs mit Untermenü aufzuschreiben. Der Taschenrechner sollte als sinnvolles Hilfsmittel zur Lösung von mathematischen Problemen dienen. Der Umgang mit dem Rechner und den entsprechenden Funktionen ist im Unterricht entsprechend des schuleigenen Arbeitsplanes (auf Grundlage der Kerncurricula) einzuüben, so dass diese Fertigkeit nicht in Klassenarbeiten gesondert dokumentiert werden muss. Es sollte lediglich die Verwendung des s gekennzeichnet werden. Hierzu werden Beispielaufgaben angeführt:

5 1. Analysis: Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f mit der Gleichung f x x 1 und die x-achse über dem Intervall [0;] einschließen. Mögliche Lösung: Der Graph der Funktion hat im gegebenen Intervall die Nullstelle x=1 (mögliche Begründungen: Betrachtung mit dem, Nullstellenberechnung (ist hier nicht ausdrücklich gefordert (z.b. Berechnen Sie algebraisch), fachliche Argumentation (der Graph entspricht einer nach oben geöffnete Normalparabel, die um eine Einheit nach unten verschoben wurde, ). Um den Flächeninhalt berechnen zu können, muss der negativ orientierte Flächeninhalt im Intervall [0;1] mit -1 multipliziert werden: A 1 0 f xdx f xdx 1 Der zwischen dem Funktionsgraphen und der x-achse eingeschlossene Flächeninhalt entspricht FE. Alternativ: Um unabhängig von möglichen Nullstellen eine positive Flächenorientierung zu gewährleisten, wird der Betrag der Funktion f im Folgenden betrachtet: A 0 f xdx Der zwischen dem Funktionsgraphen und der x-achse eingeschlossene Flächeninhalt entspricht FE.. Stochastik: Eine (faire) Münze wird fünfmal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man a. genau zweimal Wappen? b. höchstens zweimal Wappen? c. mindestens einmal, aber höchstens dreimal Wappen? Mögliche Lösung: Weil bei diesem Zufallsexperiment lediglich die Unterscheidung zwischen zwei möglichen Ereignissen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit erfolgt, handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment der Länge n=5. Die Zufallsgröße X sei folglich binomialverteilt mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,5 und ist wie folgt definiert: X: Anzahl der Würfe mit dem Ergebnis Wappen n = 5; p = 0,5 Zu a: P X 0, 315 Die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal Wappen zu werfen, beträgt 31,5%. Zu b: P 0, 5 X Die Wahrscheinlichkeit, höchstens zweimal Wappen zu werfen, beträgt 50%. Zu c: P 1 X 3 PX 3 PX 0 0, 8150, , 7813 Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal, aber höchstens dreimal Wappen zu werfen, beträgt ungefähr 78%.

6 Alternativ: Weil bei diesem Zufallsexperiment lediglich die Unterscheidung zwischen zwei Möglichen Ereignissen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit erfolgt, handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment der Länge n=5. Die Zufallsgröße X sei folglich binomialverteilt mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,5 und ist wie folgt definiert: X: Anzahl der Würfe mit dem Ergebnis Wappen Zu a: P X binompdf 5; 0, 5; 0, 315 Die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal Wappen zu werfen, beträgt 31,5%. Zu b: P X binomcdf 5; 0, 5; 0, 5 Die Wahrscheinlichkeit, höchstens zweimal Wappen zu werfen, beträgt 50%. Zu c: P 1 X 3 PX 3 PX 0 binomcdf 5; 0, 5; 3 binomcdf 5; 0, 5; 0 0, 8150, , 7813 Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal, aber höchstens dreimal Wappen zu werfen, beträgt ungefähr 78%. Anmerkung: Die zusätzliche -Notation ermöglicht eine zusätzliche Fehlerkontrolle für Schülerinnen/Schüler und Lehrerinnen/Lehrer! Dabei ist es auch gestattet, die deutschen - Anweisungen zu verwenden, sofern diese Software werksseitig auf dem Taschenrechner installiert wurde. Analog gelten die Vereinbarungen bei der Normalverteilung. 3. Vektorgeometrie Lineare Algebra: Untersuchen Sie, ob die Gerade g und die Ebene E mit den Gleichungen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Schnittpunkte miteinander haben und berechnen Sie ggf. dessen Koordinaten. Mögliche Lösung: Annahme: Es gibt einen Schnittpunkt Gleichsetzen des Geraden- und Ebenenterms: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) LGS aufstellen:

7 Diese Gleichungen lassen sich entweder als Koeffizientenmatrix A oder als lineares Gleichungssystem (LGS) darstellen, welche mit dem diagonalisiert werden: liefert Lösungsmatrix: r -6 s = - 1 t Man erkennt, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Das bedeutet, dass die Gerade mit der Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt hat. Den Ortsvektor zum Schnittpunkt S erhält man mit den Parametern r=-6 bzw. s=-1 und t=3. Der Ortsvektor zum Schnittpunkt S lautet: = Der Schnittpunkt S hat die Koordinaten 3 / 8/ 1 S. 4. Lineare Algebra: a. Lösen eines linearen Gleichungssystems Löse das LGS: i ii iii x y 3z 5 x 5y z 10 x 3y z Mögliche Lösung (Alternative siehe oben): Das lineare Gleichungssystem lässt sich als Koeffizientenmatrix auffassen, welches mit dem diagonalisiert wird. liefert Lösungsmatrix: ( ) HINWEIS: Der Trennungsstrich (durchgehend oder gestrichelt) ist eine sinnvolle Hilfestellung für die Schülerinnen und Schüler zur Orientierung. In der letzten Zeile ist eine falsche Aussage 0 z 1 zu erkennen, was bedeutet, dass dieses lineare Gleichungssystem nicht lösbar ist. Ebenfalls richtig: 0 = 1 führt zu einem Widerspruch, d. h. das LGS ist nicht lösbar. Ansonsten: Das LGS ist lösbar durch x=, y= und z=

8 b. Übergangsmatrizen Das folgende Pfeildiagramm beschreibt in modellhafter Vereinfachung die Entwicklung einer aus Käfern, ihren Eiern und deren Larven bestehende Population. Die Entwicklung eines Käfers gehe so vor sich: Aus den Eiern schlüpfen nach einem Monat Larven und nach einem weiteren Monat werden diese zu Käfern, die dann wieder Eier legen und anschließend sterben. Aus einem Viertel der Eier werden Larven, die anderen drei Viertel werden von Tieren gefressen oder verenden. Von den Larven wird die Hälfte Käfer, die andere Hälfte stirbt. Jeder Käfer legt 8 Eier. Die Population besteht anfangs aus 40 Eiern, 0 Larven und 1 Käfern. Untersuchen Sie die Population über die nächsten 9 Monate. Was fällt dabei auf? Mögliche Lösung: Mit der Anfangsverteilung ( ) und der Übergangsmatrix den n-ten Verteilungsvektor über A 0, berechnet man 0 0, 5 0 Mit dem ermittelt man die Verteilungsvektoren: ( ) ; ( ); ( ) ; ( ) Man erkennt, dass sich die Anfangsverteilung nach drei Monaten wiederholt, was sich auch mit dem bestätigen lässt: A E (Einheitsmatrix) Es gilt: ; ; Folgende Schreibweise bei der Grenzmatrix ist erlaubt:

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