B Zuordnungen und Proportionalitäten

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1 B Zuordnungen und Proportionalitäten Proportionale Zuordnungen Gehört zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen,... einer Ausgangsgröße auch das Doppelte, Dreifache, Vierfache der zugeordneten Größe, dann liegt eine proportionale Zuordnung vor. Zur Hälfte, zum dritten Teil, zum vierten Teil,... der Ausgangsgröße gehört auch die Hälfte, der dritte Teil, der vierte Teil,... der zugeordneten Größe. Die Größenpaare einer proportionalen Zuordnung x y sollen (x y ), (x 2 y 2 ), (x 3 y 3 ) usw. heißen. Dann gilt: y } x = y 2 } x 2 = y 3 } x 3 = Die Größenpaare einer proportionalen Zuordnung sind quotientengleich. Eine Gleichung der Form y } x = y 2 } x 2 heißt Proportion. Beispiel An Franzis Tankstelle kostet Liter Super heute,448. Die Zuordnung Benzinmenge Preis (m p) ist proportional. Die doppelte (dreifache, vierfache,...) Menge kostet das Doppelte (Dreifache, Vierfache,...). Wertetabelle Benzinmenge in Litern Preis in Euro 7,24 4,48 2,72 28,96 36,20 43,44 50,68 57,92 Quotientengleiche Größenpaare: 7,24 }}} 5 ø Diagramm Preis in Benzinmenge in ø = 24,48 }}} 0 ø = 2,72 }}} 5 ø Proportion Preis }}} Menge = } p m = }}},488 ø Daraus folgt die Gleichung: p =,448 ø m = }}} 28,96 = =,448 } 20 ø ø Aufgabe. Franzis Wagen verbraucht im Durchschnitt 5,9 Liter Super auf 00 km. Lege eine Wertetabelle für den Verbrauch bei Fahrstrecken von 50 km, 00 km, 50 km,..., 500 km an. Zeichne ein passendes Diagramm. 4

2 Proportionale Zuordnungen Stellt man eine proportionale Zuordnung im Achsenkreuz dar, dann liegen alle Punkte auf einer Halbgeraden, die im Ursprung beginnt. Fehlende Größen einer proportionalen Zuordnung kannst du zeichnerisch oder rechnerisch bestimmen. Zur Berechnung bieten sich folgende Verfahren an: () Eine Zuordnungstabelle anlegen und Operatorpfeile hinzufügen (2) Die Dreisatzrechnung (Seite 20) (3) Eine Proportion lösen Franzi tankt heute 36 Liter Super. Wie viel muss sie bezahlen? Rechne mit dem Einheitspreis von,448 ø. Lösung mithilfe der Zuordnungstabelle und Operatorpfeilen Beispiel 36 Benzinmege (in ø) Preis (in ), x 36 Rechnung, = 52,28 Franzi bezahlt 52,3 3. Ein 720 m² großes Grundstück kostet Wie teuer ist das Nachbargrundstück von 80 m² bei gleichem Quadratmeterpreis? Lösung : Grundstücksgröße in m 2 Grundstückspreis in : Rechnungen : 720 = = Das Nachbargrundstück kostet Beispiel 2 Anderer Lösungsweg: Weil eine proportionale Zuordnung vorliegt, kannst du folgende Proportion aufstellen: Preis des Nachbargrundstrücks }}}}}}}}}}} Größe des Nachbargrundstücks = p }}} 80 m = }}} 720 m 2 Daraus folgt: p = }}} 720 m 80 2 m2 = 60 }} m 80 2 m2 = Entscheide, ob eine proportionale Zuordnung vorliegt. a) Je schwerer ein Brief ist, desto mehr Porto kostet er. b) Je mehr Personen mitfahren, desto mehr Benzin verbraucht das Auto. c) Je mehr Blätter Papier übereinander gelegt werden, desto höher wird der Papierturm. Aufgaben 5

3 B Zuordnungen und Proportionalitäten 3. Ein Liter Frischmilch kostet im Supermarkt 55 ct. Wie viel kosten 3 (5, 7, 2) Liter Frischmilch? 4. Eine Fabrik stellt pro Stunde 8500 Glühlampen einer bestimmten Sorte her. Wie viele solcher Glühlampen werden in dieser Firma während a) einer Schicht (= 8 Stunden), b) eines Arbeitstages (= 24 Stunden) c) einer Arbeitswoche (= 20 Stunden) hergestellt? 5. In derselben Fabrik (siehe Aufgabe 4) werden pro Schicht Energiesparlampen hergestellt. Wie viele Energiesparlampen stellt man demnach a) in einer Stunde, b) an einem Arbeitstag her? 6. Sind die dargestellten Zuordnungen proportional? Begründe deine Entscheidungen. a) b) c) d) Für 42 Liter Benzin zahlt Herr Hoffmann 47,46. a) Wie viel kostet der Liter Benzin an dieser Tankstelle? b) Wie viel muss man hier für 35 Liter der gleichen Sorte zahlen? c) Frau Graf tankt zur selben Zeit die gleiche Sorte Benzin und zahlt dafür 50,85. Wie viele Liter hat sie getankt? 8. Peter möchte Futter für seinen Hund kaufen. Welches Angebot ist das günstigste? Tipp: Vergleiche die Angebote, indem du jeweils ausrechnest, wie teuer 00 g der jeweiligen Marke sind. Also zum Beispiel,20 : 8 = 9. Das Diagramm zeigt, wie viel 3 bzw. 6 gleichartige Bauplatten wiegen. Bestimme zeichnerisch (also ohne Rechnung), wie viel 2 bzw. 4 dieser Bauplatten wiegen. Wie viel wiegen 00 solche Bauplatten? 6

4 2 Indirekt proportionale Zuordnungen Gehört zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen,... einer Ausgangsgröße die Hälfte, der dritte Teil, der vierte Teil,... der zugeordneten Größe, dann liegt eine indirekt (umgekehrt) proportionale Zuordnung vor, manchmal auch antiproportionale Zuordnung genannt. Die Größenpaare einer indirekt proportionalen Zuordnung sind produktgleich. Stellt man eine indirekt proportionale Zuordnung im Achsenkreuz dar, dann liegen alle Bildpunkte auf einer zunächst steil fallenden und dann immer flacher werdenden Kurve, auf einer Hyperbel. Von einer Baustelle sollen 20 m 3 Erdreich abtransportiert werden. Wenn ein Lkw mit einer Fahrt 4 m 3 Erdreich abfährt, dann sind 30 Fahrten erforderlich. Die Zuordnung Ladevolumen des Lkw Anzahl der Fahrten (V n) ist umgekehrt proportional, weil ein Lkw mit doppeltem (mit dreifachem) Ladevolumen nur halb (nur ein Drittel) so viele Fahrten machen müsste. Beispiel Wertetabelle Ladevolumen V in m Anzahl n der Fahrten Diagramm Produktgleiche Größenpaare m 3 20 = 2 m 3 60 = 3 m 3 40 = 4 m 3 30 =... = 20 m 3 Produktgleichung Ladevolumen Anzahl der Fahrten = V n = 20 m 3 0. Es müssen von einer anderen Baustelle 260 m 3 Erdreich abgefahren werden. Lege eine Wertetabelle für die Anzahl der Fahrten bei einem Ladevolumen von 4 m 3, 5 m 3, 6 m 3, 7 m 3 usw. bis 2 m 3 an. Zeichne ein passendes Diagramm. Aufgabe 7

5 B Zuordnungen und Proportionalitäten Fehlende Größen einer indirekt proportionalen Zuordnung kannst du zeichnerisch oder rechnerisch bestimmen. Zur Berechnung bieten sich folgende Verfahren an: () Eine Zuordnungstabelle anlegen und Operatorpfeile hinzufügen (2) Die Dreisatzrechnung (Seite 20) (3) Eine Produktgleichung lösen Beispiel Wie viele Fahrten eines Lkws sind nötig, um 20 m³ Erdreich abzufahren, wenn dieser 7,5 m³ laden kann? Lösung 7,5 Ladevolumen in m 3 Anzahl der Fahrten 20 7,5 x : 7,5 Rechnung: 20 Fahrten : 7,5 200 Fahrten : 75 = 6 Fahrten Es sind 6 Fahrten erforderlich. Beispiel 2 Fünf Bagger heben eine Baugrube in sechs Stunden aus. Wie lange würden drei Bagger brauchen? Lösung Vorüberlegung: Die Zuordnung Anzahl der Bagger benötigte Zeit ist indirekt proportional, weil die doppelte Anzahl von Baggern nur die halbe Zeit brauchen. : 5 3 Anzahl der Bagger 3 Bagger würden 0 Stunden brauchen. Arbeitszeit in h : 3 Die Rechnungen folgen den Pfeilen: 6 h 5 = 30 h 30 h : 3 = 0 h Anderer Lösungsweg: Die Größenpaare sind produktgleich. Also gilt: 3 Bagger x h = 5 Bagger 6 h x h = }}}}} 5 Bagger 6 h = 0 h 3 Bagger Aufgaben. Entscheide, ob eine indirekt (umgekehrt) proportionale Zuordnung vorliegt. a) Je mehr Wasser pro Minute in die Badewanne fließt, desto weniger Zeit vergeht, bis die Badewanne gefüllt ist. b) Je mehr Jochen von seinen 5 Taschengeld für Comics ausgibt, desto weniger Geld bleibt ihm für andere Dinge. c) Je mehr Personen sich eine Pizza in gleiche Stücke aufteilen, desto weniger bekommt jeder von der Pizza. 8

6 2 Indirekt proportionale Zuordnungen 2. Eine Großpackung Katzenfutter reicht für eine einzelne Katze 30 Tage lang. Wie lange reicht die Großpackung für a) 2, b) 3, c) 5 Katzen? 3. Bauer Hinrichs hat für seine 8 Pferde einen Heuvorrat für 80 Tage angelegt. a) Er verkauft vor der Fütterungsperiode 2 Pferde. Wie lange reicht der Heuvorrat jetzt? b) Sein Nachbar gerät in Not. Bauer Hinrichs muss deshalb 2 Pferde durchfüttern. Wie lange reicht sein Heuvorrat nun? 4. Herr Wagner muss morgen mit seinem Pkw von Hamburg nach München fahren. Beim Abendessen denkt er laut: Wenn ich durchschnittlich mit 24 km/h fahre, bin ich in 6 } Stunden da. 4 Tochter Friederike entgegnet: Papa fahr bitte vernünftig und mach unterwegs 30 Minuten Pause. Rechne mit 8 } Stunden Fahrzeit Ein quaderförmiger Holzbalken wurde in 6 je,5 cm dicke Bretter zersägt. a) Wie viele gleich dicke Bretter hätte man erhalten, wenn diese je 2 cm dick gewesen wären? b) Wie dick wären die Bretter, wenn man den Holzbalken in 5 gleich dicke Bretter zersägt hätte? 6. Für das Leerpumpen eines Schwimmbeckens werden vier gleichartige Pumpen eingesetzt. Nach 3 h 25 min ist das Becken leer. Wie lange hätte das Leerpumpen gedauert, wenn man nur eine Pumpe eingesetzt hätte? 7. Vom Klassenfest am Wochenende sind 40 Würstchen übrig geblieben. Heiko schlägt vor, die 40 Würstchen am Montag in der Frühstückspause für 70 ct pro Stück zu verkaufen. Am Montagmorgen stellt sich heraus, dass nach Ende des Festes doch noch fünf Würstchen gegessen wurden. Für wie viel muss man nun die restlichen Würstchen verkaufen, um dieselben Einnahmen zu erzielen wie ursprünglich mit 40 Würstchen geplant? 8. Vervollständige die folgende Tabelle, in der es um Länge und Breite eines Rechteckes mit einem Flächeninhalt von 2 m 2 geht. Länge m 2 m 3 m 4 m 5 m 8 m Breite 2 m Seitenverhältnis : 2 : 3 3 : 4 : 25 : 6 : 9

7 Lösungen B Zuordnungen und Proportionalitäten. Fahrstrecke (in km) Verbrauch (in ø) 50 2, ,9 50 8,85 200, , , , , , ,5 ø km Seite 4 2. a) keine proportionale Zuordnung. Ein Brief von 8 g kostet z.b. das gleiche Porto wie ein Brief von 9 g. b) keine proportionale Zuordnung. Wenn statt einer Person zwei Personen mitfahren, verbraucht das Auto nicht das Doppelte an Benzin. c) Proportionale Zuordnung, wenn Blätter der gleichen Sorte übereinander gelegt werden. Seite Liter Frischmilch kosten,65, 5 Liter kosten 2,75. 7 Liter Frischmilch kosten 3,85 und 2 Liter kosten 6,60. Seite 6 4. In der Fabrik werden in einer Schicht , an einem Arbeitstag und in einer Arbeitswoche Glühlampen hergestellt. 5. NR: : 8 = 4250 und = Ergebnis: In der Fabrik werden a) in einer Stunde 4250, b) an einem Arbeitstag Energiesparlampen hergestellt. 6. a) Keine proportionale Zuordnung. Die Halbgerade beginnt nicht im Ursprung. 9

8 Lösungen Seite 6 6. b) Proportionale Zuordnung! Die Halbgerade beginnt im Ursprung. c) Nur bis zum Ausgangswert 2 proportionale Zuordnung! Vom Knick an nicht mehr proportional, weil die Verlängerung dieses Geradenstücks nicht durch den Ursprung geht. d) Proportionale Zuordnung! Die einzelnen Punkte liegen auf einer Halbgeraden aus dem Ursprung. 7. a) NR: 47,46 : 42 =,3 Ergebnis: Der Liter Benzin kostet an dieser Tankstelle,3. b) NR:,3 35 = 39,55 Ergebnis: 35 Liter Benzin der gleichen Sorte kosten 39,55. c) NR: 50,85 :,3 = 5085 : 3 = 45 Ergebnis: Frau Graf hat 45 Liter Benzin getankt. 8. Wir berechnen, wie teuer 00 g der jeweiligen Sorte sind. Wuffi :,20 : 8 = 0,5 Anka :,49 : 0 = 0,49 Bello : 0,99 : 7,5 = 0,32 Ergebnis: Die Marke Bello ist mit einem Preis von 0,32 pro 00 g die günstigste Marke, während die Marke Wuffi mit einem Preis von 0,5 pro 00 g die teuerste Marke ist. Seite 7 9. Zwei solche Bauplatten wiegen 5,0 kg, vier solche Bauplatten wiegen 30,0 kg und eine solche Bauplatte wiegt 7,5 kg. 00 Bauplatten wiegen 750 kg. 0. Ladevolumen (in m 3 ) Anzahl der Fahrten *) *) 2 05 *) Aufgerundete Zahlen Gewicht in kg 45,0 30,0 5, Stückzahl Anzahl der Fahrten 5 0 m 3 92