Die Entstehung der Jahreszeiten - dargestellt mit Geogebra 1

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1 Jahreszeiten 1 Die Entstehung der Jahreszeiten - dargestellt mit Geogebra 1 Bevor die Entstehung der Jahreszeiten und die Umsetzung in der GeoGebra-Simulation beschrieben werden, sind hier zunächst noch einmal gängige Fehlvorstellungen der Schüler aufgelistet. Diese müssen im Unterricht bzw. dessen Planung besonders berücksichtigt werden, da sie bis zu Beginn des Astronomie-Unterrichts in der 10. Klassen in den Köpfen der Schüler fest verankert sind. Gängige Fehlvorstellungen 1. Die Sonne strahlt im Sommer intensiver bzw. heller als im Winter. Dies ist eine Fehlvorstellung die jeder Schüler in den Sommerferien entwickeln kann, denn gerade in den Sommermonaten warnen das Fernsehen, Eltern oder Großeltern vor der besonders gefährlichen, intensiven Sonnenstrahlung und mahnen zu besonderem Sonnenschutz. Es gilt hier zu betonen, dass die Leuchtkraft der Sonne selbstverständlich über das gesamte Jahr hinweg konstant bleibt. Würde sich die Leuchtkraft der Sonne ändern wäre die Gegensätzlichkeit der Jahreszeiten auf Nord- und Südhalbkugel nicht erklärbar. Wir werden später sehen, wie es zur intensiveren Strahlung kommt und was man darunter verstehen muss. 2. Im Sommer ist der Anteil energiereicher UV-Strahlung höher und deshalb ist es auf der Erde heißer. Auch diese Fehlvorstellung passt zu obiger Erklärung und ist, wie der Name sagt falsch, da sich die spektrale Energieverteilung der Sonne über das Jahr hinweg nicht ändert. 3. Die Erde befindet sich auf einer elliptischen Umlaufbahn und ist deshalb im Sommer näher an der Sonne. Auch mit dieser Fehlvorstellung lässt sich die Gegensätzlichkeit der Jahreszeiten auf der Nord- und Südhalbkugel nicht erklären. Außerdem wäre der Effekt aufgrund der sehr geringen Exzentrizität der Erde (e Erde = 0, 017) nicht ausreichend groß. Legt man das quadratische Abstandsgesetz zugrunde, so gilt für den Fluss im Perihel F P erihel ( ) 2 raphel F P erihel = F Aphel = F Aphel r P erihel ( ) 1 + e 2 = 1, 03 F Aphel. (1) 1 e Der Fluss ist somit im sonnennächsten Punkt, dem Perihel nur etwa 3% höher als im Aphel. Erklärung Die Erde umkreist die Sonne in der Ekliptikebene. Auch die Sonne ist Teil dieser Ebene. Wir wollen die Erdbahn hier als Kreisbahn annähern. Die Rotationsachse der Erde steht nicht senkrecht zur Ekliptik, sondern ist um einen Winkel von ɛ = 23, 5 geneigt. Wir vernachlässigen an dieser Stelle Effekte wie Präzession und Nutation, da sich beide erst in einem Zeitraum t 1 Jahr bemerkbar machen und somit zur Erklärung der Jahreszeiten nicht relevant sein können. Deshalb ist die Lage der Erdachse im Raum ortsfest (vgl. Abb. 1). Alle nachfolgenden Erklärungen beziehen sich auf die Nordhalbkugel (NHK) und falls explizit notwendig auf die geographische Breite von Jena (ϕ Jena = 51 ). Wir wollen unsere Betrachtungen mit einem Blick von außen 1 GeoGebra - Dynamic Mathematics for Everyone -

2 Jahreszeiten 2 auf das Sonnensystem beginnen, dann die Erde in den Mittelpunkt des Äquatorialsystems und letztlich den Beobachter in den Mittelpunkt des Horizontsystems setzen 2. Anschließend soll die physikalische Erklärung für die Entstehung der Jahreszeiten gegeben werden. Der Blick von Außen Zur Erklärung der Jahreszeiten betrachten wir unsere Sonnensystem, bzw. das System Erde-Sonne zunächst von außen. In Abbildung 1 ist die Erdachse im Sommer auf die Sonne zu- und im Winter von dieser weg geneigt. In beiden Fällen um den Winkel ɛ. Im Frühling und im Herbst neigt sich die Erdachse nicht in Richtung der Sonne, da die Achse dann in tangentialer Richtung zur Kreisbahn geneigt ist. Dazwischen kommen kontinuierlich alle Neigungswinkel β vor. Beginnend im Winter β W = ɛ = 23, 5 wird der Betrags des Neigungswinkels kleiner, bis dieser im Frühling, bzw. genau zu Frühlingsanfang null wird. Anschließend wächst der Winkel weiter, bis die Erdachse zu Sommeranfang maximal auf die Sonne zugeneigt ist β S = ɛ = 23, 5. Anschließend nimmt der Neigungswinkel wieder ab bis zum Herbstanfang β = 0, usw.: β W = 23, 5 β F = 0 β S = 23, 5 β H = 0 Frühling auf der NHK ε Sommer auf der NHK Sonne Winter auf der NHK Erdachse Erde Herbst auf der NHK Abbildung 1: Entstehung der Jahreszeiten 1 Im Äquatorialsystem Die Erde sitzt im Mittelpunkt des Äquatorialsystems. Die Grundebene ist bestimmt durch den Erd- bzw. den Himmelsäquator. Die Sonne befindet sich nach wie vor in der Ebene der Ekliptik. Da die Erdachse senkrecht auf die Äquatorebene steht, die Erdachse aber gegenüber der Ekliptik geneigt ist, befindet sich auch zwischen Ekliptik- und Äquatorebene ein Winkel von ɛ = 23, 5 (vgl. Abb. 2). Während sich tatsächlich natürlich die Erde um die Sonne bewegt, umläuft im Äquatorialsystem im Laufe eines Jahres die Sonne die Erde. Da dies innerhalb der Ekliptik geschieht, ändert sich die Deklination der Sonne δ kontinuierlich. Dies geschieht analog dem zuvor beschriebenen Neigungswinkel β: δ,w = 23, 5 δ,f = 0 δ,s = 23, 5 δ,h = 0 2 Sicherlich könnte man auch den umgekehrten Weg, beginnend mit den eigenen Beobachtungen im Horizontsystem, über das Äquatorialsystem, bis hin zum gedanklichen Blick von außen auf das Sonnensystem gehen.

3 Jahreszeiten 3 P N Herbst auf der NHK Sommer auf der NHK δ,sommer δ,winter Winter auf der NHK ε Frühling auf der NHK HÄ Abbildung 2: Entstehung der Jahreszeiten 2 Im Horizontsystem Betrachten wir nun dieses Problem aus dem Horizontsystem eines Beobachters auf der Nordhalbkugel. Die obere Kulmination eines Gestirns bzw. der Sonne findet beim Durchgang durch den Nord-Süd-Meridian im Süden statt. Die Höhe der Kulmination hängt dabei von der geographischen Breite ϕ und der Deklination δ des Objektes ab h ok = 90 ϕ + δ. (2) Wir wissen bereits, dass sich die Deklination der Sonne im Laufe eines Jahres kontinuierlich ändert. Demnach muss sich auch die Höhe der oberen Kulmination in analoger Weise ändern. Für Jena ergibt sich so: h,w = 15, 5 δ,f = 39 δ,s = 62, 5 δ,h = 39 Dies ist in Abbildung 3 dargestellt. Zudem ist der Tagbogen der Sonne im Sommer länger, als im Frühling und Herbst und diese wiederum länger als der Tagbogen im Winter. Z P N Sommer O Frühling / Herbst Winter N S W Abbildung 3: Entstehung der Jahreszeiten 3

4 Jahreszeiten 4 Physikalische Erklärung Aus physikalischer Sicht ändert sich lediglich der Einfallswinkel der Sonnenstrahlung zur Erdoberfläche (hier zunächst bezogen auf den Zeitpunkt der oberen Kulmination). Dadurch wird die Strahlung, die durch eine Einheitsfläche A 1 (z.b. 1 m 2 ) senkrecht zur Richtung der Strahlung tritt, auf unterschiedlich große Flächen A 2 auf der Erdoberfläche verteilt. Je geringer dabei der Einfallswinkel, desto größer ist die beleuchtete Fläche. Da der Einfallswinkel zum Zeitpunkt der Kulmination dem Winkel h ok entspricht, können wir schreiben A W > A F,H > A S. Genauer betrachtet besteht zwischen den beiden Flächen der Zusammenhang A 2 = A 1 sin h. (3) Sommer A 1= 1m 2 Winter A 1 = 1m 2 A 2,Sommer A 2,Winter Abbildung 4: Entstehung der Jahreszeiten 4 Unter Voraussetzung der Energieerhaltung können wir schreiben oder F 1 A 1 = F 2 A 2 (4) F 2 = F 1 sin h. (5) In (4) und (5) ist F der Strahlungsfluss mit der Einheit [W m 2 ]. Setzen wir in (5) die berechneten Winkel der oberen Kulmination ein, so erhalten wir F 2,W = 0, 27 F 1 F 2,F/H = 0, 63 F 1 F 2,S = 0, 89 F 1 Im Sommer ist der Fluss F 2,S etwa 3,3 mal so groß wie im Winter (F 2,W ). Anhand dieser Dimensionen sieht man bereits, dass die Eingangs angesprochene Variation des Flusses aufgrund der Exzentrizität mit etwa 3% nicht ausschlaggebend für die Entstehung der Jahreszeiten sein kann. Betrachten wir die Verhältnisse noch etwas genauer und berücksichtigen die unterschiedliche Längen der Tagbögen. Die Gesamtenergie die pro m 2 und Tag auf die Erdoberfläche trifft, berechnet sich dann als E = F 1 ˆ τu τ A sin h(t) dt. (6) Darin sind τ A und τ U die Stundenwinkel des Sonnenauf- bzw. untergangs. Beide ändern sich im Verlauf des Jahres. Die Zeitabhängigkeit der Sonnenhöhe h(t) ist durch die Sonnenscheinformel beschrieben. Eine ausführliche Diskussion der Zusammenhänge und Herleitung der Sonnenscheinformel findet man in [1]. Hier soll nur das Ergebnis (ebenfalls entnommen aus [1]) angegeben

5 Jahreszeiten 5 werden. Löst man das Integral aus (6) einmal für Sommer- und einmal für Winteranfang so erhält man die Energien E W = 1, 84 kw h m 2 und E S = 12, 03 kw h m 2. Zu Sommeranfang ist die aufgenommene Gesamtenergie etwa 6,5 mal so groß, wie zu Winteranfang. Die Entstehung der Jahreszeiten kann somit letztlich zurückgeführt werden auf die Neigung der Erdachse ɛ. Ohne diese Neigung würde sich der Neigungswinkel β, die Deklination der Sonne δ und letztlich der Einfallswinkel der Strahlung h im Laufe eines Jahres nicht ändern. Der Einfallswinkel wäre dann nur von der geographischen Breite des Beobachters abhängig. Die nachfolgend beschriebene GeoGebra-Simulation zeigt die jährliche Veränderung der von der Sonne beschienenen Fläche A 2 bei konstanter Fläche A 1. Umsetzung in Geogebra Die Simulation ist nur für mittlere geographische Breiten ( 66, 5 < ϕ < 66, 5 ) konzipiert, also Breiten bei denen die Sonne zu jeder Jahreszeit und an jedem Tag über dem Horizont auf- und wieder untergeht. Orte mit ϕ 66, 5 an denen es zur Polarnacht bzw. dem Polartag kommt werden nicht berücksichtigt. Aufgrund der größeren Querschnittsfläche der Sonne im Vergleich zur Erde und der großen Entfernung zwischen beiden, ist die Annahme die Sonne beleuchte die Erde mit einem Bündel paralleler Lichtstrahlen durchaus gerechtfertigt. In der Simulationen sind stellvertretend drei dieser parallelen Lichtstrahlen dargestellt (vgl. Abb. 5). Diese drei Strahlen treffen durch die Einheitsfläche A 1 auf die Fläche A 2 der Erdoberfläche. Erdachse A 2 A1 φ = 51 Äquator Abbildung 5: Die Simulation im Überblick Die Flächen A 1 und A 2 sind stark vergrößert dargestellt (man vergleiche die Einheitsfläche 1 m 2 mit den Dimensionen der Erdkugel).

6 Jahreszeiten 6 In der Simulation wird nur der Zeitpunkt der Kulmination betrachtet. Dann ist der Einfallswinkel der Strahlen auf die Fläche A 2 gleich der oberen Kulminationshöhe h ok und wird mit (2) berechnet. Betrachtet man Abbildung 6, so gilt h ok = 90 α, wobei für α gilt α = ϕ δ. Erdachse y 90 -α φ δ α=φ - δ x P 3 Δy 90 -α Δx(α) P 1 Äquator P 2 Abbildung 6: Erklärung der Winkel Die geographische Breite ist mittels eines Schiebereglers im Bereich 66, 6 ϕ 66, 5 variierbar. Die Deklination der Sonne wird durch eine Näherungsformel berechnet. Für den Zeitraum von Winteranfang zu Sommeranfang (0 N < 182) gilt δ,w S = 23, 5 + N (7) Dabei ist N die Anzahl der Tage. Für die andere Hälfte des Jahres (182 N 364) gilt. δ,s W = 70, 5 N (8) Der Parameter N wird als Schieberegler im Bereich 0 N 364 eingefügt. Zusammen mit dem nullten Tag ergibt sich so eine Jahreslänge von 365 Tagen. Die Fallunterscheidung N 182 oder N < 182 wird in GeoGebra mit einer Wenn-Funktion realisiert. Die Syntax des Befehls lautet: Wenn[Bedingung, dann, sonst]. In unserem speziellen Fall W enn [T age < 182, N , 70.5 N ]. (9) Wir fügen nun einen Punkt P 1 mit den Koordinaten (x B, y B ) für einen Beobachter B auf der Erdoberfläche ein. Die Koordinaten schreiben wir dann in Polarkoordinaten auf x B = R E cos α = R E cos(ϕ δ ) (10) y B = R E sin α = R E sin(ϕ δ ). (11) Den Erdradius R E setzen wir willkürlich auf 5 Skalenteile fest. Klickt man nun mit der rechten Maustaste auf den Schieberegler Anzahl der Tage N und klickt Animation ein, so verändert sich bereits die Orientierung des Beobachters zu den Sonnenstrahlen, oder anders ausgedrückt der Einfallswinkel der Strahlen. Als nächstes fügen wir die von der Sonne beschienene Fläche A 2 hinzu. Hierzu betrachten wir nochmals Abbildung 6, insbesondere die rechte Seite der Abbildung. Zur Darstellung der Fläche bzw. da wir alles von der Seite betrachten, zur Darstellung einer Seite der Fläche benötigen wir zwei weitere Punkte P 2 und P 3. Diese haben die Koordinaten (x B x, y B + y) und (x B + x, y B y). Der vertikale Abstand y ist durch den Abstand der drei Sonnenstrahlen

7 Jahreszeiten 7 bzw. die Einheitsfläche A 1 gegeben und willkürlich auf 0, 25 Skalenteile festgelegt. Der horizontale Abstand ist abhängig von δ. Wir bestimmen diesen mit Hilfe der Tanges-Funktion im eingezeichneten Dreieck zu x = y tan α = 0, 25 tan(ϕ δ ). (12) Fügen wir nun die zwei Punkte P 2 und P 3 hinzu und drücken ihre Koordinaten mit Hilfe von (10), (11) und (12) aus, so sind alle mathematischen Grundlagen zur Darstellung der Entstehung der Jahreszeiten gelegt. Um das Ganze etwas Anschaulicher zu gestalten können noch die Erdachse, der Äquator, die drei Sonnenstrahlen und einige Beschriftungen eingezeichnet werden. Die Punkte, welche die beiden Flächen A 1 und A 2 begrenzen werden durch zwei Strecken verbunden und anschließend ausgeblendet. Literatur [1] W. Kuhn (Hrsg.); Handbuch der experimentellen Physik, Sekundarbereich II, Band 11: Astronomie - Astrophysik Kosmologie; AULIS VERLAG; 2011