Geometrische Eigenschaften von Kurven

Transkript

1 Johannes Gutenberg-Universität Mainz Institut für Mathematik Staudingerweg Mainz Geometrische Eigenschaften von Kurven und eine didaktische Analyse zum Thema Rollkurven für die Sekundarstufe I und II Wissenschaftliche Prüfungsarbeit für die Erste Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien vorgelegt von Nora Rebecca Thomas 02. März 2010 Erstgutachterin: Priv.-Doz. Dr. Margaritha Kraus Zweitgutachter: Prof. Dr. Günter Schmidt

2 2 Mainz/Dieburg, den 02. März 2010 Nora Rebecca Thomas wohnhaft in Dieburg

3 Inhaltsverzeichnis Vorwort 6 1 Ebene Kurven Grundlegende Definitionen und Eigenschaften Lokale Eigenschaften von Kurven Berührung zweier Kurven Evolventen und Evoluten Evolventen Evoluten Der Zusammenhang zwischen Evolvente und Evolute Geometrische Informationen durch die Evolute Envelopen Envelopen Kaustiken als Envelopen Kaustiken als Evoluten Fußpunktkurven als Envelopen Parallelen 79 5 Spezielle Kurven Die Zykloide

4 4 INHALTSVERZEICHNIS 5.2 Epi- und Hypozykloiden Die logarithmische Spirale Ausblick auf Kurven im R Didaktische Analyse zum Thema Rollkurven Begründung für die Behandlung höherer Kurven in der Schule Behandlung trotz fehlender Erwähnung im Lehrplan Neue Möglichkeiten GeoGebra - ein kurzer Überblick Einordnung des Themas in verschiedenen Klassenstufen Fachinterne Einordnung Fächerübergreifende Möglichkeiten Projektarbeit mit Produktorientierung Vorschlag für eine Unterrichtseinheit in Klasse 9 bzw Begründung der Einheit Baustein 1: Über Veränderungen des Einheitskreises zu höheren Kurven Baustein 2: Rollkurven in Gruppen Baustein 3: Abschluss - Rätsel und Kurvenbilder Bewertungsmöglichkeiten Mögliche Abwandlung und Erweiterung für die Oberstufe A Arbeitsblätter 153 A.1 Kopiervorlagen für Baustein A.2 Kopiervorlagen für Baustein A.3 Kopiervorlagen für Baustein B Weitere Materialien 177 B.1 Die Zykloidenmurmelbahn

5 INHALTSVERZEICHNIS 5 B.2 Die Begegnung von Johannes Itten B.3 Zusatz-CD Literaturverzeichnis 181 Danksagung 187 Eidesstattliche Erklärung 188

6 6 INHALTSVERZEICHNIS

7 Vorwort Als ich mir Gedanken machte und mich informierte, in welchem Bereich und in welchem Fach ich meine Examensarbeit schreiben könnte, erfuhr ich von der Möglichkeit, in Mathematik eine fachliche Arbeit mit anschließender didaktischer Ausarbeitung zu schreiben. Davon war ich natürlich sofort begeistert. Einerseits sind schließlich umfassende fachliche Grundkenntnisse eine unverzichtbare Grundlage um überhaupt didaktische Überlegungen anstellen zu können. Andererseits betrachte ich die didaktische Ausarbeitung als optimale Vorbereitung für mein späteres Berufsleben. Prof. Günter Schmidt teilte mir in einem Gespräch mit, dass es schon einige solcher Arbeiten gab und dass er die Betreuung des Didaktikteils übernehmen würde. Für die mathematische Betreuung erklärte sich Frau Dr. Margaritha Kraus bereit. Und so kristallisierte sich nach einigen Gesprächen das Thema meiner Arbeit Geometrische Eigenschaften von Kurven heraus. Dabei habe ich mich im Wesentlichen auf Kurven konzentriert, die aus einer Ausgangskurve entstehen können. In Kapitel 1 wird dazu zunächst der in der Arbeit verwendete Kurvenbegriff eingeführt. Außerdem werden alle für die folgenden Kapitel relevanten Eigenschaften, Sätze und Definitionen eingeführt. Da dies vor allem dazu dienen soll, einen Überblick über parametrisierte Kurven zu bekommen, wird zum Teil auf Beweise und allzu genaue Ausführungen verzichtet. Kapitel 2 beschäfitgt sich dann mit Evolventen und Evoluten und deren Zusammenhänge. Eine Evolvente einer Kurve entsteht durch Abwickeln eines um diese Kurve gewickelten Fadens; die Evolute ist die Umkehrung davon. Durch die Evolute werden außerdem interessante Eigenschaften über die Ausgangskurve leicht einsichtig. Mit Hüllkurven beschäftig sich dann Kapitel 3. Dabei werden Kaustiken als Hüllkurven von reflektierten Strahlen und Fußpunktkurven besonders behandelt. Eine weitere Möglichkeiten, neue Kurven aus einer Ausgangskurve zu gewinnen, besteht darin, Parallelen zu erzeugen. Diese werden in Kapitel 4 diskutiert. In Kapitel 5 werden an einigen berühmten Kurven, der Zykloide, Epi- und Hypozy- 7

8 8 INHALTSVERZEICHNIS kloiden und der logarithmischen Spirale, die gewonnenen Erkenntnisse der Arbeit noch einmal illustriert und durchgerechnet. Im letzten Kapitel des mathematischen Teils wird dann ein kleiner Ausblick darauf gegeben, wie sich die Überlegungen dieser Arbeit, die sich auf ebene Kurven beschränken, auf Raumkurven übertragen und dort fortsetzen lassen. Im didaktischen Teil dieser Arbeit wird zunächst ein allgemeiner Überblick zur Einordnung des Themas höhere Kurven 1 im Schulalltag gegeben. Schließlich findet dieses Thema nirgendwo in den Lehrplänen Platz und trotzdem kann es an vielen Stellen sinnvoll in den Schulalltag integriert werden. Anschließend wird dann noch ein ausgereiftes Konzept zur Behandlung von Rollkurven in der 9. bzw. 10. Klasse mit einem Ausblick auf Erweiterung in der Oberstufe vorgestellt. Ich hoffe, dass ich mit dieser Arbeit die Faszination der Ästhetik an höheren Kurven wecken kann und dass diese den ein oder anderen Mathematikunterricht bereichern können. 1 Damit sind hier parametrisierte ebene Kurven, bzw. parametrisierte Raumkurven gemeint.

9 Kapitel 1 Ebene Kurven 1.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften Definition 1.1 Sei I R ein Intervall. Eine parametrisierte ebene Kurve ist eine C -Abbildung c : I R 2. Eine parametrisierte Kurve heißt regulär, wenn ihre erste Ableitung nirgends verschwindet, d.h. ċ(t) 0für alle t I. Der Vektor ċ(t) heißt der Geschwindigkeitsvektor von c an der Stelle t und ċ(t) die Geschwindigkeit von c an der Stelle t. Die Kurve c hat Einheitsgeschwindigkeit, wenn sie konstant die Geschwindigkeit ċ 1 hat. (nach [2] und [31]) Bemerkung Wenn im Folgenden von einer Kurve die Rede ist, dann sind damit stets parametrisierte Kurven gemeint. Dies ist nicht zu verwechseln mit der sonst meist üblichen Definition von Kurven als Äquivalenzklassen. Notation Die Komponentenfunktionen einer Kurve werden mit c(t) = (c 1 (t),c 2 (t)) t bezeichnet. Hin und wieder wird es nützlich sein, eine Kurve als Abbildung c : I C aufzufassen. Sie kann dann in der Form c(t) =x(t) +iy(t) notiert werden. In dieser Arbeit werden meist reguläre Kurven, oder zumindest solche, die auf gewissen Teilintervallen regulär sind, betrachtet, da dies sicherstellt, dass keine Kurve stehen bleibt. Das heißt, dass es sich bei der Abbildung auch tatsächlich um eine Kurve handelt; ein einziger Punkt zum Beispiel, der durch c(t) =c 0 parametrisiert werden kann, oder eine Ecken werden dabei ausgeschlossen. 9

10 10 KAPITEL 1. EBENE KURVEN Abbildung 1.1: Kreis mit Radius r=1 Beispiel 1.1 Einen Kreis mit Radius r und Mittelpunkt (0, 0) t kann zum Beispiel folgendermaßen parametrisiert werden: c : I R 2 mit I = [0, 2π) c(t) = Vegleiche Abb Ñ é r cos(t) r sin(t) (1.1) Wegen Ñ é r sin(t) ċ(t) = r cos(t) (1.2) gilt ċ(t) 0für alle t I und c ist eine reguläre Kurve. Definition 1.2 Eine Kurve c : I R 2 heißt geschlossen, wenn es ein k R \{0} gibt, so dass gilt c(t) =c(t + k) für alle t I. Beispiel 1.2 Die Kurve c aus Beispiel 1.1 ist geschlossen, da c(t) =c(t +2π) für alle t I. Bemerkung Es ist wichtig, sorgfältig zwischen dem Bild (oder der Spur) einer Kurve und der Kurve selbst zu unterscheiden, da zwei unterschiedliche Kurven durchaus dasselbe Bild haben können. So kann man sich beispielsweise leicht davon überzeugen, dass die Kurve

11 1.1. GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN UND EIGENSCHAFTEN 11 Ñ c : [0, 2rπ) R 2 r cos Ä äé t r, c(t) = r sin Ä ä t r (1.3) das gleiche Bild hat wie die Kurve in Beispiel 1.1. Diesen Sachverhalt soll gleich etwas genauer betrachtet werden. Definition 1.3 Sei c : I R 2 eine parametrisierte Kurve. Und h : J I ein Diffeomorphismus (d.h. h ist eine bijektive, differenzierbare Abbildung, deren Umkehrung wieder differenzierbar ist [34]), wobei I, J R. Dann heißt h eine Parametertransformation von c und die parametrisierte Kurve c = c h : J R 2 heißt Umparametrisierung von c. Eine Parametertransformation heißt orientierungserhaltend (orientierungsumkehrend), wenn ḣ(t) > 0(ḣ(t) < 0) für alle t J. [2] Beispiel 1.3 Die Kurve (1.3) ist also eine Umparametrisierung von (1.1) mit der Parametertransformation h : [0, 2rπ) [0, 2π), t t. r Definition 1.4 (a) Zwei Kurven c : I R 2 und c : J R 2 heißen parametrisch äquivalent, wenn es eine Parametertransformation h : J I gibt mit c h = c. (b) Zwei Kurven c : I R 2 und c : I R 2 heißen kongruent, wenn es eine Abbildung B : R 2 R 2, B(x) =Ax + b gibt mit B(c(t)) = c(t) für alle t, wobei A O(2) und b R 2. (c) Zwei Kurven c : I R 2 und c : J R 2 heißen äquivalent, wenn es eine Parametertransformation h : J I und eine Abbildung B wie in (b) gibt, so dass c h(t) =B( c(t)) für alle t. [22] Bemerkung Bei den Definitionen 1.4 handelt es sich um Äquivalenzrelationen. Definition 1.5 Sei c : I R 2 eine parametrisierte Kurve und t 0 I, dann heißt s(t) =l c (t 0,t) := t t 0 ċ(τ) dτ (1.4) die von t 0 aus gemessene Bogenlänge von c. Ist klar, um welche Kurve es sich handelt, wird statt l c auch einfach l geschrieben. Eine Kurve mit Einheitsgeschwindigkeit heißt auch nach Bogenlänge parametrisierte Kurve (Zur Begründung der Definition siehe Lemma 1.1). [2], [31]

12 12 KAPITEL 1. EBENE KURVEN Lemma 1.1 Parametrisiert man eine reguläre Kurve c mittels der Bogenlänge um, so erhält man eine Kurve mit Einheitsgeschwindigkeit. [31] Beweis: Sei c : I R 2 eine reguläre parametrisierte Kurve, t 0 I und s die Bogenlänge wie in (1.4). Die Abbildung s ist streng monoton wachsend, da ja ṡ(t) = ċ(t) > 0. Also ist s auch injektiv und somit ist s : I J := s(i) eine orientierungserhaltende Parametertransformation. Wir bezeichnen die Umkehrfunktion mit h := s 1 : J I. Dann sind h und s unendlich oft diffenrenzierbar und für die erste Ableitung von h gilt: Mit der Kettenregel folgt dann: [2] ḣ(s) = 1 ṡ(h(s)) = 1 ċ(h(s)). (c h). (s) = ċ(h(s)) ḣ(s) = ċ(h(s)) ċ(h(s)) =1. Lemma 1.2 Die Bogenlänge einer Kurve ist wohldefiniert, das heißt, sie hängt nicht von der Parametrisierung der Kurve ab. Auch unter euklidischen Bewegungen bleibt sie konstant, d. h. für c(t) =c(h(t)) gilt l c h (h(t 0 ),h(t)) = l c (t 0,t) und für B(c(t)) = c(t) gilt l c (t 0,t)=l c (t 0,t) (Beweis dazu in [51]). Definition 1.6 Sei c : I R 2 eine reguläre ebene Kurve. Dann heißt T (t) := ċ(t) ċ(t)

13 1.2. LOKALE EIGENSCHAFTEN VON KURVEN 13 der Tangenteneinheitsvektor von c an der Stelle t. [31] Die Gerade T t (λ) =c(t)+λ T (t), λ R, heißt die Tangente von c an der Stelle t. Die Menge T t c = {λ T (t) λ R} ist der Tangentialraum von c an der Stelle t. [22] Jeder Vektor v T t c heißt Tangentialvektor. Notiz Mit Ñ é 0 1 n = 1 0 wird die Drehung um 90 gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet. In der komplexen Schreibweise entspricht dies der Multiplikation mit i. Definition 1.7 Sei c : I R 2 eine reguläre Kurve und t I, dann heißt N(t) := n T (t) der Normaleneinheitsvektor von c an der Stelle t. [31] Die Gerade N t (λ) =c(t)+λ N(t), λ R ist die Normale von c an der Stelle t. [22] Bemerkung Die Tangenten und Normalen äquivalenter Kurven sind wieder äquivalent. Denn sei c(h(t)) = B( c(t)), h eine Parametertransformation und B(x) =A x + b mit A O(2) und b R 2. Differentiation nach t auf beiden Seiten ergibt ċ(h(t)) ḣ(t) = A( c(t)). Da ḣ(t) R \{0}, gilt dann T (h(t)) = A( T (t)). Für den Normaleneinheitsvektor folgt die Behauptung nach Definition. 1.2 Lokale Eigenschaften von Kurven Nun werden einige lokale Eigenschaften von Kurven behandelt, die im späteren Kontext dieser Arbeit noch eine wichtige Rolle spielen. Grundlegend für die folgenden Kapitel ist dabei vor allem das Konzept der Krümmung. Definition 1.8 Sei c : I R 2 eine (nicht notwendig nach Bogenlänge parametrisierte) reguläre ebene Kurve mit c(t) = (c 1 (t),c 2 (t)) t. Dann ist die Krümmung κ c definiert durch: [24] κ c (t) = c(t),n ċ(t) ċ(t) 3 (1.5) Lemma 1.3 Gleichung 1.5 kann auch geschrieben werden als κ(t) = T (t),n(t) ċ(t) (1.6)

14 14 KAPITEL 1. EBENE KURVEN Beweis: Der besseren Übersicht halber wird der Parameter t in der folgenden Rechnung unterdrückt. Dann gilt T = ċ ċ und somit Ç å. T ċ = = ċ c ċ ċ ċ. ċ 2 = c ċ c,ċ ċ ċ ċ 2 = c ċ c, ċ ċ ċ 3 Daraus folgt T, N ċ = c c,ċ ċ ċ,n ċ ċ 3 ċ ċ = 1 ċ c, n ċ c, n ċ c, ċ, n ċ = ċ 3 ċ 5 ċ 3 Lemma 1.4 Die Krümmung ist bis auf Vorzeichen unabhängig von der Parametrisierung, d.h. für c = c h gilt: [24] κ c (t) = sgn(ḣ(t))κ c(h(t)). Beweis: Der besseren Lesbarkeit wegen wird der Parameter t unterdrückt. Dann ist c = (ċ(h))ḣ, n c =(n ċ(h))ḣ und c = ( c(h))(ḣ)2 + (ċ(h))ḧ. Eingesetzt in κ c ergibt dies: κ c = c, n c c 3 = c(h)( ḣ) 2 + (ċ(h))ḧ, (n ċ(h))ḣ (ċ(h))ḣ 3 = c(h)( ḣ) 2, (n (ċ(h)) ċ(h))ḣ ḧ, (n + ċ(h))ḣ (ċ(h))ḣ 3 (ċ(h))ḣ 3 = (ḣ)3 c(h),n ċ(h) ḣ 3 ċ(h) 3 = sgn(ḣ) κ c(h) Bemerkung Man kann die Krümmung auch folgendermaßen notieren: κ c = ċ1 c 2 ċ 2 c 1 (ċ 2 1 +ċ 2 2) 3 2 (1.7)

15 1.2. LOKALE EIGENSCHAFTEN VON KURVEN 15 Wenn klar ist, um welche Kurve es sich handelt, wird statt κ c auch einfach κ geschrieben. Für nach Bogenlänge parametrisierte Kurven gilt offensichtlich κ = T, N. (1.8) Nach dem Hauptsatz der ebenen Kurventheorie ist eine Kurve durch ihre Krümmung bis auf eine Äquivalenz eindeutig bestimmt (Für eine genauere Ausführung und einen Beweis hierzu siehe z.b. [43] Kapitel 3.7. Beispiel 1.4 Nach dem Hauptsatz der ebenen Kurventheorie sind dann Geraden die einzigen Kurven mit konstanter Krümmung κ =0und Kreise die mit konstanter Krümmungen κ = 1, wobei r der Radius ist. r Beispiel 1.5 Ist das Bild der Kurve der Graph einer Funktion, d. h. ist c(t) = (t, f(t)) t, dann hat die Krümmung die Form κ(t) = f(t) Å 1+ Ä f(t) ä ã 2 3 2, (1.9) denn ċ(t) = (1, f(t)) t, c(t) = (0, f(t)) t und ċ(t) = (1 + ( f(t)) 2 ) 1 2. Lemma 1.5 Sei c : I R 2 eine Kurve mit Einheitsgeschwindigkeit. Dann gilt für alle t I: [31] T (t) =κ(t)n(t) Ṅ(t) = κ(t)t (t). Beweis: Es gilt nach Voraussetzung: T, T =1. Differentiation auf beiden Seiten ergibt: 2 T, T =0, also ist T, T =0. Da (T, N) eine Orthonormalbasis von R 2 darstellen, kann man also T schreiben als: T = T, T T + T, N N = T, N N (1.8) = κn Da N = n T gilt dann außerdem: Ṅ = n T = n κn = κ n n T = κt.

16 16 KAPITEL 1. EBENE KURVEN Definition 1.9 Die Formeln aus Lemma 1.5 heißen Frenet-Formeln. Je flacher eine Kurve wird, desto kleiner wird auch der Wert ihrer Krümmung. In bestimmten Punkten verschwindet sie ganz: Definition 1.10 Sei c : I R 2 eine reguläre Kurve. Dann heißt c(t 0 ) Wendepunkt, wenn κ(t 0 ) = 0 und κ(t 0 ) 0(siehe Abb. 1.2). [22] Abbildung 1.2: Kurve mit Wendepunkt A Anschaulich ändert eine Kurve in einem solchen Punkt die Richtung ihrer Krümmung. Falls zwar κ(t) = 0, aber auch κ(t) = 0, dann liegt kein Wendepunkt vor (siehe Abb. 1.3). Abbildung 1.3: Kurve gleicht im Punkt A einem Geradenstück

17 1.2. LOKALE EIGENSCHAFTEN VON KURVEN 17 Definition 1.11 Sei c : I R 2 eine ebene Kurve, die an der Stelle t 0 nicht regulär ist. Gilt außerdem c(t) 0an der Stelle t 0, dann heißt c(t 0 ) eine Spitze von c. Bemerkung Sei c : I R 2 eine Kurve. Auch für nicht reguläre Parameter t 0 kann man die Krümmung definieren, indem man deren Grenzwert betrachtet. Voraussetzung dafür ist natürlich, dass dieser existiert und dass c regulär ist für alle t in einer Umgebung U ɛ I von t 0. Dann ist κ(t 0 ) = lim t t0 κ(t).[22] Dies lässt folgende Definition möglich werden: Definition 1.12 Sei c : I R 2 eine Kurve und c(t 0 ) sei eine Spitze von c. Dann heißt c(t 0 ) gewöhnliche Spitze, wenn lim κ(t) =±.[22] t t 0 Lemma 1.6 Sei c : I R 2 eine parametrisierte Kurve. Dann ist c(t 0 ) genau dann eine gewöhnliche Spitze, wenn c(t 0 ) und... c (t 0 ) linear unabhängig sind. Für einen Beweis siehe [22] S.100f. Bemerkung Eine genaueres Studium der nicht regulären Parameter ist für diese Arbeit nicht notwendig. Für eine exaktere Ausführung hierzu und einen Beweis dafür, dass die Definitionen 1.11 und 1.12 sinnvoll sind, siehe daher [22] Kapitel 7.5. Beispiel 1.6 Betrachte die semikubische Parabel (auch Neilsche Parabel nach dem englischen Mathematiker W. Neil, * 1637, 1670) c(t) = (t 2,t 3 ) t, sie hat in t =0eine nicht reguläre Stelle. Es ist ċ(t) = (2t, 3t 2 ) und c(t) = (2, 6t). Damit ist c(0) 0und c(0) ist eine Spitze von c. Für die Krümmung gilt κ(t) = 6. t(4 + 9t 2 ) 3 2 Damit ist dann lim κ(t) =. t 0 Die kubische Parabel hat also in t =0eine gewöhnliche Spitze (siehe Abb. 1.4).

18 18 KAPITEL 1. EBENE KURVEN Abbildung 1.4: Die semikubische Parabel mit gewöhnlicher Spitze in c(0) Beispiel 1.7 Die Kurve c(t) =(t 2 + t 3,t 4 ) t hat in t =0eine Spitze, denn Ñ é 2t +3t 2 ċ(t) = 4t 3 Ñ é 2+6t und c(t) =, 12t 2 also ist ċ(0) = 0 und c(0) = 2 0. Allerdings handelt es sich hierbei nicht um eine gewöhnliche, sondern um eine so genannte höhere Spitze. Betrachte dazu die Krümmung κ(t) = Ñ é Ñ é 2+6t 4t 3, 12t 2 2t +3t 2 Ñ é 2t +3t 2 4t 3 = 8t3 24t t t 4 (4t 2 12t 3 +9t t 6 ) 3 2 = 16t t 4 t 3 (4 12t +9t t 4 ) 3 2 = t (4 12t +9t t 4 ) 3 2 Somit folgt für die Krümmung in t =0 lim κ(t) = lim t 0 t t (4 + 12t +9t t 4 ) 3 2 =2. Siehe Abb Beispiel 1.8 Es gibt auch Kurven, bei denen die Krümmung in bestimmten Punkten

19 1.2. LOKALE EIGENSCHAFTEN VON KURVEN 19 Abbildung 1.5: c(t) = (t 2 + t 3,t 4 ) t mit höherer Spitze in c(0) überhaupt nicht konvergiert. Betrachte dazu die Kurve c(t) = (t, t t ) t. Die erste Ableitung kann man für t =0stetig fortsetzen, sodass dann ċ(t) = (1, 2 t ) t ist. Die zweite Ableitung für t =0existiert jedoch nicht, da 2 t lim t 0 t 2 t =2 lim t 0 t = 2, demnach ist (0, 2) t, t > 0 c(t) = (0, 2) t, t < 0 und für die Krümmung gilt κ(t) = 2 (1+4t 2 ) (1+4t 2 ) 3 2, t > 0, t < 0 Für t =0existiert die Krümmung nicht, da (vgl. dazu Abb. 1.6). lim κ(t) =2 lim κ(t) = 2 t 0 t 0

20 20 KAPITEL 1. EBENE KURVEN Abbildung 1.6: Für die Kurve c(t) =(t, t t ) lässt sich die Krümmung für t =0nicht bestimmen. 1.3 Berührung zweier Kurven Bemerkung Algebraische Kurven (d. h. Kurven, die durch eine Polynomgleichung beschrieben werden können) und Funktionen kann man durch Eliminierung des Parameters auch implizit darstellen, d. h. das Bild Kurve ist dann Urbild der Gleichung F (x, y) = 0. Ein genaueres Studium hierzu ist für diese Arbeit nicht notwendig und wird daher an dieser Stelle nicht fortgeführt. Beispiel 1.9 Eine Kurve der Form c(t) =(t, f(t)) t hat die implizite Darstellung y f(x) =0. Beispiel 1.10 Ein Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt (0, 0) t hat die implizite Darstellung x 2 + y 2 1 = 0 (1.10) Definition 1.13 Seien durch F (x, y) =0und c(t) =(c 1 (t),c 2 (t)) t zwei Kurven beschrieben. Dann kann man c in F einsetzen, um die Schnittpunkte beider Kurven zu berechnen: F (c 1 (t),c 2 (t)) = 0.

21 1.3. BERÜHRUNG ZWEIER KURVEN 21 Es sei nun t = t 0 eine Lösung, wobei t 0 für c regulär ist. Wir entwickeln nun das Taylorpolynom von F (t) =F (c 1 (t),c 2 (t)) mit Entwicklungspunkt t 0 F (t) F (t 0 )+ F (t 0 ) t t 0 1! + F (n 1) (t 0 ) (t t 0) n 1 (n 1)! + F (t 0 ) (t t 0) ! + F (n) (t 0 ) (t t 0) n +... =0 n! (1.11) In einem gewissen Intervall t t 0 < ɛ konvergiere die linke Seite dieser Gleichung. Der Punkt F (t 0 ) heißt dann n-facher Schnittpunkt der Kurven F und c, wenn F (t 0 )= F (t 0 )= F (t 0 )=... = F (n 1) (t 0 ) = 0, aber F (n) (t 0 ) 0. Man sagt, die beiden Kurven F und c besitzen im Punkt F (t 0 ) eine genau n-punktige Berührung oder eine Berührung (n-1)-ter Ordnung. [49] In der folgenden Tabelle sind ohne weitere Ausführungen die wichtigsten Grade der Berührordnung noch einmal zusammengefasst. Abbildung 1.7 zeigt jeweils ein Beispiel für jeden der drei Fälle. Die Fälle 2 und 3 werden später in Kapitel 2 noch wichtig. Berührordnung (n-1) Beschreibung 1 gewöhnliche Berührung 2 stationäre Berührung, Schmiegung oder Oskulation 3 stationäre Schmiegung oder Hyperoskulation Definition 1.14 Eine Kurve c 1 : I R 2 berührt eine andere Kurve c 2 : I R 2 in t 1 tangential in t 2, wenn gilt c 1 (t 1 )=c 2 (t 2 ) und wenn die Tangentialvektoren linear abhängig sind, d. h. wenn ċ 1 (t) =µ ċ 2 (t) für ein µ R und ċ(t 1 ) 0. Der Punkt c 1 (t 1 )=c 2 (t 2 ) heißt dann Berührpunkt von c 1 und c 2. Beispiel 1.11 Sei c 1 (t) = (cos(t), 1 + sin(t)) t und c 2 (t) = (3 + 2 cos(t), sin(t)) t. Dann ist ċ 1 (t) = ( sin(t), cos(t)) t und ċ 2 (t) = ( 2 sin(t), 2 cos(t)) t. Also c 1 (0) = c 2 (π) und ċ 2 (π) = 2 ċ 1 (0), demnach ist c 1 in 0 tangential an c 2 in π (s. Abb. 1.8).

22 22 KAPITEL 1. EBENE KURVEN (a) (b) (c) Abbildung 1.7: (a) Die Tangente berührt die Parabel mit Ordnung 1. (b) Der Kreis berührt die Parabel mit Ordnung 2. (c) Der Kreis berührt die Parabel mit Ordnung 3. Abbildung 1.8: c 1 berührt c 2 in 0 tangential in π

23 Kapitel 2 Evolventen und Evoluten 2.1 Evolventen Im Folgenden soll nun das Konzept der Evolvente vorgestellt werden. Für die bildliche Vorstellung ist es hilfreich, sich einen Faden, der (unendlich oft) um die Kurve herumgewickelt ist, vor Augen zu führen. Dieser wird nun gestrafft von der Kurve abgewickelt. Ein in Bezug auf den Faden fester Punkt beschreibt dabei eine neue Kurve, die Evolvente. Das Wort Evolvente leitet sich vom Partizip Präsens des lateinischen evolvere (abwickeln) ab und heißt Abwickelnde. Für die Definition der Evolvente wird nun die Tangente in einem Punkt der Kurve und ein fester Punkt auf dieser Tangente betrachtet, der dann die neue Kurve beim Abrollen dieser Tangente (ohne zu gleiten) an der Ausgangskurve beschreibt. Definition 2.1 Sei c : I R 2 ein beliebige reguläre Kurve, t 0 I ein beliebiger Paramter, l(t 0,t) die Länge der Kurve c von t 0 bis t und T (t) der Tangenteneinheitsvektor in t. Dann ist die Evolvente von c, die bei t = t 0 startet, die Kurve inv c,t0 (t) =c(t) l(t 0,t)T (t) (2.1) [22] Der Punkt inv c (t) ist dann also der Punkt auf der Tangente, der zur Zeit t den Abstand l(t 0,t) vom Kurvenpunkt c(t) hat. 23

24 24 KAPITEL 2. EVOLVENTEN UND EVOLUTEN Ist c eine Kurve mit konstanter Geschwindigkeit ċ(t) 0, dann hat die Evolvente folgende Form: inv c,t0 (t) =c(t) (t t 0 )ċ(t) (2.2) Bemerkung Im Übrigen ist die Evolvente von der Parametrisierung der Ausgangskurve unabhängig, da die Länge der Kurve auch nicht von der Parametrisierung abhängt, d. h. es gilt inv c h,h(t0 )(h(t)) = inv c,t0 (t). Aus demselben Grund ist die Evolvente auch unter Kongruenzen invariant, d.h. Evolventen kongruenter Kurven sind wieder kongruent (vgl. Lemma 1.2), demnach ist inv B(c),t0 (t) =B(inv c,t0 (t)). Beispiel 2.1 Nun soll die Evolvente des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt (0, 0) t, die so genannte Kreisevolvente, berechnet werden: Ñ é r cos(t) c(t) =, r sin(t) c hat die konstante Geschwindigkeit r und somit gilt für die Evolvente mit Startpunkt t 0 =0: Ñ é r(cos(t)+tsin(t)) inv c,0 (t) = (2.3) r(sin(t) t cos(t)) Abbildung 2.1 zeigt, dass das Bild von inv c,0 eine Spirale ist. Man kann die Kreisevolvente auch als Spezialfall einer Epizykloide (vgl. dazu Kapitel 5.2) betrachten. Dabei ist der Fixkreis der oben beschriebene Kreis und der Rollkreis ist ein Kreis mit unendlich großem Radius, also eine Gerade. Bisher wurden Evolventen nur für reguläre Kurven definiert. Man kann diese aber auch von nicht regulären Kurven berechnen, allerdings muss man sie dann auf ein reguläres Intervall einschränken. Der Startpunkt t 0 darf dabei jedoch ein nicht regulärer

25 2.1. EVOLVENTEN 25 Abbildung 2.1: Eine Kreisevolvente Parameter sein. Dies wird später zum Beispiel bei der Berechnung der Evolvente der gespitzten Zykloide nützlich sein (vgl. Kapitel 5.1). Doch zunächst ein anderes Beispiel: Beispiel 2.2 Es sei c(t) = (cos 3 (t), sin 3 (t)) t eine Astroide (auch Sternkurve genannt). Ñ é 3 cos 2 (t) sin(t) ċ(t) = =0 t = kπ 3 sin 2 (t) cos(t) 2, für k =0, 1, 2... Die Evolvente kann also in den Intervallen [ kπ 2, (k+1)π 2 ) berechnet werden. Es gilt: Ñ é cos(t) ċ(t) = 3 cos(t) sin(t), also T (t) = sin(t) Also gilt für die Evolvente inv c, kπ (t) = 2 und Ñ é Ñ é cos 3 (t) 3 cos(t) sin 3 (t) 2 sin2 (t) sin(t) Ç å kπ l 2,t = 3 2 sin2 (t) Offensichtlich hat diese Gleichung keine Definitionslücken und die Evolvente kann an den Stellen t m = mπ, m =0, 1, 2,..., stetig fortgesetzt werden. 2 Wenn man Abbildung 2.2 genauer betrachtet, dann kann man feststellen, dass die Evolvente von c zwischen 0 und π auf den ersten Blick wie ein Viertel einer Ellipse 2 aussieht. Dies täuscht allerdings, da die Kurve inv c, kπ (t) bei t = kπ für k =0, 1, 2,... 2

26 26 KAPITEL 2. EVOLVENTEN UND EVOLUTEN Abbildung 2.2: Eine Evolvente der Astroide eine Spitze hat. Berechne dazu (inv c, kπ ). (t) = 2 Ñ é 3 cos 2 (t) sin(t) 3 2 sin3 (t) + 3 cos 2 (t) sin(t) 3 2 sin2 (t) cos(t) Ñ é sin(t)( 3 cos 2 (t) 3 2 = sin2 (t) + cos 2 (t)) 3 2 sin2 (t) cos(t) Ñ é sin(t)( 2 cos 2 (t) 3 2 = sin2 (t)) 3 2 sin2 (t) cos(t) Ñ é sin(t)( = sin2 (t)) 3 2 sin2 (t) cos(t) und (inv c, kπ ).. (t) = 2 Ñ é 2 cos(t)+ 3 2 sin2 (t) cos(t) 3 sin(t) cos 2 (t)+ 3 2 sin3 (t) Demnach ist (inv c, kπ 2 ). (kπ) =0und (inv c, kπ ).. (kπ) = (±2, 0) t, das heißt, die Evolvente 2

27 2.1. EVOLVENTEN 27 inv c, kπ hat in t = kπ, k =0, 1, 2..., eine Spitze. 2 Es ist leicht nachzurechnen, dass eine Ellipse nirgends eine Spitze hat. Dennoch ist die Evolvente einer etwas verzerrten Astroide, d. h. einer Astroide mit der Gleichung c(t) =(c cos 3 (t),dsin 3 (t)) t, c d R, eine Ellipse. Dies wird mit Beispiel 2.6 und anschließend in Kapitel 2.3 noch deutlich werden. Bemerkung Eine Evolvente kann niemals regulär sein, da ihr Startparameter nie regulär ist. Sei dazu c : I R 2 eine reguläre Kurve und inv c,t0 gilt (inv c,t0 ). (t 0 )=0. Ohne Einschränkung sei ċ 1. Dann ist die Evolvente nach (2.2) ihre Evolvente. Dann inv c,t0 (t) =c(t) (t t 0 )ċ(t) und (inv c,t0 ). (t) = (t t 0 ) c(t) Also gilt (inv c,t0 ). (t 0 )=0[22]. Dass die Vorstellung der Abwicklung eines Fadens von der Kurve tatsächlich mit der Definition der Evolvente übereinstimmt, zeigt das folgende Lemma: Lemma 2.1 Sei c eine reguläre Kurve und inv c,t0 eine Evolvente von c. Dann gilt: inv c,t0 (t) c(t) = t t 0 = l(t 0,t) (2.4) [24]. Beweis: Ohne Einschränkung sei ċ 1. Dann ist nach (2.2) inv c,t0 (t) c(t) = (t t 0 )ċ(t) Betrachtet man die Beträge auf beiden Seiten, folgt die Behauptung. Die rechte Seite der Gleichung (2.4) bezeichnet nun die Länge der Kurve von t bis t 0, da c ja konstante Geschwindigkeit 1 hat. Die linke Seite dagegen bezeichnet den Abstand von inv c,t0 (t) und c(t) entlang der Tangente von c in c(t) (siehe Abb. 2.3).

28 28 KAPITEL 2. EVOLVENTEN UND EVOLUTEN Abbildung 2.3: Die Länge der Strecke b entspricht genau der Länge l invc,t0 (t 0,t). Auf den Zusammenhang zwischen zwei Evolventen einer selben Ausgangskurve mit unterschiedlichen Startparametern t 0 und t 1 wird in Kapitel 4 noch genauer eingegangen werden. 2.2 Evoluten Lemma 2.2 Sei c : I R 2 eine reguläre ebene Kurve und K = K(m, r) ={(x, y) R 2 (x a) 2 +(y b) 2 = r 2 }, der c in t = t 0 mindestens mit Ordnung 2 berührt. Dann sind m und r > 0 eindeutig bestimmt. Beweis: Es sei F (t) := (c 1 (t) a) 2 +(c 2 (t) b 2 ) r 2 Damit der Kreis K die Kurve c in t = t 0 mit mindestens Ordnung 2 berührt, muss gelten F (t 0 )=F (t 0 )=F (t 0 ) = 0, d.h.

29 2.2. EVOLUTEN 29 (c 1 (t 0 ) a) 2 +(c 2 (t 0 ) b) 2 r 2 =0 (2.5a) (c 1 (t 0 ) a)ċ 1 (t 0 )+(c 2 (t 0 ) b)ċ 2 (t 0 )=0 (2.5b) ċ 2 1(t 0 )+(c 1 (t 0 ) a) c 1 (t 0 ) + ċ 2 2(t 0 )+(c 2 (t 0 ) b) c 2 (t 0 )=0 (2.5c) Vorausgesetzt, dass r>0, dann hat dieses Gleichungssystem eine eindeutige Lösung: Gleichung (2.5b) ist äquivalent zu a = c 1 (t 0 )+ (c 2(t 0 ) b)ċ 2 (t 0 ) ċ 1 (t 0 ) (2.6) Eingesetzt in (2.5c) ergibt dies ċ 2 1(t 0 ) + ċ 2 2(t 0 )+(c 2 (t 0 ) b) Ç c2 (t 0 )ċ 1 (t 0 ) ċ 2 (t 0 ) c 1 (t 0 ) å =0 b c 2 (t 0 ) = ċ 2 1(t 0 ) + ċ 2 2(t 0 ):ċ2(t 0 )ċ 1 (t 0 ) ċ 2 (t 0 ) c 2 (t 0 ) ċ 1 (t 0 ) b = c 2 (t 0 )+ (ċ2 1(t 0 ) + ċ 2 2(t 0 ))ċ 1 (t 0 ) c 2 (t 0 )ċ 1 (t 0 ) ċ 2 (t 0 ) c 1 (t 0 ) (2.7) Eingesetzt in (2.6) ergibt dies a = c 1 (t 0 ) (ċ2 1(t 0 ) + ċ 2 2(t 0 ))ċ 2 (t 0 ) c 2 (t 0 )ċ 1 (t 0 ) ċ 2 (t 0 ) c 1 (t 0 ) (2.8)

30 30 KAPITEL 2. EVOLVENTEN UND EVOLUTEN Somit folgt r 2 = (ċ 2 1(t 0 ) + ċ 2 2(t 0 )) 2 ċ 2 2(t 0 ) ( c 2 (t 0 )ċ 1 (t 0 ) ċ 2 (t 0 ) c 1 (t 0 )) + (ċ2 1(t 0 ) + ċ 2 2(t 0 )) 2 ċ 2 1(t 0 ) 2 ( c 2 (t 0 )ċ 1 (t 0 ) ċ 2 (t 0 ) c 1 (t 0 )) 2 = (ċ2 1(t 0 ) + ċ 2 2(t 0 )) 2 (ċ 2 1(t 0 ) + ċ 2 2(t 0 )) ( c 2 (t 0 )ċ 1 (t 0 ) ċ 2 (t 0 ) c 1 (t 0 )) 2 = Für r>0 ist dies äquivalent zu (ċ 2 1(t 0 ) + ċ 2 2(t 0 )) 3 ( c 2 (t 0 )ċ 1 (t 0 ) ċ 2 (t 0 ) c 1 (t 0 )) 2 r = (ċ 2 1(t 0 ) + ċ 2 2(t 0 )) 3 2 c 2 (t 0 )ċ 1 (t 0 ) ċ 2 (t 0 ) c 1 (t 0 ) = 1 κ(t 0 ) (2.9) Für den Mittelpunkt m des Kreises aus Lemma 2.2 gilt also: m = c(t 0 )+ 1 κ(t 0 ) 1 (ċ 2 1(t 0 ) + ċ 2 2(t 0 )) 1 2 Ñ é ċ 2 (t 0 ) ċ 1 (t 0 ) = c(t 0 )+ N(t 0) κ(t 0 ) Dies lässt folgende Definition sinnvoll werden: Definition 2.2 Sei c : I R 2 eine Kurve und t 0 I ein regulärer Parameter mit κ(t 0 ) 0. Dann heißt ρ(t 0 )= 1 κ(t 0 Krümmungsradius bei t ) 0. Der Kreis, der die Kurve c im Punkt c(t 0 ) mindestens mit zweiter Ordnung berührt, heißt Schmiegkreis (oder Krümmungskreis) in t 0 und sein Mittelpunkt c (t 0 )=c(t 0 )+ N(t 0) κ(t 0 ) (2.10) ist der Krümmungsmittelpunkt bei t 0 (siehe Abb. 2.4). Der Krümmungsmittelpunkt liegt hier nach Definition auf der Kurvennormalen, da ja der Schmiegreis und die Kurve die gleiche Tangente haben und somit auch die gleiche Normale und die Normale eines Kreises immer durch dessen Mittelpunkt geht. Für κ(t 0 )=0kann man den Grenzwert ρ(t 0 ) = lim t t0 1 κ(t) =

31 2.2. EVOLUTEN 31 Abbildung 2.4: Parabel mit Schmiegkreis k (grün), Krümmungsmittelpunkt c (t 0 ) (blau) und Krümmungsradius ρ(t 0 ) (rot). betrachten. Dann entspricht der Schmiegkreis also der Tangente in t 0 und der Krümmungsmittelpunkt ist unendlich weit weg. Gesetzt den Fall κ(t) 0für alle t I, dann beschreiben die Krümmungsmittelpunkte eine neue Kurve, die Evolute von c. Für diese gilt dann mit (2.10): ev c (t) =c(t)+ N(t) κ(t) (2.11) Und die Komponentenfunktionen der Evolute heißen: [49], [22] Ç ċ2 (ev c ) 1 = c 1 1 +ċ 2 å Ç 2 ċ2 ċ 2, (ev c ) 2 = c ċ 2 å 2 ċ 1 (2.12) ċ 1 c 2 ċ 2 c 1 ċ 1 c 2 ċ 2 c 1 Auch der Begriff Evolute kommt von evolvere, diesmal vom Partizip Perfekt, es bedeutet also die Abgewickelte. Abb. 2.5 zeigt die Evolute einer Parabel. Bemerkung Auch die Evolute kann man für irreguläre Parameter t 0 betrachten, sofern lim t t0 κ(t) existiert. Insbesondere gilt dann für solche Parameter t 0, in denen die Kurve c eine gewöhnliche Spitze hat, Ç lim t t0 ev c (t) = lim c(t)+ N(t) å = c(t 0 ), (2.13) t t0 κ(t)

32 32 KAPITEL 2. EVOLVENTEN UND EVOLUTEN Abbildung 2.5: Die Evolute einer Parabel da nach Definition 1.12 gilt lim κ(t) =. t t 0 Die Evolute läuft also durch die gewöhnliche Spitze der Kurve. Bei höheren Spitzen ist dies allerdings nicht der Fall, da hier das Grenzwertverhalten der Krümmung ganz unterschiedlich sein kann. Dazu jeweils ein Beispiel: Beispiel 2.3 Die semikubische Parabel c(t) = (t 2,t 3 ) t hat in t =0eine nicht reguläre Stelle, aber keine Wendepunkte, da κ(t) = 6 die Evolute für t 0definiert und es gilt: ev c (t) = t(4+9t 2 ) 3 2 é Ñ 2+9t2 t t 2 t 3 0für alle t R \{0}. Also ist Offensichtlich hat ev c bei t =0aber auch keine Definitionslücke, denn es gilt: ev c (0) = 0=c(0). Dies ist mit der Bemerkung von eben auch klar, wenn man beachtet, dass lim t 0 κ(t) = und somit c in t =0eine gewöhnliche Spitze hat (vgl. Abb. 2.6) [22]. Beispiel 2.4 Es sei c(t) =(t 2 + t 3,t 4 ) t die Kurve aus Beispiel 1.7. Für die Krümmung von c gilt danach κ(t) = t. (4 + 12t +9t t 4 ) 1 2 Der Krümmungsradius in t =0ist ρ(0) = 1 2. Mit ċ(t) = (2t +3t2, 4t 3 ) t folgt für die

33 2.2. EVOLUTEN 33 Abbildung 2.6: Die Evolute einer kubischen Parabel, die durch deren gewöhnliche Spitze läuft Evolute: ev c (t) = Abb. 2.7 zeigt die Evolute von c. á t3 (5+6t+16t 3 ) 4+3t 8+36t+54t 2 +27t 3 +48t 4 +60t t ë. Abbildung 2.7: Die Evolute der Kurve c(t) =(t 2 + t 3,t 4 ) t, die bei t =0eine höhere Spitze hat. Der Krümmungsradius ist hier ρ(0) = 1 nach Beispiel

34 34 KAPITEL 2. EVOLVENTEN UND EVOLUTEN Wie auch die Evolvente, ist die Evolute unabhängig von der Parametrisierung und invariant unter Kongruenzen, wie es die nächsten beiden Lemmas besagen: Lemma 2.3 Die Definition der Evolute ist unabhängig von der Parametrisierung der Kurve im folgenden Sinne: Sei c : I R 2 eine reguläre, parametrisierte Kurve, c : J R 2 eine Umparametrisierung mit Parametertransformation h : I J. Dann gilt [24]: ev c h = ev c h. Beweis: Für die Krümmung gilt nach Lemma 1.4 κ c h = sgn Ä ḣ ä κ c (h). Also ist, wenn n eine Drehung um 90 gegen den Uhrzeigersinn ist, ev c h = c h + N h = c h + 1 n(c h). κ c h κ c h (c h). = c h + sgn Ä ḣ ä κ c (h) n Äċ(h) ḣ ä ċ(h) ḣ = c(h) + sgn Ä ḣ ä 1 κ c (h) ḣ n (ċ(h)) ḣ ċ(h) = c(h)+ Ä sgn Ä ḣ ää 2 1 κ c (h) n (ċ(h)) ċ(h) = c(h)+ 1 κ c (h) n (ċ(h)) ċ(h) = ev c h Lemma 2.4 Die Evolute ist invariant unter Kongruenzen im folgenden Sinne: Sei c : I R 2 eine reguläre, parametrisierte Kurve und c : I R 2 sei kongruent

35 2.2. EVOLUTEN 35 zu c, also c(t) =B(c(t)) für alle t I, wobei B(x) =a x+b mit A O(2) und b R 2. Dann sind die Evoluten von c und c ebenfalls kongruent, es gilt also ev c (t) =B(ev c (t)) für alle t I. Beweis: ev c (t) = c + Ñ(t) κ(t) = B (c(t)) + A Ç å N(t) = A(c(t)) + b + A κ(t) Ç å N(t) κ(t) Ç = A c(t)+ N(t) å + b = B (ev c (t)) κ(t) Insgesamt folgt also, dass die Evoluten zweier äquivalenter Kurven wieder äquivalent sind. Beispiel 2.5 Die Evolute eines Kreises ist ein Punkt, und zwar der Mittelpunkt des Kreises, so wie man es auch erwarten würde, da ja der Krümmungskreis an jeder Stelle t dem Ausgangskreis selbst entspricht und der Mittelpunkt also immer wieder derselbe ist Punkt ist: Ñ é Ñ é c(t) = p 1 + r cos(t) cos(t), N(t) = p 2 + r sin(t) sin(t) Somit gilt für die Evolute: Ñ é Ñ é Ñ é ev c (t) = p 1 + r cos(t) cos(t) p 1 + r = p 2 + r sin(t) sin(t) p 2. Beispiel 2.6 Die Evolute einer Ellipse ist eine Astroide (siehe Abb. 2.8). Sei dazu c eine Ellipse und a > b > 0, dann gelten folgende Gleichungen: c(t) = Also Ñ é Ñ é Ñ é a cos(t) a sin(t) a cos(t), ċ(t) =, c(t) = b sin(t) b cos(t) b sin(t)

36 36 KAPITEL 2. EVOLVENTEN UND EVOLUTEN (ev c ) 1 (t) =a cos(t) a2 sin 2 (t)+b 2 cos 2 (t) ab sin 2 (t)+ab cos 2 (t) b cos(t) = a2 b cos(t) a 2 b sin 2 (t) cos(t) b 3 cos 3 (t) ab = a2 b cos(t)(1 sin 2 (t)) b 3 cos 3 (t) ab = a2 b cos 3 (t) b 3 cos 3 (t) ab = a2 b 2 a cos 3 (t) und analog (ev c ) 2 (t) =b sin(t)+ a2 sin 2 (t)+b 2 cos 2 (t) ab sin 2 ( a sin(t)) (t)+ab cos 2 (t) = b2 a 2 b sin 3 (t). Allerdings kann die Astroide hier niemals äquivalent zur Astroide aus Beispiel 2.2 sein, denn dafür müsste gelten a 2 b 2 a =1 b2 a 2 b b = a =1 Dies steht aber im Widerspruch zur Voraussetzung, dass a > b > 0. Schließlich wäre c dann auch keine Ellipse mehr, sondern ein Kreis. Allgemein gilt, dass a 2 b 2 a b2 a 2, b

37 2.2. EVOLUTEN 37 denn wäre a 2 b 2 = x b2 a 2 a b dann würde folgen, dass = x für ein x R \{0}, ax = bx a = b, was im Widerspruch zur Voraussetzung steht. Abbildung 2.8: Die Evolute einer Ellipse ist eine Astroide. Einige weitere Beispiele werde ich in Kapitel 5 getrennt betrachten. Satz 2.1 Sei c : I R 2 eine reguläre parametrisierte Kurve. Dann ist die Evolute eindeutig bestimmt durch γ = c + fnċ mit einer Funktion f, für die die Tangente von γ in t mit der Normalen von c in t zusammenfällt. [24] Beweis: Mit Lemma 2.3 kann ohne Einschränkung angenommen werden, dass ċ 1. Dann ist N = nċ und somit ev c (t) =c(t)+ nċ κ gilt dann mit den Frenet-Formeln c = κ nċ : und für die erste Ableitung der Evolute n cκ nċ κ ev c =ċ + κ 2 = κ2 ċ +( κ 2 ċ n κċ) κ 2 = κ κ 2 nċ Also ist der Normaleneinheitsvektor κ2 nċ von c im Tangentialraum der Evolute κ enthalten, d. h. es gilt T ev = ɛn, wobei ɛ =1, wenn κ < 0 und ɛ = 1 sonst. Dabei

38 38 KAPITEL 2. EVOLVENTEN UND EVOLUTEN bezeichnet T ev den Tangenteneinheitsvektor der Evolute. Damit fallen die Normale der Kurve und die Tangente der Evolute zusammen, da der Krümmungsmittelpunkt der Kurve immer auf deren Normalen liegt. Nun zur Eindeutigkeit von f: Für γ = ev c gilt c + fnċ = c + nċ κ. Dann ist also f = 1 κ. Allgemein, d. h. wenn c nicht nach Bogenlänge parametrisiert ist, gilt c+fnċ = c+ N κ = c + nċ 1, daraus folgt f =. κ ċ κ ċ Beispiel 2.7 Es sei Ñ é t c(t) =. cosh(t) die Kettenlinie. Für den Krümmungsradius der Kettenlinie gilt: ρ(t) = cosh 2 (t) und somit ergibt sich für die Evolute folgende Gleichung: Ñ é t sinh(t) cosh(t) ev c (t) = 2 cosh(t) Man betrachte nun den Abstand des Schnittpunktes Q =(t + cosh(t) sinh(t), 0) t der Normalen von c in t mit der x-achse und dem Punkt P = c(t). Ñ é cosh(t) sinh(t) P Q = cosh(t) = (cosh2 (t) sinh 2 (t) + cosh 2 (t)) 1 2 = (cosh 2 (t)(sinh 2 (t) + 1)) 1 2 = (cosh 4 (t)) 1 2 = cosh 2 (t) =ρ(t) Der Abstand von P und Q ist also genau der Krümmungsradius, das bedeutet, dass die Kurve ihre Normalen genau in der Mitte zwischen ev c (t) und Q schneidet (siehe auch Abb. 2.9).

39 2.3. DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN EVOLVENTE UND EVOLUTE 39 Abbildung 2.9: Die Evolute der Kettenlinie. Es gilt P Q = ρ(t). 2.3 Der Zusammenhang zwischen Evolvente und Evolute Beispiel 2.8 Nun wird erneut die Evolvente des Kreises betrachtet, die in Beispiel 2.1 berechnet wurde. Man kann zeigen, dass deren Evolute wieder der Ausgangskreis selbst ist. Die Gleichung der Ausgangskurve ist also hier Gleichung (2.3): Ñ é r(cos(t)+tsin(t)) inv c,0 (t) =. r(sin(t) t cos(t)) Weiterhin gilt, wenn T inv,n inv und κ inv Tangenteneinheits-, Normaleneinheitsvektor und Krümmung der Evolvente sind: Ñ é Ñ é (inv c,0 ). rt cos(t) (t) =, (inv c,0 ). cos(t) (t) = rt, T inv (t) =, rt sin(t) sin(t) T inv (t) = Ñ é sin(t) = N inv (t) und κ inv (t) = 1 cos(t) rt

40 40 KAPITEL 2. EVOLVENTEN UND EVOLUTEN Somit folgt also für die Evolute von inv c,0 : Ñ é Ñ é Ñ é r(cos(t)+tsin(t)) rt sin(t) r cos(t) ev invc,0 (t) = + =. r(sin(t) t cos(t)) rt cos(t) r sin(t) Denselben Weg kann man auch umgekehrt gehen: Betrachtet man also die Spirale, die sich als Evolvente des Kreises ergibt, als Ausgangskurve c. Es ist nun klar, dass deren Evolute ein Kreis ist. Wenn man die Evolvente der Evolute, also des Kreises, betrachtet, ergibt sich, wenn mit dem geeignet gewählten Startparameter, wieder genau die Ausgangspirale. Dass die Evolute einer Kreisevolvente wieder die Ausgangskreis selbst ist und umgekehrt, ist kein Zufall. Tatsächlich erinnert der Zusammenhang zwischen Evolute und Evolvente stark an den zwischen Integral und Ableitung, so wie er im Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung ausgedrückt wird. Man kann sich also die Evolute als Umkehrung der Evolvente vorstellen und umgekehrt. In vielen Büchern ist die Evolvente sogar einfach als die Umkehrung der Evolute oder sogar als deren Ausgangskurve definiert (vgl. zum Beispiel [20]). Daher lässt sich auch der Name involute für Evolvente erklären, der häufig in der Literatur verwendet wird. Die Evolute übernimmt dann sozusagen die Rolle der Ableitung und die Evolvente die des Integrals. Das bedeutet, dass die Evolute eindeutig bestimmt ist, die Evolvente allerdings nur bis auf eine Konstante, da der Startparameter t 0 ja beliebig frei wählbar ist. Im folgenden Lemma wird dieser Zusammenhang zwischen Evolute und Evolvente ausgedrückt: Satz 2.2 Sei c : I R 2 eine reguläre Kurve, deren Evolvente inv c,t0, die bei t 0 startet, ebenfalls regulär ist, außer bei t 0. Dann ist ev invc,t0 (t) =c(t) für alle t I. [22] Beweis: Seien T, N, ċ und κ Tangenteneinheitsvektor, Normaleneinheitsvektor, Geschwindigkeit und Krümmung von c und dementsprechend T inv,n inv, (inv c ). und κ inv Tangenteneinheitsvektor, Normaleneinheitsvektor, Geschwindigkeit und Krümmung der Evolvente. Ohne Einschränkung sei nun ċ 1 und somit also inv c,t0 = c(t) (t t 0 )ċ(t) =c(t) (t t 0 )T (t) (2.14)

41 2.3. DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN EVOLVENTE UND EVOLUTE 41 und mit den Frenet-Formeln gilt dann (inv c,t0 ). =ċ(t) ċ(t) (t t 0 ) T (t) = (t t 0 )κ(t)n(t). (2.15) Für den Betrag von (inv c,t0 ). gilt dann (inv c,t0 ). = ɛ (t t 0 )κ(t), (2.16) wobei ɛ =1, wenn sgn(t t 0 ) = sgn(κ(t)) und ɛ = 1 sonst. Somit folgt also T inv (t) = (inv c,t 0 ). (t) (inv c,t0 ). (t) = (t t 0)κ(t)N(t) ɛ(t t 0 )κ(t) = ɛn(t) (2.17) und N inv (t) = n (inv c,t 0 ). (t) (inv c,t0 ). (t) = (t t 0)κ(t)nN(t) ɛ(t t 0 )κ(t) = ɛ( T (t)) = ɛt (t) (2.18) Nun lässt sich mit den oben gewonnenen Ergebnissen und den Frenet-Gleichungen das Verhältnis der Krümmungen κ(t) und κ inv (t) leicht berechnen: κ inv (t) = T inv (t),n inv (t) inv c,t0 (t) κt (t),t(t) = (inv c,t0 ). (t) = (2.17),(2.18) = κ(t) (inv c,t0 ). (t) ɛ Ṅ(t), ɛt (t) (inv c,t0 ). (t) Ṅ(t),T(t) = (inv) (t) ċ,t 0 (2.19) Und somit folgt für die Evolute von inv c,t0 :

42 42 KAPITEL 2. EVOLVENTEN UND EVOLUTEN ev invc,t0 (t) =inv c,t0 (t)+ N inv(t) κ inv (t) Ç = c(t)+ Ç (2.16) = c(t)+ (2.14),(2.18) = (2.19) (t t 0 )+ ɛ (inv c,t 0 ). (t) κ(t) (t t 0 )+ ɛ(ɛ(t t 0)κ(t)) κ(t) c(t) (t t 0 )T (t)+ ɛ (inv c,t 0 ). (t) T (t) κ(t) å T (t) å T (t) = c(t) Aus dem Beweis können einige nützliche Informationen über die Evolvente gewonnen werden. So verrät zum Beispiel Gleichung (2.18), dass N inv = ±T, dass also der Normaleneinheitsvektor der Evolvente N inv (t) sich von dem Tangenteneinheitsvektor der Kurve T (t) höchstens um das Vorzeichen unterscheidet, was noch einmal Satz 2.1 bestätigt. Das bedeutet mit anderen Worten, dass die Evolvente die Tangenten der Kurve orthogonal schneidet. Über die Krümmung κ inv kann man außerdem noch Folgendes erfahren: [51] κ inv (t) = κ(t) (inv c,t0 ). (t) = κ(t) ɛ(t t 0 )κ(t) = ± 1 (2.20) t t 0 Die Krümmung der Evolvente wird also mit wachsender Bogenlänge der Ausgangskurve immer kleiner. Dies bedeutet anschaulich: wenn man wieder den Faden abwickelt, ist die Evolvente immer weniger gekrümmt, je länger der Faden wird. Dies lässt sich gut mit dem eben bewiesenen Satz 2.2 erklären: Da die Evolute der Evolvente wieder die Ausgangskurve ist und die Tangente der Kurve, die ja der Faden beschreibt, mit der Normalen der Evolvente übereinstimmt, entspricht also die Länge des Fadens immer dem Radius des Schmiegkreises der Evolvente; der Kreis wird immer größer und die Krümmung damit kleiner. Die Umkehrung von Satz 2.2 gilt ebenfalls, zumindest da, wo die Evolute regulär ist. Dafür werden zunächst einige Vorbemerkungen über die Verhältnisse verschiedener Größen der Evolute und der Ausgangskurve gemacht.

43 2.3. DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN EVOLVENTE UND EVOLUTE 43 Bemerkung (nach einer Aufgabe aus [15]) Sei c : I R 2 eine reguläre Kurve mit Einheitsgeschwindigkeit, κ(t) 0und κ c (t) < 0. Im Folgenden werden mit l ev,t ev,n ev, κ ev und ρ ev Bogenlänge, Tangenten- und Normaleneinheitsvektor, Krümmung und Krümmungsradius der Evolute bezeichnet. Dann gelten folgende Beziehungen: l ev (t 0,t)= 1 κ c (t) 1 κ c (t 0 ) = ρ(t) ρ(t 0), (2.21) wobei ρ der Krümmungsradius von c ist, denn für ev c (t) =c(t) + 1 κ c(t) N(t) ist mit Hilfe der Frenet-Formeln κ(t)ṅ(t) κ(t)n(t) ev c (t) = ċ(t)+ κ 2 (t) =ċ(t) T (t) κ(t) κ(t) N(t) = N(t) (2.22) κ 2 (t) κ 2 (t) und somit also ev c (t) = κ(t), ( κ < 0) (2.23) κ 2 (t) Integration über den Grenzen t 0,t liefert das gewünschte Ergebnis. Darüber hinaus folgt aus (2.22) und (2.23): T ev (t) = ev c(t) ev c (t) = N(t) (2.24) und damit N ev (t) = T (t) (2.25) und für die Krümmung der Evolute gilt: κ ev (t) = T ev (t),n ev (t) ev c (t) = κ2 (t) κ(t) Ṅ(t), T (t) = κ 2 (t) κ(t) κ(t)t (t), T (t) = κ3 (t) κ(t) (2.26) Aus dieser Gleichung lässt sich herauslesen, dass die Evolute einer regulären Kurve dort, wo sie definiert ist, d. h. dort, wo die Krümmung der Kurve nicht Null ist, ebenfalls keine Wendepunkte hat. Denn die linke Seite von (2.26) ist genau dann Null, wenn κ(t) =0. Für den Krümmungsradius von der Evolute bedeutet dies wiederum:

44 44 KAPITEL 2. EVOLVENTEN UND EVOLUTEN ρ ev (t) =ρ(t) ρ(t) (2.27) Später in Lemma 2.5 wird noch deutlich werden, dass im Falle κ(t 0 )=0die Evolute in t 0 nicht regulär ist, weshalb also deren Evolvente dort auch nicht definiert ist. Falls κ(t) > 0, muss man bei (2.23) und somit auch bei (2.21), (2.24), (2.25), (2.26) und (2.27) überall auf der rechten Seite der Gleichung die Vorzeichen ändern. Satz 2.3 Sei c :[a, b] R 2 eine Kurve mit Einheitsgeschwindigkeit, die auf dem Intervall (a, b] regulär ist. Bei t = a hat c eine reguläre Spitze, d. h. es gilt κ(a) = lim t a κ(t) =. Sei außerdem ev c die Evolute von c und es gelte, dass κ(t) < 0 für alle t, d.h. dass also die Krümmung immer mehr abnimmt. Dann ist die Ausgangskurve eine Evolvente ihrer Evolute, d. h. es gibt ein t 0, so dass c(t) =inv evc,t0 (t). Beweis: Mit der Bemerkung und den Bezeichnungen von eben gilt dann: inv evc,t0 (t) =ev c (t) l ev (t 0,t)T ev (t) =c(t)+ 1 Ç 1 κ(t) N(t) κ(t) 1 å N(t) κ(t 0 ) = c(t)+ 1 κ(t 0 ) N(t) (2.28) Wenn man also als Startparameter für die Evolvente der Evolute t 0 = a wählt, dann ist nach Voraussetzung inv evc,a(t) =c(t). Beispiel 2.9 (nach einer Aufgabe aus [15]) Mit Hilfe von (2.26) wurde herausgefunden, dass die Evolute einer Kurve keine Wendepunkte haben kann. Es ist daher interessant zu untersuchen, wie die Evolvente einer Kurve mit Wendepunkt aussieht. Dafür wird das folgende Beispiel betrachtet: Ñ é t c(t) =. t 3 Es gilt: Ñ é 1 ċ(t) =, und ċ(t) = (1 + 9t 4 ) 1 3t 2 2

45 2.3. DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN EVOLVENTE UND EVOLUTE 45 Für die Krümmung von c gilt dann: κ(t) = 6t (1 + 9t 4 ) 3 2 =0 t =0, c hat also in t =0einen Wendepunkt. Wähle nun t k so, dass l(0,t k )=k für ein k R. Für die Bogenlänge s von c gilt allgemein s(t) = t 0 (1 + 9τ 4 ) 1 2 dτ. (2.29) Da wir uns hier vor allem für die Werte der Evolvente in einer Umgebung der t =0 interessierenleinen, kann s mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes auf folgende Weise angenähert werden: (1 + 9t 4 ) 1 2 = j=0 ( 1 ) 2 (9t 4 ) j = j 2 t4 + o(t 4 ), wobei f o(t 4 ), genau dann wenn lim f(t) t 0 t =0. Außerdem ist dann 4 (1 + 9t 4 ) 1 2 = j=0 ( ) 1 2 (9t 4 ) j =1 9 j 2 t4 + o(t 4 ). Also ist mit (2.29) s(t) =t t5 + o(t 5 ) Für die Komponentenfunktionen der Evolvente inv c,tk (t) =c(t) + (k s(t))t (t), wobei

46 46 KAPITEL 2. EVOLVENTEN UND EVOLUTEN T der Tangenteneinheitsvektor ist, gilt dann: (inv c,tk ) 1 (t) =t + Ç k t 9 å 10 t5 + o(t 5 ) 1 (1 + 9t 4 ) 1 2 = 1 (1 + 9t 4 ) 1 2 Ç å t(1 + 9t 4 ) k t 10 t5 + o(t 5 ) = 1 (1 + 9t 4 ) 1 2 Ç k + 18 å Ç 5 t5 + o(t 5 ) = 1 9 åç 2 t4 + o(t 4 ) k + 18 å 5 t5 + o(t 5 ) = k 9 2 kt t5 + o(t 5 ) und (inv c,tk ) 2 (t) =t 3 +(k t 9 10 t5 + o(t 5 3t 2 )) (1 + 9t 4 ) 1 2 = 1 (3kt 2 2t 3 + o(t 3 )) (1 + 9t 4 ) 1 2 = (3kt 2 2t 3 + o(t 3 )) Ç1 92 å t4 =3kt 2 2t kt6 + o(t 6 ) Da allgemein für die Ableitung einer Potenzreihe f(x) = n=1 a n x n gilt f (x) = n=1 na n x n 1, folgt für den Geschwindigkeitsvektor der Evolvente (inv c,tk ). (t) = Ñ 18kt t 4 + o(t 4 ) 6kt 6t 2 81kt 5 + o(t 5 ) Daraus lässt sich ablesen, dass die Evolvente von c in t =0eine nicht reguläre Stelle hat. Um nun eine genauere Vorstellung der Evolvente in einer Umgebung von t =0entwickeln zu können, ist es sinnvoll ihre Krümmung κ inv (0) = lim t 0 κ(t) zu betrachten. Es gilt é.

47 2.3. DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN EVOLVENTE UND EVOLUTE 47 Abbildung 2.10: Die Evolvente inv c,tk der kubischen Parabel c(t) = (t, t 3 ) t in einer Umgebung der 0 weist eine charakteristische Spitze auf. Die gestrichelten Linien veranschaulichen den abgewickelten Faden zu zwei Zeitpunkten. Ñ é (inv c,tk ).. 54kt t 3 + o(t 3 ) (t) = 6k 12t 405kt 4 + o(t 4 ) und (inv c,tk ). (t) = = (324k 2 t 6 648kt t k 2 t 2 72kt t 4 486k 2 t kt 7 + o(t 8 )) 1 2 = t(36k 2 72kt + 36t 2 162k 2 t 4 162kt t 6 + o(t 8 )) 1 2 Daraus folgt für die Krümmung κ inv (t) = ( 18kt3 + 18t 4 + o(t 4 ))(6k 12t + o(t)) (6kt 6t 2 + o(t 2 ))(54kt t 3 + o(t 3 )) t 3 (324k 2 t 4 648kt t k 2 72kt + 36t 2 + o(t 6 )) 3 2 = 108k2 t kt kt 4 216t 5 324k 2 t 3 432kt kt t 5 + o(t 5 ) t 3 (324k 2 t 4 648kt t k 2 72kt + 36t 2 + o(t 6 )) k kt + 216t 2 + o(t 2 ) = (324k 2 t t 6 648kt k 2 72kt + 36t 2 + o(t 6 )) 3 2

48 48 KAPITEL 2. EVOLVENTEN UND EVOLUTEN Daraus folgt, dass κ inv (0) = lim t 0 κ inv (t) = 432k2 36k 2 = 12. Führt man sich noch einmal Beispiel 1.7 und die dazugehörige Abb. 1.5 vor Augen, kann man sich in etwa vorstellen, wie die Spitze hier aussieht. Abb zeigt diese charakteristische Spitze für die Evolvente, die Schnabelspitze heißt. 2.4 Geometrische Informationen durch die Evolute Die Evolute liefert interessante Informationen über die geometrischen Eigenschaften der Ausgangskurve, die dort nicht immer ohne weiteres zu berechnen, aber schon an dem Bild der Evolute leicht abzulesen sind. Beispiel 2.6 lässt vermuten, dass die Spitzen der Evolute auf besondere Stellen der Ausgangskurve verweisen. Und tatsächlich ist es so, dass die vier Spitzen der Astroide genau den Scheitelpunkten der Ellipse entsprechen. Dieses Ergebnis lässt sich auf die Evolute einer beliebigen regulären Kurve ohne Wendepunkte übertragen. Dafür muss jedoch zuerst klar definiert werden, was ein Scheitelpunkt ist. Definition 2.3 Sei c : I R 2 eine Kurve. Die Kurve c hat dann einen Scheitelpunkt in t 0, wenn gilt κ(t 0 ) = 0. Insbesondere hat c in t 0 einen gewöhnlichen Scheitelpunkt, wenn κ(t 0 ) 0. [22] Anschaulich bedeutet das also, dass die Krümmungsfunktion in t 0 ein lokales Extremum hat. Bei Kurven mit konstanter Krümmung, bei Kreisen und Geraden also, ist jeder Punkt der Kurve ein Scheitelpunkt. Es lässt sich leicht nachrechnen, dass der Schmiegkreis die Kurve in einem Scheitelpunkt mindestens mit dritter Ordnung und in einem gewöhnlichen Scheitelpunkt mit genau dritter Ordnung berührt (vgl. [22]). Besonders leicht lassen sich die Scheitelpunkte an dem Bild einer Ellipse erkennen (Vgl. Abb. 2.11). Ñ é a cos(t) Beispiel 2.10 Es wird die Ellipse c(t) = betrachtet, wobei 0 < b < a. Für b sin(t) die Krümmung gilt dann (vgl. Beispiel 2.6): ab κ(t) = (a 2 sin 2 (t)+b 2 cos 2 (t)) 3 2